Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet til A. Altså: rank A = dim(col A) = antall pivoter i rref(a) Så rank A minimum(m, n). Hvis S {0} er en endelig delmengde av et vektorrom V og W = Span S, så er dim W = det største antall lineært uavhengige vektorer i S Dermed: = det minste antall vektorer i S som utspenner W. rank A er det største antall lineært uavhengige kolonner i matrisen A. rank A er det minste antall kolonner i A som utspenner Col A. 1 / 16

Hvis vi lar r 1,..., r m betegne radvektorene til A og betrakter disse som vektorer i R n, er radrommet til A definert som underrommet av R n gitt ved Row A = Span{r 1,..., r m }. Derfor er Row A = Col A T. Vi kan bestemme en basis for Row A ved å betrakte A T og radredusere denne. Alternativt kan vi argumentere slik: Radrommet til en matrise forandrer seg ikke under radoperasjoner. Dermed er Row A = Row (R) der R = rref(a). En basis for Row R, og dermed for Row A, består av alle radvektorene i R som inneholder en pivot. Dette gir : dim(row A) = antall pivoter i R = rank A. 2 / 16

Vi har dermed begrunnet første påstand i følgende: TEOREM 14 ( Rangteoremet): Kolonnerommet og radrommet til en m n matrise A har samme dimensjon: rank A = dim(col A) = dim(row A) Videre gjelder dimensjonsformelen rank A + dim(nul A) = n (= antall kolonner i A) dim(nul A) kalles ofte for nulliteten til A. Dimensjonensformelen angir hvordan rangen og nulliteten til en matrise er knyttet sammen. 3 / 16

Bevis: Dimensjonsformelen: Vi vet at rangen til A er lik antall pivotkolonner i R = rrefa. På den andre siden har vi sett at dimensjonen til nullrommet til A er antall frie variable i systemet A x = 0, og at dette er lik antall ikke-pivot kolonner i R. Tilsammen får vi: rank A + dim(nul A) = antall kol. i A = n. Eksempler, bruk Matlab. Rangteoremet gir også at: Hvis P er en stokastisk n n matrise, så har likningen Pq = q alltid ikke-trivielle løsninger. 4 / 16

Med det vi har sett i dette kapitlet kan vi legge til noen flere utsagn til IMT: TEOREM (Tillegg til IMT): La A være en n n matrise. Da er følgende utsagn ekvivalente: a A er invertibel. m Kolonnene i A er en basis for R n. n Col A = R n. o dim(col A) = n. p rank A = n q Nul A = {0}. r dim(nul A) = 0. Bevis: Tavle/bok! (Vi sier da at A har full rang). Merk: I m kan vi bytte kolonnene med radene, og i n og o kan vi bytte Col A med Row A. 5 / 16

Hvordan kan vi beregne rangen til en matrise? Kan bruke Gauss eliminasjon og beregne rref...... men dette vil kunne gi feil p.g.a. avrunding underveis. I stedet beregnes gjerne rangen ut fra den såkalte singulær verdi dekomposisjonen til matrisen, SVD en til A. Skal gå nærmere inn på dette på slutten av kurset. I Matlab finnes en (nokså komplisert) algoritme som beregner SVD en til A, og rank A fastsettes på grunnlag av denne. 6 / 16

4.7 Bytte av basis Det er mange (!) basiser for et vektorrom. Når vi jobber med et konkret problem kan det hende at en basisen er gitt. Men av og til ønsker å gå over til en annen basis. Hensikten er da å forenkle problemet. Eksempel: beregne potenser A k av en kvadratisk matrise A. Dette er enkelt for diagonalmatriser; noen ganger kan vi bytte basis slik at dette forenkler beregningen av A k til å beregne D k, der D er en diagonalmatrise (samt et par matriseprodukter). Mer om dette senere! Neste teorem sier hvordan koordinatene til en vektor endrer seg når vi bytter basis. 7 / 16

TEOREM 15: Anta B = {b 1, b 2,..., b n } og C = {c 1, c 2,..., c n } er basiser for et vektorrom V. Da finnes en unik n n matrise P C B som er slik at for alle x V. [x C = P C B [x B Kolonnene i P C B er C-koordinatvektorene til vektorene i B: [ P C B = [b 1 C [b 2 C [b n C. Matrisen P C B kalles basisskiftematrisen (eller koordinatskiftematrisen) fra B til C. Merk: Basisskiftematriser er invertible. (Dette følger av Korollar til Teorem 8 i Notat 1). 8 / 16

Bevis: Betrakt x V og la [x B = (λ 1, λ 2,..., λ n ). Da er x = λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + + λ n b n. Siden koordinatavbildning er lineær får vi [x C = [λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + + λ n b n som ønsket. = λ 1 [b 1 C + λ 2 [b 2 C + + λ n [b n C λ 1 = [ λ 2 [b 1 C [b 2 C [b n C. λ n = P C B [x B, C 9 / 16

