7UDQVIRUPDQDO\VH DY OLQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU

TE6146 ignalbehandling 7UDQVIRUPDQDO\VH DY OLQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU,QWURGXNVMRQ Har sett på Z- og Fourier-transformen Ønsker å se mere detaljert på anvendelsen av disse på lineære tidsinvariante (LTI) systemer Gir bakgrunn for design og implementasjon av slike systemer Lineære tidsinvariante systemer har flere ekvivalente representasjoner:. [ \ Q [ Q ' K Q! [ N K Q " N N". [ <ŸH MF +ŸH MF ;ŸH MF (under forutsetning om konvergens av Fourier-transformen) [ <Ÿ] +Ÿ] ;Ÿ] (konvergens) Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 1

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ WLO /7,-V\VWHPHU +ŸH MF angir egenverdien til systemet med egenfunksjon H MFQ <ŸH MF +ŸH MF ;ŸH MF [ <ŸH MF +ŸH MF ;ŸH MF (forsterkning) [ 1<ŸH MF 1+ŸH MF 1;ŸH MF (fase) Et harmonisk signal som går gjennom et lineært system får endret amplitude og fase Effekten av forsterkning og fase kan være ønsket eller uønsket ( distortion ) Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 2

TE6146 ignalbehandling,ghhooh IUHNYHQVVHOHNWLYH ILOWUH,, Lavpassfilter: 1, F F [ + O ŸH MF F 0, F F F t = [ K O Q sinf FQ =Q, ". Q. Høypassfilter: 0, F F [ + K ŸH MF F 1, F F F t =, + KŸH MF 1 " + O ŸH MF [ K K Q - Q " K O Q - Q " sinf FQ =Q, ". Q. Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 3

TE6146 ignalbehandling,ghhooh IUHNYHQVVHOHNWLYH ILOWUH,,, Ideelle lavpassfiltre er ikke-kausale, med impulsresponser som strekker seg i tid fra ". til.. Utgangen fra ideelle høy- eller lavpassfiltre kan ikke beregnes, hverken rekursivt eller ikke-rekursivt Fasen til det idelle filteret er null. Kausale approksimasjoner må ha en faserespons ulik null Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 4

TE6146 ignalbehandling )DVHHQGULQJ RJ IRUVLQNHOVH,, Det ideelle forsinkelsessystem: [ K LG Q - Q " Q G, Q G heltall [ + LG ŸH MF H "MFQ G [ + LG ŸH MF 1, 1+ LG ŸH MF "FQ G, F = Forsinkelse er en en mild form for forvrengning, som det delvis kan kompenseres for Vanlig å akseptere lineær fase Ideelt lavpassfilter med lineær fase: [ + O ŸH MF H "MFQ G, F FF 0, F F F t = [ K O Q sinf FŸQ"Q G, ". Q. =ŸQ"Q G Uansett hvor stor Q G er, så vil det ideelle lavpassfilter være ikke-kausalt Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 5

TE6146 ignalbehandling )DVHHQGULQJ RJ IRUVLQNHOVH,,, Lineariteten av fasen kan spesifiseres med JUXHWLGVIRUVLQNHOVH er på virkning av faseendring for et smalspektret signal e på utgangen fra system med +ŸH MF, for inngangssignalet [ Q V Q cosÿf 0 Q Fasen approksimeres som 1+ŸH MF X"C 0 " FQ G Utgang gitt som [ Q +ŸH MF V Q " Q G cosÿf 0 Q " C 0 " F 0 Q G Kontinuerlig fase (som over) benevnes arg +ŸH MF Gruppetidsforsinkelsen defineres som: AŸF grd +ŸH MF " G GF arg +ŸHMF Avviket fra en konstant indikerer graden av ulinearitet for fasen Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 6

TE6146 ignalbehandling 6\VWHPIXQNVMRQHU: /LQH UH GLIIHUHQVOLJQLQJHU PHG NRQVWDQWH NRHIILVLHQWHU,, Ideelle frekvensselektive filtre kan ikke implementeres med endelige beregninger er på klasse systemer som er implementerbare og som kan approksimere ideelle frekvensselektive filtre ammenheng mellom inngang og utgang: 1! N0 0 D N \ Q " N! E N [ Q " N N0 Dersom systemet antas å være kausalt, kan differensligningen benyttes til å beregne utgangen rekursivt Dersom tilleggsbetingelsene tilsvarer at systemet initielt er i ro, vil systemet være kausalt, lineært og tidsinvariant. Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 7

TE6146 ignalbehandling 6\VWHPIXQNVMRQHU: /LQH UH GLIIHUHQVOLJQLQJHU PHG NRQVWDQWH NRHIILVLHQWHU,,, Egenskaper for slike systemer studeres best vha. Z-transformen: 1! N0 0 D N ] "N <Ÿ]! N0 Ekvivalent 1! N0 Får nå D N ] "N <Ÿ]! N0 +Ÿ] <Ÿ] ;Ÿ] 0! N0 1! N0 E N ] "N ;Ÿ] (5.16) 0 E N ] "N E N ] "N ;Ÿ] (5.17) D N ] "N (5.18) Vanlig å uttrykke funksjonene vha. ] "1 (ikke vha. ]) Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 8

