Funksjoner og vekst 3.1 Læreplanmål 1 5.1 Polynomfunksjoner 2 5.2 Polynomregresjon 8 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner 12 5.4 Potensregresjon 16 5.5 Eksponentialfunksjoner 19 5.6 Eksponentialregresjon 26 5.7 Kjennetegn ved funksjoner 33 5.8 Gjennomsnittlig vekstfart 43 5.9 Momentan vekstfart 45 3.9 Symboler, formler og eksempler 49 Læreplanmål for 2P-Y Utforske matematiske modeller, sammenligne ulike modeller som beskriver samme praktiske situasjon, og vurdere hvilken informasjon modellene kan gi, og hvilket gyldighetsområde og hvilke begrensninger de har Bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon Bruke digitale verktøy til å undersøke kombinasjoner av polynomfunksjoner, rotfunksjoner, potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å bestemme nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkter og finne gjennomsnittlig vekstfart og tilnærmingsverdier for momentan vekstfart Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger
5.1 Polynomfunksjoner Oppgave 5.10 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 2 2x 3 a) Tegn grafen til f uten digitale hjelpemidler. Bruker funksjonen: f(x) = x 2 2x 3. Setter inn ulike verdier av x og regner ut. Svaret er da verdien på y-aksen. f( x) = 2 2 (2 2) 3 = y ( x, y) f( 2) = 2 2 (2 2) 3 = 5 ( 2, 5) f( 1) = 1 2 (2 1) 3 = 0 f( 0) = 0 2 (2 0) 3 = 3 f( 1) = 1 2 (2 1) 3 = 4 f( 2) = 2 2 (2 2) 3 = 3 f( 3) = 3 2 (2 3) 3 = 0 f( 4) = 4 2 (2 4) 3 = 5 ( 1, 0) ( 0, 3) ( 1, 4) ( 2, 3) ( 3, 0) ( 4, 5) Som gir oss denne tabellen : x -2-1 0 1 2 3 4 f(x) 5 0-3 -4-3 0 5 b) Finn nullpunktene til f. Leser av der funksjonen krysser x-aksen (f(x) = 0): Nullpunktene er ( 1, 0) og (3, 0) I GeoGebra for kontroll: c) Finn ekstremalpunktet til f. Leser av der funksjonen har bunn- og toppunkter: Ekstremalpunktet er (1, 4) I GeoGebra for kontroll: 2
Oppgave 5.11 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 2 + 4x 3 a) Tegn grafen til f uten digitale hjelpemidler. Bruker funksjonen: f(x) = x 2 + 4x 3. Setter inn ulike verdier av x og regner ut. Svaret er da verdien på y-aksen. f( x) = ( 2 2 ) (2 2) 3 = y ( x, y) f( 1) = ( 1 2 ) + (4 1) 3 = 8 ( 1, 8) f( 0) = ( 0 2 ) + (4 0) 3 = 3 f( 1) = ( 1 2 ) + (4 1) 3 = 0 f( 2) = ( 2 2 ) + (4 2) 3 = 1 f( 3) = ( 3 2 ) + (4 3) 3 = 0 f( 4) = ( 4 2 ) + (4 4) 3 = 3 f( 5) = ( 5 2 ) + (4 5) 3 = 8 ( 0, 3) ( 1, 0) ( 2, 1) ( 3, 0) ( 4, 3) ( 5, 8) Som gir oss denne tabellen : x -1 0 1 2 3 4 5 f(x) -8-3 0 1 0-3 -8 b) Finn nullpunktene til f. Leser av der funksjonen krysser x-aksen (f(x) = 0): Nullpunktene er (1, 0) og (3, 0) I GeoGebra for kontroll: c) Finn ekstremalpunktet til f. Leser av der funksjonen har bunn- og toppunkter: Ekstremalpunktet er (2, 1) I GeoGebra for kontroll: 3
Oppgave 5.12 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved T(x) = 3 8 x2 + 21 135 x 2 2 når 8 x 20 a) Tegn grafen til T digitalt. I GeoGebra: b) Når på dagen var temperaturen 0? I GeoGebra: Temperaturen var 0 både 10 timer og 18 timer etter midnatt. Klokken 10:00 og 18:00. c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? I GeoGebra: Temperaturen var høyest 14 timer etter midnatt. Klokken 14:00. Temperaturen var 6. 4
Oppgave 5.13 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 12x a) Tegn grafen til f digitalt. I GeoGebra: b) Finn nullpunktene til f. I GeoGebra: Funksjonen har 3 nullpunkter: ( 3, 4641, 0), (0, 0) og (3, 4641, 0). c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. I GeoGebra: Funksjonen har 2 ekstremalpunkter. Ett toppunkt: ( 2, 16) og ett bunnpunkt: (2, 16). 5
Oppgave 5.14 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4 4x 2 a) Tegn grafen til f digitalt. I GeoGebra: b) Hvor mange nullpunkter har funksjonen? I GeoGebra: Funksjonen har 3 nullpunkter: ( 2, 0), (0, 0) og (2, 0). c) Hvor mange ekstremalpunkter har funksjonen? I GeoGebra: Funksjonen har 3 ekstremalpunkter. Ett toppunkt: (0, 0). og To bunnpunkt: ( 1,4142, 4) og (1,4142, 4) eller helt nøyaktig ( 2, 4) og ( 2, 4). 6
Oppgave 5.15 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 5 5x 3 + 4x I GeoGebra: a) Hvor mange nullpunkter har funksjonen? I GeoGebra: Funksjonen har 5 nullpunkter: ( 2, 0), ( 1, 0), (0, 0), (1, 0) og (2, 0). b) Hvor mange ekstremalpunkter har funksjonen? I GeoGebra: Funksjonen har 4 ekstremalpunkter. To toppunkter: ( 1,6444, 3,6314) og (0,5439, 1,4187) og To bunnpunkt: ( 0,5439, 1,4187) og (1,6444, 3,6314) 7
