Morfologi i Binære Bilder

Transkript

1 Morfologi i Binære Bilder Lars Vidar Magnusson February 26, 2018 Delkapittel 9.1 Preliminaries Delkapittel 9.2 Dilation and Erosion Delkapittel 9.3 Opening and Closing Delkapittel 9.4 The Hit-or-Miss Transformation Delkapittel 9.5 Some Basic Morphological Algorithms

2 Bakgrunn Morfologiske operasjoner på binære bilder beskrives med mengdeteori. Hvert element er en 2-tuple som inneholder posisjonen til elementet. Konvensjon avgjør om elementene er de svarte eller hvite punktene i et binært bilde. I tillegg til de vanlige mengeoperasjonene benytter man seg ofte av refleksjon ˆB = {w w = b, for b B} og translasjon. (B) z = {c c = b + z, for b B}

3 Strukturerende Elementer Mange morfologiske operasjoner benytter seg av såkalte strukturerende elementer (SE) Under er noen eksempler.. Hvert punkt angis med en 2-tuple.

4 Strukturerende Elementer Når vi jobber med binære bilder på datamaskiner må elementene paddes med tomme elementer.

5 Strukturerende Elementer Vi kan ha elementer som ikke er av relevanse. Disse angis med et kryss.

6 Eksempel på Bruk av Strukturerende Elementer La oss anta at vi har følgende sett og strukturerende element.

7 Eksempel på Bruk av Strukturerende Elementer Vi begynner med å padde (finne bilderepresentasjonene). La oss anta en operasjon hvor vi lar det strukturerende elementet besøke hvert element i mengden. Hvis hele det strukturerende elementet er i mengden så er punktet med i output.

8 Eksempel på Bruk av Strukturerende Elementer Vi sitter da igjen med følgende output.

9 Erosion (Erosjon) Erosion (erosjon) er en primitiv morphologisk operasjon. Vi har to mengder A og B. Erosjon er da definert som... A B = {z (B) z A} Med ord: Erosjonen av A med B er settet med alle punktene z slik at (B) z er i A. Dette er den matematiske formuleringen av eksempelet gitt tidligere.

10 Erosion (Erosjon) Siden B A er ekvivalent med å si at B ikke skal ha overlap med bakgrunnselementer, kan vi skrive erosjon på følgende form. A B = {z (B) z A c = } hvor A c er komplementet til A, og er det tomme settet.

11 Et Eksempel Under har vi en mengde A og et strukturerende element B. B A

12 Et Eksempel A B blir da.. B A A B Merk: den merkede linjen rundt A B er bare med for å illustrere hvordan operasjonen fungerer.

13 Et Annet Eksempel Under har vi den samme mengden A men et annet strukturerende element B. A B

14 Et Annet Eksempel A B blir da.. A B A B Merk: den merkede linjen rundt A B er bare med for å illustrere hvordan operasjonen fungerer.

15 Et Reelt Eksempel La oss ta en titt på et mer reelt eksempel. Vi vil fjerne koblingene mellom komponentene.

16 Et Reelt Eksempel Vi begynner med å bruke et kvadratisk strukturerende element på størrelse

17 Et Reelt Eksempel Vi prøver så med å bruke et kvadratisk strukturerende element på størrelse

18 Et Reelt Eksempel Ved å bruke et kvadratisk strukturerende element på størrelse kan vi fjerne alt bortsett fra senterkomponentet.

19 Dilation (Utvidning) Dilation (utvidning) fungerer omvendt av erosjon. Dilation utvider/øker et sett med elementer. A B = {z (ˆB) z A } hvor ˆB er B reflektert om origo. Med ord: Utvidning av A med B er alle punktene z hvor (ˆB) z og A overlapper med minst et element. A B = {z [(ˆB) z A] A}

20 Et Eksempel Vi begynner igjen med å se på en mengde A og et strukturerende element B. B A

21 Et Eksempel Mengden til høyre representerer A B. B A A B Merk: den merkede linjen rundt A B er bare med for å illustrere hvordan operasjonen fungerer.

22 Et Annet Eksempel Under har vi den samme mengden A men et annet strukturerende element B. A B

23 Et Annet Eksempel A B blir da.. A B A B

24 Et Reelt Eksempel La oss si at vi skal lage en tekstprosessor, og la oss anta at karakterdeteksjonen er av dårlig kvalitet.

