SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund

SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund Igjen har vi en eksamensoppgave som ligger veldig nær noe som står under Applications i boka, nemlig 4.B4 og oppgave 13 til kapittel 4. Boka bruker toppskrift G der vi bruker H, og B der vi bruker L. Jeg reproduserer ikke figurene 4.22 og 4.23 fra boka, men skal prøve å forklare hva de dreier seg om. Som forrige gang skal vi prøve å illustrere deltakerbetingelsen og insentivbetingelsen grafisk. I figurene er kvaliteten q avmerket langs horisontal akse, mens prisen p er avmerket langs vertikal akse. Av en eller annen grunn peker denne nedover, selv om p-ene er positive. For en bestemt konsument med en bestemt verdi av k, entenk H eller k L, vil nytten av å kjøpe en viss vare avhenge av (bare) de to variablene som inngår i diagrammet, q og p. Nyttefunksjonen er kq p. (I boka ser det litt mer komplisert ut i teksten, men det hele koker ned til at dette er bidraget (til nytten) av å kjøpe kvalitet q til pris p.) Forhverav de to k-verdiene kan vi dermed tegne inn indifferenskurver i diagrammet. Indifferenskurver for H-kundene er gitt ved at disse er indifferente mellom to tilbud hvis k H q 1 p 1 = k H q 2 p 2 som medfører k H (q 1 q 2 )=p 1 p 2. Dette vil si linjer i diagrammet med stigningstall k H. (Jeg kaller dette stigningstall k H,selv om det strengt tatt bare er riktig hvis vi speilvender figuren i boka rundt den horisontale aksen, slik at p-aksen peker oppover i stedet for nedover.) Spesielt finner vi indifferenskurven for nyttenivå nullvedå sette f.eks. p 2 = q 2 = 0 (som gir null nytte), og da finner vi p 1 = k H q 1. Dette er altså reservasjons-indifferenskurven, som går gjennom origo og punktet E i figur 4.22. Alle punkter mellom denne og q-aksen vil være attraktive kontrakter for H-kundene. I den neste figuren, figur 4.23, er det også tegnet inn en annen indifferenskurve for H-kundene, gjennom punktene H og G. Tilsvarende vil L-kundene ha indifferenskurver som er rette linjer med stigningstall k L. Reservasjons-indifferenskurven for disse kundene går gjennom origo og punktet F, og alle punkter mellom denne linja og q-aksen er attraktive for L-kundene. (a) Bedriften skal maksimere p c(q) når den greier å diskriminere perfekt mellom kundetypene, og disse ikke har mulighet for videresalg seg imellom. Det siste er realistisk for tjenester, men ikke så realistisk for varer. Siden bedriften ikke trenger å la kundene sitte igjen med noen netto nytte her, kan den for hver kunde velge en pris på reservasjons-indifferenskurven for vedkommende kunde. Uansett hvilken kvalitet bedriften tilbyr kunden, vil dette være den høyeste prisen den kan få kunden til å betale, men det er under disse forutsetningene ingen grunn til å gi kunden noe bedre tilbud. Det betyr at bedriften velger mellom kombinasjoner (q, p) langs de to rette linjene k H q og k L q i diagrammet i figur 4.22, den ene for H-kunder og den andre for L-kunder. For hver av disse blir valget gjort for å maksimere p c(q), og dette oppnås for en q som gjør den vertikale avstanden mellom kq og c(q) så stor som mulig. Det oppnås m.a.o. for H-kundene der k H = c (q), og for L-kundene der k L = c (q). Disse tangeringsbetingelsene er vist i figur 4.22. 1

Selv om c-funksjonen er positiv, voksende og konveks, er det slett ikke sikkert at det fins q-verdier der disse betingelsene blir oppfylt. Siden c eksisterer og er strengt positiv (ifølge oppgaveteksten), er c kontinuerlig og strengt voksende. Figur 4.22 viser det mest nærliggende tilfellet der c <k L for små q og c >k H for store q. Vi skal forutsette at dette gjelder. Det neste spørsmålet dreier seg om hva kundene vil gjøre hvis disse to (q, p)-parene blir tilbudt, og kundene blir i stand til å lure bedriften, d.v.s. kjøpe varer som er beregnet på den andre kundegruppen. Dette må betraktes som et rent hypotetisk spørsmål, eller