Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a + b der koeffisieee er gi ved + a f () d + a f () cos( ) d år,, 3, + b f () si( ) d år,, 3, kalles Fourier-rekka il f. Sørrelsee a, a og b kalles gjere Fourier-koeffisieee. egg merke il a: Vi må forusee a fuksjoe f er periodisk. Vi har ifør e sørrelse som er halve periode: p. I de iegralee som igår i defiisjoe ovefor, skal du iegrere over e hel periode, fra e fri valg sar-idspuk il e slu-idspuk + p +. Så kommer hovedpoege: Fouriers seig: Fourier-rekka il f vil kovergere mo f overal ua i eveuelle puker der f er diskoiuerlig. I slike puker vil Fourier-rekka kovergere mo lim f lim () + f () +. Hovedpoege i Fouriers seig er e a overal hvor f er koiuerlig, vil Fourier-rekka være lik de fuksjoe f som er bruk ved beregig av Fourier-koeffisieee. Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. Jeg skal eer hver forea e delvis uledig av dee seige. Me førs skal vi se på e par eksempler på bruk av seige. For ikke å forkludre eksemplee med omsedelige iegrasjoer, vil jeg om ødvedig løse de ubeseme iegralee med daaverkøy. Eksempel 3.: Fi Fourier-rekka il fuksjoe f gi ved år, f () f + f år [, øsig: Grafe il fuksjoe ser slik u:, ( ) ( ) Vi ser a periode er p, slik a i formlee for Fourier-koeffisieee seer vi. De er mes hesiksmessig å iegrerer fra il (eller fra il ). Da får vi: a f () d ( d d) [] ( ) +. Når,, 3, får vi: ( ) ( ) a f () cos( ) d d cos( ) d si + ( si ( ) si ) ( ) ( ) b f () si( ) d d si( ) d cos + ( ) år,3,5, ( cos( ) cos ) ( ) år, 4, 6, Vi ser a alle cosius-leddee forsvier, slik a Fourier-rekka blir + si + si( 3) + si( 5) + si( 7) + + si( ( + ) ). 3 5 7 + Noe merkader il beregigee av koeffisieee: a blir gjeomsisverdie av f over e hel periode. Husk a er e hel, posiiv all. Da blir: si( ) for alle. cos( ) blir lik år er e oddeall og år er e jam all. ( ) ( ) Eller eklere: cos. De ka ofe være vaskelig å skrive Fourier-rekka med summasjossymbol. Jeg vil derfor abefale a du skriver u oe ledd i rekka slik a du ser syseme, og dereer uforme rekka ved hjelp av summasjossymbol. Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. a oss se på kovergese av rekka i eksemple ovefor. Vi daer da parialsummee s + si s + si + si( 3) 3 s3 + si + si( 3) + si( 5) 3 5 s4 + si + si( 3) + si( 5) + si( 7) 3 5 7 og eger grafee il disse summee samme grafe il f. Førs og s : s f() -5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 8 9 Så og s : s3 4 f() - -5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 8 9 - Du er sikker eig i a jo flere ledd vi ar med i rekka, jo mer ærmer summe av rekka seg mo f. a oss il slu se ærmere på hva som skjer år vi seer i oe spesielle verdier av i rekka. Vi sarer med å see i. Da er fuksjoe diskoiuerlig, fuksjosverdie hopper fra il. Fouriers seig sier a Fourier-rekka i e slik diskoiuiespuk skal kovergere mo +. ( ) Og de er eopp de som skjer, fordi alle sius-leddee blir lik ull år slik a rekka ku besår av kosaledde. De samme skjer i alle diskoiuiespukee (d.v.s. år m der m er e hel all). Da får Fourier-rekka verdie + si( ( + ) m ) + fordi alle sius-leddee blir lik ull. Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. Så ka vi see. Da er fuksjosverdie lik, slik a + si( ) + si ( 3 ) + si( 5 ) + si( 7 ) + 3 5 7 + + ( ) + + ( ) + 3 5 7 + + 3 5 7 + + 3 5 7 + + 3 5 7 4 Vi ser a vi har fue summe av de alererede rekka + +. 