Stoasts forsø el. espermet Iførg medss statst Del I - Høst 008 Kapttel 4. Dsret sasylghetsfordelg Harald Johse, sept. 008 Et ret tes begrep for e prosess der heste er å framsaffe data om hedelser der utfallet a varere og e forutses med serhet. Hvle mulgheter som forelgger, er mdlertd jet. Noe esempler på stoastse forsø: a) Kast med pegestye. Regstrerer resultat som Kroesde opp eller Mytsde opp. b) Kast med e treg. Regstrerer resultat som atall øye som terge vser. c) Kast med et pegestye tl resultatet Kroe opptrer første gag. Noterer atall ast astsere. d) Fotballamp. Regstrerer resultat som Hjemme, Uavgjort eller Borte. e) Sydom. Regstrerer resultat som Frs, Kros sy eller død. Felles for a, b, c og d: I hvert eelt tlfelle a v e foruts hva resultatet av espermetet blr. Me det a ags e megde av mulge eelresultater sl at hvert eelt forsø gr som resultat ett og bare ett av resultatee megde. (For esempel tergast vet v på forhåd at utfallet må bl ett og bare ett av tallee,, 3,,6 der tallet beteger atall øye opp.) I hvert tlfelle a e, alle fall tee seg, at espermetet a gjetas uder samme betgelser så mage gager e øser, og det er tllegg uderlagt statsts regelmessghet. Statsts regelmessghet Ata et stoasts forsø, for esempel ast med mytstye, der A er hedelse roe. Mytstyet astes gager og atall gager som resulterer roe, alles A. Det vser seg erfargsmessg at de relatve hyppghet av A, A /, har e tedes tl å stablsere seg ærhete av et bestemt tall p år gjøres større, og e y forsøssere vl erfargsmessg A / gje stablsere seg rudt p. De relatve hyppghete av A er et aslag (estmat) for p, og det er opplagt at 3 A 0. Utfallsrom Megde av alle eeltutfall et (stoasts) forsø alles utfallsrommet (eg.: sample space) og beteges valgvs med S. Eeltutfallee blr derfor elemeter utfallsrommet. I esemplee ovefor blr utfallsrommee: a) S = {Kroe, Myt} b) S = {,, 3, 4, 5, 6} c) S = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,.} d) S = {Hjemme, Uavgjort, Borte} e) S = {Frs, Kros sy, Død} Mer at elemeter et utfallsrom a bestå av målbare, evt. tellbare størrelser som tall eller være valtatve som for esempel utfallet av e fotballamp. E hedelse består av ett eller flere av elemeter utfallsrommet. F. es. a det være av teresse å studere hedelse {mst 4 øye et tergast}. Her blr hedelse megde {4, 5, 6}, m.a.o. e udermegde av utfallsrommet S. Hedelse trer år terge vser 4, 5 eller 6 øye. 4
I esemplee a, b, d, og e består utfallee av edelge mage elemeter. I esempel c består utfallsrommet av uedelg, me ummererbart atall elemeter. Alle stuasjoee ovefor er esempler på dsrete utfallsrom. Dersom utfallsrommet består av uedelge mage elemeter som e lar seg ummerere, ses det å være otuerlg. Dette er tlfelle år v har å gjøre med e otuerlg målesala som f. es. høyde, vet osv. Stoasts varabel For å ue rege med sasylgheter for ule utfall og hedelser et stoasts forsø treger v e tallmessg størrelse yttet tl de eelte utfall og hedelser utfallsrommet. E sl størrelse alles e stoasts varabel og beteges valgvs med (stor) X. X blr å e matemats fusjo av e hedelse. V a alle hedelse e (eg.: evet) og srver da X(e) for å pressere at varabele er yttet tl dee hedelse. I esemplet med ast med pegestye er mulge utfall (hedelser) Kroe eller Myt. I tlfeller som dette med u to utfall deferes X det symbolet e a