Hvor mange lodd må vi flytte for å balansere vekta?
Vekta balanserer når vi flytter lodd. 4 16 4 16 Vi adderer tallet til begge sidene. Vi legger nye lodd i hver skål. 4 16 4 4 16 4 Vi subtraherer 4 fra begge sidene. Vi tar 4 lodd fra hver skål. 1 1 : Vi dividerer begge sidene på. Vi fjerner halvparten av loddene i hver skål. 1 6 6 Det ligger lodd i den venstre skåla og 6 lodd i den høyre. Vekta balanserer, og tallet som var ukjent, er nå kjent. må være lik 6. eller 4 16 4 16 Vi flytter fra den høyre siden og skriver på den venstre. 4 16 16 4 Vi flytter 4 fra den venstre siden og skriver 4 på den høyre. 1 6
Fire ungdommer og én pizza Pikene skal ha og er store nok til å gi guttene 1,5 ganger så mye. 1,5 360 1,5 360 3 360 5 360 : 5 5 360 360 7 5 5 5 7 Pikene skal ha pizzastykker der vinkelen er 7. Guttene skal ha pizzastykker der vinkelen er 1,5 7 108.
To gårdbrukere 10 m 1000 m 100 m 5 m 1000 m (100 ) m Areal lengde bredde (100 ) m 5 m (100 ) 5 m m (5 100 5 ) m (500 5) m. 500 5 1000 5 1000 500 Vi flytter 500 fra den venstre siden og skriver 500 på den høyre. 5 1500 : ( 5) Vi dividerer begge sidene på ( 5). 5 5 1500 5 1500 60 5 60 Lengden på jordstykket skal kortes inn med 60 meter. Den nye lengden blir (100 ) m (100 60) m 40 m. Arealet er 40 m 5 m 1000 m.
To gårdbrukere 10 m 1000 m 100 m 5 m 1000 m m Areal lengde bredde m 5 m 5 m m 5 m 5 1000 5 1000 1000 40 5 5 5 40 Det nye jordstykket skal være 40 meter langt.
Regula falsi Tidligere kulturer har brukt metoder som ikke alltid har vært like lett å "se logikken i". "Regula falsi", for eksempel, er en metode som var mye brukt i India for snart tusen år siden. Hvis "de gamle inderne" skulle ha løst den siste jordstykke-ligningen 5 1000, ville de gjort det slik: 5 1000 Først ville de prøvd en vilkårlig -verdi, for eksempel 50, og beregnet den venstre siden: 5 5 5 50 150 Deretter hadde de funnet rett -verdi ved å sette lik den høyre siden i ligningen dividert på den verdien de fikk på den venstre siden når de prøvde den vilkårlige -verdien, multiplisert med den vilkårlige -verdien (greit ikke sant?): 1000 1000 50 50 000 50 150 150 150 40 40 Det nye jordstykket skal være 40 meter langt.
Per vil ha egen leilighet Pris kroner 4 Meglerprovisjon ( 100 ) 4 100 kroner Diverse gebyr 5000 kroner Sum 300 000 kroner 4 5000 300 000 100 4 5000 300 000 100 100 4 100 100 500 000 30 000 000 100 100 4 500 000 30 000 000 104 30 000 000 500 000 9 500 000 : 104 104 104 9 500 000 104 9 500 000 104 83 653,85 83 653,85 Per kan by opp til ca. 83 000 kroner.
Per vil ha egen leilighet Annuitetslån 00 000 kroner. Månedlig terminbeløp 000 kroner. Per må tjene kroner per time. Han arbeider 400 timer per år. For det får han 400 kroner 400 kroner. Han må betale ti prosent skatt: 400 10 100 4000 100 40 I løpet av ett år må Per tjene 400 kr Skatt 40 kr Nettoen skal dekke tolv terminbeløp 4 000 kr 400 40 4 000 360 4 000 : 360 66,67 Divisjonen gikk ikke opp. Da bruker vi tegnet for "tilnærmet lik" som er i stedet for det vanlige likhetstegnet. Per bør få en jobb der lønna per time er opp mot 70 kroner.
"Jeg er atten år, far er førti. Om år må far være nøyaktig dobbelt så gammel som meg." 40 18 40 18 40 (18 ) (40 )(18 ) (18 ) (18 ) 18 Slik kunne vi enklere ha satt opp ligningen fra starten: Faren er dobbelt så gammel som Per. Da må alderen til faren være to ganger alderen til Per, dvs. at 40 (18 ) 40 36 40 36 36 40 4 betyr ( 1) ( 1) 4 : ( 1) ( 1) 1 4 1 Minus dividert på minus gir pluss. 4 Begivenheten skjer om 4 år. Da er Per (18 4) år år. Faren er (40 4) år 44 år.
Diofantos ble år gammel Diofantos Gud lot ham være gutt en seksdel av sitt liv, dvs. i år. 6 En tolvdel til, og skjegget begynte å gro, dvs. etter ( ) år. 6 1 En sjudel til, og han giftet seg, dvs. etter ( ) år. 6 1 7 Fem år gikk, og han fikk en sønn, dvs. etter ( 5) år. 6 1 7 Sønnen døde etter å ha blitt halvparten så gammel som faren skulle bli, dvs. etter år, dvs. etter at Diofantos hadde levd i ( 5 ) år. 6 1 7 Diofantos levde enda i fire år. Dette gir følgende ligning: 6 1 7 5 4 6 5 4 7 1 Vi multipliserer med fellesnevneren 7 1 84 1 7 7 1 6 7 1 1 7 1 7 5 84 7 1 4 84 84 7 7 1 5 84 7 6 4 84 84 14 7 1 40 4 336 84 14 7 1 4 84 40 336 9 756 : ( 9) 756 84 Diofantos ble 84 år gammel. 9
1 ( ) 8 3 1 1 8 1 8 3 3 Vi får omgjort en ligning med brøker til en ligning uten brøker ved å multiplisere begge sidene med fellesnevneren. Vi har to brøker. Fellesnevneren er 3 6 54 6 1 1 8 6 6 48 3 3 Vi forkorter brøkene og får: 3 6 4 48 3 4 48 6 54 ( 1)
1-3 4 Hvis vi får løsningen, kan den ikke godtas. Hvorfor? 1 3 4 Her er fellesnevneren 4( ). Vi multipliserer begge sidene med den. 1 3 4( ) 4 ( 1) 4 ( ) 3 4 ( ) 4 ( 1) 4 3( ) 4 4 3 6 4 3 6 4 10 10 Vi fikk en løsning forskjellig fra, og den kan godtas. 10
I den forrige ligningen dividerte vi ( 1) på ( ). Vi prøver oss på en ligning der vi multipliserer de samme størrelsene: ( 1)( ) 0 Den algebraiske regelen (a b)(c d) ac ad bc bd forteller oss at ligningen ( 1)( ) kan omskrives slik: 0 0 Her dukker det opp noe nytt. Hva skal vi gjøre med? Noen problemtyper medfører at vi får ligninger med -ledd. Slike ligninger kaller vi andregradsligninger, og de må løses på en spesiell måte. Den skal vi gjennomgå i et eget kapittel om andregradsligninger.