Histogramprosessering

Transkript

1 Histogramprosessering Lars Vidar Magnusson January 22, 2018 Delkapittel 3.3 Histogram Processing

2 Histogram i Bildeanalyse Et histogram av et digitalt bilde med intensitet i intervallet [0, L) er en diskret funksjon h(r k ) = n k, hvor r k er det kte intensiteten og n k er antall elementer med intensitet k. Det er vanlig å normalisere et histogram ved å dele på antall elementer totalt. p(r k ) = n k /MN Løst sagt så er p(r k ) et estimat på sansynligheten for r k inntreffer i et bilde.

3 Eksempler Et eksempel på et gråaskalabilde med tilhørende histogram

4 Eksempler Et eksempel på et gråaskalabilde med lav kontrast

5 Eksempler Et eksempel på et mørkt gråaskalabilde

6 Eksempler Et eksempel på et lyst gråaskalabilde

7 Bruksområder Histogram av digitale bilder er svært anvendelige. Forbedring (enhancement) Statistikk Kompresjon Segmentering... Histogram er enkle å finne, og prosessen er svært godt egnet for implementasjon i hardware.

8 Utjevning av Histogram Vi har allerede sett eksempler på at det ofte er gunstig om et bildets histogram er noenlunde jevnt fordelt utover rekkevidden. Dette er mulig å tilnærme ved bruk av histogram equalization (histogramutjevning). s k = T (r k ) = (L 1) k p r (r j ) j=0

9 Tilbake til Eksemplene Dette er det samme eksempelet som ble gitt tidligere Utjevningen gjør liten nytte på et bilde med høy kontrast.

10 Tilbake til Eksemplene Dette er det eksempelet med lav kontrast

11 Tilbake til Eksemplene Dette er det eksempelet med lav intensitet

12 Tilbake til Eksemplene Dette er det eksempelet med høy intensitet

13 Eksempel på Utjevning La oss se på et eksempel fra boka. Vi har L = 8, M = 64 og N = 64. r k n k p r (r)

14 Eksempel på Utjevning Hvis vi bruker transformasjonsfunksjonen på de gitte data får vi følgende. r k n k p r (r) s s s s s s s s Som vi kan se så blir ikke histogrammet helt jevnt, men mye jevnere enn orginalt.

15 Teorien Bak Histogramutjevning Histogramutjevning er bygget på teori om tilfeldige variable (random variables) og sannsynlighetstetthet (probability density function). Vi har s = T (r) Vi antar at p r (r) og p s(s) er sannsynlighetstetthet til henholdsvis r og s Vi må finne en transformasjonsfunksjon T (r) som oppfyller følgende krav. må være monotonisk stigende i intervallet 0 r L 1 0 T (r) L 1 for 0 r L 1

16 Teorien Bak Histogramutjevning Et grunnleggende resultat i sannsynlighetsteori er at hvis vi vet p r (r) og T (r), og hvis T (r) er sammenhengende (continuous) og deriverbar, så kan vi finne p s (s). p s (s) = p r (r) dr ds Distribusjonen til s er altså avhengig av distribusjonen til r og transformasjonen T (r)

17 Teorien Bak Histogramutjevning Cumulative distribution function (CDF) kan defineres som følger. s = T (r) = (L 1) Denne funksjonen er summerer altså p(r). r 0 p r (w)dw siden p(r) alltid er positiv vil den være monotonisk stigende når r = L 1 vil integralet evalueres til 1 i.e. s vil ligge i intervallet 0 s L 1 Denne funksjonen oppfyller derfor kravene gitt tidligere.

18 Teorien Bak Histogramutjevning Vi vet at den deriverte av et bestemt integral i henhold til dens øvre grense er integranden evaluert på grensen (Leibniz). Derfor kan vi nå uttrykke følgende. ds dr = dt (r) dr = (L 1) d dr = (L 1)p r (r) [ r 0 ] p r (w)dw

19 Teorien Bak Histogramutjevning Resultatet fra forrige side kan vi sette i ligningen gitt i begynnelsen. p s (s) = p r (r) dr ds = p r (r) 1 (L 1)p r (r) = 1 L 1 Dette er lov siden p r (r) alltid er positiv, og det gjelder for 0 s L 1. Dette viser at hvis en tilfeldig variabel r transformeres med s = (L 1) r så vil s få en helt uniform distribusjon. 0 p r (r)dw,

20 Utjevning av Histogram Nå som vi har sett teorien bak, kan vi returner til den diskrete verden. s k = T (r k ) = (L 1) = L 1 MN Hvor k = {0, 1, 2,..., L 1}. k j=0 n j k p r (r j ) j=0

21 Spesifisert Histogram Vi har sett på hvordan vi kan jevne ut et histogram. Nå skal vi se på hvordan dette kan utvides videre, slik at man kan spesifisere et histogram. Dette kalles histogram matching eller histogram specification. Gjøres ved å introdusere en ny tilfeldig variabel z med tilhørende p z (z) som spesifiserer hvordan vi vil ha distribusjonen.

