Histogramprosessering

Transkript

1 Histogramprosessering Lars Vidar Magnusson January 24, 217 Delkapittel 3.3 Histogram Processing

2 Histogram i Bildeanalyse Et histogram av et digitalt bilde med intensitet i intervallet [, L) er en diskret funksjon h(r k ) = n k, hvor r k er det kte intensiteten og n k er antall elementer med intensitet k. Det er vanlig å normalisere et histogram ved å dele på antall elementer totalt. p(r k ) = n k /MN Løst sagt så er p(r k ) et estimat på sansynligheten for r k inntreffer i et bilde.

3 Eksempler Et eksempel på et gråaskalabilde med tilhørende histogram

4 Eksempler Et eksempel på et gråaskalabilde med lav kontrast

5 Eksempler Et eksempel på et mørkt gråaskalabilde

6 Eksempler Et eksempel på et lyst gråaskalabilde

7 Bruksområder Histogram av digitale bilder er svært anvendelige. Forbedring (enhancement) Statistikk Kompresjon Segmentering... Histogram er enkle å finne, og prosessen er svært godt egnet for implementasjon i hardware.

8 Utjevning av Histogram Vi har allerede sett eksempler på at det ofte er gunstig om et bildets histogram er noenlunde jevnt fordelt utover rekkevidden. Dette er mulig å tilnærme ved bruk av histogram equalization (histogramutjevning). s k = T (r k ) = (L 1) k p r (r j ) j= De følgende sidene vil forklare hvorfor dette er tilfelle.

9 Teorien Bak Histogramutjevning Histogramutjevning er bygget på teori om tilfeldige variable (random variables) og sannsynlighetstetthet (probability density function). Vi antar at p r (r) og p s(s) er sannsynlighetstetthet til henholdsvis r og s Et grunnleggende resultat i sannsynlighetsteori er at hvis vi vet p r (r) og T (r), og hvis T (r) er sammenhengende (continuous) og deriverbar, så kan vi finne p s (s). p s (s) = p r (r) dr ds

10 Teorien Bak Histogramutjevning Transformasjonsfunksjonen gitt tidligere er basert på cumulative distribution function (CDF). s = T (r) = (L 1) r p r (w)dw Vi vet at den deriverte av et bestem integral er integranden på grensen. Derfor kan vi nå uttrykke følgende. ds dr = dt (r) dr = (L 1) d dr = (L 1)p r (r) [ r ] p r (w)dw

11 Teorien Bak Histogramutjevning Resultatet fra forrige side kan vi sette i ligningen gitt i begynnelsen. p s (s) = p r (r) dr ds = p r (r) 1 (L 1)p r (r) = 1 L 1 Dette er lov siden p r (r) alltid er positiv, og det gjelder for s L 1. Dette viser at hvis en tilfeldig variabel r transformeres med s = (L 1) r så vil s få en helt uniform distribusjon!?! p r (r)dw,

12 Utjevning av Histogram Nå som vi har sett teorien bak, kan vi returner til den diskrete verden. s k = T (r k ) = (L 1) = L 1 MN Hvor k = {, 1, 2,..., L 1}. k j= n j k p r (r j ) j=

13 Eksempel på Utjevning La oss se på et eksempel fra boka. Vi har L = 8, M = 64 og N = 64. r k n k p r (r)

14 Eksempel på Utjevning Hvis vi bruker transformasjonsfunksjonen på de gitte data får vi følgende. r k n k p r (r) s s s s s s s s Som vi kan se så blir ikke histogrammet helt jevnt, men mye jevnere enn orginalt.

15 Tilbake til Eksemplene Dette er det samme eksempelet som ble gitt tidligere Utjevningen gjør liten nytte på et bilde med høy kontrast.

16 Tilbake til Eksemplene Dette er det eksempelet med lav kontrast

17 Tilbake til Eksemplene Dette er det eksempelet med lav intensitet

18 Tilbake til Eksemplene Dette er det eksempelet med høy intensitet

19 Spesifisert Histogram Vi har sett på hvordan vi kan jevne ut et histogram. Nå skal vi se på hvordan dette kan utvides videre, slik at man kan spesifisere et histogram. Dette kalles histogram matching eller histogram specification. Gjøres ved å introdusere en ny tilfeldig variabel z med tilhørende p z (z) som spesifiserer hvordan vi vil ha distribusjonen.

20 Teorien Bak Spesifiserte Histogram Teorien bygger på det vi allerede har diskutert. s = T (r) = (L 1) r p r (w)dw Dette jevner ut histogrammet, men vi introduserer også følgende nye forhold. Vi har da følgende. r G(z) = (L 1) p r (t)dt = s z = G 1 [T (r)] = G 1 (s)

21 Steg-for-Steg Oppskrift for Kontinuerlige Verdier Ved å følge følgende oppskrift kan man tilpasse en sannsynlighetstetthet. 1 Finn p r (r) og deretter s og p s (s) 2 Bruk den spesifiserte sannsynlighetstettheten til å finne G(z) 3 Finn G 1 (s) 4 Bruk G 1 (s) til å konvertere fra s til z I teorien er dette en nokså enkel oppskrift, men i praksis er det vanskelig å finne fornuftig for bl.a. G(z).

22 Spesifisert Histogram Det er enklere å gjennomføre prosessen med diskrete verdier. Vi begynner med det kjente. s k = T (r k ) = (L 1) = L 1 MN k j= Og vi har følgende diskrete transformasjon n j G(z q ) = (L 1) slik at G(z q ) = s k og z q = G 1 (s k ). k p r (r j ) j= q p z (z i ), i=

23 Spesifisert Histogram Siden vi jobber med diskrete verdier trenger vi ikke finne G 1, vi bare regner ut alle verdiene i en tabell og inverterer den. 1 Finn de utjevnede verdiene s k 2 Regn ut alle verdiene for G og lagre dem in en tabell. 3 Finn mappingene mellom s k og z q ved hjelp av tabellen 4 Utjevn bildet og bruk verdiene til å sette inn de spesifiesrte verdiene