INF 4. epember 8 Foreleer: Sein Krogdahl Dagen ema: Kapiel 4: Machinger i (ureede) grafer (maching = pardannele) Fly i neverk (neverk = reede grafer med kapaieer ec.) Dagen ema er krafig forbunde med konvekie, polyedre med helallige hjørner ec., og dee er man nærmere på i mer maemaik reede kur (INF-MAT 7, am eerfølgere). Vi går ikke inn på de her. Foilene har en del ek. De kan deverre foryrre li nå Men er gjor for a de kal være rimelig grei å bruke il repeijon Obligaorik oppgave blir lag u ene i begynnelen av nee uke. Fri: Fredag. okober Oppgaver kommende irdag: Er lag u. De kan være li mye, men de er anvining for prioriering Forelening nee uke Dino Karabeg begynner om NP-komplehe, uavgjørbarhe ec.
Machinger i ureede biparie grafer, kap. 4. Bipari graf = o-fargbar graf = graf om ikke har (like) odde løkker : Nodemengden X, f.ek. håndverkere Kanene: F.ek. hvem har kompeane il hvilken jobb? Nodemengden Y, f.ek. dagen jobber Vi klare å finne en perfek maching, om alå gjør a vi kan få ufør alle jobbene denne dagen Mae anvendeler, f..ek.: () Gruppelærere (X) om har ønker il grupper (Y). Kan alle få hver in gruppe? () En klae kal danne lag med en gu og en jene, og læreren ve hvem om jobber god ammen. () Noen varianer av probleme: Selv om vi ikke kan finne en perfek maching, kan vi være inereer i å finne en ør mulig De kan være veker på kanene, og vi kan være inereer i å finne en yng mulig maching (eller yng mulig av de perfeke).
Hall Teorem X En bipari graf med en perfek maching: X Y Y Under: En undermengde S av X er forbunde (bare) med nodemengden R i Y, og R har færre noder enn S. Da finne opplag ingen perfek maching. Men dee gjelder ogå andre veien: Hall Teorem: De finne en perfek maching hvi og bare hvi de ikke finne noe uplukk S av X lik a R har færre noder enn S. Bevi den vankelige veien: Den ungarke algorime vil enen gi en perfek maching, eller den vil komme opp med en lik S. X S Y R Boka: R = Gamma(S)
Den naive algorime virker ikke Problem: Gi en bipari uree graf. Finn, om mulig, en perfek maching. Grådighe-ilnærmele (virker av og il, men ikke her): Se på kanene i ilfeldig rekkefølge, og a en kan inn i machingen om den ikke har en felle node med noen av kanene om allerede er med i machingen Ekempel på a grådighe-ilnærmelen ikke virker her: Gi den øvere grafen. Grådighe kan gi machingen under il venre. De finne opplag en maching med re kaner (under il høyre), men den il venre kan ikke uvide ved enkel grådighe! I parene bemerke: E ed der grådighe fakik virker er når en vil finne de leee (eller ynge) pennree i en ammenhengende uree graf med vekede kaner: Se på kanene i rekkefølge av igende vek, og a med de om ikke danner en løkke med de nodene om allerede er plukke u (Krukal algorime).