5.2 Polynomregresjon Oppgave 5.20 Tabellen viser normaltemperaturen f(x) i celsiusgrader på Røros. Her svarer x = 1 til januar, x = 2 til februar, osv. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) ( ) -11,2-9,7-5,6-0,7 5,6 10,1 11,4 10,4 6,1 1,7-5,2-9,2 a) Marker tallene som punkter i et koordinatsystem. b) Finn det tredjegradsuttrykket som passer best. c) Finn det fjerdegraduttrykket som passer best. d) Er det tredjegradsuttrykket eller fjerdegradsuttrykket som passer best? Blå linje: Fjerdegradsuttrykket passer best. 8
Oppgave 5.21 I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra år 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er f(x) folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2010 x (år) 0 20 40 60 80 100 110 f(x) (millioner) 2,22 2,62 2,96 3,57 4,08 4,48 4,86 a) Finn ved regresjon det tredjegradsuttrykket som passer best til dataene i tabellen, og tegn grafen sammen med punktene i et koordinatsystem. b) Finn folketallet i 1980 ifølge modellen fra oppgave a. Punkt H viser oss at folketallet i Norge i 1980 er 4,04 millioner. c) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner? Sammenlign med svarene på side 137-139. Punkt I viser oss at folketallet vil være 5,5 millioner 68 dager inn i 2040. (1900 + 140,188). Lineær regresjon som er brukt på side 139 passer godt. Vi har her satt antall gjeldende sifre i GeoGebra til 10 : fordi det i tredjegradleddet er seks nuller etter komma før første siffer som ikke er null. 9
Oppgave 5.22 Vi kaster en stein opp i lufta. Tabellen viser høyden i meter på noen tidspunkter. Tid (sekunder) 0 1 2 3 4 5 6 Høyde (meter) 2 26 41 46 41 26 2 a) Sett av punktene i et koordinatsystem. b) Hvilken type polynomfunksjon tror du passer best? Tallene i tabellen viser at toppunkt inntreffer etter 3 sekunder og at høydeverdien er symmetriske både før og etter dette toppunktet. Tror utfra dette at andregrads polynomfunksjon passer best. c) Finn den polynomfunksjonen som passer best. Prøver med 2. grad: 2. grad passer ok, men ikke helt. Prøver med 3. grad: 3. grad gir samme resultat som 2. grad. Prøver med 4. grad: d) Hva er høyden etter 3,5 s ifølge modellen i oppgave c? 4. grad, passer godt. I GeoGebra : gir oss, som vist i punkt H Det viser oss en høyde på 44,77 meter når vi velger et 4. grads polynom. 10
Oppgave 5.23 Tabellen viser temperaturen T i celsiusgrader på noen tidspunkter en sommerdag. Her er x antallet timer etter midnatt. x (timer) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t ( ) 12 9 11 14 18 21 20 17 11 a) Sett av punktene i et koordinatsystem. b) Hvilken type polynomfunksjon tror du passer best her? Ser at temperaturen «bølger» og vet da at 2. grad ikke passer. Tror at det er 3. grads polynomfunksjon som passer best. c) Finn den polynomfunksjonen som passer best. Prøver først med 3. grad: og så med 4., 5., 6. og 7. grad og får resultatene som vist under. Holder vi oss innenfor intervallet 0 til 24 og ser på alle punkter samlet er det 7. grad som passer best. Vi har her satt antall gjeldende sifre i GeoGebra til 10 : fordi det i 6. og 7. grad er seks nuller etter komma før første siffer som ikke er null. d) Hva er temperaturen kl. 22.30 ifølge denne modellen? Klokken 22.30 er:. Vi ser at mellom punkt H og I har 7. gradsfunksjonen en «pukkel». Har derfor tatt med resultatet også for 4. gradsfunksjonen som har en jevn kurve mellom H og I. 4. gradsfunksjonen gir oss punktet J : som avrundet er 14,4 grader 7. gradsfunksjonen gir oss punktet K : som avrunder er 15,1 grader. 11
5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner Oppgave 5.30 Tegn digitalt grafen til funksjonene når x er mellom 0 og 5. a) f(x) = 3x 2 b) f(x) = 3x 2 c) f(x) = 4x 1,5 d) f(x) = 4x 1,5 I GeoGebra: Oppgave 5.31 Tallet på solgte enheter av en vare går vanligvis ned når vi setter opp prisen. La S(p) være tallet på solgte enheter per uke når prisen per enhet er p kroner. En kjøpmann fant denne sammenhengen mellom pris og salget per uke: S(p) = 400 000 p 1,5 Når prisen p er mellom 50 kr og 100 kr. a) Finn salget per uke når prisen er 70 kr. S(p) = 400 000 p 1,5 S(70) = 400 000 70 1,5 Negativ eksponent kan være en utfordring på kalkulatorer, så: 70 1,5 = 1 70 1,5 = 1 585,66 0,0017075 Detter gir oss : S(70) = 400 000 0,0017075 = 683 salg per uke 12
b) Tegn grafen til S med et digitalt hjelpemiddel. I GeoGebra : c) Bruk grafen til å finne ut hva prisen må være for at kjøpmannen skal selge 500 enheter per uke. I GeoGebra : og lager så punktet A med som gir oss Det betyr at prisen må være kr 86,18 for at kjøpmannen skal selge 500 enheter per uke. Har her valgt å starte x-aksen på 50. I GeoGebra: Oppgave 5.32 En funksjon f er gitt ved f(x) = 2 x 4 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktet digitalt. I GeoGebra : og lager punktet G: (Alt + R) i GeoGebra = som gir oss nullpunktet (4, 0) som betyr x = 4 og y = 0. 13