22 Teorien Bak Spesifiserte Histogram Teorien bygger på det vi allerede har diskutert. s = T (r) = (L 1) r 0 p r (w)dw Dette jevner ut histogrammet, men vi introduserer også følgende nye forhold. Vi har da følgende. r G(z) = (L 1) p r (t)dt = s 0 z = G 1 [T (r)] = G 1 (s)

23 Steg-for-Steg Oppskrift for Kontinuerlige Verdier Ved å følge følgende oppskrift kan man tilpasse en sannsynlighetstetthet. 1 Finn p r (r) og deretter s og p s (s) 2 Bruk den spesifiserte sannsynlighetstettheten til å finne G(z) 3 Finn G 1 (s) 4 Bruk G 1 (s) til å konvertere fra s til z I teorien er dette en nokså enkel oppskrift, men i praksis er det vanskelig å finne fornuftig for bl.a. G(z).

24 Spesifisert Histogram Det er enklere å gjennomføre prosessen med diskrete verdier. Vi begynner med det kjente. s k = T (r k ) = (L 1) = L 1 MN k j=0 Og vi har følgende diskrete transformasjon n j G(z q ) = (L 1) slik at G(z q ) = s k og z q = G 1 (s k ). k p r (r j ) j=0 q p z (z i ), i=0

25 Spesifisert Histogram Siden vi jobber med diskrete verdier trenger vi ikke finne G 1, vi bare regner ut alle verdiene i en tabell og inverterer den. 1 Finn de utjevnede verdiene s k 2 Regn ut alle verdiene for G og lagre dem in en tabell. 3 Finn mappingene mellom s k og z q ved hjelp av tabellen 4 Utjevn bildet og bruk verdiene til å sette inn de spesifiesrte verdiene

26 Lokal Histogramprosessering Forrige forelesning diskuterte vi histogramprosessering på et globalt nivå. Det kan også være nyttig å benytte teknikken på lokale vinduer. Histogrammet regnes ut for et vindu i stedet for hele bildet. Intensiteten til senterpunktet regnes ut fra det lokale histogrammet. Vinduet blir flyttet til hvert punkt i bildet.

27 Lokal Histogramutjevning Vi skal se på lokal histogramutjevning (equalization). Samme prinsipp som for global histogramutjevning, men vi regner ut histogramet for et n n vindu. Den nye verdien for det gjeldende koordinatet regnes ut som før, men med det lokale histogrammet.

28 Lokal Histogramutjevning - Eksempel Under ser dere et bilde som ser ut som et sett med svarte kvadrater på en grå bakgrunn.

29 Lokal Histogramutjevning - Eksempel Her er det samme bildet etter histogramutjevning.

30 Lokal Histogramutjevning - Eksempel Her er det samme bildet etter lokal histogramutjevning.

31 Histogramstatistikk Husk at for et (normalisert) histogram p(r i ) for diskrete intensiteter [0, L 1] angir en tilnærming til sansynlighetsfordeling. Vi kan derfor benytte oss av statistikk. Det statistiske nte momentet til r er definert som følgende. L 1 µ n (r) = (r i m) n p(r i ) i=0 Hvor m er mean (gjennomsnitts) intensitet. L 1 m = r i p(r i ) i=0

32 Histogramstatistikk - Mean og Varianse Spesielt nyttig er det andre momentet. L 1 µ 2 (r) = (r i m) 2 p(r i ) Dette er variansen δ 2 til intensiteten, hvor standard avviket er δ. i=0 Mean og variansen til intensiteten kan også regnes ut direkte fra bildet. m = 1 MN σ 2 = 1 MN f (x, y) M 1 N 1 x=0 y=0 [f (x, y) m] 2 M 1 N 1 x=0 y=0 Dette refereres ofte til som sample mean og sample variance.

33 Histogramstatistikk - Eksempel Her ser vi igjen bildet med skjulte symboler g(x, y) = { Cf (x, y) if k 0m G m Sxy k 1m G AND k 2σ G σ Sxy k 3σ G f (x, y) otherwise