3 5 7 Me vi ka også bruke dee resulae il å berege med gaske sor øyakighe, bare ved å a med ilsrekkelig mage ledd i summe. Vi får 4 + +. 3 5 7 Vi ar e eksempel il: Eksempel 3.: Fi Fourier-rekka il fuksjoe f gi ved f () år < <, f ( + ) f ( ) øsig: Grafe il fuksjoe ser slik u: Også her er periode p slik a. Vi iegrerer fra il, slik a koeffisieee blir: Når ( ) a f () d d ( ) 4.,, 3, får vi: Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. a f () cos( ) d cos( ) d cos ( ) si ( ) + cos cos + si si (( ) ( ) ) + ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) b f () si( ) d si( ) d si ( ) cos ( ) si si cos + cos ( ) ( ) ( ) Alså blir Fourier-rekka ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + ( ) si si si 3 si 4 si. 3 4 Figuree edefor ayder hvorda Fourier-rekka kovergerer mo de gie fuksjoe. Førs ser vi grafee il parialsummee s si () og s3 si() si( ) + si( 3 ): 3 f() -4-4 6 8 - Så ar vi parialsumme s5 si() si( ) + si( 3) si( 4) + si( 5 ): 3 4 5 f() -4-4 6 8 - Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. Du ser hvorda Fourier-rekka kovergerer mo de opprielige fuksjoe år aall ledd øker? Begge eksemplee ovefor hadde perioder p. a oss avslue med e eksempel som har e ae periode. Som før uføres de flese ubeseme iegrasjoer med daaverkøy. Eksempel 3.3: Fi Fourier-rekka il fuksjoe f gi ved f år, f + f. () < ( ) ( ) Bruk resulae il å fie summe av de uedelige rekka som framkommer år. øsig: Dee fuksjoe har periode p. Dee fører il a og Da blir. 3 3 3 a f d d 3 3 () ( ). 3 Når,, 3, får vi: a () ( ) f cos d cos( ) d cos 3 3 ( ) si( ) si( ) 4 + 3 3( cos( ) si( ) + si( ) + si ) 3 3( ) b () ( ) f si d si( ) d cos 3 3 ( ) si( ) cos( ) 4 + 3 3( cos( ) + si( ) cos( ) cos + ) 3 3( + ) 3 3( ) Alså blir Fourier-rekka a + acos + bsi + cos si 3 ( ) ( ) ( ) ( ). Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. Som koroll har jeg ege grafe il de opprielige fuksjoe f, samme med parialsummer med heholdsvis 4 og 5 ledd i hver rekke. f()..5 - - 3.8.6.4. - - 3..5 - - 3 Når, blir alle sius-leddee lik ull mes alle cosius-fakoree blir lik. Da blir + ( + ). 3 3 6 6 Beregigee av Fourier-koeffisieee ka medføre kroglee iegrasjoer. Jeg har lage e lie oa om hvorda du ka bruke Scieific Noebook il å berege disse koeffisieee. I de oae fier du også hi om hvorda du ka få ege opp grafe il de førse leddee i ei Fourier-rekke. Oppgave 3.. 3.. Uledig av formlee for Fourier-koeffisieee. Nå er de på ide å vise hvorda formlee for Fourier-koeffisieee framkommer. Vi skal begrese oss il å ulede disse formlee, og skal ikke udersøke kovergese. Vi skal derfor f med periode, er de allid mulig å fie aa a år vi har e periodisk fuksjo ( ) koeffisieer a, a og b slik a Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. f () a + acos( ) + bsi ( ) (*) Vi får bruk for oe iegrasjosformler: Når m og, er: + + ) si( ) d cos( ) d for alle m og. + ) cos( m ) cos ( ) år m d år m + år m si m si d år m + cos m si d for alle m og. 3) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) Merk a på e srekig fra il uføre hele svigiger. + vil fuksjoee si( ) og cos( ) Du klarer sikker å ulede formel () selv. De adre re formlee er mer pludree. Jeg har derfor flye hele uledige il e vedlegg. Vi sarer med å ulede formele for a. Vi iegrerer da (*) over e periode, d.v.s. fra il +. Da får vi + + f () d a acos( ) bsi ( ) d + + slik a + a f () d. Så skal vi ulede formlee for e periode. Da får vi: + + + ( cos( ) ) si ( ) + [] ( ) ( ) a d + a d + b d ( ) a + a + b a + a a. Vi