Oppgave 5.33 En funksjon f er gitt ved f(x) = x 2 4x + 9 3 a) Tegn grafen til f digitalt. I GeoGebra : (Alt + R) i GeoGebra = b) Finn ekstremalpunktet digitalt. I GeoGebra : GeoGebra gir oss:... eller helt nøyaktig : A = 2, ( 5 3) c) Finn nullpunktene digitalt. I GeoGebra : GeoGebra gir oss:... eller helt nøyaktig : B = 0, 0 og C = 4, 0 14
Oppgave 5.34 Funksjonene f og g er gitt ved f(x) = x og g(x) = x 0,5 Tegn grafen til f og grafen til g i det samme koordinatsystemet. Hva finner du ut? Vet fra før at vi har en potensregel som sier at : x = x 1 2 = x 0,5 Forventer da at funksjonene f og g vil være like. I GeoGebra : og (Alt + R) i GeoGebra = Som forventet viser det seg at funksjonene f og g er like. 15
5.4 Potensregresjon Oppgave 5.40 En stein blir sluppet fra et fly. Flyet er 1000 meter over bakken. Tabellen viser hvor mange meter, f(x), steinen har falt etter x sekunder. x (sekunder) 2 4 6 8 10 f (x)(meter) 20 78 176 314 490 a) Sett inn punktene i et koordinatsystem. b) Finn digitalt den potensfunksjonen som passer best med punktene. I GeoGebra : c) Tegn grafen sammen med punktene i et koordinatsystem. Hvor godt passer modellen? d) Bruk modellen til å finne ut hvor langt steinen har falt etter 12 sekunder. I GeoGebra : og lager så punktet F med som gir oss Etter 12 sekunder har steinen falt 701 meter... eller e) Når er steinen 250 meter over bakken? Steinen har da falt 750 meter. som gir oss I GeoGebra : og lager så punktet G med som gir oss Etter 12,41 sekunder er steinen 250 meter over bakken (1000 meter 750 meter = 250 meter). f) Hvor lang tid tar det før steinen når bakken? I GeoGebra : og lager så punktet H med som gir oss Når flyet flyr i 1000 meters høyde treffer steinen bakken etter 14,35 sekunder. 16
Oppgave 5.41 For isolasjon av et hus gjelder det at varmetapet T i kilowatt per kvadratmeter vegg er avhengig av tykkelsen x på isolasjonen målt i centimeter. Tabellen viser sammenhengen. x (cm) 5 10 15 20 25 30 T (kwh/m 2 ) 44,9 26,7 19,7 15,9 13,4 11,7 a) Sett inn punktene i et koordinatsystem. b) Finn digitalt den potensregresjonen som passer best. I GeoGebra : c) Tegn grafen til potensregresjonen sammen med punktene i et koordinatsystem. Hvor godt passer modellen? Modellen passer meget godt. (Se rød funksjonslinje i grafen nedenfor). d) Bruk modellen og regn ut varmetapet når isolasjonen er 12 cm tykk. I GeoGebra : og lager så punktet G med som gir oss En isolasjonen på 12 cm gir et varmetap på 23,3 kwh/m 2... eller som gir oss e) Hvor tykk isolasjon er det hvis varmetapet er 35 kwh/m 2? I GeoGebra : og lager så punktet H med som gir oss Når varmetapet er 35 kwh/m 2 har vi 7 cm tykk isolasjon. 17
Oppgave 5.42 Tabellen viser folketallet i Norge for noen år etter året 2000. Her er x antallet år etter 1996. Årstall 2000 2004 2008 2012 2014 x (år) 4 8 12 16 18 y (millioner) 4,478 4,577 4,737 4,986 5,096 a) Bruk tabellen ovenfor og tabellen i eksempelet på side 155 til å lage en tabell over hvor mange tusen kroner hver nordmann får hvis vi deler Oljefondet på hver av oss. Tabellen fra side 155: Årstall 2000 2004 2008 2012 2014 x (år) 4 8 12 16 18 y (milliarder) 386 1016 2275 3816 5100 Årstall 2000 2004 2008 2012 2014 x (år) 4 8 12 16 18 kr i oljefondet (milliarder) 386 1016 2275 3816 5100 antall nordmenn (millioner) 4,478 4,577 4,737 4,986 5,096 kr per normann (tusen) 86,20 221,98 480,26 765,34 1000,78 b) Finn den potensfunksjonen som passer best med tallene i tabellen i oppgave a. f(x) = 8,4342 x 1,6292 c) Omtrent hvor mye hadde hver av oss i 2010 ifølge modellen? I GeoGebra : og lager så punktet F med som gir oss Det viser at hver nordmann hadde 621 tusen kroner. d) Når hadde hver av oss 500 000 kr i Oljefondet ut fra modellen i oppgave b? I GeoGebra : og lager så punktet G med som gir oss Hver nordmann hadde 500 tusen kroner 12,25 år etter 1996, 91 dager inn i 2008. 5.5 Eksponentialfunksjoner 18
5.5 Eksponentialfunksjoner Oppgave 5.50 1. januar 2010 var folketallet i verden 6,8 milliarder. Folketallet økte med 1,2% årlig i perioden fra 2000 til 2010. a) Finn folketallet i 2005. Bruker : f(x) = a k x I 2010 var folketallet 6,8 milliarder : 6,8 Økningen var 1,2% per år : 1,012 2005 er fem år før 2010 = 5 5 Folketallet i 2005 = 6,8 1,012 5 I GeoGebra CAS: 6, 4 milliarder Anta at folkemengden i verden fortsetter å øke med 1,2% årlig også etter 2010. b) Finn funksjonsuttrykket f(x) for folketallet x år etter 2010. f(x) = 6, 8 1, 012 x Har her brukt : f(x) = a k x 2000 : 2002 : 6,04 milliarder 2004 : 6,18 milliarder 2006 : 6,33 milliarder 2008 : 6,48 milliarder 2010 : 6,64 milliarder 6,80 milliarder c) Finn folketallet 1. juli 2006 med denne modellen. Leser av : 6,53 milliarder. Beregner : f(x) = 6,8 1,012 3,5 = 6, 52 milliarder ( 3,5 fordi 1. juli 2006 er 3,5 år før 2010) 19
