Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010
Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c 1,..., c k slik at w = c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c k v k.
Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c 1,..., c k slik at w = c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c k v k. Teorem Hvis v 1, v 2,..., v k er vektorer i et vektorrom V så er mengde W av alle lineære kombinasjoner av v 1, v 2,..., v k et underrom i V. Vi sier at W er utspent av vektorene v 1, v 2,..., v k og skriver W = span{v 1, v 2,..., v k }.
Lineært uavhengige vektorer Vektorene v 1, v 2,..., v k er lineært uavhengige hvis ligningen c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c k v k = 0 bare har den trivielle løsningen c 1 = c 2 =... = c n = 0.
Lineært uavhengige vektorer Vektorene v 1, v 2,..., v k er lineært uavhengige hvis ligningen c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c k v k = 0 bare har den trivielle løsningen c 1 = c 2 =... = c n = 0. Vektorene v 1, v 2,..., v k er lineært avhengige hvis det finnes c 1, c 2,...c n, ikke alle null, slik at c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c k v k = 0.
Vektorer i R n Teorem I R n er n vektorer v 1, v 2,..., v n lineært uavhengige hvis og bare hvis n n matrisen A med kolonnevektorer v 1, v 2,..., v n, A = [v 1, v 2,..., v n ], har determinant ulik null, det(a) 0.
Vektorer i R n Teorem I R n er n vektorer v 1, v 2,..., v n lineært uavhengige hvis og bare hvis n n matrisen A med kolonnevektorer v 1, v 2,..., v n, A = [v 1, v 2,..., v n ], har determinant ulik null, det(a) 0. Teorem I R n er k vektorer v 1, v 2,..., v k, k < n, lineært uavhengige hvis og bare hvis n k matrisen A med kolonnevektorer v 1, v 2,..., v k, A = [v 1, v 2,..., v k ], inneholder en k k matrise med determinant ulik null.
Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde S = {v 1, v 2,..., v n } av vektorer i et vektorrom V er en basis av V hvis vektorene i S er lineært uavhengige, og vektorene i S utspenner V, span(s) = V.
Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde S = {v 1, v 2,..., v n } av vektorer i et vektorrom V er en basis av V hvis vektorene i S er lineært uavhengige, og vektorene i S utspenner V, span(s) = V. Da kan enhver vektor i V skrives entydig på formen w = c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c n v n.
Basis for R n Standardbasis i R n er e 1 = (1, 0,..., 0) e 2 = (0, 1,..., 0)... e n = (0, 0,..., 1) Det finnes mange forskjellige basiser for R n.
Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige.
Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige. Teorem To basiser for et vektorrom V har like mange vektorer.
Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige. Teorem To basiser for et vektorrom V har like mange vektorer. Antallet vektorer i en basis for V kalles dimensjonen til vektorromet V.
Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V.
Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V.
Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V. Hvis S er lineært uavhendig, så finnes en basis for V som inneholder S
Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V. Hvis S er lineært uavhendig, så finnes en basis for V som inneholder S Hvis S utspenner V så inneholder S en basis for V.