sløyfes:, Kroe X = 0, Myt Før astet vet v e hva X blr, u hva X a bl, dvs. X er stoasts. Etter astet vet v utfallet, og de stoastse egesape er ute. Observert X, realserge av X, oteres med (lte) x. Det fes to hovedtyper at e stoasts varabel, otuerlg eller dsret. Kotuerlg stoasts varabel (mer om dette Kap. 5) E stoasts varabel med mulge verder som e a ummereres, alles e otuerlg stoasts varabel. Syoym: Målevarabel, salavarabel Noe egesaper tl otuerlg stoasts varabel: Sasylghete for å ta e bestemt verd er ull. Sasylgheter uttryes over tervall av eeltverder ved hjelp av e sasylghetstetthet. 5 6 Dsret stoasts varabel E stoasts varabel som bare a ata et edelg atall verder, eller høyst et ummerert atall verder, alles e dsret stoasts varabel. Syoym: Tellevarabel Noe egesaper: Varabele a evetuelt ha uedelg mage verder, me de må ue ordes e seves og telles. Sasylghete for e eelte verder er gtt av e putsasylghet Sasylghetsfordelg for dsret stoasts varabel - putsasylghet Verdee som e dsret varabel a ata og tlhørede sasylghet a uttryes ved hjelp av e Putsasylghet (probablty mass fucto) Sasylghetsfordelge utryes som P(X=x), der x beteger de mulge utfall av X. Kast med terg, x =,, 3,, 6 x 3 4 5 6 P(X=x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 7 8
Sasylghetsfordelg Sasylghetsfordelg esempel Es 4.6: Sasylghetsfordelg for atall hypertore som blr ormotesve av 4 som har fått blodtrysseede medamet x 0 3 4 P(X=x) 0.008 0.076 0.65 0.4 0.40 Mer at sasylghete for e bestemt verd alltd lgger mellom 0 og og at summe av sasylghetee for alle mulge verder av X alltd er l. Pr(X=r) 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.0 0 3 4 Atall ormotesve etter behadlg 9 0 Forvetgsverd for dsret stoasts varabel Et mål for tygdeputet sasylghetsfordelge Bereges som et ved gjeomstt av hver eelt verd x av de stoastse varabele. Vetee er sasylghete for de eelte utfall. E [ X ] μ = x P( X = x ) = Spesaltlfelle: Ved uform sasylghetsfordelg, dvs. sasylghete er de samme for alle eeltutfall, er forvetge l de artmetse mddelverd av de mulge verder av X. NB: På egels a mea bety både mddelverd (mea value) og forvetg (expected value), alt etter megssammehege. På ors sjeler v mellom dsse to begrepee, og de er e detse. Forvetgsverd - esempel Kast med terg, X er mulge atall øye, x er observert atall øye x 3 4 5 6 P( X =x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 6 EX [ ] = xpx ( = x) x= = P( X = ) + P( X = ) + 3 P( X = 3) + 4 P( X = 4) + 5 P( X = 5) + 6 P( X = 6) = + + 3 + 4 + 5 + 6 = = 35. 6 6 6 6 6 6 6
Forvetge tlsvarer gjeomsttet av øye ved (uedelg) mage tergast. Mer som her at forvetgsverde e ødvedgvs tlhører utfallsrommet for det eelte forsø. Forvetgsverd - esempel EKS 4.9; Forvetgsverde for X= atall ormotesve etter blodtrysbehadlg av 4 paseter x 0 3 4 P(X=x) 0.008 0.076 0.65 0.4 0.40 4 EX [ ] = xpx ( = x) x= 0 = 0 P( X = 0) + P( X = ) + P( X = ) + 3 P( X = 3) + 4 P( X = 4) = 0 0. 008 + 0. 076 + 0. 65 + 3 0. 4 + 4 0. 40 =. 80 Varas for dsret stoasts varabel Varase Var(X) er et mål på spredge av dataee rudt forvetgsverde Var( X) σ = ( x μ) P( X = x ) = Mer av varase er forvetge tl ( X μ) Var( X ) = E ( X μ ) = E( X μ X +μ ) = E( X ) μ E( X) +μ = E( X ) μ +μ ( ) = E( X ) μ = E( X ) E( X) Ford varase alltd er e-egatv, følger også at EX ( ) EX ( ) ( ) og a derfor også uttryes som 3 4 Varas - esempel Stadardavv De postve rote tl varase alles stadardavvet: EKS 4.9: Varase tl X = atall ormotesve etter blodtrysbehadlg av 4 paseter x 0 3 4 P(X=x) 0.008 0.076 0.65 0.4 0.40 EX ( ) =μ= 8. 