d) 1. juli 2007 var folketallet 6,62 milliarder. Hvordan passer modellen på dette tidspunktet? Leser av 6,60 milliarder. Modellen passer bra. Beregner : f(x) = 6,8 1,012 2,5 = 6, 60 milliarder ( 2,5 fordi 1. juli 2007 er 2,5 år før 2010) e) På internett finner du befolkningsklokker som følger folketallet på jorda. Adressen til en slik klokke er : http://www.census.gov/popclock/ Finn folketallet på jorda nettopp nå. Hvordan passer det med modellen? Folketallet på jorda nå (februar 2017) er 7,37 milliarder og er avmerket med i figuren i oppgave b). Folketallet er litt mindre enn det modellen gir. Økningen i verdens folketall avtar noe. f) Tegn grafen til F. f(x) = 6,8 1,012 x g) Finn ut fra grafen når folkemengden kommer til å passere 8 milliarder etter denne modellen. I GeoGebra :. Folketallet vil være 8 milliarder 13,6243 år etter 2010. 2010 + 13,6243 år = 227 dager inn i 2023 I GeoGebra CAS : F(x) = 6,8 1,012 x = 8 milliarder x = 13,6243 20
Oppgave 5.51 Folketallet i et land er i dag 92 millioner og øker med 2,3% i året. a) Finn et uttrykk for folketallet F(x) om x år. F(x) = 92 000 000 1,023 x... eller... Folketall i millioner om x år : F(x) = 92 1,023 x b) Finn folketallet om fem år og for fem år siden. Om fem år : F(x) = 92 000 000 1,023 5 103 078 003 103 millioner I GeoGebra CAS : For fem år siden : F(x) = 92 000 000 1,023 5 82 112 573 82 millioner I GeoGebra CAS : c) Tegn grafen som viser utviklingen av folketallet i de neste 40 årene. F(x) = 92 000 000 1,023 x (0 x 40) I GeoGebra :. (Velger å ikke bruke millioner) 21
d) Finn ut fra grafen når folketallet er fordoblet. Fordobling av folketallet: 92 millioner 2 = 184 millioner I GeoGebra :. Lager punktet A med.. Fordobling om 30,48 år. I GeoGebra CAS : Oppgave 5.52 Arne og Beate har begge 440 000 i årslønn. I lønnsforhandlingene går de med på at de skal ha ulik lønnsutvikling. Arne skal nå hvert år få en lønnsøkning på 4,5%, mens Beate får et fast tillegg på 24 000 kr i året. a) Finn to funksjonsuttrykk, A(x) og B(x), som gir lønna til Arne og Beate om x år. A(x) = 440 000 1,045 x B(x) = 440 000 + 24 000 x b) Tegn grafene til A og B i et koordinatsystem. I GeoGebra : I GeoGebra : c) Når kommer Arne og Beate igjen til å ha like høy lønn? I GeoGebra : Lager punktet A med.. Lik lønn om 9,42 år. 22
Oppgave 5.53 Geir Grundig eier en fabrikk. Et år hadde denne fabrikken en omsetning på 10 millioner kroner. Geir tror nå at omsetningen i årene fremover kommer til å øke med 7% per år. Etter x år er da omsetningen per år i millioner kroner gitt ved f(x) = 10 1,07 x a) Tegn digitalt en graf som viser omsetningen de neste 20 årene. f(x) = 10 1,07 x (0 x 20) I GeoGebra : eller b) Bruk denne grafen til å finne ut hvor mange år det går før omsetningen da er fordoblet, altså blir 20 millioner kroner. Dette kaller vi fordoblingstida til en funksjon. I GeoGebra :. Lager punktet A med.. Fordoblingstida til funksjonen er 10,2448 år. I GeoGebra CAS : 23
c) Tegn digitalt grafer som du kan bruke til å finne fordoblingstida når økningen per år er 1) 2% 2) 5% 3) 10% 4) 14% 5) 20% d) Geir mener han har funnet en enkel matematisk modell for å finne fordoblingstida. Han hevder at hvis økningen er p% per år, er fordoblingstida gitt ved formelen d = 70 p x - verdiene når y = 20 (en fordobling) Geir-modellen : Beregnet med logaritmer : Beregnet i GeoGebra CAS : d = 70 2 = 35 20 = 10 1,02x x 35, 0 d = 70 5 = 14 20 = 10 1,05x x 14, 2 d = 70 10 = 7 20 = 10 1,10x x 07, 3 d = 70 14 = 5 20 = 10 1,14x x 05, 3 d = 70 20 = 3, 5 20 = 10 1,20x x 03, 8 Hvordan passer dette med det du fant i oppgave b og c? For hvilke prosenter passer Geir-modellen best? Geir-modellen passer bra når den årlige prosentvise veksten er lav og ikke så bra når årlige veksten er høy. 24
e) Lag en tilsvarende modell for halveringstida ved prosentvis nedgang. 1) -2% 2) -5% 3) -10% 4) -14% 5) -20% d = 70 p x - verdiene når y = 5 (en halvering) Geir-modellen : Beregnet med logaritmer : Beregnet i GeoGebra CAS : d = 70 2 = 35 5 = 10 0,98x x 34, 3 d = 70 5 = 14 5 = 10 0,95x x 13, 5 d = 70 10 = 7 5 = 10 0,90x x 06, 6 d = 70 14 = 5 5 = 10 0,86x x 04, 6 d = 70 20 = 3, 5 5 = 10 0,80x x 03, 1 25
5.6 Eksponentialregresjon Oppgave 5.60 I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i tusen og x antallet år etter 1950. Årstall 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 x (år) 0 10 20 30 40 50 60 y (tusen) 3250 3568 3863 4079 4233 4478 4858 a) Finn digitalt den eksponentialfunksjonen som passer best med dataene. I GeoGebra : Skriver inn verdiene i Regneark. Merker verdiene og velg : I GeoGebra : b) Hvor mange prosent økte befolkningen per år i perioden? Leser av vekstfaktoren til funksjonen som er 1,0063 som er en økning på 0,63 % per år i perioden. 26
