MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8

Transkript

1 MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 Øyvind Ryan August 2010

2 Innføring i Matlab for dere som ikke har brukt det før Vi skal lære følgende ting i Matlab: Elementære operasjoner Denere vektorer og matriser Operasjoner på vektorer og matriser Komponentvise operasjoner Radoperasjoner Plotting Programmering Vi skal også se på hvordan de samme tingene kan gjøres med Python, hvis du foretrekker Python fremfor Matlab. For en dypere innføring i hvordan tilsvarende operasjoner kan gjøres i Python, se referansene bakerst.

3 roots([1 2 1]) Elementære operasjoner Addisjon, multiplikasjon, potenser Trigonometriske operasjoner (sin, cos, tan, asin, acos, atan etc.) Andre funksjoner (exp, log, sqrt etc.) Matlab kan vise resulater med høy eller lav presisjon: format long format short Generere tilfeldige tall: rand Avrunding av tall: floor ceil round Finne nullpunkter i polynomer. Nullpunktene til x 2 + 2x + 1 = 0 kan du nne ved å skrive

4 Denere vektorer og matriser I det følgende vil små bokstaver brukes på vektorer, store bokstaver på matriser. A denere vektorer. a = 1:10 a = 1:0.5:10 linspace(1,3,100) Å denere radvektorer og kolonnevektorer: a1 = [ ]; a2 = [ ]; % Radvektorer b1 = [ 1; 2; 3 ]; b2 = [ 4; 5; 6 ]; % Kolonnevektorer Radvektorer kan settes sammen slik: A = [ a1; a2 ]; Kolonnevektorer kan settes sammen slik: B = [ b1 b2 ]; Mer generelt gir [ A; B ] mening hvis A og B har like mange kolonner (matrisene settes under hverandre). Mer generelt gir [ A B ] mening hvis A og B har like mange rader (matrisene settes ved siden av hverandre).

5 Å trekke ut den tredje raden i en matrise: a3 = A(3,:) Å trekke ut den andre kolonnen i en matrise: b2 = B(:,2); Du kan nne 2 2-undermatrisen i øvre venstre hjørne ved å skrive A(1:2,1:2) Dimensjonene til en matrise: [m,n] = size(a);

6 Operasjoner på vektorer og matriser Elementære operasjoner fungerer som for vanlige tall, men dimensjonene til matrisene må matche (A+B,A-B etc.) Hvis u og v er vektorer så er prikkproduktet gitt ved dot(u,v) Samme som å skrive u*v' hvis u og v er radvektorer. Kryssproduktet er gitt ved cross(u,v) Lengden til en vektor er gitt ved norm(u) Determinanten er gitt ved det(a) Du får en feilmelding hvis A ikke er kvadratisk. Bringe en matrise på redusert trappeform: rref(a) Rangen til en matrise rank(a)

7 Andre operasjoner Finne nullrommet til en matrise: null(a) Finne basis for kolonnerommet til en matrise orth(a) Transponere en matrise A' Inversen til en matrise inv(a) Sum av elementer i en matrise sum(a) sum(sum(a)) Produkt av elementer i en matrise prod(a) prod(prod(a))

8 Egenverdier og egenvektorer [U,V] = eig(a); Kolonnene i U vil da beskrive egenvektorene til A, V er en diagonalmatrise hvor de tilhørende egenverdiene ligger på diagonalen. Å løse ligningsystemer. Løsningen på ligningssystemet A*x=b får du ved å skrive A\b (legg merke til at deletegnet går motsatt vei!). Dette er det samme som å skrive inv(a)*b, men Matlab utfører kommandoen mye raskere (siden den ikke regner ut den inverse). Mer generelt er A/B det samme som A*inv(B), A\B det samme som inv(a)*b.

9 Noen spesielle matriser Identitetsmatrisen A = eye(3,3) Matrise med bare nuller A = zeros(3,3) Matrise med bare enere A = ones(3,3) Vi vil bruke kommandoen rand veldig ofte til å generere matriser som vi bruker i eksempler: A = rand(3,3)