mulipliserer da (*) med cos( m ) og iegrerer over () cos( ) cos ( ) + + a cos( ) cos ( m ) + + f m d a m d + ( ) cos( ) + b si m d d Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. Nå ar vi e i på hjelpeseigee, og 4. Da ser vi a alle iegralee blir lik ull, med e vikig uak: Når mblir + cos ( ) cos m ( ) d. Dermed sår vi igje med + + m + () ( ) f cos m d a a b som gir + am f () cos( m ) d. Og dee er jo de formele vi skulle fram il (a idekse heer m isedefor har jo ige beydig). På samme måe uledes formele for b. Vi mulipliserer (*) med si( m ) og iegrerer over e periode. Da får vi: () si( ) si ( ) + + a cos( ) si ( m ) + + f m d a m d + ( ) si( ) + b si m Nå bruker vi hjelpeseigee, 3 og 4. Da ser vi a alle iegralee blir lik ull, med e vikig uak: Når mblir + si ( ) si m ( ) d. Dermed sår vi igje med + f si m d a + a + b () ( ) som gir + bm f () si( m ) d. m d d 3.3. E sørre eksempel. il slu skal vi se på e sørre eksempel, som fører il okså komplisere iegrasjoer dersom de skal uføres for had. Beregig av ubeseme iegral er derfor sor se forea ved hjelp av daaverkøy. Dersom du vil uføre iegrasjoee for had, bør du a e i på uledige av formlee for Fourier-koeffisieee der de akuelle iegrasjosformlee er ulede. Eksempel 3.4: Dersom sius-speige g si () ( ) likerees, får vi de periodiske sigale år < < f (), si( ) år < Fi Fourier-rekka il dee fuksjoe. ( ) f ( ) f +. Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. øsig: Grafe il f er ege edefor: f() - - 3 Dee er e periodisk fuksjo med periode p. Fourier-rekka blir av forme - cos( ) si( ) cos( ) si( ). a + a + b a + a + b Vi bereger koeffisieee slik: ( si ) cos( ) () ( ) a f d d + d ( cos cos ) ( ) a f cos d si cos () ( ) ( ) ( ) d (( ) ) ( + ) ( ) cos cos + der iegrasjoe er ufør med kalkulaor. Me på gru av fakore ( ) i de førse evere, er dee resulae ku gyldig år, 3, 4,. ilfelle må alså spesialbehadles. Når vi seer i gresee, beyer vi a cos( ) ( ) ( ) +. Da blir ( ) (( ) ) ( ) ( ) + cos cos cos cos a. + + Me + år,4,6, ( ) ( ) år 3,5,7, Da får vi a: Når,4,6, er + ( ) ( ) a + + + + ( + ) + ( ) ( )( ) + Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Når 3,5,7, a er ( ) ( ) Forelesigsoaer i maemaikk. +. + + Nå gjesår de bare å behadle spesialilfelle. Da blir a f () cos( ) d si( ) cos( ) d ( ) cos ( cos( ) + cos ) ( + ) 4 4 4 Vi får alså a år,3,5, a ( ) år,4,6, Beregige av b er (ese) like omsedelig: b f si d si si () ( ) ( ) ( ) d (( ) ) ( + ) ( ) si si + der iegrasjoe er ufør med kalkulaor. Me på gru av fakore ( ) i de førse evere, er dee resulae ku gyldig år, 3, 4,. ilfelle må alså spesialbehadles. Vi seer i gresee, og får a b (( ) ) ( + ) ( ) si si + (( ) ) ( ) ( ) si si si + si + Nå gjesår de bare å behadle spesialilfelle. Da blir b () si( ) si( ) si( ) si ( ) si( ) f d d d 4 ( si( ) + si ) 4 Vi samler rådee, og seer opp Fourier-rekka il f: () f + cos( k ) si ( ). k ( k ) Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.
Forelesigsoaer i maemaikk. Figure edefor viser grafe av de rekka som framkommer ved å a med bare o ledd i summe. Vi ser a resulae er overraskede bra...5 - - 3 Oppgave 3., Oppgave 3.3. Svær ofe kommer du bor i periodiske fuksjoer som er ee jame eller odde. Da er de mye leere å berege Fourier-koeffisieee, som vi skal se i ese oa. Fourier-rekker ka bl.a. brukes il å løse differesiallikiger som ieholder periodiske fuksjoer. ekikke er illusrer i e lie oa. Bjør Davidse, Uiversiee i romsø. 9.