Løsningsforslag Eksamen M Onsdag.desember 005 Her følger et kort løsningsforslag, med forbehold om at det kan ha sneket seg inn enkelte feil... Oppgave (0) a) V basskasse dm 5,5dm 5,0dm 75,dm 75, l Basskassen kan altså ha et volum på opptil 75, liter. b) Volum som funksjon av basstørrelse Volum (l) 0 90 70 50 0 0-0 -5-0 0 5 0 5 0-0 -50 Basstørrelse i) Dette ser ut til å være en lineær funksjon siden grafen er en rett linje. ii) Volumet V(x) er altså en funksjon av basstørrelsen x. Vi ser på grafen at dette er en lineær funksjon, so m på generell form ser slik ut: f ( x) ax + b Stigningstallet a kan vi finne ved å lese av på grafen eller tabellen. Vi ser da på hvor mye grafen stiger for hver økning i x-verdi, for eksempel ser vi både i tabellen og på grafen at funksjonen øker med 0 liter når vi øker basstørrelsen fra 8 til 0. Dermed øker den med 5 liter for hver gang bassstørrelsen går opp en størrelse. Dermed er a 5. Konstantleddet b må være lik null, siden grafen skjærer i origo. Altså: V ( x) 5x Figur
iii) Siden vi har funksjonsutrykket og maksimal basskassevolum er 75, liter kan vi bruke funksjonsutrykket til å lage en likning: V ( x) 5x 75, 5x x 75, 5 5, Den største mulige basstørrelsen Trygve kan ha er størrelse 5, siden man kun kan kjøpe hele størrelser. c) i) Siden prisen per passasjer er avhengig av hvor mange passasjerer som er med, og at bensinutgiftene skal deles likt på alle, må vi ta totalutgift og dele på antall passasjerer for å 000 finne pris per passasjer. Dermed ender vi opp med P( x) x ii) Funksjonen i opg. B) er et eksempel på direkte proporsjonalitet, fordi volum øker proporsjonalt med at basstørrelsen økes, og proporsjonalitetsfaktoren er 5. Når det gjelder pris per passasjer, P(x), synker den proporsjonalt med at antall passasjerer øker. Vi kan sjekke dette ved å se at hvis antall passasjerer fordobles fra til, så vil P(x) gå fra 500 til 50, altså halveres. Vi sier da at de er omvendt proporsjonale størrelser. iii) Variabelen x, som angir antall passasjerer, kan ikke være 0, fordi det er umulig å dele et tall på 0. Vi kan dele 000 på et bittelite tall som nærmer seg 0, og hvis vi tegner opp grafen til P(x) vil vi se at funksjonsverdien da nærmer seg uendelig. Vi kan også si at x kun kan være hele naturlige tall siden det er snakk om antall passasjerer, og ikke høyere enn 5, siden en vanlig personbil ikke har lov til å ha flere passasjerer. Skrevet med mengdesymboler: x,,,,5 { } iv) Pris per passasjer, P(x) er en variabel, fordi prisen kan variere, den er ikke konstant. Variasjonen i pris kommer fordi pris per passasjer er avhengig av antall passasjerer (x). Dermed er P(x) avhengig av variasjonen i en annen variabel, og vi sier derfor at P(x) er en avhengig variabel. (Variabelen x er ikke avhengig av andre variabler, og den er derfor en uavhengig variabel.) - -
Oppgave (0) a) i) ii) 7 5 7 7 8 8 iii) a a a a 7 a iv) 7a 7 a + a + a v) 9 + a + a ( + a) + a ( + a) + a b) Midt-Norge: 0 lister Sørlandet: 59780lister 0995 lister 5 Nord-Norge: 0,05 59780lister 789 lister Østlandet: 59780lister 50 lister 7 Vestlandet: 59780 lister 0lister 0995lister 789lister 50lister 75 lister 0 c) 0,0588 0, 059, altså 5, 9 av listene kom fra Midt-Norge 59780 d) Begge fremgangsmåtene gir rett og samme svar fordi de begge regner ut akkurat det samme! Forskjellen er at på skolen gjør de utregningen i to operasjoner, mens de på nisseverkstedet gjør det i en operasjon, noe som må sies å være mest effektivt! Her setter vi først opp skolens regnemåte og ser at den er akkurat den samme som nisseverkstedets: 0 7cm + 7cm 7cm + 7cm 0,0 7cm( + 0,0) 7cm, 00 - -
Oppgave (0) a) i) To av Odins bein er forbein. Sannsynligheten for at han mistet et forbein er da ( 0, eller, godtas) ii) Vi går ut fra at når Odin kjemper mot fluesmekkeren er det like stor sannsynlighet for å miste et forbein, "mellombein" eller bakbein. Sannsynligheten er altså like stor for å miste hvert av beina. (Det kan også argumenteres for at vi ikke kan se på dette som en uniform sannsynlighetsmodell, men det var ikke oppgaven.) b) Tre av Odins bein er på høyre side. Hvis vi fortsatt ser på dette som en uniform sannsynlighetsmodell blir sannsynligheten for at mistet et bein på høyre side (0,5 og 50 er like riktig) c) Antall gunstige her blir å finne på hvor mange måter en kan treffe av de 0 jentene og av de guttene. Multiplikasjonsprinsippet gir 0 0 9 8 7 5 5 0 9 0 00 00 5 Antall mulige er så mange måter det er mulig å treffe av fluer: 0 9 8 7 5 705! Sannsynligheten for å treffe "jenter" og "gutter blir da 00 0, (, ) 705 0 0 0 0 00 Kan også settes opp slik: ( ) P X 0, 705 d) Det blir lagd 5 0 ulike typer nissedokker. e) Det lages 000 : 00 dukker av hver type. Dukken Jørgen ønsker seg har sort hår, rød genser og tresko. Men den kan fortsatt ha to farger på lua, tre ulike buker og to ulike votter. Det betyr at det er ulike dukketyper som vil oppfylle Jørgens ønske. Det lages 00 av hver type. Altså er det 00 00 dukker av de 000 som vil oppfylle Jørgens ønske. 00 Sannsynligheten for at han får en slik dukke han ønsker seg er da 0, 05 000 (5 eller 0 er også riktige svar) - -