25 Et Reelt Eksempel Vi utfører en utvidning med et lite SE og får følgende..

26 Koblingen Mellom Erosion og Dilation Erosjon og utvidelse er to sider av samme sak når vi trekker in komplementsett og refeksjoner. (A B) C = A C ˆB og (A B) C = A C ˆB

27 Opening (Åpning) Opening er en morfologisk operasjon som jevner ut detaljer. A B = (A B) B Fjerner smale broer Fjerner utstikkere

28 Et Eksempel Vi har følgende sett A og strukturerende element B. B A

29 Et Eksempel Vi kan ta operasjonen steg for steg ved å først utføre erosjon. B A A B

30 Et Eksempel Så utfører vi en utvidelse på det eroderte resultatet. B A A B

31 En Intuitiv Forståelse av Åpning Man kan se åpning som en sum av å flytte (rulle) det strukturerende elementet langs den indre grensen.. A B = {(B) z (B) z A} B A A B

32 Closing (Lukking) Som opening er closing (lukking) en utjevnende prosess. Fjerner små åpninger Fyller hull A B = (A B) B

33 Et Eksempel Vi har følgende sett A og SE B. B A

34 Et Eksempel Vi utfører først en utvidning, deretter en erosjon, og får følgende.. B A A B

35 En Intuitiv Forståelse av Lukking Vi kan her bruke bildet av å flytte (rulle) det strukturerende elementet langs den ytre kanten. B A A B

36 Et Litt Komplisert Eksempel La oss se på et litt mer komplisert eksempel. Vi har følgende sett og strukturerende element.

37 Et Litt Komplisert Eksempel Under har vi først erodert, så utvidet i.e. vi har åpnet.

38 Et Litt Komplisert Eksempel Under har vi først utvidet, så erodert i.e. vi har lukket.

39 Kobling Mellom Åpning og Lukking Som som med erosjon og utvidning så har vi også en kobling mellom åpning og lukking. og (A B) C = (A C ˆB) (A B) C = (A C ˆB)

40 Egenskaper ved Åpning og Lukking Vi har følgende egenskaper for åpning.. A B er et subsett av A i.e. A B A Hvis C D så er C B D B (A B) B = A B Vi har følgende (tilsvarende) egenskaper for lukking... A A B Hvis C D så er C B D B (A B) B = A B

41 Et Kombinert Eksempel Åpning og lukking kan også utføres i kombinasjon med hverandre. Vi ser på et eksempel hvor kombinasjonen benyttes for å fjerne støy.

42 Et Kombinert Eksempel Vi bruker et enkelt kvadratisk SE (3 3) og begynner med å utføre erosjon og så utidelse i.e. åpning.

43 Et Kombinert Eksempel Vi bruker det samme SE (3 3 kvadratisk) og forsetter med å utføre utvidning og så erosjon i.e. lukking.

44 Et Kombinert Eksempel Under er sammenligning av input vs. output. Vi har fått bort støy, men det har oppstått noen sprekker.

45 Hit-or-Miss (Treff-eller-Bom) Transformasjon Hit-or-Miss (treff-eller-bom) transformasjonen er en annen nyttig morfologisk operasjon. A D = (A D) (A C [W D]) Vi skal introdusere konseptet ved hjelp av følgende mengder. A = C D E C D E Merk at kanten rundt begrenser domenet, ikke A.

46 Hit-or-Miss (Treff-eller-Bom) Transformasjon Poenget med transformasjonen er å finne lokasjoner for en struktur. La oss prøve å finne instanser av D. A = C D E W (W D) E C D W oppfyller D W (W D) rammer inn D

47 Hit-or-Miss (Treff-eller-Bom) Transformasjon Vi eroderer A med D og får følgende.. Dette settet angir hvor D treffer.

48 Hit-or-Miss (Treff-eller-Bom) Transformasjon Vi må nå finne hvor D bommer. Vi begynner med å finne komplementet til A (vi har allerede (W D)) A C

49 Hit-or-Miss (Treff-eller-Bom) Transformasjon Vi finner nå hvor D bommer ved å erodere A C med (W D). A C (W D)

50 Hit-or-Miss (Treff-eller-Bom) Transformasjon Da kan vi kombinere disse stegene og få treff-eller-bom transformasjonen. (A D) (A C [W D])

