Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, ordinær eksamen
|
|
- Thoralf Slettebakk
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 00, ordinær eksamen 1. september 003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte grafdelingsproblemet (graph partitioning problem). Problemet kan enkelt formuleres som følger: Gitt en graf G(V,E) der V er settet av noder og E settet av kanter. Grafdelings-problemet består nå i å finne disjunkte subsett av noder fra V slik at antall kanter med noder i ulike subsett blir minimalt. Det balanserte grafdelingsproblemet (balanced graph partitioning problem) består i å gjøre en slik inndeling av noder der forskjellen i kardinalitet mellom det største og det minste subsettet er maksimalt 1. Når vi deler grafen i to subsett kalles gjerne problemet grafbiseksjonproblemet evt. grafbipartisjonsproblemet. Det er dette problemet vi skal ta for oss i denne oppgaven. Figuren under viser grafen vi ved flere anledninger tok for oss i forelesningene. Tallene ved hver node er denne nodens navn eller etikett. I denne grafen er det lett å se at dersom vi velger subsettene{0,1,5,6} og {,3,} utgjør disse subsettene av noder en grafbipartisjon for grafen i figuren. Vi vil lage en algoritme for grafbipartisjon basert på tabusøk. Dersom grafen består av n noder sier vi at en mulig løsning s er et binært n-tuppel. Løsningen s = [ ] (der n altså er 7) beskriver bipartisjonen for grafen over. Dersom element k i løsningen er 0 tilhører node k det ene settet, er k lik 1 tilhører node k det andre settet. For at en løsning s skal være gyldig må vi i tillegg kreve følgende: Dersom n er et oddetall: s[i] = n 1 i=0 eller s[i] = n+1 i=0 1 og n 3 (1)
2 Figur 1: Eksempel fra forelesningene. og dersom n er et partall: s[i] = n i=0 og n () Disse betingelsene sørger for at forskjellen i kardinalitet mellom det største og det minste subsettet blir maksimalt 1. Løs følgende oppgaver på bakgrunn av denne informasjonen: Deloppgave a Universet består av alle binære n-tupler som tilfredsstiller ligning 1 eller. Hvor mange slike n-tupler finnes det for en gitt n. Løsningsforslag deloppgave a La oss ta for oss de to tilfellene at n er et oddetall og n er et partall separat. Anta først at n er et partall: I dette tilfellet må alle løsninger tilfredsstille ligning, det vil si at n-tuplet må bestå av like mange elementer med verdien 0 som med verdien 1. For en gitt n finnes det eksakt: ( ) n n (3) mulige slike løsninger. Observer følgende: løsningene opptrer i par ettersom rollene til nullerne og enerne kan byttes om. For eksempel beskriver n-tuplene (med n = 8) [ ] og [ ] den samme løsningen, det vil si at de samme nodene inngår i hvert av de to subsettene. Derfor kan man si at antallet
3 mulige grafbipartisjoner er halvparten av antallet binære n-tupler som tilfredsstiller ligning () slik at antallet bipartisjoner må angis som: ) 1 n n () ( Her spørres det imidlertid om antallet binære n-tupler som tilfredsstiller ligning (). Anta nå at n er et oddetall: I dette tilfellet må alle løsninger tilfredsstille ligning 1. For en gitt n finnes det eksakt: ( ) ( ) ( ) n n n + n+1 = (5) mulige slike løsninger (nok en gang opptrer løsningene i par som forklart over) Deloppgave b Anta at naboene til en gitt løsning s består av alle ordnede n-tupler s slik at hammingavstanden mellom s og s minimalt er 1 og maksimalt er, det vil si: d ham (s,s ) = 1 eller d ham (s,s ) = (6) Hvor mange naboer har løsningen s for en gitt n? Løsningsforslag deloppgave b La oss ta for oss de to tilfellene at n er et oddetall og n er et partall separat. Anta først at n er et partall: I dette tilfellet vil løsningene s som utgjør nabolaget til s være alle de løsninger som har hammingavstand lik til den eksisterende løsningen s. Disse løsningene framkommer ved å la en vilkårlig 1 i s bytte plass med en vilkårlig 0 i s. Det finnes i alt n/ 0-elementer og tilsvarende n/ 1-elementer så vi har i alt: ( n n = ) (7) naboer. 3