c) Finn digitalt den lineære funksjonen som best viser utviklingen i folketallet. I GeoGebra : Den lineære funksjonen : y = 25,05x + 3295,5 Vekstfaktoren til den lineære funksjonen: Har funnet ut at : og i oppgave e) : Som gir oss: x = 0, y = 3295,5 og x = 80, y = 5299,5 I en tabell : Årstall 1950 2030 x (år) 0 80 y (tusen) 3295,5 5299,5 I GeoGebra CAS : Beregnet : 5299,5 = 3295,5 x 80 Vekstfaktoren er 1,00596 som er en økning på 0,596%. 80 x = 5299,5 1,00596 3295,5 d) Er det eksponentialfunksjonen eller den lineære funksjonen som passer best? I perioden 0 til 60 (1950 til 2010) passer både eksponentialfunksjonen og den lineære funksjonen. e) Hvilke folketall gir de to modellene for året 2030? I GeoGebra :, lager så punktene H og I med og får : Eksponentialfunksjonen gir oss et folketall på: 5 489 865 Den lineære funksjonen gir oss et folketall på: 5 299 500 27
Oppgave 5.61 Tabellen nedenfor viser folketallet y i verden i millioner x år etter 1950. Årstall 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 x (år) 0 10 20 30 40 50 60 y (10 6 ) 2519 2982 3692 4434 5264 6070 6909 a) Finn digitalt den eksponentialfunksjonen som passer best med dataene. I GeoGebra : Skriver inn verdiene i Regneark. Merker verdiene og velg : I GeoGebra : Eksponentialfunksjonen: f(x) 2569, 74 1, 0173 x b) Hvor mange prosent økte befolkningen per år i perioden? Leser av vekstfaktoren til funksjonen som er 1,0173 som er en økning på 1,73 % per år i perioden. c) Finn digitalt den lineære funksjonen som best viser utviklingen i folketallet. I GeoGebra : Den lineære funksjonen : y 74, 71x + 2311, 6 Vekstfaktoren til den lineære funksjonen: Har funnet ut at : og i oppgave e) : Som gir oss: x = 0, y = 2311,6 og x = 80, y = 8288,2 I en tabell : Årstall 1950 2030 x (år) 0 80 y (tusen) 2311,6 8288,2 I GeoGebra CAS : Beregnet : 8288,2 = 2311,6 x 80 Vekstfaktoren er 1,01609 som er en økning på 1,609%. 80 x = 8288,2 1,01609 2311,6 28
d) Er det eksponentialfunksjonen eller den lineære funksjonen som passer best? I perioden 0 til 60 (1950 til 2010) passer eksponentialfunksjonen best, men tendensen er at verdens folketall ikke øker så mye som eksponentialfunksjonen viser. e) Hvilke folketall gir de to modellene for året 2030? I GeoGebra :, lager så punktene H og I med og får : Eksponentialfunksjonen gir oss et folketall på: 10 136 394 900 Den lineære funksjonen gir oss et folketall på: 08 288 214 300 29
Oppgave 5.62 a) Bruk tabellene i oppgave 5.60 og 5.61 til å lage en tabell som viser hvor mange tusendeler (promille) av verdens befolkning som bor i Norge. Norge (fra oppgave 5.60): Årstall 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 x (år) 0 10 20 30 40 50 60 y (10 3 ) 3250 3568 3863 4079 4233 4478 4858 Verdiene (fra oppgave 5.61): Årstall 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 x (år) 0 10 20 30 40 50 60 y (10 6 ) 2519 2982 3692 4434 5264 6070 6909 Del av verdens befolkning som bor i Norge i promille ( ): Årstall 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 x (år) 0 10 20 30 40 50 60 y ( ) (10 3 ) 1,290 1,197 1,046 0,9199 0,8041 0,7377 0,7031 b) Finn digitalt den eksponentialfunksjonen som passer best med dataene. I GeoGebra : Skriver inn verdiene i Regneark. Merker verdiene og velg : I GeoGebra : Eksponentialfunksjonen : f(x) = 1, 29513 0, 98916 x c) Finn digitalt den lineære funksjonen som best viser utviklingen. I GeoGebra : Den lineære funksjonen : y = 0, 01043x + 1, 26981 Vekstfaktoren til den lineære funksjonen: Har funnet ut at : og i oppgave e) : Som gir oss: x = 0, y = 1,26981 og x = 100, y = 0,22653 I en tabell : Årstall 1950 2050 x (år) 0 100 y (tusen) 1,26981 0,22653 I GeoGebra CAS : Beregnet : 0,22653 = 1,26981 x 100 Vekstfaktoren er 0,98291 som er en nedgang på 0,0171 %. 100 x = 0,22653 0,98291 1,26981 30
d) Er det eksponentialfunksjonen eller den lineære funksjonen som passer best? I perioden 0 til 60 (1950 til 2010) passer eksponentialfunksjonen best. Bruker vi den lineære funksjonen vil det ikke være noen befolkning i Norge 260 dager inn i 2071 ( ). Vi ser også av punktene E, F og G at fallet i andelen av verdens befolkning stabiliserer seg. e) Hvor stor del av befolkningen i verden kommer til å bo i Norge i 2050 hvis utviklingen fortsetter? I GeoGebra :, lager så punktene H og I med og får : Eksponentialfunksjonen gir oss : 0,435 Den lineære funksjonen gir oss : 0,227 31
