MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008
Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n 1 + + a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning når a n 0. Teorem 17 s. 282: Løsningsrommet er n-dimensjonalt. Vi prøvde oss frem med løsninger på formen y k = r k. Lineær uavhengighet av løsninger ble sjekket ved å se på Casorati-matrisen. Hvis denne er inverterbar (det vil si at en rref på denne gir identitetsmatrisen), så er løsningene lineært uavhengige. Følgene r k 1, r k 2, r k 3 har vi vist at et lineært uavhengige når r 1, r 2, r 3 er forskjellige. Slike dierenslikninger kan også identiseres med førsteordenslikninger på matriseform, det vil si på formen X k+1 = Ax k, der A er en n n-matrise.
Oppgave 4.8.8 Vi har dierenslikningen y k+3 y k+2 22y k+1 + 40y k = 0. Gitt at 2 k, 4 k, og ( 5) k løser dierenslikningen. er disse en basis for løsningsrommet? 1. Løsningsrommet er 3-dimensjonalt (Teorem 17 s. 282). 2. 2 k, 4 k, og ( 5) k er lineært uavhengige: Som i eksempel 2: Lag Casorati-matrisen 2 0 4 0 ( 5) 0 2 1 4 1 ( 5) 1 2 2 4 2 ( 5) 2 = 1 1 1 2 4 5 4 16 25 og gjør en rref på denne. Vi får identitetsmatrisen, og derfor er de tre signalene er lineært uavhengige. De må derfor utspenne hele løsningsrommet, som jo også er tredimensjonalt (teorem 12 s. 259).,
Hvordan gjettet vi på 2 k, 4 k, og ( 5) k? Se eksempel 4. Egentlig gjetter vi på y k = r k, og vi krever da r k+3 r k+2 22r k+1 + 40r k = 0. Dette svarer til å løse tredjegradslikningen r 3 r 2 22r + 40 = 0. Denne kan dere løse ved hjelp av funksjonen roots i Matlab.
Oppgave 4.8.10 y k+3 3y k+2 9y k+1 5y k = 0. Løsningsrommet er 3-dimensjonalt. Vi former Casorati-matrisen u 0 v 0 w 0 u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2, der u k = ( 1) k, v k = k( 1) k, og w k = 5 k, og får 1 0 1 1 1 5 1 2 25 rref på denne gir identitetsmatrisen, og de tre løsningene utspenner løsningsrommet ved samme resonnement som i oppgave 4.8.8.,
Oppgave 4.8.16 16y k+2 + 8y k+1 3y k = 0. Løsningsrommet er 2-dimensjonalt. Som i eksempel 4 gjetter vi på y k = r k og får likningen 16r k+2 + 8r k+1 3r k = 0, som gir oss 16r 2 + 8r 3 = 0. Formelen for løsning av andregradslikningen gir r = 8 ± 64 + 192 32 = 1 4 ± 1 2. Dette gir oss løsningene u k = ( 3 4 )k, v k = ( 1 4 )k. Vi former så Casorati-matrisen, og gjør en rref på denne som før for å vise at u k og v k danner en basis for løsningsrommet.
Oppgave 4.8.18 Y k+2 a(1 + b)y k+1 + aby k = 1. Sett a = 0.9, b = 0.5. Prøv Y k = T. Vi får T 1.35T + 0.45T = 0.1T = 1, så Y k = T = 10 er en løsning. Den homogene likningen er Y k+2 1.35Y k+1 + 0.45Y k = 0. Vi løser r 2 1.35r + 0.45 = 0 og får r = 1.35± 1.35 2 4 0.45 2, som gir r = 3/4 og r = 3/5. Vi former så Casorati-matrisen, og gjør en rref på denne. Siden løsningsrommet er todimensjonalt, så blir den generelle løsningen Y k = 10 + a 1 (3/4) k + a 2 (3/5) k.