TE6146 ignalbehandling 6\VWHPIXQNVMRQHU: /LQH UH GLIIHUHQVOLJQLQJHU PHG NRQVWDQWH NRHIILVLHQWHU,,,, Faktorisert form (poler og nullpunkter): +Ÿ] Ÿ E 0 D 0 0 Ÿ1"F N ] "1 1 Ÿ1"G N ] "1 (5.19) Enkel sammenheng mellom systemfunksjon og differensligning E N ] "N x E N [ Q " N D N ] "N x D N \ Q " N Kan konvertere mellom de to formene på enkel måte Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 9

TE6146 ignalbehandling 6WDELOLWHW RJ NDXVDOLWHW,, Ved bruk av Z-transformen benyttes egenskapene linearitet og tidsinvarians. Hva med stabilitet og kausalitet? Det algebraiske uttrykket for systemfunksjonen finnes fra differensligningen, men konvergensområde angis ikke (kun nødvendig at ;Ÿ] og <Ÿ] har overlappende konvergensområde for å utlede systemfunksjonen) Differensligningen spesifiserer ikke impulsresponsen på en unik måte ystemfunksjonen gir et antall konvergensområder, hvert av dem korresponderer til en gitt impulsrespons, men alle korresponderer til samme differensligning Dersom systemet er kausalt må K Q være en høyre-sidig følge, og konvergensområdet må være utenfor den ytterste polen Dersom systemet er stabilt må konvergensområdet inneholde enhetssirkelen Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 10

TE6146 ignalbehandling 6WDELOLWHW RJ NDXVDOLWHW,,, tabilitet og kausalitet er ikke nødvendigvis kompatible krav For at et system på formen 1! N0 0 D N \ Q " N! N0 E N [ Q " N (5.16) skal være både kausalt og stabilt, må konvergensområdet for systemfunksjonen være utenfor den ytterste polen, og inkludere enhetsirkelen Alle poler må følgelig være innenfor enhetssirkelen Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 11

TE6146 ignalbehandling,qyhuvh V\VWHPHU,, Inverst system defineres slik at *Ÿ] +Ÿ] + L Ÿ] 1 Medfører + L Ÿ] 1 +Ÿ] Ekvivalent J Q K Q ' K L Q 1 Frekvensrespons (dersom den eksisterer) + L ŸH MF 1 +ŸH MF Ikke alle systemer har en invers. Lavpassfilter har ikke invers - det som kuttes bort kan ikke rekonstrueres Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 12

TE6146 ignalbehandling,qyhuvh V\VWHPHU,,, +Ÿ] Ÿ E 0 D 0 0 Ÿ1"F N ] "1 1 Ÿ1"G N ] "1, (5.19) gir + L Ÿ] Ÿ D 0 E 0 1 Ÿ1"G N ] "1 0 Ÿ1"F N ] "1 Poler blir til nullpunkter og omvendt Hva blir konvergensområdet for + L Ÿ]? Benytter konvolusjonsteoremet anvendt på J Q K Q ' K L Q 1 Dersom denne sammenhengen skal holde, må konvergensområdene til +Ÿ] og + L Ÿ] overlappe Dersom +Ÿ] er kausal, blir konvergensområdet til +Ÿ] gitt av ] max G N N Ethvert konvergensområde for + L Ÿ] som overlapper med kriteriet over, er et gyldig konvergensområde Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 13

TE6146 ignalbehandling,qyhuvh V\VWHPHU,,,, Dersom +Ÿ] er et kausalt system med nullpunkter i F N, N 1, T,0, så vil det inverse systemet være kausalt hvis og bare hvis konvergensområdet til + L Ÿ] er slik at ] max F N N Dersom det inverse systemet også skal være stabilt, må enhetssirkelen inkluderes, dvs. max F N 1 N Alle nullpunktene til +Ÿ] må være innenfor enhetssirkelen Et lineært tidsinvariant system er kausalt og stabilt og har et stabilt og kausalt inverst system, hvis og bare hvis både polene og nullpunktene er innenfor enhetssirkelen ystemer som over kalles for PLQLPXP-IDVH V\VWHPHU Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 14

TE6146 ignalbehandling,pxovuhvrqvhq WLO V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU,, Kan anvende delbrøkoppspaltning for å finne generelt uttrykk for impulsresponsen Rasjonell funksjon med kun førsteordens poler kan skrives 0"1 1 +Ÿ]! % U ] "U $! N 1"G U0 N ] "1 Første del finnes ved lang divisjon, og eksisterer kun dersom 0 u 1 Koeffisienter finnes vha (3.41) Kan utvides til systemer med poler av høyere orden Antar kausalitet med konvergensområde utenfor alle polene 0"1 K Q! U0 1 % U - Q " U! $ N G N Q X Q Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 15

TE6146 ignalbehandling,pxovuhvrqvhq WLO V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU,,, Identifiserer to klasser av systemer:. Ikke kansellering av minst en pol ulik null medfører minst et ledd av typen $ N G Q N X Q og impulsrespons av uendelig varighet. Kalles IIR-systemer 0"1. Ingen poler unntatt i ] 0, dvs. 1 0, +Ÿ]! % U ] "U U0 0 E Q,0tQt0 K Q! E N - Q " N N0 0, ellers Impulsrespons av endelig varighet - FIR-system For FIR-systemer er +Ÿ] gitt av av nullpunktene (pluss ukjent muliplikativ konstant). Differensligningen lik en konvolusjonssum 0 K Q! N0 E N [ Q " N Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 16

