Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013
Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis til V hvis vektorene i B er lineært uavhengige, og vektorene i B utspenner V, span(b) = V.
Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis til V hvis vektorene i B er lineært uavhengige, og vektorene i B utspenner V, span(b) = V. Da kan enhver vektor x i V skrives entydig på formen x = c 1 b 1 + c 2 b 2 +... + c n b n. Koeffisientene c 1,..., c n er koordinatene til x i basisen B = {b 1,..., b n }; vi skriver [x] B er en element i R n [x] B = [c 1...c n ] T
Bytte av koordinatsystem La x være en vektor i R n, x = [x 1,..., x n ] T er koordinater til x i den standarte basisen og la B = {b 1,..., b n } være en annen basis til R n, da er x = P B [x] B, hvor P B er en matrise med kolonnene b 1,..., b n, P B = [b 1.., b n ].
Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige.
Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige. Teorem To basiser for et vektorrom V har like mange vektorer.
Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige. Teorem To basiser for et vektorrom V har like mange vektorer. Antallet vektorer i en basis for V kalles dimensjonen til vektorromet V, dim(v).
Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige. Teorem To basiser for et vektorrom V har like mange vektorer. Antallet vektorer i en basis for V kalles dimensjonen til vektorromet V, dim(v). Teorem Hvis H er et underrom av V og V har en enedlig dimension så er dim(h) dim(v).
Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V.
Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V.
Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V. Hvis S er lineært uavhendig, så finnes en basis for V som inneholder S
Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V. Hvis S er lineært uavhendig, så finnes en basis for V som inneholder S Hvis S utspenner V så inneholder S en basis for V.
Dimensjonen til Null(A) and COl(A) Dimensjonen til Null(A) er lik antall frie variabler; Dimensjonen til Col(A) er lik antall ledende variabler.
Dimensjonen til Null(A) and COl(A) Dimensjonen til Null(A) er lik antall frie variabler; Dimensjonen til Col(A) er lik antall ledende variabler. dim Null(A) + dim Col(A) = n
Dimensjonen til Null(A) and COl(A) Dimensjonen til Null(A) er lik antall frie variabler; Dimensjonen til Col(A) er lik antall ledende variabler. dim Null(A) + dim Col(A) = n Dimensjonen til Col(A) kalles rangen til A.
Radrommet La A være en m n matrise, A = [a ij ]. Radrommet til A Row(A) er underromet i R n utspent av radvektorene til A. Hvis så er Row(A) = span(r 1,..., r m ). r 1 = (a 11, a 12,..., a 1n ) r 2 = (a 21, a 22,..., a 2n )......... r m = (a m1, a m2,..., a mn )
Basis for Row(A) Teorem To radekvivalente matriser har samme radrommet.
Basis for Row(A) Teorem To radekvivalente matriser har samme radrommet. Teorem Hvis E er en echelonmatrise, så er ikkenullradene til E en basis for Row(E).
Basis for Row(A) Teorem To radekvivalente matriser har samme radrommet. Teorem Hvis E er en echelonmatrise, så er ikkenullradene til E en basis for Row(E). Ved Gausseliminasjon kan vi omforme A til en echelonmatrise E. Ikkenullradene i E danner en basis for Row(A). Radrangen til A er lik antallet av lederelementer i E.
Basis for Row(A) Teorem To radekvivalente matriser har samme radrommet. Teorem Hvis E er en echelonmatrise, så er ikkenullradene til E en basis for Row(E). Ved Gausseliminasjon kan vi omforme A til en echelonmatrise E. Ikkenullradene i E danner en basis for Row(A). Radrangen til A er lik antallet av lederelementer i E. dim Row(A) = dim Col(A) = rank(a).
Eksamensoppgave La A = 1 3 0 1 0 2 6 2 0 3 1 3 6 5 9 Finn en basis for nullrommet Null(A), en basis for radrommet Row(A) og en basis for kolonnerommet (søylerommet) Col(A)..
Markov-kjeder Markov-kjede er en matematisk model som beskrives ved en følge av vektorer (posisjoner) x 1,..., x k,... som oppfyler x k+1 = Px k og P er en kvadratisk matrise. For eksempel migrasjon-model. Matrisen P i modellen har de flgene egenskapene: alle elementer til P er større eller lik 0; summen av elementer i hver kolonne er lik 1. En sån matrise kalles stokastisk matrise.
Regulære stokastiske matriser Hvis P er en stokastisk matrise og q er en vektor som har ikke negative elementer med summen av elementene lik en (sannsynlighetsvektor) slik at Pq = q, da kalles q en stasjonær ( steady-state ) vektor til P. En stokastisk matrise P kalles regulær hvis det finnes m slik at alle elementene til P m er positive. Teorem Hvis P er en regulær stokastisk matrise så finnes det eksakt en stasjonær vektor q til P.
Oppsummering Denne uken: Lærebok: 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.9 Nest gang Egenvektorer og egenverdier Lærebok: 5.1, 5.2