4 Anta nå at n er et oddetall: I dette tilfellet vil løsningene s som utgjør nabolaget til s være alle de løsninger som har hammingavstand lik enten 1 eller til den eksisterende løsningen s. Løsningene med hammingavstand lik 1 til den eksisterende løsningen framkommer ved å la et 0-element bli et 1-element dersom i=0 s[i] = (n 1)/ og ved å la et 1-element bli et 0-element dersom i=0 s[i] = (n+1)/. Det finnes i alt (n+1)/ løsninger som har hammingavstand lik 1 til den eksisterende løsningen s. Løsningene med hammingavstand lik til den eksisterende løsningen framkommer som før ved å la et vilkårlig 1-element i s bytte plass med et vilkårlig 0- element i s. Det finnes i alt (n 1)/ elementer av den ene typen (enten 0 eller 1) og (n+1)/ elementer av den andre typen slik at det i alt finnes (()(n+1))/ elementer med hammingavstand lik til den eksisterende løsningen s. Alt i alt har derfor s: naboer. Deloppgave c (n 1)(n+1) + n+1 = (n+1) Skriv pseudokode for en algoritme som løser grafbipartisjonsproblemet basert på tabusøkstrategien. Du kan anta at følgende funksjonener er gitt: N=nGraphPart(s,L), som tar en gitt løsning s samt tabulisten L som argument og returnerer naboene til s untatt de som er på tabulisten L. C=cGraphPart(s,G), som tar en løsning s og grafen G som argument og som returnerer løsningens kostnad (kostnaden ved en løsning er antall kanter med en node i hvert av de to settene). tabugraphpart(s1,s,l) som legger endringen som skal til for å endre løsningen s1 til s inn i en tabuliste L med gitt lengde. Forklar hvordan algoritmen virker. (8) Løsningsforslag deloppgave c Løsningsstrategien vår er som følger: 1. Velg en vilkårlig løsning s som tilfredsstiller ligningene (1) eller () avhengig om n er et oddetall eller et partall. Dette er vår opprinnelige løsning X. Dette er også vår opprinnelige beste løsningx opt.
5 . Benytt C=cGraphPart(X opt,g) til å beregne kostnaden assosiert med X opt. Dette er vår opprinneligec opt. 3. Benytt funksjonen N=nGraphPart(X,L) til å generere alle ikke-tabu naboer til X.. Finn ved hjelp av C=cGrahPart(, ) den av naboene til X som gir lavest kostnad. Kall denne løsningen Y. 5. Legg endringen som skal til for å endre Y til X på tabulisten ved å kalle tabugraphpart(y,x,l). 6. Sett X = Y. 7. Dersom cgraphpart(x,g)<cgraphpart(x opt,g) setter vi X opt = X 8. Iterer fra 3 intil det maksimale antallet iterasjoner er nådd. Med denne strategien blir pseudokoden derfor som vist i figur. Merk at det selvfølgelig finnes mange varianter av denne og lignende strategier. Require: G,i max {ngraphpart(, ), cgraphpart(, ), tabugraphpart(,, ) er eksterne} 1: i 0 : L [ ] 3: X en gyldig løsning s fra universet : X opt X 5: C opt cgraphpart(x opt,g) 6: while i i max do 7: N ngraphpart(x,l) 8: Y den løsningen fra N med lavest kostnad 9: tabugraphpart(y, X, L) 10: X Y 11: if cgraphpart(x,g) < cgraphpart(x opt,g) then 1: X opt X 13: end if 1: i i+1 15: end while 16: return(x opt ) Figur : Pseudokode for løsning av graf bipartisjonsproblemet basert på tabusøk. 5
6 Deloppgave d Du betrakter et problem med n = 37 noder. Lengden av tabulisten er satt til L = 10. Du har logget antallet kanter mellom de to settene i partisjonen for hver iterasjon av algoritmen i 500 iterasjoner. Når du plotter dette får du følgende resultat: 35 Antall kanter mellom settene Iterasjon Figur 3: Antall kanter mellom de to settene plottet som funksjon av iterasjon. Hva har skjedd? Hvordan kan du prøve å løse dette problemet? Løsningsforslag deloppgave d På grunn av den korte tabulisten har algoritmen gått inn i en syklus. Det vil si at den besøker en fast sekvens av mulige løsninger. Algoritmen har da effektivt kjørt seg fast, og vil ikke lenger konvergere mot en bedre løsning. Den eneste måten å komme ut av dette problemet på er å øke lengden påtabulisten. Det finnes ingen generell regel for hvor lang denne må være, her må manprøve seg fram. Er den for kort oppstår det som i dette eksemplet lett sykler. Er den for lang vil for det første eksekveringstiden øke samtidig som antallet ikke-tabu løsninger blant naboene til en bestemt løsning s kan bli svært begrenset. 6