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ IRU V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU,, Dersom et stabilt lineært tids-invariant system har en rasjonell systemfunksjon, får frekvensresponsen formen +ŸH MF 0! E N H "MFN N0 1! D N H "MFN N0 Nyttig å finne uttrykk der nullpunkter og poler inngår +ŸH MF Ÿ E 0 D 0 0 Ÿ1"F N H "MF 1 Ÿ1"G N H "MF Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 17

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ IRU V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU,,, Finner nå +ŸH MF Ÿ E 0 D 0 Nyttig å se på 0 Ÿ1"F N H "MF 1 Ÿ1"G N H "MF +ŸH MF 2 +ŸH MF + ' ŸH MF Ÿ E 0 D 0 2 0 1 Ÿ1"F N H "MF Ÿ1"F N ' H MF Ÿ1"G N H "MF Ÿ1"G N ' H MF Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 18

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ IRU V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU,,,, Forsterkning angis i db G% 20 log 10 +ŸH MF 20 log 10 Ÿ E 0 D 0! 20 log 10 1 " F N H "MF 1 "! 20 log 10 1 " G N H "MF 0 Merk [ 0 db tilsvarer +ŸH MF 1 [ +ŸH MF 10 P tilsvarer 20P db [ Dempning angis som "20 log 10 +ŸH MF Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 19

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ IRU V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU,,9 ammenheng inngang-utgang: 20 log 10 <ŸH MF 20 log 10 +ŸH MF 20 log 10 ;ŸH MF Fase: 0 1+ŸH MF 1 E 0 D 0! Gruppetidsforsinkelse: 1 JUG +ŸH MF! eller 1 JUG +ŸH MF! 1 1 1 " F N H "MF "! 1 1 " G N H "MF 0 G Ÿarg 1 " G GF NH "MF "! G G N 2 "gh G N H "MF 1 G N 2 "2gH G N H "MF 1 "! GF Ÿarg 1 " F NH "MF F N 2 "gh F N H "MF 1 F N 2 "2gH F N H "MF Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 20

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ IRU V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU, 9 Verdi av fase fra kalkulator (arctan) etc. kalles prinsipalverdien "= t $5* +ŸH MF t = Enhver annen verdi av av vinkelen som gir korrekt verdi av +ŸH MF kan representeres på formen 1+ŸH MF $5* +ŸH MF 2=UŸF, UŸF positivt eller negativt heltall, som kan være forskjellig for forskjellige verdier av F Dersom prinsipalverdien benyttes ved beregning av fasen, kan denne være diskontinuerlig med hopp på 2=,seFig.5.7 Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 21

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ IRU V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU, 9, Har sammenhengen $5* +ŸH MF $5* E 0 D 0! $5* 1 " F N H "MF 0 1 "! $5* 1 " G N H "MF 2=UŸF +ŸH MF + 5 ŸH MF M+, ŸH MF gir $5* +ŸH MF arctan +,ŸH MF + 5 ŸH MF Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 22

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ IRU V\VWHPHU PHG UDVMRQDOH V\VWHPIXQNVMRQHU, 9,, Har JUG +ŸH MF " G GF arg +ŸHMF Får (med unntak av for diskontinuiteter i hoppene mellom o=) G GF arg +ŸHMF G GF $5* +ŸHMF Gruppetidsforsinkelsen kan også uttrykkes som funksjon av den flertydige fasen som JUG +ŸH MF " G GF 1+ŸHMF er bort fra impulser som skyldes diskontinuiteter av størrelse 2= i 1+ŸH MF Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 23

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ WLO HQ HQNHO RO HOOHU HW HQNHOW QXOOXQNW,, er på faktoren Ÿ1 " UH M2 H "MF, U-radius og 2 vinkel til pol 1 " UH M2 H "MF 2 Ÿ1 " UH "M2 H MF Ÿ1 " UH M2 H "MF 1 U 2 " 2UcosŸF " 2 20 log 10 1 " UH M2 H "MF 10 log 10 1 U 2 " 2UcosŸF " 2 $5* 1 " UH M2 H "MF arctan JUG 1 " UH M2 H "MF U 2 "UcosŸF"2 1U 2 "2UcosŸF"2 UsinŸF"2 1"UcosŸF"2 U2 "UcosŸF"2 1"UH M2 H MF 2 Funksjonene over er periodiske med periode 2=,se Fig. 5.8 karp knekk nedover rundt F 2 Når U er konstant skiftes er absoluttverdien en funksjon av ŸF " 2, så minimumspunktet skifter med 2 Maksimumsverdi for ŸF " 2 =, 10 log 10 1 U 2 " 2Ucos = 20 log 1 U Minimumsverdi for F = 10 log 10 1 U 2 " 2Ucos 0 20 log 1 " U Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 24

