Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på den deriverte til å finne f (x). c) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til toppunktet til grafen. Finn også ykoordinaten til toppunktet Oppgave Gitt funksjonen f(x) = x + 8. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på den deriverte til å finne f (x). c) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til bunnpunktet til grafen. Finn også ykoordinaten til toppunktet Oppgave 3 Gitt funksjonen f(x) = x 4x + 3. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på den deriverte til å finne f (x). c) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til bunnpunktet til grafen. Finn også ykoordinaten til toppunktet d) Hva er stigningstallet til f(x) når 1? Finn ligningen til tangenten til grafen når 1. Oppgave 4 Gitt funksjonen f(x) = x + 5x 6. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på den deriverte til å finne f (x). c) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til bunnpunktet til grafen. Finn også ykoordinaten til toppunktet d) Hva er stigningstallet til f(x) når? Finn ligningen til tangenten til grafen når.
Oppgave 5 (*) Gitt funksjonen f(x) = x 3 3x a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på den deriverte til å finne f (x). c) Bruk den deriverte til å finne x-koordinatene til bunnpunktet og toppunktet til grafen. Finn også y-koordinatene til disse to punktene. Oppgave 6 Gitt funksjonen g(x) = x 3 3x 36x +. a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Hva er stigningstallet til g(x) når 1? Finn ligningen til tangenten til grafen når 1. d) Skisser g(x) på bakgrunn av opplysningene fra spørsmål b) Oppgave 7 Gitt funksjonen f(x) = x 3 3x 9x + 4. a) Finn f (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Hva er stigningstallet til f(x) når? Finn ligningen til tangenten til grafen når. d) Skisser f(x) på bakgrunn av opplysningene fra spørsmål b)
Oppgave 8 Gitt funksjonen f(x) = x 3 3x + 45x + 3. a) Finn f (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) I to av punktene på grafen er stigningstallet til tangenten 7. Finn disse to punktene og finn også likningen til tangenten i disse to punktene. d) Skisser f(x) på bakgrunn av opplysningene fra spørsmål b) Oppgave 9 (*) Gitt funksjonen f(x) = 3x 4 4x 3 1x + 10 a) Finn f (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Skisser f(x) på bakgrunn av opplysningene fra spørsmål b)
Fasit Oppgave 1 a) Vi setter f(x) = 0 x + 4 = 0 x = 4 ± 4 = ± b) Vi regner først ut f(x + ) f(x) (x + ) + 4 ( x + 4) (x + x + () ) + 4 + x 4 x x () + 4 + x 4 x () x Når 0 finner vi den deriverte. I dette tilfellet blir f (x) = x c) Vi finner toppunktet ved å sette f (x) = 0. Vi setter 0 som medfører at 0. Tilhørende y verdi blir 4. Toppunktet har med andre ord koordinatene (0,4) Oppgave a) Vi setter f(x) = 0 x + 8 = 0 x = 8 ± 8 og det er jo ikke mulig. Med andre ord har den ingen nullpunkt