Den ungarke algorime for å finne en perfek maching De vier eg imidlerid a om vi, i ede for å lee eer hel ledige kaner, leer eer forbedringveier, å vil vi hel ikker finne en lik vei, derom en ørre maching i de hele a ekierer. Dee kan le vie direke, men vi gjør de lik a vi amidig vier Hall eorem En lik forbedringvei for den venre machingen M er iple i den høyre: Forbedringvei P: En alernerende vei (annenhver kan er med og ikke med i machingen) Begge endenodene er umache (er ikke ende-node i noen kan i machingen) eller bare Vi bruker en forbedringvei ved å bye kaner i machingen lang forbedringveien: Dee må opplag føre il en ny maching, om er én ørre. I ilfelle over får vi denne (om krive M P):
Hvordan finne forbedringveier? Den ungarke algorime går u på å: are med en om maching, å lee eer en forbedringvei, å bruke denne il å få en ørre maching, å finne ny forbedringvei og bruke denne ov. il vi: enen har en perfek maching eller vi ikke finner noen ny forbedringvei og da vil iuajonen forhåpenligvi vie o en undermengde S i X om er forbunde med mengden R= Gamma(S) i Y, og a R er mindre enn S. Dermed a de ikke finne noen perfek maching De generelle ege i den ungarke algorime går alå u på å: ha en foreløpig (ikke-perfek) maching M å prøve å finne en forbedringvei om vi kan bruke il å lage en machingen om er én kan ørre. (Om de er en hel ledig kan kan vi velge den om forb.vei) Søke eer en lik forbedringvei gjøre generel lik: Velg en umache node r i X. Den kal bli roen av e re T vi kal bygge, der alle veier u fra roen kal være alernerende veier (og de blir de auomaik ) Vi har da funne en forbedringvei derom en forgrening av ree kan få konak med en umache node i Y (e figur nee foil).
Sege i den ungarke algorime - Vi anar alå a vi år med en ikke-perfek maching M, og a vi vil finne en forbedringvei. I aren av rebyggingen beår ree T bare av en ronode r, om er en umache node i X. Ana a vi generel har bygge e alernerende re T u fra roen r, og a vi ønker å uvide de. Vi er da eer kaner u fra noder i T om er i X (røde) og ikke går il en node om allerede er med i T. Om vi finner en lik kan vil den andre enden være i Y (blå). De er o ilfeller: Kanen går il en umache node i Y, da har vi funne en forbedringvei, og vi kan da bruke denne (øker alå M), og are med e hel ny re, om vi ikke fikk en perfek maching. Kanen går il en mache node i Y, og da ar vi ogå med i T den ilhørende kanen i M. Tree blir alå uvide med o kaner/noder. Tree T: Den blå er mache. Vi ar da ogå med i T den ilhørende M-kanen r Til node i T. Bryr o ikke om like Umache. Vi har da funne en forbedringvei. Vi bruker denne, og får en ørre maching
Sege i den ungarke algorime - Tree T: r Tree er grei og ryddig u il høyre, men de kan elvfølgelig ogå egne inn i den biparie grafen. Da ar de eg lik u: z r x y z x Til node i T. Bryr o ikke om like y Tree T voker Bryr o ikke om like Forbedringvei funne Merk a egningen kan gi innrykk av a man bare kal lee fra blad-nodene i ree, men de er feil. F.ek har man ydeligvi le flere ganger fra roen r Den blå er mache. Vi ar da ogå med i T den ilhørende M-kanen Umache. Vi har da funne en forbedringvei. Vi bruker denne, og får en ørre maching
Avluning av den ungarke algorime uen å finne noen perfek maching Ana a algorimen opper fordi vi ikke finner en kan fra en rød node i T il en (blå) node uenfor ree. Da finner vi alå ingen forbedringvei, og vi ønker da å finne e bevi på a ingen perfek maching finne: Ønker: En delmengde S av nodene i X (røde) om er lik a de nodene R den er forbunde med i Y er færre enn i S. Som S velger vi da re og le de røde nodene i T. Av dem er de én mer enn anall M-kaner i ree. Vi lar å R være de blå nodene i T. R har opplag én node færre enn S (like mange om kaner fra M i ree) Vi påår nå a nodene i S ikke har kaner il noen andre blå noder enn de i R, alå a R=Gamma(S). Begrunnele: Algorimen har oppe neopp fordi de ikke finne kaner fra røde noder i ree il blå noder uenfor ree. Ingen like r S r R Dermed er ogå Hall Teorem bevi: Denne algorimen kan kjøre på enhver bipari graf (med like ore X og Y), og den vil gi enen en perfek maching eller en S lik a Gamma(S) er mindre enn S.