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ WLO HQ HQNHO RO HOOHU HW HQNHOW QXOOXQNW,,, Kan benytte enkel geometrisk teknikk for for skissere frekvensresponser direkte fra plott av poler og nullpunkter Basert på beregning av systemfunksjoner på enhetsirkelen Komplekse poler og nullpunkter kan skisseres som vektorer fra pol/nullpunkt til punkt på enhetssirkelen er på førsteordens system +Ÿ] Ÿ1 " UH M2 ] "1 Ÿ ]"UHM2 ],U 1 Pol i ] 0 og nullpunkt i ] UH M2 e Fig. 5.9. Vektoren Y 1,Y 2 og Y 3 Y 1 " Y 2 representerer de komplekse tallene H MF,UH M2 og ŸH MF " UH M2 Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 25

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ WLO HQ HQNHO RO HOOHU HW HQNHOW QXOOXQNW,,,, +ŸH MF 1 " UH M2 H "MF HMF "UH M2 Y 3 H MF Y 1 Y 3 1+ŸH MF 1Ÿ1 " UH M2 H "MF 1ŸH MF " UH M2 "1H MF 1Y 3 "1Y 1 C 3 " C 1 C 3 " F er nå hvordan Y 3 og1+ÿh MF varierer med F Bidraget til +ŸH MF fra et enkelt nullpunkt Ÿ1 " UH M2 H "MF er lengden av vektoren fra nullpunktet til et punkt H MF på enhetssirkelen Lengden er minst når F 2 Fasen er gitt av differansen mellom vinkelen til Y 3 (fra nullpunktet til enhetsirkelen) og vinkelen til Y 1 (fra pol i ] 0 til enhetsirkelen) e også Fig. 5.10 Fig. 5.14 Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 26

TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHVRQVHQ WLO HQ HQNHO RO HOOHU HW HQNHOW QXOOXQNW,,9 Har kun sett på bidrag fra en faktor. Dersom faktoren tilsvarer et nullpunkt, er bidraget positivt. Negativt for pol. Metoden kan utvides til multiple poler og nullpunkter, se eksempler i boken. Bidragene fra de enkelte poler og nullpunkter til amplitude og fase, multipliseres eller adderes sammen Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 27

TE6146 ignalbehandling 6DPPHQKHQJHU PHOORP DPOLWXGH RJ IDVH,, Frekvensresponsen er Fourier-transformert av impulsresponsen Generelt ingen sammenheng mellom amplitude og fase ammenhenger for rasjonale systemfunksjoner Dersom amplitude og antall poler og nullpunkter er kjent, finnes det bare et endelig antall valg for fasen Dersom fase og antall poler og nullpunkter er kjent, er det bare et endelig antall valg for amplituden (med unntak av en skalering) For minimum-fase-systemer er sammenhengen mellom fase og amplitude unikt gitt (med unntak av en skalering av amplituden) Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 28

TE6146 ignalbehandling 6DPPHQKHQJHU PHOORP DPOLWXGH RJ IDVH,,, er på +ŸH MF 2 +ŸH MF + ' ŸH MF +Ÿ] + ' Ÿ1/] ' ]H MF Rasjonale funksjoner har formen +Ÿ] Ÿ E 0 D 0 0 Ÿ1"F N ] "1 1 Ÿ1"G N ] "1 +ŸH MF 2 er gitt av &Ÿ] +Ÿ] + ' Ÿ1/] ' ]H MF &Ÿ] Ÿ E 0 0 Ÿ1"F N ] "1 Ÿ1"F ' N ] D 2 0 1 Ÿ1"G N ] "1 Ÿ1"G ' N ], + ' Ÿ 1 Ÿ E 0 ] ' D 0, (5.82) 0 Ÿ1"F N ' ] 1 Ÿ1"G ' N ] Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 29

TE6146 ignalbehandling 6DPPHQKHQJHU PHOORP DPOLWXGH RJ IDVH,,,, Gitt +ŸH MF 2 kan vi finne &Ÿ] ved substitusjonen ] H MF Vi ønsker å trekke ut så mye kunnskap som mulig om +Ÿ] fra &Ÿ] ' Enhver pol G N i +Ÿ] gir pol i G N og ŸG "1 N for &Ÿ]. Tilsvarende for nullpunkter Poler og nullpunkter opptrer i komplekskonjungerte resiprokale par, og kan assosieres til +Ÿ] og + ' Ÿ1/] ' Dersom et element av hvert par er innenfor enhetsirkelen, vil det andre være utenfor (unntak dersom begge er på enhetsirkelen) Dersom +Ÿ] tilsvarer et kausalt, stabilt system, må alle polene være innenfor enhetsirkelen Poler av +Ÿ] kan identifiseres unikt fra &Ÿ]. Ikke mulig for nullpunkter, se Eks. 5.11 F.eks. mulig at to forskjellige kombinasjoner av nullpunkter gir samme amplitude, men ulik fase Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 30

TE6146 ignalbehandling $OO DVV V\VWHPHU,, kal se på systemer som slipper gjennom alle frekvenser, dvs. som har systemfunksjon med absoluttverdi lik +Ÿ] ]H MF 1 ystemfunksjon med amplitude uavhengig av F + D Ÿ] ]"1 "D ' 1"D] "1 Frekvensrespons + D ŸH MF H"MF "D ' 1"DH "MF Generell form 0 ] "1 "G N + D Ÿ] $ $ - positiv konstant H "MF 1"D' H MF 1"DH "MF, + DŸH MF 1 1"G N ] "1 0 F Ÿ] "1 "H' N Ÿ] "1 "H N Ÿ1"H N ] "1 Ÿ1"H ' N ] "1 For kausale og stabile systemer G N 1, H N 1 0 1 20 F 0 U poler og nullpunkter Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 31

