P kapittel 3 Statistikk Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 303 a For eksempel finner vi at den relative frekvensen for jenter med høyde 155 159 cm er 0,067 6,7 % 30 = =. Høyde i cm Antall Relativ (frekvens) frekvens 150 154 1 3,3 % 155 159 6,7 % 160 164 6 0,0 % 165 169 1 40,0 % 170 174 5 16,7 % 175 179 3 10,0 % 180 184 1 3,3 % b 306 a Utslipp i tonn per innbygger Antall (frekvens) Relativ frekvens 0,4 5,3 %,5 4,9 5 13, % 5,0 7,4 10 6,3 % 7,5 9,9 11 8,9 % 10,0 1,4 7 18,4 % 1,5 14,9 5,3 % 15,0 17,4 0 0,0 % 17,5 19,9 0 0,0 % 0,0,4 1,6 % Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 7
b c Fordelingen av CO -utslipp har ikke blitt endret så veldig mye på de ti årene. Det er flere land som er konsentrert rundt toppen på 5,0 7,4 tonn CO per innbygger i 006, men utover dette er det ingen klare trender vi kan lese ut av histogrammene. 309 31 a Kumulativ Kumulativ relativ Tid i minutter Antall (frekvens) frekvens frekvens 18 1 1 8,3 % 1 1 16,7 % 6 1 3 5,0 % 33 5 41,7 % 41 1 6 50,0 % 48 1 7 58,3 % 64 1 8 66,7 % 70 1 9 75,0 % 11 1 10 83,3 % 15 1 11 91,7 % 146 1 1 100,0 % Under 165 170 175 180 185 190 195 og Høyde i cm 165 169 174 179 184 189 194 over Antall 353 1380 4405 781 88 4934 179 411 Kumulativ 353 1733 6138 13 950 3 7 166 8 958 9 369 frekvens Aschehoug www.lokus.no Side av 7
b Vi antar at ingen er lavere enn 160 cm eller høyere enn 199 cm. Den første klassen går da fra 160 cm til 164 cm, og vi tegner derfor inn et ekstra punkt for 159 cm med kumulativ frekvens lik null. 1 Vi leser av den kumulative frekvensen for høyden 173 cm, som vist på figuren. Ca. 5000 av de vernepliktige var 173 cm eller kortere. Ca. 19 000 av de vernepliktige var 18 cm eller kortere. 3 Av figuren ser vi at ca. 1500 av de vernepliktige var 168 cm eller kortere. Resten av dem var derfor minst 168 cm. 9 369 1500 = 7 869 8 000 Ca. 8 000 av de vernepliktige var 168 cm eller høyere. 4 Av figuren ser vi at ca. 5 00 av de vernepliktige var høyst 187 cm. 9 369 5 00 = 4169 4000 Ca. 4000 av de vernepliktige var 187 cm eller høyere. 316 Vi skriver karakterene i stigende rekkefølge: 1 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 Det er 1 elever i klassen. Den midterste av karakterene er derfor karakter nummer 11, som er 4. Medianen for karakterene er 4. 318 a Alder i år 15 19 0 4 5 9 30 34 35 39 40 44 45 49 Relativ frekvens,5 % 14,8 % 31,1 % 3,5 % 16, %,8 % 0,1 % Kumulativ relativ frekvens,5 % 17,3 % 48,4 % 80,9 % 97,1 % 99,9 % 100 % Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 7
b c Vi tar utgangspunkt i den kumulative relative frekvensen 50 % og leser av at medianalderen var ca. 30 år. (Vi runder opp til 30 år, siden vi av de kumulative relative frekvensene i oppgave a ser at medianen ligger i intervallet 30 34 år.) Dette betyr at det var omtrent like mange fødende kvinner over 30 år som under 30 år. Alderen på en "typisk" fødende kvinne var altså 30 år. 34 a Vi skriver tidene i stigende rekkefølge: 18 1 6 33 33 41 48 64 70 11 15 146 Medianen er gjennomsnittet av verdi nummer 6 og verdi nummer 7. 41+ 48 = 44,5 Medianen for tid brukt til dataspill er 44,5 minutter. b Vi finner først summen av de 1 tidene. 6 + 33 + 15 + 48 + 41+ 146 + 1+ 64 + 33 + 18 + 70 + 11 = 737 737 61,4 1 = Gjennomsnittstiden er 61,4 minutter. c Gjennomsnittet er en del større enn medianen. Dette skyldes at tidene er skjevt fordelt. De fleste guttene spiller dataspill ganske kort tid, men det er noen få som trekker gjennomsnittet opp. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 7