Oppgave 5.63 Strålingen fra et radioaktivt materiale kan vi måle med en geigerteller. La y være det tallet som geigertelleren viser etter x minutter. Tabellen viser strålingen fra en bariumisotop. x (min) 0,5 2,0 3,5 5,0 6,5 8,0 y 2897 2005 1321 922 625 425 a) Finn digitalt den eksponentialfunksjonen T som passer best med dataene. I GeoGebra : Skriver inn verdiene i Regneark. Merker verdiene og velg : I GeoGebra : Eksponentialfunksjonen: T(x) 3300, 95 0, 7739 x b) Hvor mange prosent avtar strålingen per minutt? Vekstfaktoren er 0,7739. Det betyr at strålingen avtar med 22, 61 % per minutt. (0,7739 1) 100% = 22, 61% c) Bruk modellen til å finne strålingen etter 10 minutter. I GeoGebra :, lager så punktet G med og får : Etter 10 minutter er strålingen 254, 5. 32
5.7 Kjennetegn ved funksjoner Oppgave 5.70 Hvilken type funksjon tror du passer best til punktene i disse koordinatsystemene? a) b) c) y y y 10 10 10 8 8 8 6 6 6 4 4 4 2 2 2 0 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 4 5 x. Lineær funksjon.. Eksponentialfunksjon.. Tredjegradsfunksjon..y = 1,5x + 2.f(x) = 8 0,8 x Oppgave 5.71 Vi har gitt denne tabellen: x 1 2 3 4 5 6 f(x) 1,7 3,3 4,2 4,9 5,1 4,8 a) Plasser punktene i et koordinatsystem. f(x) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? Ser ut til å være en andregradsfunksjon. Uttrykt på formen: f(x) = ax 2 + bx + c c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du syns passer best. I GeoGebra : Andregradsfunksjon : f(x) = 0, 2196x 2 + 2, 1546x 0, 21 33
d) Tegn grafen til f sammen med punktene. I GeoGebra : Skriver inn verdiene i Regneark. Merker verdiene og velg : Oppgave 5.72 Vi har gitt denne tabellen: x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 2,5 3 3,5 4,3 5,2 6,4 7,5 a) Plasser punktene i et koordinatsystem. f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x 34
b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? Ser ut til å være en eksponentialfunksjon. Uttrykt på formen: f(x) = a k x c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du syns passer best. I GeoGebra : Eksponentialfunksjon : f(x) = 2, 474 1, 2044 x d) Tegn grafen til f sammen med punktene. I GeoGebra : Skriv inn verdiene i Regneark. Merk verdiene og velg : 35
Oppgave 5.73 Vi har gitt denne tabellen: x 1 2 3 4 5 f(x) 4,1 6,8 9,3 11,7 14,1 a) Plasser punktene i et koordinatsystem. f(x) 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 x b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? Funksjonen ser lineær ut, men punktene er ikke helt på linje. Trekker en rett linje mellom første og siste punkt. Ser at det tre punktene i midten ligger litt utenfor linjen. Velger også å prøve andregradsfunksjon. Lineær funksjon: y = ax + b Andregradsfunksjon : g(x) = ax 2 + bx + c c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du syns passer best. I GeoGebra : Lineære funksjon : y = 2, 49x + 1, 73 I GeoGebra : Andregradsfunksjon : g(x) = 0, 05x 2 + 2, 79x + 1, 38 Det viser seg at det er andregradsfunksjonen som passer best av de to funksjonstypene. Velger i oppgave d) å tegne inn begge typene funksjoner, både lineær- og andregradsfunksjonen. 36
d) Tegn grafen til f sammen med punktene. I GeoGebra : Skriv inn verdiene i Regneark. Merk verdiene og velg : Her er både den lineære funksjonen og andregradsfunksjonen tegnet inn i koordinatsystemet. 37
Oppgave 5.74 Vi har gitt denne tabellen: x 1 2 3 4 5 f(x) 2,5 6,2 10,4 15,2 25,6 a) Plasser punktene i et koordinatsystem. f(x) 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 x b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? Ser ut som dette er en potensfunksjon. Uttrykt på formen: f(x) = a x b c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du syns passer best. I GeoGebra : Potensfunksjon : f(x) = 2, 3983 x 1,3938 Potensfunksjonen passer ikke helt så vi prøver oss frem og finner at en fjerdegradsfunksjon passer utmerket til de punktene som tabellen angir. Fjerdegradsfunksjon : g(x) = 0, 2042x 4 2, 025x 3 + 7, 2958x 2 7, 075x + 4, 1 38
d) Tegn grafen til f sammen med punktene. I GeoGebra : Skriv inn verdiene i Regneark. Merk verdiene og velg : Her er både den potensfunksjonen og fjerdegradsfunksjonen tegnet inn i koordinatsystemet. 39
Oppgave 5.75 Tabellen viser utviklingen av verdensrekorden i skihopp fra 1808 og frem til februar 2017. Årstall Navn Nasjonalitet Rekord (m) 1808 Olaf Rye 9,5 1868 Sondre Norheim 19,5 1902 Nils Gjestvang 38,5 1912 Gunnar Andersen 47,0 1915 Reidar Amble Ommundsen 54,0 1931 Sigmund Ruud 81,5 1934 Birger Ruud 92,0 1936 Sepp Bradl 101,0 1948 Fritz Tschannen 120,0 1950 Dan Netzell 135,0 1961 Jožef Šlibar 141,0 1966 Bjørn Wirkola 146,0 1967 Reinhold Bachler 154,0 1968 Bjørn Wirkola 160,0 1976 Geir Ove Berg 173,0 1981 Armin Kogler 181,0 1985 Matti Nykänen 191,0 1994 Toni Nieminen 203,0 1997 Espen Bredesen 210,0 2000 Thomas Hörl 224,5 2003 Matti Hautamäki 231,0 2005 Bjørn Einar Romøren 239,0 2011 Johan Remen Evensen 246,5 2015 Anders Fannemel 251,5 40