Oppgave 4.8.22 Vi setter y k = 2 cos(πk/4) + cos(3πk/4). a) Filteret fra eksempel 3 er z k = 0.35y k+2 + 0.5y k+1 + 0.35y k. Vi får z 0 = 0.35 0 + 0.5.7 + 0.35 3 = 1.4036 z 1 = 0.35.7 + 0.5 0 + 0.35.7 = 0 z 2 = 0.35 3 0.5.7 + 0.35 0 = 1.4036 osv. I Matlab kan man gjøre slik: k = 0:10; y = 2*cos( pi *k/4) + cos(3*pi*k/4); z = zeros(1,8); for (s=1:8) end z(s) = 0.35 * y(s) + 0.5 * y(s+1) + 0.35 * y(s+2);
b) I eksempel 3 regnet vi ut output når input var y k = cos(πk/4) og w k = cos(3πk/4). I a) regnet vi ut utgangen på 2y k + w k. Siden lteret er lineært kan vi kombinere utgangen til y k og w k. I eksempel 3 regnet vi ut at utgangen til w k er 0, og derfor blir utgangen til 2y k + w k lik 2z k (z k var utgangen til cos(πk/4)). Vi kunne altså brukt utregningen fra eksempel 3 direkte, siden vi regnet ut z k der.
Oppgave 4.8.28 Setter vi inn y k = 2k 4 får vi y k+2 + 3 2 y k+1 y k = 1 + 3k 2k + 3 (2k 2) 2k + 4 = 3k + 1. 2 For å løse den homogene likningen y k+2 + 3 2 y k+1 y k = 0 løser vi r 2 + 3/2r 1 = 0 og får r = ( 3/2 ± 9/4 + 4)/2 = 3/4 ± 5/4, som gir løsningene z k = (1/2) k og w k = ( 2) k. Siden løsningsrommet er todimensjonalt blir dermed den generelle løsningen 2k 4 + a 1 (1/2) k + a 2 ( 2) k.
Oppgave 4.8.30 Skriver vi som et likningssystem får vi som også kan skrives y k+1 = y k+1 y k+2 = y k+2 y k+3 = 1/16y k 3/4y k+2, y k+1 y k+2 y k+3 = Setter vi x k = (y k, y k+1, y k+2 ) og ser vi at x k+1 = Ax k. A = 0 1 0 0 0 1 1/16 0 3/4 0 1 0 0 0 1 1/16 0 3/4, y k y k + 1 y k+2
Oppgave 4.8.36 Anta T (xp) = z, og T (u) = 0. Vi skal vise at T (u + xp) = z. Dette viser vi slik: T (u + xp) = T (u) + T (xp) = 0 + z = z.
Oppgaver fra 4.9 Stokastiske matriser. Brukes til å modellere systemer som er i utvikling over tid. Sannsynlighetsvektorer. Markov-kjeder. Tilstandsvektor. Likevektstilstand. Teorem 18 s. 294: En regulær stokastisk matrise har en unik likevektstilstand. Får bruk for dette i den første obligatoriske oppgaven.
Stokastiske matriser fra forrige uke (4.5.34,4.7.17) Vi satt B = {1, cos t, cos 2 t, cos 3 t, cos 4 t, cos 5 t, cos 6 t} C = {1, cos t, cos(2t), cos(3t), cos(4t), cos(5t), cos(6t)}, og regnet ut at P C B = 1 0 1/2 0 3/8 0 5/16 0 1 0 3/4 0 5/8 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0.4688 0 0 0 1/4 0 5/16 0 0 0 0 0 1/8 0 0.1875 0 0 0 0 0 1/16 0 0 0 0 0 0 0 0.0313 Vi ser at denne matrisen er stokastisk.