Varianer over problemillingen Se på il nå: Finn en perfek maching i en bipari graf (eller vi a en lik ikke finne) E programkie av denne algorimen er gi på ide 4/4 Andre pørmål: Finn en maching med fle mulig kaner (og da behøver ikke nodemengdene X og Y være like ore) Skal dere e på om gruppeoppgave nee uke Gi veker på kanene: Finn en perfek maching med ør mulig vek Sår i boka, men vi ar den ikke med i penum (kap 4..) Generalieringer av de biparie maching-probleme Gå over il generelle grafer (ikke biparie, eller ikke ofargbar), og ill de ilvarende pørmål angående machinger Her finne ogå en grei algorime. De ar vi ikke med om penum i år (ege noa for inereere, e fjoråre hjemmeide) Fly i neverk (der maching-probleme for biparie grafer fremkommer om e peialilfelle) Den ammenhengen kal dere e på på gruppene nee uke Fly i neverk kal vi e på nå.
Fly i neverk, kap. 4. Dee offe er ogå noe dekke i Wei-boka, å man kan ogå lee der. A man her bruker orde neverk (og ikke noe med grafer ) er bare ren radijon. Grov e er neverk reede grafer med forkjellige kapaieer, veker ec. på kanene (og ofe ogå på nodene) Svær mange prakike problemer faller inn under neverkproblemer, og peiel fly i neverk: Daane med fly av daapakker, og kapaie ( båndbredde ) Forkjellige yper rør-neverk, der væker flyer, og rørene har kapaie Vei-neverk, der biler flyer, og med forkjellige kapaie på veiene De neverk vi kal udere her har Kapaieer på kanene 5 8 4 én kilde-node og én luk-node, og oppgaven er generel å pree å mye 6 fly fra il om mulig.
Fly i neverk, kap. 4. En fly f i e lik neverk er ammena av en fly f(e) på hver kan e, om er lik a: Flykonervering-prinippe: I hver node, bore fra i og, er ummen av fly inn il noden lik um av fly u av noden (definer i forhold il kanene rening). I neverk med kapaieer: Hver kan e har en vi kapaie c(e), og flyen f(e) må da ligge mellom og c(e). Forueer i denne fremilling: De går ikke kaner inn i eller u av. val(f) er ummen av flyen om går u av. Lemma: Summen av flyen om går inn i er ogå val(f) Vie grov e ved ummering av flyen inn/u over alle noder 4 6 5 8
Noen begreper fra boka Bruke ikke i fremillingen på die foilene, og dealjene er derfor ikke penum Begreper ec. bruk i boka, men om vi ikke nevner direke i de følgende foilene: En emi-vei gjennom grafen = en vei fra il i den underliggende ureede grafen Enhe-fly: Definer av en emi-vei der de er fly lik + på de kanene om følger veien rening, og lik på de kanene om går mo veireningen Lemma for neverk uen kapaieer: To flyer om ummere kan for kan gir en ny lovlig fly Lemma for neverk uen kapaieer: Om hver kan-fly mulipliere med en gi konan får vi en ny lovlig fly. 4 6 5 8
Fly i neverk, med kapaieer Hver kan e har en vi kapaie c(e), og flyen f(e) gjennom kanen e må ligge mellom og c(e). Ønke: Gi e neverk med kapaieer. Vi ønker å finne kanflyer f(e) om holder eg innenfor kapaieene ugjør en makimal fly, alå en om gir en å or val(f) om mulig Ekempele under il venre, er e neverk med gie kapaieer. Vi er inuiiv: Makimal fly er her 7, og en lik fly er gi il høyre. 4 8 a c 5 5 b d E ku med kapaie 7 4 a c 5 b d 5