TE6146 ignalbehandling $OO DVV V\VWHPHU,,, er at + D ŸH MF 1 Fasebidrag (poler i ] UH M2,evt] UH om2 : "F " 2 arctan 1 H"MF "UH "M2 1"UH M2 H "MF 1 ŸH"MF "UH "M2 ŸH "MF "UH M2 Ÿ1"UH M2 H "MF Ÿ1"UH "M2 H "MF UsinŸF2 1"UcosŸF2 "2 arctan UsinŸF"2 1"UcosŸF"2 "2F " 2 arctan (2. orden) (1. orden) UsinŸF"2 1"UcosŸF"2 Den kontinuerlige fasen (arg + D ŸH MF ) er alltid ikke-positiv for 0 F = Ikke åpenbart at dette er tilfelle dersom prinsipalverdien betraktes, se Fig. 5.24 Kan enkelt vise at gruppetidsforsinkelsen alltid er positiv Positivitet av gruppetidsforsinkelsen er utgangspunkt for å vise at fasen alltid er ikke-positiv Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 32

TE6146 ignalbehandling $OO DVV V\VWHPHU,,,, like systemer er nyttige, og inngår bla. i: [ Kompensatorer for fase [ Deler av mere generelle systemer sammen med minimum-fase systemer [ Transformer mellom ulike filtertyper (lavpass til høypass, etc.) [ Frekvensselektive filtre med variabel knekkfrekvens Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 33

TE6146 ignalbehandling 0LQLPXP-IDVH V\VWHPHU Har sett at amplituden ikke karakteriserer et lineært tidsinvariant system med rasjonal systemfunksjon på en fullstendig måte tabilitet og kausalitet legger kun begrensninger på poler, ikke på nullpunkter For noen systemer er det nyttig å kreve at også det inverse systemet skal være stabilt og kausalt Både poler og nullpunkter må være innefor enhetsirkelen like systemer kalles PLQLPXP-IDVH V\VWHPHU For slike systemer vil +Ÿ] kunne finnes fra &Ÿ] +Ÿ] + ' Ÿ1/] ' ved å plukke ut poler og nullpunkter som ligger innenfor enhetsirkelen Benyttes ofte ved filterdesign, der bare amplituderesponsen er oppgitt Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 34

TE6146 ignalbehandling 'HNRPRVLVMRQHU L PLQLPXPIDVH RJ DOO DVV V\VWHPHU,, Kan ikke bestemme +Ÿ] direkte fra +ŸH MF 2, siden ethvert valg av systemfunksjon som gir riktig amplitude, kan settes i kaskade med et vilkårlig antall all pass systemer som kun påvirker fasen Enhver rasjonal systemfunksjon kan uttrykkes som +Ÿ] + min Ÿ] + D Ÿ] (5.103) + min Ÿ] er et minimum-fase system + min Ÿ] inneholder polene og nullpunktene som ligger innenfor enhetsirkelen, samt nullpunkter som er konjungerte resiprokale (1/] ' ) av nullpunktene til +Ÿ] som ligger utenfor enhetsirkelen + D Ÿ] består av alle nullpunktene til +Ÿ] som ligger utenfor utenfor enhetssirkelen, sammen med poler for å kansellere de reflekterte konjungerte resiprokale nullpunkter i + min Ÿ] Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 35

TE6146 ignalbehandling 'HNRPRVLVMRQHU L PLQLPXPIDVH RJ DOO DVV V\VWHPHU,,, Kan danne ikke-minimumfase systemer fra et minimum-fase system, ved å reflektere et eller flere nullpunkter innenfor enhetsirkelen til deres konjungerte resiprokale plassering utenfor enhetsirkelen. Alternativt kan et minimum-fase system dannes fra et ikke-minimumfase system, ved å reflektere alle nullpunkter utenfor enhetsirkelen til deres konjungerte resiprokale plassering innenfor I begge tilfeller har minimum-fase og ikke-minimumfase systemene samme amplitude av frekvensresponsen Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 36

TE6146 ignalbehandling.rphqvdvmrq DY IUHNYHQVUHVRQV,, Kan tenkes at et signal har blitt endret på en uheldig måte av et LTI system med uønsket frekvensrespons + G ŸH MF Hvordan kompensere for dette? Kan tenke oss at vi implementerer et system + F Ÿ] som kompenserer perfekt for endringen, dvs. + F Ÿ] er invers av + G Ÿ], se Fig. 5.25. Kun mulig med perfekt kompensasjon dersom + G Ÿ] er kausalt og stabilt med kausal og stabil invers, dvs. minimum-fase Antar at + G Ÿ] er, eller kan approksimeres med en rasjonal systemfunksjon Minimum-fase system + G min Ÿ] formes ved å reflektere alle nullpunktene til + G Ÿ] som er utenfor enhetsirkelen til deres konjungerte resiprokale plassering innenfor enhetsirkelen Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 37