spørsmål om atferd utenfor likevekt, siden vi i denne omgangen forutsetter at bedriftens tilbud er upåvirket av at den ikke greier å sortere kundene. Det er klart fra figuren at H-kundene vil ha noe å vinne påå velge kontrakten beregnet på L-kundene, siden denne ligger et stykke ovenfor reservasjons-indifferenskurven for H- kundene. H-kundene oppnår derved et strengt positivt nyttenivå. Motsatt vei er det ikke noeå vinne påå lure bedriften, siden kontrakten beregnet påh-kundene ikke gir L-kundene noen nytteforbedring; tvert imot. Begge kundegrupper vil altså foretrekke kontrakten beregnet på L-kundene. (b) Nå er vi over i den situasjonen som kalles ugunstig utvalg ( adverse selection ). Vi leter etter en separerende likevekt, d.v.s. en likevekt der hver kundegruppe velger en kontrakt beregnet på den gruppen, og disse kontraktene er forskjellige. Vi blir bedt om å skrive opp deltaker- og insentivforenlighetsbetingelsene, d.v.s. med formler. Jeg skal også forklare hvordan disse ser ut i figurene. Deltakerbetingelsene har vi allerede sett på, nemlig de to rette linjene i figur 4.22. For H-kundene er betingelsen mens L-kundene har betingelsen k H q H p H 0, (1) k L q L p L 0, (2) der toppskriftene på q og p markerer hvilken kundegruppe kontrakten gjelder for. Insentivforenlighetsbetingelsene skal sikre at kundegruppene foretrekker egen kontrakt framfor den andre. Disse blir og Jeg skal komme tilbake til hvordan (3) ser ut i figuren. Maksimeringsproblemet blir k H q H p H k H q L p L, (3) k L q L p L k L q H p H. (4) max γ(ph c(q H )) + (1 γ)(p L c(q L )), q L,q H,p L,p H gitt (1), (2), (3) og (4). Lagrangefunksjonen blir L = γ(p H c(q H )) + (1 γ)(p L c(q L )) + λ 1 (k H q H p H )+λ 2 (k L q L p L ) +µ 1 (k H q H p H k H q L + p L )+µ 2 (k L q L p L k L q H + p H ). 2

Dette er et ikke-lineært programmeringsproblem, jfr. Sydsæter, Strøm og Berck, 3. utg. 1998, formel 15.13 og 15.14. (Hvis vi skal sikre oss at λ-ene og µ-ene ikke blir negative, må vi passe på fortegnene i Lagrange-funksjonen. I formel 15.14 står det minus foran λ-ene, men de uttrykkene som kommer i parentes etterpå, er skrevet opp slik at de skal være mindre enn eller lik null. I min formulering ovenfor er uttrykkene som kommer i parentes, skrevet slik at de skal være større enn eller lik null, og da må det stå pluss foran multiplikatorene.) Førsteordensbetingelsene er formulert i formel 15.15 (evt. også 15.16), bortsett fra punkt 15.15 (c), som er en andreordensbetingelse. Vi nøyer oss med åsepå førsteordensbetingelsene. Blant annet har vi de vanlige betingelsene for de partielt deriverte av Lagrangefunksjonen: p = γ λ H 1 µ 1 + µ 2 =0, p =1 γ λ L 2 + µ 1 µ 2 =0, q = H γc H + λ 1 k H + µ 1 k H µ 2 k L =0, og q = (1 L γ)c L + λ 2 k L µ 1 k H + µ 2 k L =0. Her er c H en forkortet skrivemåte for c (q H ), og tilsvarende for c L. Men det som skiller et Kuhn-Tucker-problem fra et vanlig Lagrange-problem, er at vi også tillater at bibetingelsene er oppfylt med (streng) ulikhet, ikke bare med likhet. Nåvet vi ikke på forhånd hvilke av bibetingelsene som er oppfylt med likhet i maksimumspunktet. En bibetingelse som ikke er oppfylt med likhet i maksimumspunktet, vil ikke ha noen effekt på løsningen, i den forstand at en liten endring i bibetingelsen ikke vil påvirke løsningen. Derfor er Lagrange-multiplikatoren for en slik bibetingelse lik null. Dette er uttrykt i 15.15 (b) eller i 15.16 (b ), som for øvrig også uttrykker at fortegnene i Lagrange-funksjonen er definert slik at alle multiplikatorene blir større enn eller lik null. For å lete etter en løsning, må en generelt ta høyde for at en hvilken som helst kombinasjon av de fire bibetingelsen kan være bindende, d.v.s. oppfylt med likhet, i maksimumspunktet. Hvis vi ikke hadde hatt noen peiling på hva løsningen kunne være, måtte vi altså prøve ut alle seksten muligheter. For hvert utvalg av ikke-bindende bibetingelser får vi at de