Ren grådighe virker ikke her heller Den naive grådighe-algorimen (om ikke virker!): Sege: Finn enkel flyøkningvei : Finn en ree vei fra il om er lik a alle flyer f(e) er lavere enn c(e) lang veien Øk flyen lang denne å mye om mulig (gi av den kanen om har min c(e) f(e) lang veien) Gjena dee il ingen like veier finne. På figuren under er kapaieene angi over kanene (alle ) og flyen angi under kanen (iniiel er den overal). Vi finner før en ilfeldig lik enkel flyøkningvei, f.ek. -a-b-c-d-. Lang denne kan vi øke flyen med, og vi får nee iuajon under. val(f) er nå, men de er opplag a vi kan oppnå val(f)= MEN, de finne ingen enkel flyøkningvei av ypen definer over om kan bringe o il en iuajon med val(f)= a c b d a c b d
De f-avledede neverke N(f) De vi ydeligvi ikke har a henyn il i den enkle berakningen med flyøkende veier, er a vi ogå kan minke flyen i noen kaner når vi vil gjøre en forandring og ved å a henyn il de får vi fakik en fullgod algorime For å få overik over forandring-muligheene på den enkele kan kan vi, u fra e gi neverk med kapieer c(e) og en gi lovlig fly f(e), egne de f-avledede neverke beegne N f, Nf eller N(f). Vi bruker her N(f) (Merk her: Nye kapaieer i forhold il forrige foil): a c b d 4 a c b d Neverk med kapaieer (over) og fly (under) De f-avledede neverke Nf (angir mulige flyforandringer) Se ogå figur 4.8 i boka (ide 45)
f-forbedringveier Samme figurer om på forrige foil, de opprinnelige neverke N il venre: a c b d 4 Vi leer å eer veier fra il i de f-avledede neverke N(f) Slike veier kalle f-forbedringveier ( f-augumening emipah ) Søke kan gjøre f.ek. bredde-før eller dybde-før i N(f) fra. Vi kan for ekempel velge -c-b-. Den makimale flyforandringen lang denne er her (ana generel h). Vi gjør å den ilvarende flyforandringen, ved å øke flyen med h i de kanene i N der f-forbedringveien går amme vei om i N minke flyen med h der kanen i f-forbedringveien går moa vei av i N Dee gir den nye flyen: U fra denne må vi å lage e hel ny f-avlede neverk N(f), ov 4 c d a c b d
Ku i neverk E ku (Cu) i e neverk er re og le en odeling av nodemengden i mengdene X og Y. Her kal vi bare e på ku der er i X og er i Y. 5 5 5 5 X Y 7 6 7 4 4 Kapaieen av e ku K=X,Y (krive cap(k)) er ummen av kapaieene på de kanene om går fra X il Y (alå ikke de om går moa). I figuren over blir den alå +7= Lemma: Gi en lovlig fly f og e ku K=X,Y. Da er val(f) ikke ørre enn cap(k). Vie grov e lik: Ved ummering av flyen inn/u over alle noder i X finner vi a flyen over kue K (def: de om går X->Y minu de om går Y->X) må være lik val(f). U fra hvordan kapaieen på e ku er definer, er vi cap(k) er min like or om val(f). Dee gir o en mulighe il å vie a vi har en makimal fly: Om vi har en fly f og e ku K lik a val(f) = cap(k) å er flyen makimal!
