Matematisk Morfologi Lars Aurdal

Transkript

1 Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT

2 Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning

3 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

4 Motivasjon MR-bilde av hjernen. Gutt, ca. 7 år, lider av adrenoleukodystrofi (ALD). ALD Ønsker å måle størrelsen av det syke området. Vil begynne med å etablere en maske for selve hjernen. Hud Hjerne vev

5 Motivasjon Terskling

6 Motivasjon Hvordan kutte slike forbindelser?

7 Motivasjon Morfologisk åpning

8 Motivasjon S Behold største komponent i komplementet til S.

9 Motivasjon Inverter

10 Motivasjon Masker

12 Grunnleggende setteori Betrakter to sett A og B i Z 2 med komponenter a=(a 1,a 2 ) og b=(b 1,b 2 ). Z 2 A B

13 Grunnleggende setteori Komplement: A C = { x x A} A A C

14 Grunnleggende setteori Differanse: A B = { x x A, x B} = A B C A B A-B

15 Grunnleggende setteori Translasjonen av A med x=(x 1,x 2 ), (A) x, er gitt ved: ( A) = { c c = a + x x, a A} A (A) (1,-4)

16 Grunnleggende setteori Refleksjonen av B, B^, er gitt ved: ^ Bxx { = bb, B } B B^

18 Dilasjon La A og B være sett i Z 2. La Ø være et tomt sett (et sett uten elementer). Dilasjonen av A med B, A B, er definert ved: ^ A B = { x ( B) A } x Settet B kalles gjerne strukturelementet.

19 A Dilasjon B

20 Dilasjon

21 Dilasjon

22 A Dilasjon B

23 Dilasjon

25 Erosjon La A og B være sett i Z 2. Erosjonen av A med B, A B, et definert ved: AΘ B = { x ( B) A} Settet B kalles gjerne strukturelementet. x

26 A Erosjon B

27 Erosjon

28 Erosjon

29 A Erosjon B

30 Erosjon

32 Åpning Åpningen av settet A med settet B, A B, er en sammensatt operasjon definert ved: A B = ( AΘB) B Åpning brukes typisk for å jevne ut konturen av et sett pixler, den bryter smale forbindelser mellom sett og fjerner tynne forgreninger.

33 A Åpning B

34 Åpning Erosjon Dilasjon

35 A Åpning B

36 Åpning Erosjon Dilasjon

37 Åpning Hvordan kutte slike forbindelser?

38 Åpning Åpning

40 Lukning Lukningen av settet A med settet B, A B, er en sammensatt operasjon definert ved: A B = ( A B)ΘB Lukning brukes derfor også til å jevne konturer, men vil (i motsetning til åpning), lukke smale åpninger mellom sett, lukke små hull og fylle gap i konturer.

41 A Lukning B

42 Lukning Dilasjon Erosjon

43 A Lukning B

44 Lukning Dilasjon Erosjon

46 Hit-or-miss -transformen Algoritme for formgjenkjenning. Gonzalez:...basic tool for shape detection.... Leter etter denne formen

47 Hit-or-miss -transformen Definer først to strukturelementer Samme form som formen det letes etter Lokal bakgrunn

48 Hit-or-miss -transformen Gjør først en erosjon med et strukturelement som har samme form som formen det letes etter Erosjon

49 Hit-or-miss -transformen Finn komplementet av alle formene det letes blant:

50 Hit-or-miss -transformen Eroder komplementet med den lokale bakgrunnen Erosjon

51 Hit-or-miss -transformen Finn snittet av de to delresultatene: =

52 Hit-or-miss -transformen c A B = ( AΘB ) ( A ΘB ) 1 2

53 Hit-or-miss -transformen

54 Hit-or-miss -transformen Karbonfiberarmert epoxy til bruk i missilskall.

55 Hit-or-miss -transformen Segmentering Karbonfiber Luftbobler Lim

56 Hit-or-miss -transformen Antall fiber? Fordeling (uniform)? Deformasjoner? Radius ca. 10 pixler

57 Hit-or-miss -transformen Første strukturelement: disk med diameter 17 pixler.

58 Hit-or-miss -transformen Første strukturelement: disk med diameter 17 pixler. Problem: Fibrene er ikke runde. Problem: Noen av fibrene inneholder hull. Problem: Neste trinn (erosjon med lokal bakgrunn) er meningsløst ettersom fibrene berører hverandre.

60 Tynning

61 Tynning Tynningen av et sett A med strukturlemenet B kan defineres ved hjelp av hit-or-miss transformen: A B=A-(A O* B) =A (A *O B) c For symmetrisk tynning brukes det typisk en sekvens av strukturelementer: {B}={B 1,B 2,B 3,...,B n } B i er en rotert versjon av B i-1. Tynning defineres nå som en sekvensiell operasjon: A {B}=((...((A *O B 1 ) *O B 2 )...) *O B n )

62 Tynning {B}={B 1,B 2,B 3,...,B n } B1 B1B B5 B5B B2 B2B B6 B6B B3 B3B B7 B7B B4 B4B B8 B8B

63 A Tynning A {B} B1 B1B {B} B5 B5B B2 B2B B6 B6B B3 B3B B7 B7B B4 B4B B8 B8B

65 Tykking Tykking er den morfologiske dualen til tynning: A B=A (A *O B) Som for tynning kan tykking defineres ved en sekvensiell operasjon: A {B}=((...((A B 1 ) B 2 )...) B n ) I praksis utføres tykking ved at komplementet til settet som skal tykkes, tynnes, resultatet av tynningen komplementeres for å få den endelige tykkingen. Altså: For å tykke A beregnes C=A c, C tynnes og til slutt beregnes C c.

67 Gråtonebilder Erosjon

68 Gråtonebilder Et bilde......kan betraktes som en intensitetsfunksjon f(x,y)

70 Dilasjon i gråtonebilder Dilasjon av en slik funksjon f(x,y) med b, f b, er definert ved: ( f b)(,) st = max{( fs xt, y) + bxy (, ) ( s x),( t y) D ;(, xy) D } der D f og D b er definisjonsområdene for henholdsvis f og b. b er fortsatt strukturelementet, men b er nå en funksjon og ikke et sett. f b

71 Dilasjon i gråtonebilder

72 Original Dilasjon i gråtonebilder Dilasjon

73 Dilasjon i gråtonebilder Original Dilasjon

75 Erosjon i gråtonebilder Erosjon av en funksjon f(x,y) med b, f b, er definert ved: ( fθ b)(,) st = min{( fs+ xt, + y) bxy (, ) ( s+ x),( t+ y) D ;(, xy) D } der D f og D b er definisjonsområdene for henholdsvis f og b. b er fortsatt strukturelementet, men b er nå en funksjon og ikke et sett. f b

76 Erosjon i gråtonebilder

77 Original Erosjon i gråtonebilder Erosjon

78 Erosjon i gråtonebilder Original Erosjon

80 Åpning og lukning i gråtonebilder Åpning og lukning av gråtonebilder er definert akkurat som for binære bilder (sett). Åpning: Lukning: f b = ( fθb) b f b = ( f b)θb

81 Åpning og lukning i gråtonebilder Original Åpning Lukning

82 Åpning og lukning i gråtonebilder Original Åpning Lukning