a) La x være antallet år etter 1800 og merk av dataene i tabellen som punkter i et koordinatsystem med x langs førsteaksen og hopplengden i meter langs andreaksen. b) Velg ut to funksjonstyper som du syns passer til punktene i koordinatsystemet. Først tenkte jeg potensfunksjon, men det passet ikke når jeg tegnet inn funksjonen. Så var det eksponentialfunksjon og polynomfunksjon, disse viste seg å passe mye bedre. c) Finn funksjonsuttrykket til de to funksjonene du har valgt, og tegn grafene sammen med punktene. Velger eksponentialfunksjon: f(x) = a k x og andregradsfunksjon: g(x) = ax 2 + bx + c I GeoGebra : I GeoGebra : 41
d) Hvilken modell syns du passer best? Den mest realistiske modellen er andregradsfunksjonen : g(x) = 0, 0068x 2 0, 2745x + 6, 123 e) Grunngi svaret (hva er godt eller mindre godt med hver modell?). Eksponentialfunksjonen gir en urealistisk hopplengde som øker kraftig med tiden, men passer godt med hopp opp til 180 meter. Andregradsfunksjonen gir et godt bilde helt opp til hopp som er 240-250 meter lange, men er ikke realistisk for hopp over 250-260 meter. Funksjonen passer godt frem til 240-250 meter fordi hoppbakkene regelmessig har blitt bygget ut for lengre og lengre hopp. f) Finn ut når rekorden blir 300 meter med hver av modellene du har valgt. I GeoGebra :. Lager punktet Y og Z med. Y er eksponentialfunksjonen og gir oss en hopplengde på 300 meter 48 dager inn i 2013. Z er andregradsfunksjonen og gir oss en hooplengde på 300 meter 54 dager inn i 2029. Som vi vet så ble det ikke noe hopp på 300 meter i 2013. Her er noe av svaret: I svevet øker hastigheten til hopperne fra hoppkanten og frem til 110 120 meter. Derfra er hastigheten tilnærmet konstant resten av svevet. Svevkurven er også en tilnærmet rett bane fra 110 120 meter. Men denne banen er ikke nødvendigvis parallell med bakken. Da Fannemel hoppet 251,5 meter i Vikersund, var hastigheten på hoppkanten 99 kilometer i timen. Noe mer trengs faktisk ikke for å hoppe over 300 meter. Nå, med den moderne V-stilen, er hopperne blitt så gode til å fly, at de følger profilen på bakken uten at hastigheten øker i luften. Det er kun bakkene som setter en begrensning. Hvis bakken fortsetter, istedenfor å stoppe på 250 meter, så kan man hoppe så langt man bare vil, sier rakettforsker hos Nammo, Erland Ørbekk. Ved hopp opp mot 300 meter vil hopperne være opp mot 12 sekunder i luften. Vindforholdene kan endre seg i løpet av seks til syv sekunder. Det vil med andre ord være svært vanskelig for juryen å ha kontroll på hoppernes sikkerhet. Derfor tror tidligere skihopper Steinar Bråten en 300-metersbakke må bygges innendørs. Kilde: Aftenposten mars/april 2016 42
5.8 Gjennomsnittlig vekstfart Oppgave 5.80 Høyden av ei gran målt i meter t år etter at den ble plantet og til den er 50 år er gitt ved h(t) = 0,0003t 3 + 0,025t 2 a) Finn høyden til grana etter 10 år, 20 år og 40 år. h(t) = 0,0003t 3 + 0,025t 2 h(10) = 0,0003 10 3 + 0,025 10 2 = 2, 2 meter h(t) = 0,0003t 3 + 0,025t 2 h(20) = 0,0003 20 3 + 0,025 20 2 = 7, 6 meter h(t) = 0,0003t 3 + 0,025t 2 h(40) = 0,0003 40 3 + 0,025 40 2 = 20, 8 meter b) Finn ved regning den gjennomsnittlige vekstfarten til grana i periodene 1) fra 10 år til 20 år : 2) fra 20 år til 40 år : Høyden etter 20 år Høyden etter 10 år Antall år Høyden etter 40 år Høyden etter 20 år Antall år = = 7,6 m 2,2 m 10 20,8 m 7,6 m 20 = 0, 54 meter/år = 0, 66 meter/år Oppgave 5.81 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 12x a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene 1) fra x = 1 til x = 0 2) fra x = 0 til x = 2 I GeoGebra : Ved å referere til f(x), lager punktene A, B og C : Bruker til å tegne de to linjene g og h.. Vekstfarten er -11 og -8.... eller bruk for å tegne vekstfarten.... eller og. 43
Oppgave 5.82 Stein I. Hage planter ei solsikke. Høyden målt i centimeter x dager etter at den ble plantet, er gitt ved h(x) = 0,001 x 2,7 a) Tegn grafen til h digitalt. I GeoGebra : b) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene 1) fra 0 til 5 dager 2) fra 15 dager til 20 dager 3) fra 20 dager til 30 dager Ved å referere til h(x), lager punktene A, B, C, D og E : Bruker til å tegne linjene X, Y og Z. Vekstfarten er : 0,15 cm/dag, 3,52 cm/dag og 6,48 cm/dag c) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene 1) fra 10 dager til 10,1 dager 2) fra 10 dager til 10,01 dager Ved å referere til h(x), lager punktene F, G og H : Bruker til å tegne linjene f og g Vekstfarten er : 1,365 cm/dag og 1,354 cm/dag. Hva vil du si vekstfarten er etter nøyaktig 10 dager? Ser ut til at vekstfarten går mot 1,35 cm/dag., men som vi skal se i kapittel 5.9 kan vekstfarten finnes helt nøyaktig ved å bruke Tangent[ ]. I GeoGebra : Stigningen i punktet er helt nøyaktig 1,3532. 44