TE6146 ignalbehandling.rphqvdvmrq DY IUHNYHQVUHVRQV,,, + Gmin Ÿ] og + G Ÿ] har samme frekvensrespons, og er relatert til hverandre gjennom et all pass system + G Ÿ] + Gmin Ÿ] + D Ÿ] Kompenserende filter velges i forhold til 1 + F Ÿ] + Gmin Ÿ] Total systemfunksjon etter kompensasjon *Ÿ] + G Ÿ] + F Ÿ] + D Ÿ] Kompenserer eksakt for uønsket endring i amplitude, men fasen modifiseres til 1+ D ŸH MF e Eks. 5.15 for kompensasjon av et ikke-minimumfase FIR system Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 38

TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU IRU PLQLPXPIDVH V\VWHPHU,, Benytter betegnelsen om systemer som er kausale og stabile, med kausal og stabil invers Navnet motivert utfra egenskapene til fasen kal sammenligne frekvensrespons for slike systemer med systemer som har samme amplituderespons Kontinuerlige fase av ethvert ikke-minimumfase system kan uttrykkes som arg +ŸH MF arg + min ŸH MF arg + D ŸH MF Den kontinuerlige fasen til et all-pass system er negativ for 0 t F t = Refleksjonen av nullpunktene til + min Ÿ] fra innenfor enhetsirkelen til resiprokale konjungerte verdier utenfor, minsker alltid fasen, eller alternativt - øker faseetterslepet ( phase lag ) Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 39

TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU IRU PLQLPXPIDVH V\VWHPHU,,, Det kausale stabile systemet som har +ŸH MF som absoluttverdi, og som også har alle poler og nullpunkter innenfor enhetssirkelen, har minst fasetterslep av alle systemer med samme amplituderespons Behov for mere presis tolkning av minimumfase-systemer Introduserer ekstrabetingelse:. +ŸH M0! K Q 0 Q". Nødvendig fordi system med impulsrespons "K Q har samme nullpunkter og poler som system med impulsrespons K Q. Fasen forskjellig med = selv om alle poler og nullpunkter er innenfor enhetsirkelen. Tvetydighet fjernes med betingelsen over. Gruppetidsforsinkelse til systemer med samme amplituderespons gitt av JUG +ŸH MF JUG + min ŸH MF JUG + D ŸH MF Gruppetidsforsinkelse minst for minimumfase system Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 40

TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU IRU PLQLPXPIDVH V\VWHPHU,,,, Ref. Eks. 5.15. Fire systemer har samme amplitude av frekvensresponsen. Minimum-fase systemet har større venstre-sidige verdier for impulsresponsen, se Fig. 5.31 Generelt K 0 t K min 0 for enhver kausal stabil følge som er slik at +ŸH MF + min ŸH MF Alle impulsresponser med amplitude lik + min ŸH MF har samme totale energi som K min 0. Vises vha. Parseval s teorem Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 41

TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU IRU PLQLPXPIDVH V\VWHPHU,,9 Partiell energi gitt av Q ( Q! K P 2 P0 Kan vise at Q! P0 Q K P 2 t! K min P 2 P0 Den partielle energien til minimumfase systemer er konsentrert rundt Q 0, dvs. at energien er minst forsinket Minimumfase systemer kalles også minimum (energi) forsinkelsessystemer Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 42

TE6146 ignalbehandling /LQH UH V\VWHPHU PHG JHQHUDOLVHUW OLQH U IDVH Ideelt sett ønskelig med konstant amplitude og fase lik null i passbåndet Ikke mulig å få til fase lik null for kausale systemer Effekten av lineær fase er et tidsskift av signalet Ulineær fase kan påvirke formen av signalet, selv om amplituden er konstant Ønskelig med mest mulig lineær fase er på systemer med konstant gruppetidsforsinkelse Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 43

TE6146 ignalbehandling 6\VWHPHU PHG OLQH U IDVH,, er på LTI-system med frekvensrespons + LG ŸH MF H "MF), F =, ) -reelt tall Ideell forsinkelse Har følgende egenskaper [ + LG ŸH MF 1 [ 1+ LG ŸH MF "F) [ grd + LG ŸH MF ) Impulsrespons K LG Q sin=ÿq"), ". Q. =ŸQ") Utgang for inngang [ Q \ Q [ Q ' sin=ÿq") =ŸQ").! N". [ N sin=ÿq"n") =ŸQ"N") Dersom ) Q G, som er heltall, får en K LG Q - Q " Q G og \ Q [ Q ' - Q " Q G [ Q " Q G Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 44

TE6146 ignalbehandling 6\VWHPHU PHG OLQH U IDVH,,, Representasjon av + LG ŸH MF gitt i Fig. 5.33 for ) ulik heltall \ Q er en følge som er en tidsskiftet, båndbegrenset og interpolert versjon av inngangsfølgen \ Q [ F ŸQ7 " )7 Kan også ha systemer med frekvensrespons på formen (se Fig 5.34) +ŸH MF +ŸH MF H "MF), F = ignalet [ Q filtreres av en frekvensrespons med null fase, og skiftes i tid Eksempel (ideelt lavpassfilter med lineær fase): H "MF), F = + O ŸH MF 0, F F F t = K O Q sinf FŸQ") =ŸQ") Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 45