tilsvarende Lagrange-multiplikatorene blir null. Dette hjelper oss til å løse likningssystemet, som består av de fire førsteordensbetingelsene ovenfor pluss de bibetingelsene som er bindende. Hvis for eksempel bare den første bibetingelsen er bindende i maksimumspunktet, får vi fem likninger i de fem ukjente p H,p L,q H,q L,λ 1, mens de tre øvrige multiplikatorene er null. Siden vi kjenner strukturen i problemet og har en figur til å hjelpe oss, kan vi raskt finne ut hvilke bibetingelser som er bindende i maksimumspunktet. Figur 4.23 illustrerer en løsning, der punktet G er den optimale (q H,p H ), mens punktet H er den optimale (q L,p L ). Vi kjenner igjen følgende egenskap fra oppgave 8: For at H-kundene ikke skal velge den kontrakten som er beregnet på L-kundene, må kontrakten for H-kundene gjøres så mye 3

gunstigere for dem at den, for H-kundene, er minst like gunstig som kontrakten beregnet på L-kundene. Nå kunne en først ha tenkt seg å gjøre dette ved å holde kontrakten for L-kundene fast i punktet F i figuren, som i del (a) av oppgaven. Vi kunne ha trukket en indifferenskurve for H-kundene gjennom dette punktet, altså en linje parallell med linja fra origo gjennom E. Så kunne bedriften ha valgt det punktet på denne linja som gir maksimal profitt. Men i stedet ser vi i figur 4.23 at det tilbys en endret kontrakt til L-kundene, nemlig punktet H i stedet for F. Dette gjøres fordi en da ikke trenger gi en så gunstig kontrakt til H-kundene, men isolert sett må bedriften gi opp noe profitt på L-kontrakten for å oppnå dette. Dette tas imidlertid igjen i bedre profitt på H-kontrakten. For å karakterisere de optimale (profitt-maksimerende) kontraktene i punkt (b), må vi først finne ut hvilke bibetingelser som vil være bindende i løsningspunktet. Betingelsen (1) er ikke bindende, siden H-kundene får et tilbud som er (strengt) bedre for dem enn reservasjonsnytten deres. Dette må nødvendigvis skje hvis bedriften skal selge til begge kundegrupper: Hvis H-kundene fikk et tilbud på linja gjennom origo og punktet E, ville den indifferenskurven som illustrerer betingelsen (3), være den samme linja gjennom origo og E, og det betyr at L-kundene måtte ha fått et tilbud på denne linja (eller til venstre for den) for at ikke H-kundene skulle velge dette tilbudet. Men for at L-kundene skulle akseptere dette tilbudet, måtte tilbudet til dem i så fall være i origo (jfr. L-kundenes reservasjons-linje). Dette kunne være en mulig løsning, med de tre første bibetingelsene oppfylt med likhet. Vi skal se nærmere på dette helt til slutt i dette løsningsforslaget. Men la oss i stedet lete etter en løsning der bedriften selger til begge typer kunder. Da er altså bibetingelsen (1) ikke bindende, slik at λ 1 =0. Derimot kan vi trygt anta at bibetingelsen (2) binder, slik at λ 2 > 0, for det er ikke noe å vinne for bedriften ved ågilkundene noen høyere nytte enn reservasjonsnytten. Insentivbetingelsen (3) for H-kundene vil binde, mens den for L-kundene, (4), er helt uaktuell så lenge (2) binder ( ellers måtte H-kundene ha fått et tilbud som også låpå linja gjennom origo og punktet F). Vi antar derfor at µ 1 > 0, µ 2 =0. Fra de to bindende bibetingelsene (2) og (3) finner vi direkte at p H = k H q H (k H k L )q L, som det er spurt etter i oppgaveteksten. Siden p L = k L q L, kan dette for øvrig formuleres som en betingelse på stigningstallet på den linja som går gjennom de to kontraktene, k H = ph p L q H q L, jfr. det som er sagt ovenfor om H-kundenes indifferenskurver. Om vi setter λ 1 = µ 2 = 0 inn i førsteordensbetingelsene, får vi γ = µ 1, λ 2 =1,k H = c H, og q L bestemmes av c L = 1 1 γ (kl γk H )=k L γ 1 γ (kh k L ). (5) Dette er det spurt etter i oppgaveteksten. Den siste omformuleringen får fram avviket mellom løsningen i del (a) og denne løsningen. Vi ser at avviket er større (i absoluttverdi) 4