Hvorfor er matrisen stokastisk? Vi kunne vist at matrisen er stokastisk uten å regne ut hele matrisen: Siden cos k t = c 0 + c 1 cos t + c 2 cos(2t) + + c 6 cos(6t), der (c 0, c 1,..., c 6 ) er kolonne k i P C B. Setter du inn t = 0 her får du at 1 = c 0 + c 1 + c 2 + + c 6, som viser at kolonne k i P C B er en sannsynlighetsvektor. P C B blir dermed stokastisk, såfremt vi også kan vise at c 0, c 1,..., c 6 0. Dette er litt verre, og kan best forklares ved hjelp av indreprodukter. Vi kommer tilbake til dette i kapittel 6. Det er imidlertid ikke slik at alle basisskiftematriser er stokastiske!
Oppgave 4.9.4 a) Den stokastiske matrisen blir P =.60.40.40.30.30.50.10.30.10 Hvis været er bra i dag, så forteller første kolonne hvorledes været vil fordele seg på forskjellige værtyper i morgen. Tilsvarende for de andre kolonnene.
b) Vi anvender P på sannsynlighetsvektoren (.50,.50, 0) og får.60.40.40.30.30.50.10.30.10.50.50 0 =.50.30.20 Det er dermed 20% sannsynlighet for dårlig vær i morgen.
c) Vi anvender P 2 (ikke P!) på sannsynlighetsvektoren (0,.40,.60) og får.60.40.40.30.30.50.10.30.10 2 0.40.60 =.60.40.40.30.30.50.10.30.10 Sjansen for bra vær på onsdag er derfor 48%..40.42.18 =.48.336.184
Oppgave 4.9.6 Vi må løse [.8.5.2.5 ] [ x 1 x 2 ] [ = x 1 x 2 ], eller [.2.5.2.5 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] Gjør vi en rref nner vi at x = x 2 (2.5, 1). Likevektsvektoren blir derfor (2.5/3.5, 1/3.5) = (5/7, 2/7).
Oppgave 4.9.10 P = [ 1.2 0.8 P er stokastisk siden summen av hver kolonne er 1. Det viser seg at P ikke er regulær. For å se dette, gang sammen to matriser hvor begge har (1, 0) i første kolonne. Første kolonne i produktet blir da [ 1 x1 0 x 2 ] [ ] [ ] 1 y1 1 y1 + x = 1 y 2 0 y 2 0 x 2 y 2 Dermed vil alle potensene av P ha (1, 0) i første kolonne, slik at P ikke er regulær. ]
Oppgave 4.9.14 Matrisen P fra oppgave 4 er regulær og stokastisk, så det nnes en unik likevektstilstand x (som er grensen for hva som skjer i det lange løp). For å nne denne må vi løse (P I )x = 0, som svarer til.40.40.40.30.70.50.10.30.90 x 1 x 2 x 3 = Vi bruker rref og nner at x = x 3 (3, 2, 1). Likevektsvektoren blir derfor x = (1/2, 1/3, 1/6). Sannsynlighet for godt vær i det lange løp er derfor 0.50, det vil si 50%. 0 0 0.
Oppgave 4.9.16[M] Vi har matrisen P =.90.01.09.01.90.01.09.09.90, Hvis en bil blir leid fra City Airport, så forteller første kolonne i matrisen hvordan retur av bilen fordeler seg på de forskjellige stedene. Matrisen er regulær og stokastisk, og har dermed en unik likevektsvektor. Denne nner vi ved å løse (P I )x = 0. Vi får da x = x 3 (0.9192, 0.1919, 1), som gir likevektsvektoren (0.4354, 0.0909, 0.4737). Andelen av bilparken som i det lange løp er Downtown er altså 0.0909, som svarer til ca. 0.0909 2000 182 biler (hele bilparken var 2000 biler).