4 Var( X ) = ( x μ) P( X = x) = E( X ) μ x= 0 = 0 P( X = 0) + P( X = ) + P( X = ) + 3 P( X = 3) + 4 P( X = 4) 8. = 0. 0076 + 0. 65 + 3 0. 4 + 4 0. 40. 8 = 0. 835 SD( X ) + Var( X) =+ σ =σ Esempel 4.9 (hypertoere): Var( X ) = 0. 835 SD( X ) = 0. 835 = 0. 94 Mer at lhet med varas er også stadardavv e e-egatv størrelse. Det er derfor megsløst å oppg stadardavvet som for esempel ± 0. 94. 5 6
Sammelg av teorets sasylghetsfordelg og observert frevesfordelg Sasylghetsfordelg og frevesfordelg.5 Esempel 4.8: Sammelg av teorets sasylghetsfordelg med frevesfordelg fra utvalgsforsø. Utfall er atall hypertoere som blr ormotesve. Forsøet er basert på 00 leger som hver behadler 4 hypertoere Atall hypertoere uder otroll, x Sasylghetsfordelg P(X=x) Frevesfordelg (observert) 0 0.008 0.00 =0/00 0.076 0.09 =9/00 0.65 0.40 =4/00 3 0.4 0.480 =48/00 4 0.40 0.90 =9/00 Sasylghet.4.3.. 0.0 0 3 4 Freves-fordelg Sas.fordelg Atall hypertesve uder otroll 7 8 Ltt ombator Har to grupper (megder), I og II med heholdsvs og elemeter: I:{ a, a, a3,..., a } II :{ b, b, b3,..., b } Hvor mage ule par a daes med ett elemet fra hver gruppe? Svar: Ifører er tredje gruppe III :{ c, c, c3,..., c 3} Ka da dae 3 trpler med ett elemet fra hver gruppe. Kombatorsetg: Ved ombasjo av ett elemet fra hver av r grupper a det daes 3... r r-tupler der er atall elemeter -te gruppe. To esempler: ) E afetera tlbyr e 3 rettes mddag med adgag tl å velge é forrett blat 3, é hovedrett blat 6, samt é dessert blat 4. Atall mulge mddager blr da 364 = 7. ) Tppg fotball. amper, hver med 3 mulge utfall. Atall mulge måter å fylle ut e tpperee på blr 3 3... 3 = 3 = 5344. Ordet utvalg I det følgede sal v alltd foreta utvelgg fra e edelg megde (populasjo) av elemeter som v beteger {a, a, a 3,,a }. Defsjo: E hvle som helst ordet seves av elemeter fra populasjoe alles et ordet utvalg av størrelse. Et utvalg av størrelse 3 a for esempel være {a, a 5, a 7 } (forutsatt 7). I prspp a v tee oss at ett og ett elemet velges gage. For å ue avgjøre hvor mage ordede utvalg som er mulge av totalt elemeter må v først pressere om utvelgelse sjer med eller ute tlbaeleggg av elemetet etter hver treg. 9 0
Noe regler fra ombatore V teer oss e ure (bos) med uler ummerert fra tl. Så trees s uler é og é ad gage. Ordet utvalg med tlbaeleggg Regel : Når uler trees med tlbaeleggg fra e bos med uler, vl atall ordede utvalg være. Ved første treg er det mulgheter. Kule legges tlbae, og este treg er det gje mulgheter osv. Dette gjøres gager. Speselt a samme ule trees flere gager. Det totale atall ombasjoer av s merede uler blr da... =. Esempel: I det terasjoale alfabet (A, B, C,,Z) er det 6 bostaver. Tl et blummer med bostaver a det daes 6 = 676 bostavpar dersom e tllater samme bostav å opptre begge gagee. Ordet utvalg ute tlbaeleggg Regel : Når uler trees ute tlbaeleggg fra e bos med uler, vl atall ordede utvalg være ( )( )... ( + ). Ved første treg er det mulgheter. Me ved este bare (-) og deretter (-) osv. Etter est sste treg lgger (-(-)) uler gje bose, og atall mulgheter sste (de -te) treg blr (-(-))=(-+). Det totale atall ordede ombasjoer av s merede uler blr da P ( )... ( + ). Esempel: Fra det terasjoale alfabet a det daes e bostavode beståede av 4 ule bostaver på P = 6( 6 )... ( 6 4 + ) = 6 5 4 3 = 358800 måter. 