når γ er stor, og når det er stor forskjell på verdsettingen av kvalitet. Altså: Tilbudet til L-kundene blir påvirket mer jo større og jo mer forskjellig den andre kundegruppen er. Det virker rimelig. Det er fornuftig å tenke gjennom, for hver ny likning vi kommer fram til, om denne virkelig kan gjelde for alle de parameterverdiene som hittil har vært gyldige i diskusjonen vår. (Vi har hittil k H >k L > 0, γ (0, 1), og alle p, q ikke-negative. c-funksjonen er positiv, voksende og konveks.) Likning (5), som også står i oppgaveteksten, gjelder imidlertid ikke for alle parameterverdier og funksjonsformer. Vi ser at høyre side kan bli negativ, og da fins det ikke noen q L som oppfyller betingelsen. Faktisk må vi sette en litt strengere begrensning enn at høyresiden i (5) er positiv, for det fins en laveste verdi av grensekostnaden c, nemlig c (0) (siden c-funksjonen er konveks). Vi ser at for åfåbestemt q L fra likning (5), må viha 1 1 γ (kl γk H ) c (0) γ kl c (0) k H c (0). Dette er ulikheter i eksogent gitte størrelser, så hvis de ikke er oppfylt, kan vi ikke lete etter noen løsning basert på den oppgitte førsteordensbetingelsen. I slutten av dette løsningsforslaget kommer jeg tilbake til hva som skjer hvis disse ulikhetene ikke er oppfylt. Men som nevnt foran, skal jeg i hele dette løsningsforslaget anta at 0 c (0) <k L, slik det også er vist i figur 4.23. I del (c) av oppgaven er c (0) = 0, men generelt kan vi gjerne ha c (0) > 0. Siden k H = c H, vil tilbudet til H-kundene ha samme kvalitet som før. Når L-kundene får lavere kvalitet, betyr det altså at kvalitetsspredningen er større. Forklaringen er at det er dette som skal føre til at H-kundene velger den kontrakten som er tiltenkt dem. De kan riktignok spare penger pååvelgedendårligere kvaliteten, men nå erp H såpass mye lavere enn før at det ikke er nok å spare. Vi har funnet en separerende likevekt. (c) Vi skal regne ut løsningene for gitte parameterverdier og gitt c-funksjon. Grensekostnadsfunksjonen blir c (q) =q. Løsningen fra del (a), der bedriften kan sortere kundene, blir bestemt av c (q L )=k L, som nå kan skrives q L = k L =2,ogp L = q L k L =4,ogc (q H )=k H,somnå kan skrives q H = k H =3,ogp H = q H k H = 9. Bedriftens profitt blir γ(p H c(q H )) + (1 γ)(p L c(q L )) = 1 2 (9 1 2 32 +4 1 2 22 )= 13 4. Løsningen fra del (b), der bedriften ikke kan sortere kundene, blir bestemt av c (q L )= k L γ 1 γ (kh k L ), som nå kan skrives q L = k L (k H k L ) = 1, og p L = q L k L =2, og c (q H )=k H, som igjen kan skrives q H = k H =3,ogp H = q H k H (k H k L )q L =8. Bedriftens profitt blir γ(p H c(q H )) + (1 γ)(p L c(q L )) = 1 2 (8 1 2 32 +2 1 2 12 )= 10 4. Tilbud bare til H-kundene. Jeg skal nå se på hva som skjer hvis 1 1 γ (kl γk H ) <c (0) γ> kl c (0) k H c (0). 5

Jeg skal vise at i denne situasjonen, og bare i denne situasjonen, vil det være optimalt for bedriften å tilby bare en kontrakt, som vil være beregnet på H-kundene. Jeg går tilbake til maksimeringsproblemet vi har sett på, men antar nå at alle bibetingelsene utenom den siste skal holde med likhet. Vi får µ 2 = 0, og den første og den tredje førsteordensbetingelsen tilsammen medfører at c H = k H, med andre ord som i del (a) av oppgaven, så lenge vi forutsetter γ>0. Vi finner µ 1 = (1 γ)(kl c L) k H K L, og λ 2 = (1 γ)(kh c L) k H K L, λ 1 = c L k L + γ(k H c L) k H K L. Hvis γ er liten, er ikke dette noen løsning, for når γ nærmer seg null, vil ikke både µ 1 og λ 1 være positive. Men hvis γ er stor nok, kan dette være en løsning. I den løsningen vi ser på nå, er tilbudet til L-kundene (q L,p L )=(0, 0), slik at c L =0. Grensen for hvilke γ-verdier denne løsningen gjelder for, er gitt ved λ 1 > 0. Grensen er altså gittved: λ 1 = c (0) k L + γ(k H c (0)) k H K L > 0 γ> kl c (0) k H c (0) Men dette er akkurat de tilfellene der løsningen i oppgaveteksten ikke gjelder, q.e.d. Det er rimelig nok at en stor γ, d.v.s. en stor andel H-kunder, kan gjøre det attraktivt å bare selge til H-kundene. 6