5.9 Momentan vekstfart Oppgave 5.90 På sinus-sidene på nettet finner du grafen som viser veksten til planten på side 173. Skriv ut den grafen og bruk den til å finne den momentane vekstfarten til planten etter 20 dager. y cm 70 60 50 40 30 20 10 5 10 15 20 25 30 dager x Tegner inn en tangent til punktet der funksjonen og 20 dager på x-aksen møtes. Lengden til tangenten bør være så lang som mulig for en nøyaktig beregning av vekstfarten. y 70 cm x = 21,8 60 50 40 y = 50 30 20 10 5 10 15 20 25 30 dager x Momentan vekstfart = y = 50 cm 2, 3 cm x 21,8 dager dag 45
Oppgave 5.91 På sinus-sidene på nettet finner du grafen nedenfor. Skriv ut den grafen og bruk den til å finne den momentane vekstfarten for a) x = 3 b) x = 4 c) x = 1 d) x = 0 a) Momentan vekstfart = y x = 2 1 = 2 d) Momentan vekstfart = y x = 4 1 = 4 y b) Momentan vekstfart = = 4 = 4 x 1 c) Momentan vekstfart = y x = 2 1 = 2 46
Oppgave 5.92 Høyden av et tre i centimeter t år etter at det ble plantet, er gitt ved h(t) = 1 30 t3 + 5 2 t2 der t er mellom 0 år og 50 år. I GeoGebra : Finn digitalt den momentane vekstfarten etter a) 10 år b) 30 år c) 40 år I GeoGebra : Stigningen: 40x sier oss at treet har en momentan vekstfart på 40 cm/år. Treet er nå 183 cm høyt. I GeoGebra : Stigningen: 60x sier oss at treet har en momentan vekstfart på 60 cm/år. Treet er nå 450 cm høyt. I GeoGebra : Stigningen: Det at vi ikke har et x ledd sier oss at treet har sluttet å vokse. Treet ble til slutt 2083 cm høyt. 47
Oppgave 5.93 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 2 + 4x Finn digitalt den momentane vekstfarten til funksjonen når a) x = 1 b) x = 3 c) x = 2 I GeoGebra : I GeoGebra : 2x + 1 sier oss at den momentane vekstfarten er 2. Tangenten krysser y-aksen i y = 1. I GeoGebra : -2x + 9 sier oss at den momentane vekstfarten er -2. Tangenten krysser y-aksen i y = 9. I GeoGebra : Det at vi ikke har et x-ledd sier oss at den momentane vekstfarten er 0 Tangenten krysser y-aksen i y = 4. Vi har et ekstremalpunkt. 48
Symboler, formler og eksempler Nullpunkt i GeoGebra: Nullpunktene er ( 1, 0) og (3, 0) Ekstremalpunkt i GeoGebra: Ekstremalpunktet er (1, 4) Ekstremalpunktet ved derivasjon: f(x) = x 2 2x 3 Bruker CAS: CAS viser: f (x) = 2x 2 Setter f (x) = 0 2x 2 = 0 x = 1 Setter x = 1 inn i funksjonen: f(1) = x 2 2x 3 = 1 2 2 1 3 = 4 y = 4 Ekstremalpunktet er (1, 4) Oppgave 5.50 d Ønsker å finne vekstfaktoren 1. juli 2007 ved regning for å vurdere om modellens vekstfaktor passer på dette tidspunktet. 1. juli 2007 er 2,5 år tidligere enn 2010 som er utgangspunktet. Vi har: f(x) = a k x og setter inn de verdiene vi kjenner og får da : 6,62 = 6,8 k 2,5. k er da vekstfaktoren og for å finne k bruker vi logaritmer (log). f(x) = a k x k x = f(x) a log(k x ) = log ( f(x) log( ) x logk = log (f(x)) logk = a a f(x) a ) x Vi har da fremgangsmåten for å kunne beregne vekstfaktoren k. f(x) = a k x... logk = log(f(x) a ) x log k = log(6,62 6,8 ) 1,0108 2,5 Vekstfaktoren for at folketallet i verden skal være 6,62 milliarder 1. juli 2007 er 1,0108. I modellen bruker vi vekstfaktoren 1,012. Det tilsvarer et avvik på 0,119%.Modellen stemmer bra. I GeoGebra CAS : 49
Oppgave 5.50 g 6,8 1,012 x = 8 1,012 x = 8 6,8 1,012x = 1,1765 x log1,012 = log1,1765 x = log1,1765 log1,012 13,6243 2010 + 13,6243 år 228 dager inn i 2023 I GeoGebra CAS : Finne en halveringstid ved regning (eksempel side 161) Vi har 100 gram av et radioaktivt stoff. 12 % av det radioaktive stoffet blir omdannet hvert år. Hvor lang tid tar det før halve mengden av det radioaktive stoffet er omdannet? Vi har 100 gram. 12% blir omdannet hvert år. 12% vekstfaktor = 0,88 Vi skal beregne mengden M(x) av radioaktivt stoff Når har vi 50 gram M(x) med radioaktivt stoff igjen? f(x) = a k x Bruker eksponentialfunksjonen M(x) = 100 0,88 x Setter inn verdiene 100 gram og vekstfaktoren 0,88 50 = 100 0,88 x Setter inn verdien 50 gram som er en halvering 50 100 = 0,88x Deler på 100 0,5 = 0,88 x Regner ut venstre side log0,5 = log0,88 x log0,5 = xlog0,88 log0,5 log0,88 = x x = 5,4223 Tar log på begge sider Bruker regneregelen loga x = x loga Deler med log0,88 Halveringstiden er 5,4223 år 5 år og 154 dager I GeoGebra CAS : 50
GeoGebra kommandoer og spesialtegn: Symbol PC Mac π Alt + P Alt + P Alt + R Alt + J Alt + U Alt + U Alt + > Alt +. Alt + < Alt +, Alt + ` Finne punktet der to funksjoner krysser hverandre: I GeoGebra CAS : 51