b) Vi regner først ut f(x + ) f(x) (x + ) + (x + 8) x + x + () + 8 x 8 x + () x + Når 0 finner vi den deriverte. I dette tilfellet blir f (x) = x c) Vi finner bunnpunktet ved å sette f (x) = 0. Vi setter 0 som medfører at 0. Tilhørende y verdi blir 8. Bunnpunktet har med andre ord koordinatene (0,8) Oppgave 3 a) Vi setter f(x) = 0 x 4x + 3 = 0 ( 4) ( 4) 4 1 3 1 4 16 1 4 4 1 eller 3 = 4 b) Vi regner først ut f(x + ) f(x)
(x + ) 4(x + ) + 3 (x 4x + 3) x + x + () 4x 4 + 3 x + 4x 3 x + () 4 x + 4 Når 0 finner vi den deriverte. I dette tilfellet blir f (x) = x 4 c) Vi finner bunnpunktet ved å sette f (x) = 0. Vi setter x 4 = 0 som medfører at. Tilhørende y verdi blir 1. Bunnpunktet har med andre ord koordinatene (, 1) d) Vi setter 1 inn i den deriverte. Det gir oss f (1) = 1 4 = Tangenten har er en rett linje og kan derfor skrives på formen y = ax + b Her vet vi at a =. Det gir y = x + b Vi må bestemme b. Vi må først finne et punkt på linjen. Vi setter 1 inn i funksjonen for å finne tilhørende y verdi f(1) = 1 4 1 + 3 = 0 Med andre ord, tangenten går gjennom punktet (1,0) 0 = 1 + b b = Linjen til tangenten blir derfor y = x +
Oppgave 4 a) Vi setter f(x) = 0 x + 5x 6 = 0 5 5 4 ( 1) ( 6) ( 1) 5 5 4 5 1 eller 3 b) Vi regner først ut f(x + ) f(x) = 5 1 (x + ) + 5(x + ) 6 ( x + 5x 6) x x () + 5x + 5 6 + x 5x + 6 x () + 5 x + 5 Når 0 finner vi den deriverte. I dette tilfellet blir f (x) = x + 5 c) Vi finner toppunktet ved å sette f (x) = 0. Vi setter x + 5 = 0 som medfører at,5. Tilhørende y verdi blir f(,5) =,5 + 5,5 6 = 0,5 Toppunktet har med andre ord koordinatene (.5, 0.5) d) Vi setter inn i den deriverte. Det gir oss f (1) = + 5 = 1
Tangenten har er en rett linje og kan derfor skrives på formen y = ax + b Her vet vi at a = 1. Det gir y = x + b Vi må bestemme b. Vi må først finne et punkt på linjen. Vi setter inn i funksjonen for å finne tilhørende y verdi f(1) = + 5 6 = 0 Med andre ord, tangenten går gjennom punktet (,0) 0 = + b b = Linjen til tangenten blir derfor y = x Oppgave 5 a) Vi setter f(x) = 0 x 3 3 0 x(x 3) = 0 0 eller x 3 = 0 0 eller 3 b) Vi regner først ut f(x + ) f(x) (x + ) 3 3(x + ) (x 3 3x) (x + x + () (x + ) 3x 3 x 3 + 3x
x 3 + x + x() + x + x() + () 3 3x 3 x 3 + 3x 3x + 3x() + () 3 3 3x + 3x + () 3 Når 0 finner vi den deriverte. I dette tilfellet blir f (x) = 3x 3 c) Vi finner topp og bunnpunktet ved å sette f (x) = 0. Vi setter 3x 3 = 0 som medfører at x 1 = 0. Dette medfører at 1 eller at 1 Tilhørende y verdier blir henholdsvis og. Toppunktet har med andre ord koordinatene ( 1,) og bunnpunktet har med andre ord koordinatene (1, ) Oppgave 6 a) Den deriverte er g (x) = 6x 6x 36 b) Vi setter g (x) = 0. Det gir oss 6x 6x 36 = 0 x x 6 = 0 ( 1) ( 1) 4 1 ( 6) 1 1 1 + 4 1 5 eller 3 = 1 5 Vi finner de tilhørende y verdiene y = ( ) 3 3 ( ) 36 ( ) + = 46 3 y = 3 3 3 3 36 3 + = 79
Det medfører at vi har et toppunkt i punktet (, 46) og et bunnpunkt i punktet (3, 79) c) Vi setter 1 inn i den deriverte. Det gir oss f (1) = 6 1 6 1 36 = 36 Tangenten har er en rett linje og kan derfor skrives på formen y = ax + b Her vet vi at a = 36. Det gir y = 36x + b Vi må bestemme b. Vi må først finne et punkt på linjen. Vi setter 1 inn i funksjonen for å finne tilhørende y verdi g(1) = 1 3 3 1 36 1 + = 35 Med andre ord, tangenten går gjennom punktet (1, 35) 35 = 36 1 + b b = 1 Linjen til tangenten blir derfor y = 36x + 1 d) Nedenfor er grafen vist i GeoGebra