TE6146 ignalbehandling 6\VWHPHU PHG OLQH U IDVH,,,, Generelt system med lineær fase har frekvensrepons +ŸH MF +ŸH MF H "MF) Dersom 2) er et heltall (se Eks. 5.16), har impulsresponsen like symmetri om ) K 2) " Q K Q Ellers ingen symmetri, men likevel lineær fase, se Fig. 5.35c Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 46

TE6146 ignalbehandling *HQHUDOLVHUW OLQH U IDVH,, Fra Eks. 4.10 har en systemet +ŸH MF 1 sin FŸ01 /2 H "MF0/2 Ÿ01 sinÿf/2 trengt tatt ikke et lineært fase system, fordi den reelle faktoren kan blinegativ,ogdermedbidramedenekstrafasepå= Generalisert lineær fase system: +ŸH MF $ŸH MF H "M)FM* ),* -konstanter, $ŸH MF -reell (muligens bipolar) funksjon av ) e Eks. 4.5 og Eks. 4.10 Fasen består av konstante ledd addert til "F), dvs. "F) * Dersom en ser bort fra diskontinuiteter pga. addisjon, kan slike systemer karakteriseres med konstant gruppetidsforsinkelse Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 47

TE6146 ignalbehandling *HQHUDOLVHUW OLQH U IDVH,,, Karakteriserer systemer utfra konstant gruppetidsforsinkelse AŸF JUG +ŸH MF " G GF arg +ŸHMF ) like systemer har lineær fase av den mere generelle formen arg +ŸH MF * " F), 0F = Vil se på symmetriegenskaper for systemer med generalisert lineær fase Betingelse for slike egenskaper (se s. 296):.! Q". K Q sin FŸQ " ) * 0 for F Ett sett av betingelser: [. * 0 eller =. 2) 0 heltall. K 2) " Q K Q Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 48

TE6146 ignalbehandling *HQHUDOLVHUW OLQH U IDVH,,,, Et annet sett av betingelser:. * =/2 eller 3=/2. 2) 0 heltall. K 2) " Q "K Q Det finne systemer som ikke tilfredstiller disse betingelsene, men som likevel har generalisert lineær fase, dvs. at betingelsene kun er tilstrekkelige, men ikke nødvendige ymmetriegenskaper er til god hjelp ved konstruksjon av systemer med ønsket frekvensrespons, i dette tilfellet lineær fase Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 49

TE6146 ignalbehandling.dxvdoh V\VWHPHU PHG JHQHUDOLVHUW OLQH U IDVH,, Kan vise at dersom K 0 " Q,0 t Q t 0 K Q 0, ellers så har en +ŸH MF $ H ŸH MF H "MF0/2, $ H ŸH MF reell, like og periodisk Tilsvarende for "K 0 " Q,0 t Q t 0 K Q 0, ellers som gir +ŸH MF M$ 0 ŸH MF H "MF0/2 $ 0 ŸH MF H "MF0/2M=/2, $ H ŸH MF reell, odde og periodisk Lengde av impulsresponsen er Ÿ0 1 samples Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 50

TE6146 ignalbehandling.dxvdoh V\VWHPHU PHG JHQHUDOLVHUW OLQH U IDVH,,, Betingelsene er tilstrekkelige, men ikke nødvendige. Finnes kausale systemer med impulsrespons av uendelig varighet som har generalisert lineær fase. ystemfunksjonene er ikke rasjonale, hvilket medfører at implementasjon i form av differensligninger ikke er mulig Nyttig med kunnskap om frekvensresponsen til FIR systemer ignifikant forskjellige egenskaper oppstår avhengig av type symmetri, og om 0 er et like eller odde heltall. er i det følgende på 4 typer FIR-systemer Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 51

TE6146 ignalbehandling 7\H, ),5 /LQH U IDVH V\VWHP Definert utfra følgende symmetri K Q K 0 " Q, 0tQ t 0, 0 er et like heltall Har frekvensrespons 0 +ŸH MF! Q0 D 0 K 0/2 0/2 K Q H "MFQ H "MF0/2 Ÿ! N0 D N cos FN D N 2K Ÿ0/2 " N, N 1,2, T,0/2 Tidsforsinkelsen 0/2 er et heltall er at systemet er på samme form som systemer med generalisert lineær fase, med * 0 eller * = Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 52

TE6146 ignalbehandling 7\H,, ),5 /LQH U IDVH V\VWHP Definert utfra følgende symmetri K Q K 0 " Q, 0tQ t 0, 0 odde heltall Har frekvensrespons Ÿ01 /2 +ŸH MF H "MF0/2! E N cos FŸN " 1/2 E N 2K Ÿ0 1 /2 " N, N 1,2, T,Ÿ0 1 /2 er at systemet er på samme form som systemer med generalisert lineær fase, med tidsforsinkelse 0/2 (heltall1/2) og * 0 eller * = Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 53

TE6146 ignalbehandling 7\H,,, ),5 /LQH U IDVH V\VWHP Definert utfra følgende antisymmetri K Q "K 0 " Q, 0tQ t 0, 0 like heltall Har frekvensrespons 0/2 +ŸH MF MH "MF0/2! F N sinfn F N 2K Ÿ0/2 " N, N 1,2, T,0/2 er at systemet er på samme form som systemer med generalisert lineær fase, med tidsforsinkelse 0/2 (heltall) og * =/2 eller * 3=/2 Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 54