10 Komponentvise operasjoner. før en operasjon brukes for å angi at operasjonen skal gjøres på alle elementene i matrisen, ikke for matrisen som helhet. + og - er allerede komponentvise operasjoner A.*B er derimot noe annet enn A*B På samme måte er A.^m noe annet enn A^m. Legg spesielt merke til forskjellen mellom A.^(-1) og A^(-1). Legg merke til forskjellen på A./B og A.\B. Dette er forskjellig fra A/B og A\B. Flere operasjoner er allerede komponentvise. For eksempel vil sin(a) beregne sin() for alle elementene i matrisen. Det samme gjelder funksjoner som (exp, log, rand, etc.) Det eksisterer ere normer for en matrise. En av dem er Hilbert-Schmidt normen, som kan programmeres slik: sqrt(sum(sum(a.^2)))

11 Plotting med Matlab Bruk kommandoen plot plot(x,y) plotter vektoren x mot vektoren y x=linspace(0,3,100); plot(x,x.^2) Plotte ere kurver sammen: plot(x,x.^2,'r-',x,x.^3,'g--') Her plottes den ene kurven med rød, heltrukken linje, den andre med grønn, stiplet linje. Mange andre farger og mønstre er også mulig (skriv help plot i Matlab). Bruk legend til å sette navn på kurver. For plottet over, legg til legend('andregradskurve','tredjegradskurve')}

12 Andre nyttige ting ved plotting Bruk axis til å sette øvre og nedre grense for aksene axis equal får aksene til å tegnes med samme målestokk. Bruk xlabel, ylabel til å sette navn på aksene Skriv hold on for å holde på et plott slik at de neste plottene blir tegnet i samme gur. Skriv hold off når du er ferdig. figure får Matlab til å lage et nytt plottevindu title og text kan brukes til å sette tittel og tekst på gurer. Skrive gurer til l print -deps 'figur.eps'

13 Programmering Matlabkode Lagres i m-ler Matlab nner m-la du skal kjøre hvis du står i området hvor la ligger (bruk cd), eller hvis la ligger i pathen til Matlab. Funksjoner Nøkkelordet function skal være først i la. har en eller ere returvariable har en eller ere input-variable Bruk av semikolon. Veldig ofte vil vi ikke at Matlab skal skrive ut hele resultatet av en regneoperasjon (en matrise kan jo være veldig stor!). Legg da til et semikolon til slutten av operasjonen du vil regne ut. = og == er ikke det samme! & (og), (eller), ~ (ikke), a~=b (a forskjellig fra b)

14 Programmering If-tester Løkker for while break If-tester og løkker avsluttes med end. Skrive ut tekst fprintf('snart er det eksamen') fprintf('uff, det er bare %i dager til eksamen',3) Siste svar: ans

15 Eksempel med programmering av determinantfunksjonen (Matlab) function determ=detdef(a) [m,n]=size(a); if m~=n fprintf('matrisen er ikke kvadratisk!'); elseif (n==1) determ = A(1,1); else determ = 0; for k=1:n % Konstruerer forst en (n-1)x(n-1) undermatrise newmatr = [ A(2:n,1:(k-1)) A(2:n,(k+1):n) ]; % Bruker saa definisjonen av determinanten determ = determ + (-1)^(k+1) * A(1,k) * detdef(newmatr); end end

16 Matlab vs. Python Husk at Python er mer et programmeringsspråk enn hva Matlab er (som er mer en verktøypakke for lineær algebra). I Python må man importere pakker eksplisitt I Python har man klassen linalg og pakken numpy. Mange kommandoer er så å si like, for eksempel hvordan man nner egenverdier og egenvektorer. Matriser deneres vanligvis som todimensjonale arrays. Graske primitiver fungerer veldig likt

17 Hjemmelekse Sørg for at du forstår koden for vår programmering av determinantfunksjonen Plott y = x og y = x i samme koordinatsystem, mellom x = 0 og x = 1. Generer en tilfeldig 3 3-matrise ved hjelp av kommandoen rand. Bring denne på redusert trappeform ved å utføre de elementære radoperasjonene direkte med Matlab.

18 Ressurser Innføring i Matlab for MAT1110: MAT1110/v10/1110compmatlab.pdf Dette heftet inneholder også ere oppvarmingsoppgaver for Matlab. Python-versjon for denne nnes på: MAT1110/v10/1110comppython.pdf Videregående Matlab for MAT1120 nnes på: MAT1120/h10/1120comp.pdf

19 MAT1120 får Matlab-sto lagt ut fortløpende i løpet av høsten (for eksempel kode som blir brukt på forelesningene og plenumsregningene). Studer help i Matlab for en del av funksjonene beskrevet på disse foilene Mye Matlab-relatert sto nnes også på cd'en som følger med læreboka