Oppgave 7 a) Den deriverte er f (x) = 3x 6x 9 b) Vi setter f (x) = 0. Det gir oss 3x 6x 9 = 0 x x 3 = 0 ( ) ( ) 4 1 ( 3) 1 4 + 1 16 1 eller 3 = 4 Vi finner de tilhørende y verdiene 1 y = ( 1) 3 3 ( 1) 9 ( 1) + 4 = 9 3 y = 3 3 3 3 9 3 + 4 = 3 Det medfører at vi har et toppunkt i punktet ( 1, 9) og et bunnpunkt i punktet (3, 3) c) Vi setter inn i den deriverte. Det gir oss f ( 1) = 3 ( ) 6 ( ) 9 = 15 Tangenten har er en rett linje og kan derfor skrives på formen y = ax + b Her vet vi at a = 15. Det gir y = 15x + b Vi må bestemme b. Vi må først finne et punkt på linjen. Vi setter inn i funksjonen for å finne tilhørende y verdi f( ) = ( ) 3 3 ( ) 9 ( ) + 4 = Med andre ord, tangenten går gjennom punktet (,)
= 15 ( ) + b b = 3 Linjen til tangenten blir derfor y = 15x + 3 d) Nedenfor er grafen vist i GeoGebra Oppgave 8 a) Den deriverte er f (x) = 3x 6x + 45 b) Vi setter f (x) = 0. Det gir oss 3x 6x + 45 = 0 x + x 15 = 0 4 1 ( 15) 1 4 + 60 64 5 eller 3 = 8 Vi finner de tilhørende y verdiene
5 y = ( 5) 3 3 ( 5) + 45 ( 5) + 3 = 17 3 y = 3 3 3 3 + 45 3 + 3 = 84 Det medfører at vi har et toppunkt i punktet (3, 84) og et bunnpunkt i punktet ( 5, 17) c) Vi setter f (x) = 7. Det gir oss 3x 6x + 45 = 7 x + x 15 = 9 x + x 4 = 0 4 1 ( 4) 1 4 + 96 100 6 eller 4 = 10 Vi må deretter finne tangentene i disse to punktene. Vi starter med punktet 6 Tangenten er en rett linje og kan derfor skrives på formen y = ax + b Her vet vi at a = 7. Det gir y = 7x + b Vi må bestemme b. Vi må først finne et punkt på linjen. Vi setter 6 inn i funksjonen for å finne tilhørende y verdi f( 6) = ( 6) 3 3 ( 6) + 45 ( 6) + 3 = 159 Med andre ord, tangenten går gjennom punktet ( 6, 159) 159 = 7 ( 6) + b b = 31 Linjen til tangenten blir derfor y = 7x 31
Vi tar deretter punktet 4 Tangenten er en rett linje og kan derfor skrives på formen y = ax + b Her vet vi at a = 7. Det gir y = 7x + b Vi må bestemme b. Vi må først finne et punkt på linjen. Vi setter 4 inn i funksjonen for å finne tilhørende y verdi f(4) = 4 3 3 4 + 45 4 + 3 = 71 Med andre ord, tangenten går gjennom punktet (4,71) 71 = 7 4 + b b = 179 Linjen til tangenten blir derfor y = 7x + 179 d) Nedenfor er grafen vist i GeoGebra
Oppgave 7 a) Den deriverte er f (x) = 1x 3 1x 4x b) Vi setter f (x) = 0. Det gir oss 1x 3 1x 4 0 x 3 x 0 Vi setter 0 utenfor en parentes. Det gir oss x(x x ) = 0 Vi ser at 0 er en løsning. Den andre finner vi ved å sette x x = 0 ( 1) ( 1) 4 1 ( ) 1 1 4 + 8 1 9 = 1 3 1 eller Vi finner de tilhørende y verdiene 1 y = 3( 1) 4 4 ( 1) 3 1 ( 1) + 10 = 5 0 y = 3 0 4 4 0 3 1 0 + 10 = 10 y = 3 4 4 3 1 + 10 = Det medfører at vi har et toppunkt i punktet (0, 10) og et bunnpunkt i punktet ( 1, 5) og et bunnpunkt i punktet (, ) c) Grafen er vist på neste side og er tegnet i GeoGebra