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen 14. september 2003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte maksimum-kutt problemet (maximum cut problem). Problemet
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder
Løsigsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder 6. mai 00 Iledig Vi skal betrakte det såkalte grafdeligsproblemet (graph partitioig problem). Problemet ka ekelt formuleres som følger: Gitt e graf
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2001, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 21, ordinær eksamen 14. september 23 Innledning En klikk i en graf G er en komplett subgraf av G. Det såkalte maksimum-klikk problemet består
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen 1. september 2003 Deloppgave a I denne oppgaven skal vi ta for oss isomorfismer mellom grafer. To grafer G og H
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, ordinær eksamen 14. september 2003 Deloppgave a 50-års jubileet for simulert størkning: I juni 1953 publiserte fire amerikanske fysikere,
DetaljerHeuristiske søkemetoder II
Heuristiske søkemetoder II Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 4. september 23 Plan Hva er en heuristisk søkealgoritme? Hvorfor heuristiske søkealgoritmer framfor tilbakenøsting?
DetaljerHeuristiske søkemetoder I: Simulert størkning og tabu-søk
Heuristiske søkemetoder I: Simulert størkning og tabu-søk Lars Aurdal Norsk regnesentral lars@aurdalweb.com Heuristiske søkemetoder I:Simulert størkning ogtabu-søk p.1/141 Hva er tema for disse forelesningene?
DetaljerHeuristiske søkemetoder I
Heuristiske søkemetoder I Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 14. september 2003 Plan Hva slags søkemetoder snakker vi om? Kombinatoriske strukturer. Sett. Lister. Grafer. Søkealgoritmer
DetaljerLøsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0
Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0
DetaljerHeuristiske søkemetoder II: Simulert størkning og tabu-søk
Heuristiske søkemetoder II: Simulert størkning og tabu-søk Lars Aurdal Norsk regnesentral lars@aurdalweb.com Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.1/141 Hva er tema for disse forelesningene?
DetaljerLøsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i fag TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Tirsdag 9. desember 2003, kl
TDT4120 2003-12-09 Stud.-nr: Antall sider: 1/7 Løsningsforslag for eksamen i fag TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Tirsdag 9. desember 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas,
DetaljerKONTROLLSTRUKTURER. MAT1030 Diskret matematikk. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer. Eksempel (Ubegrenset while-løkke)
KONTROLLSTRUKTURER MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 2: Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2008 Mandag innførte vi pseudokoder
DetaljerForelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer
Forelesning 2 Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann - 16. januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER Mandag innførte vi pseudokoder og kontrollstrukturer. Vi hadde tre typer grunn-instruksjoner:
DetaljerHeuristiske søkemetoder III
Heuristiske søkemetoder III Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 14. september 2003 Plan Eksempel: Bildebehandling, segmentering: Hva er segmentering? Klassisk metode, terskling.
DetaljerForelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11
Forelesning 33 Repetisjon Dag Normann - 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske repetisjonen av MAT1030. Det som gjensto var kapitlene 11 om trær og
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerInnledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon
Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerMAT1030 Forelesning 2
MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi
DetaljerMAT1030 Forelesning 28
MAT1030 Forelesning 28 Kompleksitetsteori Roger Antonsen - 12. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-13 08:12) Forelesning 28: Kompleksitetsteori Introduksjon Da er vi klare (?) for siste kapittel, om kompleksitetsteori!
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs
TDT4125 2010-06-03 Kand-nr: 1/5 Avsluttende eksamen i TDT4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs Eksamensdato 3. juni 2010 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 24. juni Språk/målform Bokmål Kontakt under
DetaljerOversikt. Heuristisk søk 1. Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk. Prinsipper og metoder
Oversikt Heuristisk søk Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Prinsipper og metoder Pål Sætrom Traveling sales person (TSP) Kombinatorisk optimering Trondheim
DetaljerLøsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:
Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 7. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To -ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl
SIF8010 2003-08-09 Stud.-nr: Antall sider: 1 Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf.
DetaljerEksamen i IN 110, 18. mai 1993 Side 2 Del 1 (15%) Vi skal se på prioritetskøer av heltall, der vi hele tiden er interessert i å få ut den minste verdi
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 18. mai 1993 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: IN 110 Algoritmer
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 18. august 2011 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 8. september Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerLO118D Forelesning 5 (DM)
LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en
DetaljerKøbenhavn 20 Stockholm
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 26. mai 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerLO118D Forelesning 9 (DM)
LO118D Forelesning 9 (DM) Grafteori 26.09.2007 1 Introduksjon 2 Veier og sykler 3 Hamiltonsykler og omreisende handelsmenn Graf, urettet Definisjon En graf (eller urettet graf) G består av en mengde V
DetaljerEKSAMEN med løsningsforslag
EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer:
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige
DetaljerForelesning 28. Grafer og trær, eksempler. Dag Normann - 5. mai Grafer og trær. Grafer og trær. Grafer og trær
Forelesning 28, eksempler Dag Normann - 5. mai 2008 I dag skal vi se på en rekke eksempeloppgaver, og gjennomgå løsningene på tavla. Alle eksemplene er oppgaver som ville kunne bli gitt til eksamen, enten
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
DetaljerStudentnummer: Side 1 av 1. Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005
Studentnummer: Side 1 av 1 Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005 Faglige kontakter under eksamen: Magnus Lie Hetland, Arne Halaas Tillatte hjelpemidler: Bestemt enkel
DetaljerMatematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015
Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 17. september 2015 Løsningsforslag 22. september 2015 Oppgave 1 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2} og C = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2,
DetaljerA study of different matching heuristics. Hovedfagspresentasjon Jan Kasper Martinsen
A study of different matching heuristics Hovedfagspresentasjon Jan Kasper Martinsen (janma@ifi.uio.no) Terminologi: Graf teori En graf består av et sett med noder Nodene er tilknyttet hverandre ved hjelp
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3380 Parallellprogrammering for naturvitenskapelige problemer Eksamensdag: 14. juni 2016 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 6: Ukeoppgaver fra kapittel 5 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. februar 2008 Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden
DetaljerSIF8010 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER
SIF8010 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER KONTINUASJONSEKSAMEN, 1999; LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 (12%) Anta at du skal lage et støtteprogram som umiddelbart skal varsle om at et ord blir skrevet feil under inntasting
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 2: Ukeoppgaver fra kapittel 1 & 2 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. januar 2008 Oppgave 1.1 Modifiser algoritmen fra 1.2.1 slik at
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 91851949 Eksamensdato 7. desember 2013 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode Målform/språk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamensdag: 14. desember 2015 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF2220
DetaljerEksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl
SIF8010 2003-08-09 Stud.-nr: Antall sider: 1 Eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 41661982; Magnus Lie
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 3: Ukeoppgaver fra kapittel 2 & 3 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 31. januar 2008 Oppgave 2.7 - Horners metode (a) 7216 8 : 7 8+2 58
DetaljerMAT1030 Forelesning 25
MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier
DetaljerHeuristisk søk 1. Prinsipper og metoder
Heuristisk søk Prinsipper og metoder Oversikt Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Traveling sales person (TSP) Tromsø Bergen Stavanger Trondheim Oppdal Oslo
DetaljerForelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 30: Kompleksitetsteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. mai 2008 Informasjon Det er lagt ut program for orakeltjenestene i MAT1030 denne
DetaljerForelesning 30. Kompleksitetsteori. Dag Normann mai Informasjon. Oppsummering
Forelesning 30 Kompleksitetsteori Dag Normann - 14. mai 2008 Informasjon Det er lagt ut program for orakeltjenestene i MAT1030 denne våren på semestersiden. Det blir ikke ordinære gruppetimer fra og med
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 13: Dynamisk programmering (Ifi, UiO) INF2220 H2017, forelesning 13 1 / 30 Dagens plan Dynamisk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF 110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag : Lørdag 8. desember 2001 Tid for eksamen : 09.00-15.00 Oppgavesettet er på
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 24: Grafer og trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 21. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-21 12:55) MAT1030 Diskret Matematikk 21.
