Fourier-Transformasjoner II Lars Vidar Magnusson February 27, 2017 Resten av Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts Delkapittel 4.3 Sampling and the Fourier Transform of Sampled Functions Delkapittel 4.4 The Discrete Fourier Transform (DFT) of One Variable
Fourier-Transformasjon og Konvolusjon Konvolusjon for for funskjoner av kontinuerlige variable er definert som... f (t) h(t) = f (τ)h(t τ)dτ La oss se på Fourier-transformasjonen av denne ligningen. F{f (t) h(t)} = = f (τ) f (τ)h(t τ)dτ e j2πµt dt h(t τ)e j2πµt dt dτ Uttrykket i parantesene er Fourier-transformasjonen til h(t τ).
Fourier-Transformasjon og Konvolusjon Det kan vises at F{h(t τ)} = H(µ)e j2πµτ dt. Vi kan derfor utlede at... F{f (t) h(t)} = f (τ)[h(µ)e j2πµτ ]dτ = H(µ) f (τ)e j2πµτ dτ = H(µ)F (µ) Dette gir oss følgende relasjoner. f (t) h(t) H(µ)F (µ) og f (t)h(t) H(µ) F (µ)
Sampling med Impulstog For å kunne arbeide med kontinuerlige funksjoner på en datamaskin må de diskretiseres (se Forelesning 2). Vi kan modellere sampling ved å multiplisere en kontinuerlig funksjon f med et impulstog. f (t) = f (t)s (t) = n= Hvert komponent f k av denne summen er altså.. f (t)δ(t n ) f k = f (t)δ(t k )dt = f (k )
Sampling med Impulstog
Fourier-Transformasjonen av Samplede Funksjoner Vi lar som tidligere F (µ) angi Fourier-transformasjonen av en funksjon f (t). Vi så på den forrige sliden at vi kan finne den samplede f (t) ved å multiplisere f (t) med et impulstog. Vi vet også at å multiplisere i spatial-domenet er det samme som å konvolere i frekvens-domenet. F (t) = F{ f (t)} = F{f (t)s (t)} = F (µ) S(µ) hvor S(µ) er Fourier-tranformasjonen av s (t)
Fourier-Transformasjonen av Samplede Funksjoner Nå kan vi utlede Fourier-tranformasjonen til en samplet funksjon. F (µ) = F (µ) S(µ) = = 1 = 1 = 1 = 1 F (τ)s(µ τ)dτ F (τ) n= n= n= F n= ( δ µ τ n ) dτ ( F (τ)δ µ τ n ) dτ ( F (τ)δ µ + τ + n ) dτ ( µ n )
Fourier-Transformasjonen av Samplede Funksjoner Den siste linjen av ligningen på forrige side er gjentatt under. F (µ) = 1 n= F ( µ n ) Den viser oss at Fourier-transformasjonen av en samplet funksjon f er.. en uendelig periodisk sekvens av F (µ) en kontinuerlig
Hvordan Velge Frekvensen til samplingen er kontrollert av, så hvordan velger vi fornuftig verdi? Hvilke verdier tillater gjenoppretting av f (t)?
Hvordan Velge - Nyquist Teoremet Man kan rekonstruere en kontinuerlig båndbegrenset f (t) dersom 1 2 > µ max 1 > 2µ max Dette kalles Nyquist (Sampling) teoremet. Den høyeste frekvensen som kan fanges med en sampling rate på 1/ er.. µmax = 1 2
Hvordan Velge - Aliasing Velger man for lav verdi vil man introdusere aliasing. Høyere frekvenser maskeres som lavere frekvenser
Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Nå har vi endelig lagt grunnlaget for å kunne begynne å definere Diskret Fourier-transformasjon (DFT). Vi har uttrykt F (µ) ved hjelp av den transformerte F (µ). Nå skal vi uttrykke den ved hjelp av f (t). F (µ) = f (t)e j2πµt dt = = = n= n= n= f (t)δ(t n )e j2πµt dt f (t)δ(t n )e j2πµt dt f ne j2πµn
Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Nå er vi nesten i mål. Vi vet fra tidligere at F (µ) er uendelig periodisk med periode 1/. Vi henter ut M samples fra F i intervallet [0, 1/ ] med følgende frekvenser. µ = m m = 0, 1, 2,..., M 1 M Dette kan vi sette inn i resultatet fra forrige slide for å bringe oss i mål. F m = M 1 n=0 Dette er uttrykket for DFT. f n e j2πmn/m m = 0, 1, 2,..., M 1 Merk at tar samples i intervallet [0, 1/ ]. Dette gjøres for at notasjonen skal holdes enkel.
Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Det gjenstår nå bare å definere Invers Diskret Fourier-Transformasjon (IDFT). f n = 1 M M 1 m=0 F m e j2πmn/m n = 0, 1, 2,..., M 1
Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Legg merke til hverken DFT eller IDFT er uttrykt med hverken eller µ. Vi har brukt m og n, men det kan være mer intuitivt å ta i bruk x og u. F (u) = f (x) = 1 M M 1 x=0 M 1 u=0 Disse utgjør et transformasjonspar. f (x)e j2πux/m u = 0, 1, 2,..., M 1 F (u)e j2πux/m x = 0, 1, 2,..., M 1
Diskret Fourier-Transformasjon og Konvolusjon Den diskrete utgaven av konvolusjon er følgende... f (x) h(x) = M 1 m=0 Blir ofte refert til som sirkulær konvolusjon. f (m)(x m) Relasjonene definert for kontinuerlige funksjoner gjelder også for diskrete.. f (t) h(t) H(µ)F (µ) og f (t)h(t) H(µ) F (µ)
Forholdet mellom Sampling og Frekvens Intervallene f (x) består av M samples tatt med et mellomrom på. Dette gir en total på.. T = M Det tilsvarende intervallet u er... Hele frekvensområdet blir... u = 1 M = 1 T Ω = M u = 1
Et Enkelt Eksempel Vi ser på et enkelt eksempel. f (x) = [1, 2, 4, 4]