51 Hit-or-Miss (Treff-eller-Bom) Transformasjon Treff-eller-bom transformasjonen utifra de foregående slidene er definert som følger A D = (A D) (A C [W D]) Hvis vi lar B 1 = B være strukturen vi leter etter og B 2 være rammen rundt, får vi følgende.. A B = (A B 1 ) (A C B 2 ) Utifra koblingen mellom erosjon og utvidelse kan vi også si... A B = (A B 1 ) (A ˆB 2 )

52 Boundary Extraction (Grenseuthenting) Vi kan hente ut grensen til et sett (boundary) ved hjelp av boundary extraction (grenseuthenting).

53 Boundary Extraction (Grenseuthenting) Vi kan hente ut boundary ved hjelp av to enkle morfologiske operasjoner. β(a) = A (A B) hvor B er et passende SE. Det valgte strukturerende element kontrollerer hvordan grensen blir. Det er vanlig å bruke et 3 3 SE (gir grense på 1 og 2 pixels) Større kvadratiske filtre gir bredere grense Andre former er også mulig

54 Et Enkelt Eksempel Vi utfører operasjonen på et enkelt eksempel. A B

55 Et Enkelt Eksempel Under har vi resultatet av erosjonen på venstre og det endelige resultatet til høyre. A B β(b)

56 Et Annet Enkelt Eksempel Vi utfører operasjonen på det samme settet men med et annet SE. A B

57 Et Annet Enkelt Eksempel Under har vi resultatet av erosjonen på venstre og det endelige resultatet til høyre. A B β(b)

58 Hole Filling (Hullfylling) Vi kan også bruke morfologiske operasjoner for å utføre hole filling (hullfylling).

59 Hole Filling (Hullfylling) Hullfylling er litt mer komplisert enn boundary extraction. Boka definerer problemet som å utfylle hull i 8-connected grenser, gitt i et inputsett A. 1 Vi lager en array X 0 som er av samme størrelse som arrayen med inputsettet. 2 Lager et seed (frø) i hvert av hullene vi vil fylle 3 Finner X k i følge ligningen gitt under X k = (X k 1 B) A c k = 1, 2, 3,... 4 Finner utfylt resultat ved å kombinere X k og A i.e. A X k

60 Hole Filling (Hullfylling) Metoden fungerer ved at vi vokser regioner utifra gitte frø. Ville vokst uendelig hvis det ikke var for at vi begrenser området med A c A c begrenser derfor utvidelsen Metoden kan derfor beskrives som conditional dilation (begrenset utvidelse) Merk Metoden definerer ikke hvordan vi finner k

61 Et Enkelt Eksempel Vi utfører operasjonen på et enkelt eksempelsett og med et passende SE. Vi har også tatt med A c for å hjelpe med visualiseringen. A A c B

62 Et Enkelt Eksempel Etter 4 iterasjoner kommer vi frem til følgende.. A X 4 A X 4

63 Hvordan Finne k Metoden definerer ikke hvordan vi stopper. Så hvordan hvordan finner vi k? En løsning er gitt i eksempelkoden.

64 Thinning (Tynning) Thinning (tynning) minker et sett ned til et minimalt sett Beholder ekstremkoordinatene Operasjonen kan defineres som en rekke med hit-or-miss transformasjoner. A B = A (A B) = A (A B) C Vi trenger ikke utføre bakgrunnsmatching på de strukturerende elementene. Dette forenkler hit-or-miss til bare ett steg Merk Boka forenkler for mye

65 Thinning (Tynning) Følgende sett med SEr er et vanlig alternativ for tynning. {B} = {B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7, B 8 } B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 Merk Vi må matche både forgrunns- og bakgrunns-elementer

66 Thinning (Tynning) B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 Tynningen blir utført ved å utføre operasjonen på hvert av de strukturerende elementene i sekvens. A {B} = ((... ((A B 1 ) B 2 )... ) B 8 ) Sekvensen blir gjentatt til ingen flere endringer forekommer

67 Et Enkelt Eksempel Vi utfører tynning på følgende sett. A

68 Et Enkelt Eksempel Etter et par iterasjoner gjennom {B} får vi følgende... A A {B}