37 Vi utvider tabellen med en kolonne der vi regner ut produktet av midtpunktet x m og den relative frekvensen r. Tid i timer Midtpunkt x Relativ m xm r frekvens r 0 4 0,15 0,30 5 9 7 0,30,10 10 14 1 0,5 3,00 15 19 17 0,15,55 0 4 0,10,0 5 9 7 0,05 1,35 Sum 11,50 Gjennomsnittet er gitt ved summen av xm r. Av tabellen ser vi at gjennomsnittstiden er ca. 11,5 timer. 335 a Variasjonsbredden er differansen mellom største og minste verdi, altså 146 minutter 18 minutter = 18 minutter b Vi skriver tidene i stigende rekkefølge: 18 1 6 33 33 41 48 64 70 11 15 146 Første kvartil er medianen av første halvdel av dataene. Første kvartil blir dermed gjennomsnittet av verdi nummer 3 og verdi nummer 4, altså 6 + 33 minutter = 9,5 minutter Tredje kvartil er medianen av andre halvdel av dataene. Tredje kvartil blir dermed gjennomsnittet av verdi nummer 9 og verdi nummer 10, altså 70 + 11 minutter = 91 minutter Kvartildifferansen er differansen mellom tredje og første kvartil, altså 91 minutter 9,5 minutter = 61,5 minutter c Vi bruker digitalt verktøy til å regne ut standardavviket. Her har vi brukt Excel. Standardavviket for tiden brukt til dataspill er 43,5 minutter. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 7
336 a Variasjonsbredden er differansen mellom største og minste verdi. Både på matematikkprøven og på stilen er beste karakter 6 og dårligste karakter 1. Variasjonsbredden er altså 6 1= 5 i begge tilfellene. 344 a b Vi skriver karakterene i stigende rekkefølge. Matematikkprøve: 1 1 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 Norsk stil: 1 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 Første kvartil er medianen av første halvdel av dataene, mens tredje kvartil er medianen av andre halvdel av dataene. Kvartildifferansen er differansen mellom tredje og første kvartil. Matematikkprøven: Første kvartil: + = Tredje kvartil: 4+ 4 = 4 Kvartildifferanse: 4 = Stilen: Første kvartil: 3+ 3 = 3 Tredje kvartil: 4+ 5 = 4,5 Kvartildifferanse: 4,5 3 = 1,5 c I dette tilfellet er variasjonsbredden den samme, mens kvartildifferansen er litt mindre for den norske stilen enn for matematikkprøven. Kvartildifferansen gir dermed best uttrykk for variasjonen i karakterene. Karakterene på matematikkprøven er spredt utover hele skalaen, mens karakterene på stilen er noe mer konsentrert rundt 3 og 4. Men det er ikke mer som skal til enn f.eks. at én av 4-erne på stilen endres til 5, så er kvartildifferansen lik på stilen og matematikkprøven. b Fordelingen ser ikke ut til å være vesentlig forskjellig. Hovedtendensen er at elevene gjør det noe dårligere til eksamen enn standpunktkarakteren. Men denne tendensen var klarest i 009. I 008 var det litt bedre samsvar mellom eksamens- og standpunktkarakteren. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 7
345 Vi bruker et kurvediagram for å sammenlikne utviklingen i internettvanene til de fire aldersgruppene. Vi ser at internettbruken har økt i alle aldersgruppene, og at den er størst i aldersgruppene 16 4 år og 5 44 år. 350 a Populasjonen er alle personer i Norge over 18 år. b De utvalgte personene må være representative for alle personer over 18 år. c De som har gjort seg opp en mening, utgjør 84,9 % av utvalget. Andelen av dem som vil beholde statskirken, er derfor 45,0 0,530 53,0 % 84,9 = = De som vil skille kirke og stat, utgjør dermed 100,0 % 53,0 % = 47,0 % av dem som har gjort seg opp en mening. Vi kan også skrive dette som 39,9 0,470 47,0 % 84,9 = = Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 7