Oppgave (0) a) x 9 x 8 x x 9 x x 8 7x 9 + 9 8 + 9 7x x Når vi løser en likning er vi underlagt likhetstegnets funksjon. Likhetstegnet krever at det er lik tallverdi på begge sider, og hvis man vil endre noe på en side (legge til/trekke fra/dele/gange osv) må man gjøre det samme på den andre siden. Pers likning kan derfor løses ved at man først trekker fra x på hver side, på denne måten oppnår man å få x-er kun på venstre side. Det kan nå se ut som om vi bare har flyttet x over til andre siden og byttet fortegn, men det er altså ikke det vi har gjort. Men for å slippe å være så omstendelig hver gang vi løser en likning kan vi bruke regelen om at det er lov å flytte/bytte, så lenge vi forstår at vi egentlig gjør det samme på hver side for at likhetstegnet fortsatt skal være gyldig. b) x x + ( x + ) x x + ( x + ) x x + ( x + ) x + ( x + ) x x + x + x x + x x x c) b b a + ( a + b) a + ( a + b) a + a + 8b b a + b (a + b) a + b a ( a + b) b + a + ( a + b) b Dette er ingen likning. Her har vi et algebraisk uttrykk (bokstavuttrykk), men det er stort og tungvint og består av flere ulike brøker, så vi vil gjerne forsøke å forenkle mest mulig. Men her kan vi ikke bare gange opp med et tall som vi gjorde på begge sider i likninga, for da ville vi forandret/forstørret forholdene mellom tallverdiene. Men det vi kan gjøre er å utvide brøkene (som gjort ovenfor); de har fortsatt samme verdi men får felles nevner slik at vi kan sammenlikne dem, trekke sammen og til slutt få et ganske enkelt uttrykk som er enklere å forholde seg til. d) T iii) n( n +) i) T 5 5 ii) 0 55 T n e) ingen løsningsforslag på denne deloppgaven, må vurderes individuelt. - 5 -
Oppgave 5 (0) a) Her er det valgt en målestokk på :00. Det vil si at cm på konstruksjonen tilsvarer m på bassenget. Figur - Trakk en linje og avsatte A litt inn på linjen. - Avsatte G,5 cm fra A - Konstruerte en normal nedover fra A, og avsatte B 0,8 cm fra A - Konstruerte en normal nedover fra G, og avsatte F 0,8cm fra G - Trakk en stiplet linje fra B til F - Avsatte C på linja BF,,5cm fra B - Konstruerte 0º i C, halverte denne og fikk 0º. - Avsatte E på normalen fra AG, cm nedenfor G - Konstruerte en normal i punktet E - Finner D i skjæringspunktet mellom normalen fra E og C's høyre vinkelbein b) På konstruksjonen av bassengsiden er CDH en 0, 0 og 90º trekant. Figur Den korteste kateten, DH EG FG m 0,8m,m. Hypotenusen, CD, må da være dobbelt så lang. Den skrå lengden er,m,m - -
En trekant der vinklene er 0, 0 og 90º er egentlig halvparten av en likesidet trekant (se ABD i figuren nedenfor). I en likesidet trekant er som kjent alle sidene like lange, og alle vinklene er 0º. På figuren til venstre er ABC en likesidet trekant. Linja BD halverer vinkelen B slik at ABD 0º. Punktet D halverer AC slik at AD er halvparten av AC. Siden AC AB og AD AC, så må AD AB. c) Bassenget kan sees på som et rett prisme der bassengsiden fra oppgave a) er grunnflata. Volumet av bassenget finner vi da ved å multiplisere arealet av sideflata med bredden av bassenget. Formelen er kanskje mest kjent som V G h der G er arealet av bassengsiden og h er bredden på bassenget. Det første vi må gjøre er å finne arealet av bassengsiden. På figuren under ser vi at bassengsiden er en sammensetning av et rektangel (BFGA) og et trapes (DEFC) For å kunne regne ut arealet av trapeset må vi kjenne lengden av de parallelle sidene (DE og FC) og avstanden mellom dem. Avstanden mellom dem kjenner vi, den er EF,m. FC AG BC,5m,5m 8m Problemet er nå DE. Fordi DEFH er et rektangel vet vi at DE FH, men for å finne FH må vi først regne ut HC. Fordi CDH er en rettvinklet trekant, kan vi benytte pythagoras setning til å regne ut lengden av HC. DH EF,m HC + DH CD HC CD DH HC,, HC 9,,8 HC,5 HC, 5,8 ):,8cm. [Tegnet ): betyr det vil si] DE FH AG (BC + HC),5m (,5m +,8m),5m 8,m,m Da kan vi regne ut arealet av trapeset: A trapes EF ( FC + DE),m (8m+,m),m, m,m - 7 -
Rektangelet har sider 0,8m og,5m A rektangel 0,8m,5m 0,0m Arealet av grunnflata, G,m + 0,0m,m. Volumet av bassenget:,m m 9,m 900dm 900 d) Når alle lengder deles med to, må volumet deles med. Volumet av det lille bassenget blir da 900 liter : 8 700 liter - 8 -
#$ $! " & ' ( * + ) + ", - 9 -