Oppgave 4.9.18 Vi skal løse [ 1 α β α 1 β ] [ x 1 x 2 ] [ = x 1 x 2 ], eller [ α β α β ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ]. Hvis α 0, så er (x 1, x 2 ) = x 2 ( β α, 1). Likevektstilstand blir β α β 1 ( α + 1, β α + 1) = ( β α + β, α α + β ). Hvis β 0, så er (x 1, x 2 ) = x 1 (1, α β ). Likevektstilstand blir ( 1 α β + 1, α β α β + 1) = ( β α + β, α α + β ). Så hvis α 0 eller β 0 så er ( β α+β, α α+β ) eneste likevektstilstand. Hvis α = β = 0, så er P = I, og alle vektorer er likevektstilstander.
Oppgave 4.9.19 a. Vi har at S x = [1 1]x = x 1 + x 2 + + x n. Det er klart fra dette at x er en sannsynlighetsvektor hvis og bare hvis alle komponentene i x er ikkenegative, og S x(= x 1 + x 2 + + x n ) = 1. b. Hvis P er stokastisk har vi at SP = S [p1 pn] = [S p1 S pn] = [1 1] = S, hvor vi har brukt a) og at kolonnene i P er sannsynlighetsvektorer. c. Vi vet at komponentene i P x er ikkenegative. Vi har at SP x = S x = 1, hvor vi først har brukt b), deretter a). Det følger fra a) at P x er en sannsynlighetsvektor.
Oppgave 4.9.21[M] a) Vi regner ut rref(p-i) for å nne den unike likevektstilstanden. Vi ser at denne på være på formen x 4 (1.4016, 1.6697, 0.9053, 1), og vi får (0.2816, 0.3355, 0.1819, 0.2009) som den unike likevektsvektoren. Det ser ut som kolonnene i P k konvergerer mot likevektstilstanden når k øker. b) At Q er regulær kan du se ved å regne ut Q 2. Vi regner ut rref(q-i) for å nne den unike likevektstilstanden. Vi ser at denne må være på formen x 3 (4.1667, 0.5000, 1), og vi får (0.73530.08820.1765) som den unike likevektsvektoren. Det ser ut som kolonnene i Q k konvergerer mot likevektstilstanden når k øker. c) Velg x 0 = e i som starttilstand. Teorem 18 sier at P k e i konvergerer mor likevektsvektoren. Det vi observerer i a) og b) følger av at P k e i ikke er noe annet enn kolonne i i P k!
Oppgave 4.9.22[M] Hvordan tilfeldig generere en stokastisk matrise? function A=randstocmatrix(n) % Returnerer en regulær stokastisk matrise A = rand(n,n)+1; for (k = 1:n) end A(:,k) = A(:,k)/sum(A(:,k)); Denne koden kan du laste ned fra http://www.ifi.uio.no/~oyvindry/mat1120/randstocmatrix.m. Matrisen som blir generert er også regulær, siden vi legger til 1 inne i koden (som også gjør at vi ikke deler med 0 her).
Hvordan implementere metode (1) og (2) for å nne likevektsvektoren? function [qa, ta, qb, tb] = compare4922(k,n) A = randstocmatrix(n); % har nå en tilfeldig generert regulær stokastisk matrise. %metode (1): tic % Stopp tidtaking B = rref(a-eye(n,n)); qa = B(:,n); qa = - qa; qa(n) = 1; qa = qa / sum(qa); ta = toc; % Stopp tidtaking %metode (2): tic % Start tidtaking x0 = (1/n) * ones(n,1); powerk = (A^k)*x0; qb = powerk(:,1); tb = toc; % Stopp tidtaking
Eksperimenter med å skrive [qa ta qb tb] = compare4922(k,n), Med forskjellige valg av k og n. n er dimensjonen på den stokastiske matrisen vi genererer, k er potensen av denne vi regner ut for å approksimere likevektsvektoren. qa er approksimasjon av likevekstvektoren med metode (1) ta er tid med metode (1) qb er approksimasjon av likevekstvektoren med metode (2) tb er tid med metode (2) Denne koden kan du laste ned fra http://www.ifi.uio.no/~oyvindry/mat1120/compare4922.m.