FordFulkeron-algorimen går lik: FordFulkeron-algorimen Sar med null fly Sege (og ved aren av dee har vi generel en eller annen lovlig fly f ): Lag de f-avledede neverke N(f) (om angir alle forandringmuligheer) Finn en f-forbedringvei gjennom dee neverke, og finn makimal økning for denne (beem av den kanen lang veien med min forandringmulighe) Gjør den forandringen i flyen om denne angir Gjena ege il vi ikke lenger kan finne en f-forbedingvei fra il i N(f) Algorimen luer når de ikke er noen ree vei fra il i N(f). Bevi for a vi da har en mak fly på nee foil. a b 4 c d c d Se ogå programme på ide 48 Dere kal håndgå denne algorimen u fra figur 4.9 på gruppene nee uke
Avluning av FordFulkeron-algorimen Den luer alå med a de ikke er noen forbindele fra il i N(f). a b a b 4 c d d X Y X Y c For å vie a vi fakik har en makimal fly ønker vi da å finne e ku K om har nøyakig amme kapaie om flyen f, alå: cap(k)=val(f). De vier eg a e lik er le å finne: La X være de nodene om kan nåe i N(f) fra, og la Y være reen av nodene. Noden er da i Y, e figuren over. Siden ingen kaner i N(f) går fra X il Y er de le å e a Alle kaner i N om går fra X il Y bruker hele in kapaie (er mee ) Alle kaner i N om går fra Y il X har fly f =. U fra defenijonen av cap(k) er vi da a den er lik flyen over K = val(f) Demed ve vi a flyen er makimal, og vi har vi bevi følgende eorem: Teorem (Max-fly min-ku): I e neverk med kapaieer kan vi finne en fly f og e ku K lik a val(f)=cap(k). Da ve vi a flyen er makimal, og a ine ku K har mindre kapaie.
Varianer av FordFulkeron-algorimen FordFulkeron-algorimen ier bare a man kal velge en eller annen forbedringvei i forhold il kapaieene og den nåværende flyen, dereer finne den makimale flyøkningen vi kan gjøre lang denne, og å legge il denne flyen. Når vi ikke lenger kan finne noen lik forbedringvei har vi en makimal fly (bevi ved a algorimen gir o e ku med kapaie = flyen) Om vi ikke legger på yerligere yring for valg av forbedringvei, gjelder: Om kapaieene er helall, å kan anall eg bli den makimale flyen for neverke. Ekempel: Om kapaieene er reelle all kan algorimen eoreik e gå i evig løkke (!?) Forbedring : Man kan hele iden velge den forbedringveien om gir ør forbedring (kan le finne med en algorime analog il en koree-vei-algorime) Dee gir wor-cae-id: O( m log(n) log( mak-fly ) ) (n= anall noder, m= anall kaner) Forbedring : (Edmond og Karp) Man kan ogå hele iden velge den veien om er kore i anall kaner (kan finne ved bredde før øk) Dee gir wor-cae-id: O(n m ) (alå uavhengig av makimal fly!)
Varianer av probleme med makimal fly For de føre finne alernaiver il FordFulkeron Dinac har deigne en Goldberg and Tarjan (preflow puh algorihm) Vi kan ogå ha angi ogå en minimal fly på hver kan. Da er de e ege problem bare å finne en mulig fly Men eer de kan man foree om for FordFulkeron Man kan ha en pri på hver kan, for å ende fly på denne kanen. Her finne en kjen opimaliering-algorime: Ou-of-kiler-algorimen Man kan ha flere kilder og flere luk, med forkjellige krav il flyen inn og u av die. Og de kan være flere forkjellige ing ( commodiie ) om kal flye (buer, peronbiler, ) og kanene kan ha forkjellige kapaie for hver av die (evenuel være perre for noen av dem) Dee er e akiv forkningområde, for rafikkplanlegging, ruing i kommunikajonneverk ec.
Kap. 4..7: En ammenheng mellom fly i grafer og machinger i biparie grafer Enkel men vikig lemma:. Ved helallige kapaieer kan man allid finne en makimal fly om er helallig.. Når alle kapaieene er kan vi alå finne en makimal fly der hver kan har fly eller (og FordFulkeron vil allid finne en lik!) En lik fly kan dermed olke om e uplukk av kaner (de om har fly) Se på på gruppene nee uke: Alle kapaieer er Leing eer forbedringvei i flyneverke ilvarer hel leing eer forbedringvei u fra en maching i grafen E uplukk av noder om dekker alle kaner (gruppeoppgave denne uken) ilvarer e ku i flyneverke
4