Entydigheten av P C B Anta at Q også er en n n matrise som er slik at [x C = Q [x B for alle x R n. Vi setter x = b j (der 1 j n) i likningen [x C = P C B [x B Siden [b j B = e j gir det [b j C = Q [b j B = Q e j. Dette betyr at j-te kolonne i P C B = j-te kolonne i Q. Det viser at Q = P C B, og derved at P er unik. 10 / 16

Eksempel. Betrakt b 1 = ( 9, 1), b 2 = ( 5, 1) og c 1 = (1, 4), c 2 = (3, 5). Da er B = {b 1, b 2 } og C = {c 1, c 2 } begge basiser for R 2. Vi skal bestemme basisskiftematrisen P C B. Må altså finne koordinatene til b 1 og b 2 i basisen C. Anta [b 1 C = (x 1, y 1 ) og [b 2 C = (x 2, y 2 ). Da må [ [ x1 x2 [c 1 c 2 = b y 1, [c 1 c 2 = b 1 y 2 2 Disse to lineære likningssystemene har samme koeffisientmatrise, så vi kan løse dem samtidig ved å radredusere den utvidede koeffisientmatrisen (med to høyresider, b 1 og b 2 ) [ [ c 1 c 2 b 1 b 2 = 1 3 9 5 4 5 1 1. 11 / 16

Denne matrisen er radekvivalent med [ 1 0 6 4 0 1 5 3. Dermed er [b 1 C = (6, 5) og [b 2 C = (4, 3). Så [ 6 4 P C B =. 5 3 Merk: Samme oppskrift kan brukes for å finne basisskiftematrisen mellom to basiser B = {b 1 b n } og C = {c 1 c n } for R n : [c 1 c n b 1 b n = [ P C P B [ I PC B 12 / 16

Eksempel. La b 1 = (1, 3), b 2 = ( 2, 4) og c 1 = ( 7, 9), c 2 = ( 5, 7). Da er B = {b 1, b 2 } og C = {c 1, c 2 } basiser for R 2. Vi skal bestemme basisskiftematrisen P B C. Bruker da at Vi får [b 1 b 2 c 1 c 2 [I P B C [ b1 b 2 c 1 c 2 = [ Utregning gir at denne er radekvivalent med [ 1 0 5 3. 0 1 6 4 Dette betyr at P B C = Merk rekkefølgen! 1 2 7 5 3 4 9 7 [ 5 3 6 4. 13 / 16

Anta igjen at B = {b 1, b 2,..., b n } og C = {c 1, c 2,..., c n } er basiser for et vektorrom V. Hva er sammenhengen mellom P C B og P B C? Vi vet at [x C = P C B [x B. for alle x R n. Ved å multiplisere med den inverse av P C B får vi for alle x R n. [x B = ( P C B ) 1 [xc. Dette betyr at multiplikasjon med ( P C B ) 1 svarer til å skifte fra C-koordinater til B-koordinater. Ved entydigheten av P B C får vi dermed at P B C = ( P C B ) 1. Tilsvarende: PC B = ( P B C ) 1 14 / 16

Eksempel. Betrakt igjen b 1 = ( 9, 1), b 2 = ( 5, 1) og c 1 = (1, 4), c 2 = (3, 5), B = {b 1, b 2 } og C = {c 1, c 2 } i R 2. [ 6 4 Vi har allerede regnet ut at P C B =. 5 3 Dermed er P B C = ( [ ) 1 1 6 4 P C B = = 1 [ 3 4. 5 3 2 5 6 Siden P B C = [ [c 1 B [c 2 B betyr dette at og [c 1 B = 1 2 ( 3, 5), m.a.o. c 1 = 3 2 b 1 + 5 2 b 2 [c 2 B = 1 2 ( 4, 6) = ( 2, 3), m.a.o. c 2 = 2 b 1 + 3 b 2. 15 / 16

Eksempel. Betrakt V = Span{sin 2 t, cos 2 t} og dens basis B = {sin 2 t, cos 2 t}. Vi har sett før at C = {1, cos 2t} også er en basis for V, og at [ 1 [1 B =, [ cos(2t) [ 1 1 B =. 1 Det gir at P B C = [ 1 1 1 1. Dermed er P C B = ( P B C ) 1 = 1 2 [ 1 1 1 1. Hvis f.eks. f (t) = 5 sin 2 t 3 cos 2 t, så er [f B = (5, 3). Dermed er [f C = P C B [f B = 1 [ [ [ 1 1 5 1 =. 2 1 1 3 4 Det betyr at f (t) = 1 4 cos 2t, noe vi ser er riktig. 16 / 16