DetaljerForelesning 24. Grafer og trær. Dag Normann april Vektede grafer. En kommunegraf
Forelesning 24 Grafer og trær Dag Normann - 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og Eulerstier Hamiltonkretser Minimale utspennende trær. Vi skal nå se
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF2220 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 16. desember 2013 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerEksamen iin115, 14. mai 1998 Side 2 Oppgave 1 15 % Du skal skrive en prosedyre lagalle som i en global character array S(1:n) genererer alle sekvenser
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 14. mai 1998 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg:
DetaljerVektede grafer. MAT1030 Diskret matematikk. En kommunegraf. En kommunegraf. Oppgave
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og
DetaljerEksamen MAT H Løsninger
Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F
DetaljerIN 115 Fasitforslag til Eksamen 1997 Omskrevet til Java. 1. april 2000
IN 115 Fasitforslag til Eksamen 1997 Omskrevet til Java 1. april 2000 1 2 Oppgave 1 1-a 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 6 0 1 2 3 4 4 1 2 3 4 Figur
DetaljerR for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.
Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk
DetaljerR for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.
Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag. med forbehold om bugs :-)
1 EKSAMEN Løsningsforslag med forbehold om bugs :-) Emnekode: ITF20006 000 Dato: 20. mai 2011 Emne: Algoritmer og datastrukturer Eksamenstid: 09:00 til 13:00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater
DetaljerObligatorisk oppgave 2 i MAT1140, Høst Løsninger og kommentarer
Obligatorisk oppgave 2 i MAT1140, Høst 2014. Løsninger og kommentarer Dette vil ikke være et løsningsforslag i vanlig forstand, men en diskusjon av oppgavene, av hvordan studentene løste dem og av diverse
DetaljerLO118D Forelesning 10 (DM)
LO118D Forelesning 10 (DM) Grafteori 03.10.2007 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer Korteste vei I en vektet graf går det an å finne den veien med lavest total kostnad
DetaljerLøsningsforslag - Korteste vei
Sist endret: 17.08.2010 Hovedside FAQ Beskjeder Timeplan Ukeplan Øvinger Gruppeøving Eksamensoppgaver Pensum Løsningsforslag - Korteste vei [Oppgave] [Levering] [Løsningsforslag] Innleveringsfrist: 21.10.2011
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 91851949 Eksamensdato 11. august 2014 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode D. Ingen
DetaljerDijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert.
Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi
Detaljer45011 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag eksamen 13. januar 1992
45011 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag eksamen 13. januar 12 Oppgave 1 Idé til algoritme Benytter S n som betegn på en tallmengde med n elementer. For at et tall m skal være et majoritetstall
DetaljerLøsnings forslag i java In115, Våren 1998
Løsnings forslag i java In115, Våren 1998 Oppgave 1 // Inne i en eller annen klasse private char S[]; private int pardybde; private int n; public void lagalle(int i) if (i==n) bruks(); else /* Sjekker
DetaljerLØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 8 Faglig kontakt under eksamen: Magnus Lie Hetland LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER
DetaljerG høgskolen i oslo. Emnekode:!;_unstiq intelliqens lv 145A Gruppe(r) : Dato: Tillatte
I Emne: G høgskolen i oslo Emnekode:!;_unstiQ intelliqens lv 145A Gruppe(r) : Dato: 23.04.04 Tillatte Antall sider (inkl. Antall oppgaver: hjelpemidler: forsiden): 5 3 Inoen Faglig veileder: Eva Vihovde
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 7 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerMinimum spenntrær. Lars Vidar Magnusson Kapittel 23. Kruskal Prim
Minimum Spenntrær Lars Vidar Magnusson 2.4.2014 Kapittel 23 Minimum spenntrær Kruskal Prim Minimum Spenntrær Et spenntre er et tre som spenner over alle nodene i en graf G = (V, E). Et minimum spenntre
DetaljerLøsningsforslag til INF110 h2001
Løsningsforslag til INF110 h2001 Eksamen i : INF 110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag : Lørdag 8. desember 2001 Tid for eksamen : 09.00-15.00 Oppgavesettet er på : 5 sider inkludert vedlegget Vedlegg
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamensdag: 14. desember 2012 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF2220
DetaljerRepetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon
Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og
DetaljerMAT1030 Forelesning 25
MAT1030 Forelesning 25 Trær Roger Antonsen - 29. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-29 00:28) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende. Eulerstier
DetaljerForelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet
Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT30 Diskret matematikk Plenumsregning 6: Ukeoppgaver fra kapittel Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo. februar 008 Oppgave. Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle
DetaljerEkstra ark kan legges ved om nødvendig, men det er meningen at svarene skal få plass i rutene på oppgavearkene. Lange svar teller ikke positivt.
Side 1 av 5 Noen viktige punkter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamenssettet nøye før du begynner! Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svarene dine i svarrutene
DetaljerGrunnleggende Grafalgoritmer II
Grunnleggende Grafalgoritmer II Lars Vidar Magnusson March 17, 2015 Kapittel 22 Dybde-først søk Topologisk sortering Relasjonen til backtracking Dybde-Først Søk Dybde-først søk i motsetning til et bredde-først
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 918 51 949 Eksamensdato 4. desember, 2017
DetaljerFASIT/LF FOR EKSAMEN TMA4140, H07
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 FASIT/LF FOR EKSAMEN TMA440, H07 Oppgave (0%) Benytt matematisk induksjon til å vise at for alle heltall n. n i i!
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerNorsk informatikkolympiade runde
Norsk informatikkolympiade 2016 2017 1. runde Sponset av Uke 46, 2016 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 7. desember, 06 Eksamenstid
DetaljerI Kapittel 3 så vi på hvordan data, som hele tall og reelle tall, kan representeres som bitsekvenser
Forelesning 5 Logikk Dag Normann - 28. januar 2008 Oppsummering av Kapittel 3 I Kapittel 3 så vi på hvordan data, som hele tall og reelle tall, kan representeres som bitsekvenser i en datamaskin. Stoffet
DetaljerMatematisk morfologi IV
Matematisk morfologi IV Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no. desember 3 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag Geodesi-transformasjoner: Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon.
DetaljerForelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 25 29. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-29 00:28) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 6: Grafer Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 6 1 / 31 Dagens plan:
DetaljerDijkstras algoritme Spørsmål
:: Forside s algoritme Åsmund Eldhuset asmunde *at* stud.ntnu.no folk.ntnu.no/asmunde/algdat/dijkstra.pdf :: Vi er ofte interessert i å finne korteste, raskeste eller billigste vei mellom to punkter Gods-
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!
DetaljerKompleksitet og Beregnbarhet
Kompleksitet og Beregnbarhet 16. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Avgjørelsesproblemer. P EXPTIME NP Reduksjoner NP-kompletthet Uavgjørbarhet UNDECIDABLE DECIDABLE PSPACE NPC NP
DetaljerEKSAMEN. Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Kalkulator Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
Detaljer