TE6146 ignalbehandling 7\H,9 ),5 /LQH U IDVH V\VWHP Definert utfra følgende antisymmetri K Q "K 0 " Q, 0tQ t 0, 0 odde heltall Har frekvensrespons Ÿ01 /2 +ŸH MF MH "MF0/2! G N sin FŸN " 1 2 G N 2K Ÿ0 1 /2 " N, N 1,2, T,Ÿ0 1 /2 er at systemet er på samme form som systemer med generalisert lineær fase, med tidsforsinkelse 0/2 (heltall1/2) og * =/2 eller * 3=/2 Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 55

TE6146 ignalbehandling (NVHPOHU n ),5 OLQH U IDVH V\VWHPHU e Eks. 5.17-5.20 Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 56

TE6146 ignalbehandling 3ODVVHULQJ DY QXOOXQNWHU IRU ),5 V\VWHPHU PHG OLQH U IDVH,, Har sett på egenskaper til impulsresponsen og frekvensresponsen for 4 typer FIR systemer med lineær fase Av interesse å se på på plasseringen av nullpunktene, fordi dette også kan benyttes ved konstruksjon av slike systemer, f.eks. filtre Nullpunkter påvirker frekvensegenskapene direkte ystemfunksjon: 0 +Ÿ]! K Q ] "Q Q0 Kan ved å benytte symmetriegenskaper og systemfunksjonen, finne utrykk som gir plassering og egenskaper for nullpunktene Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 57

TE6146 ignalbehandling 3ODVVHULQJ DY QXOOXQNWHU IRU ),5 V\VWHPHU PHG OLQH U IDVH,,, er på FIR systemer av type I og II der nullpunktene må tilfredsstille +Ÿ] 0 ] "0 "1 0 +Ÿ] 0 0 Har følgende egnskaper: [ Dersom ] 0 UH M2 er nullpunkt så er også ] "1 0 U "1 H "M2 nullpunkt [ K Q reell med nullpunkt ] 0 gjør at ] ' ' 0 og Ÿ] "1 0 også er nullpunkter [ Komplekse nullpunkter som ikke er på enhetssirkelen er deler av sett med fire konjungerte resiprokale nullpunkter [ Nullpunkter på enhetsirkelen kommer i par [ For et reelt nullpunkt som ikke er på enhetsirkelen er også den resiprokale verdien et nullpunkt [ Nullpunkter i o1 forekommer alene [ Dersom 0 er odde, må ] 0 "1 være et nullpunkt e Fig. 5.41a og Fig. 5.41b Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 58

TE6146 ignalbehandling 3ODVVHULQJ DY QXOOXQNWHU IRU ),5 V\VWHPHU PHG OLQH U IDVH,,,, er på FIR systemer av type III og IV (antisymmetri) Nullpunkt må tilfredsstille +Ÿ] "] "0 +Ÿ] "1 0 Har følgende egenskaper: [ Tilsvarende som for type I og II med unntak av for ] o1 [ +Ÿ] må ha nullpunkt i ] 1 for 0 like og odde [ +Ÿ] må ha nullpunkt i ] "1 for 0 like e Fig. 5.41c og Fig. 5.41d Merk at for høypassfiltre av typen FIR med lineær fase, kan ikke 0 være odde, da frekvensresponsen må være null i ] "1, dvs. F = Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 59

TE6146 ignalbehandling 5HODVMRQ PHOORP ),5 V\VWHPHU PHG OLQH U IDVH RJ PLQLPXPIDVH V\VWHPHU Har vist at FIR-systemer med lineær fase og reell impulsrespons har nullpunkter enten på enhetsirkelen eller på konjungerte resiprokale plasseringer Kan vise at systemfunksjonen til ethvert FIR system kan dekomponeres på følgende måte +Ÿ] + min Ÿ] + XF Ÿ] + max Ÿ], + max Ÿ] + min Ÿ] "1 ] "0 [ + min Ÿ] -minimumfase [ + max Ÿ] -maksimumfase [ + XF Ÿ] -kun nullpunkter på enhetsirkelen + min Ÿ] har 0 L nullpunkter innenfor enhetsirkelen + XF Ÿ] har 0 0 nullpunkter på enhetsirkelen + max Ÿ] har 0 L nullpunkter utenfor enhetsirkelen. Disse er resiprokale verdier av nullpunktene til + min Ÿ] ystemfunksjonen har orden 20 L 0 0 Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 60

TE6146 ignalbehandling 2VXPPHULQJ Har sett på: Frekvensresponsen til LTI systemer (filtre, fase og tidsforsinkelse) ystemfunksjoner for systemer beskrevet med differensligninger tabilitet og kausalitet Inverse systemer Frekvensrespons for systemer med rasjonal systemfunksjon Geometrisk tolkning av frekvensrespons ammenheng mellom fase og amplitude Minimumfase systemer All-pass systemer ystemer med generalisert lineær fase (4 typer FIR-systemer) Transformanalyse av lineære tidsinvariante systemer 61