6 4 E oseves av Regel er at dersom alle uler, dvs. =, trees ut ute tlbaeleggg, a dsse ulee ordes (permuteres) på P = ( )( )... 3 forsjellge måter. Uttryet ( )( )... 3 srves! og leses faultet. (V deferer 0!=). Dette gr: Regel 3: Atall permutasjoer av uler er! Ie-ordet utvalg Dersom uler trees fra uler ute tlbaeleggg, fs det P = ( )( )... ( + ) ordede utvalg på uler. Dsse ulee a etterpå permuteres! gager, me ulee er jo de samme. Hvs v e er teresserte ordge av ulee, me bare hvle uler som trees ut (sl som Lotto), blr problemstllge hvor mage e-ordede utvalg som a foreomme. V aller dette atallet C. Hvert e-ordet utvalg a permuteres! gager, og v får lhete P = C! Dette gr C P ( )( ) ( + ) = =!! ( )( ) ( + ) ( )!! = =! ( )!!( )! Uttryet, bomaloeffsee, leses over og må e forvesles med. Regel 4: Når uler tees ute tlbaeleggg fra e bos med uler, vl atall e-ordede utvalg være C! = =!( )! Esempel: Lottotreg. Treer ute tlbaeleggg 7 av 34 ummererte uler. Atall mulgheter 34 34! 34! 34 33... 8 C = = = = = 537966 7 7!( 34 7)! 7! 7! 7! 34 7 3 4
Boms modell Et forsø som er aratersert ved ) Forsøet er (a tees) sammesatt av uavhegge eeltforsø ) I hvert eeltforsø regstreres hvorvdt é bestemt hedelse A opptrer eller e ) P(A)=p alle eeltforsø (ebærer at P( A*) = p= q) alles e boms forsøsree. Esempler på stuasjoer som a besrves ved boms forsøsree: ) E aster gager med et pegestye og regstrerer atall ast som resulterer Kroe ) frø såes og e regstrerer hvor mage som sprer etter e vss td ) E udersøer hvor mage eeltfødsler som resulterer pe Boms fordelg V lar X (stoasts) være det atall av de eeltforsø som resulterer hedelse A og ser på fordelge tl X år er f. es. 3. Da vl utfallsrommet S bestå av 3 =8 eeltutfall Utfallsrom (S) Eeltutfall P(e ) X A*A*A* e (-p) 3 0 A*A*A e p (-p) A*A A* e 3 p (-p) A A*A* e 4 p (-p) A A A* e 5 p (-p) A A*A e 6 p (-p) A *A A e 7 p (-p) A A A e 8 p 3 3 Sasylghetsfordelge blr å: P(X=0)= (-p) 3, P(X=)= 3(-p) p, P(X=)= 3(-p)p, P(X=3)= p 3 5 6 Dette a sammefattes som 3 P ( X = ) = p ( p) 3, =0,,, 3 I det geerelle tlfelle med forsø blr sasylghete for å få eeltutfall A av mulge P ( X = ) = p ( p) Dette er de bomse fordelge, og de har e setral rolle sasylghetsregg og statst. I prass er det sjelde av teresse å berege sasylgheter av type P(X=), me sarere av type P( X ) eller P( X > ). V får formele P ( X ) = p ( p) = 0 =0,,,, Esempel: Atar at sasylghete for pe eeltfødsel er p= 05.. Hva er sasylghete for 9 per 8 fødsler? X=atall per =8 fødsler p = P( pe eeltfødsel ) Boms modell: =8 uavhegge forsø A = pe P(A)=p =0.5 alle forsø (fødsler) X = atall utfall A =8 forsø 8 8 8 9 8 9 9 9 8 P( X= 9) = 05. ( 05. ) 05. 05. 05. 086. 9 = = = 9 9 Esempel, forts: E spåoe påstår hu er sys og at a foruts jøet e fødsel. Ser på 8 fødsler og observerer 4 orrete forutsgelser. Gjetter hu bare? Spørsmål: Hva er sasylghete tl å g mst 4 orrete spådommer gtt at hu bare gjetter, dvs. p=0.5? P( X 4) = P( X = 4) + P( X = 5) + P( X = 6) + P( X = 7) + P( X = 8) = 0. 07 + 0. 003 + 0. 0006 + 0. 000 + 0. 0000 = 0. 055 (fra tabell) Det er lte sasylghet for å foruts orret mst 4 av 8 gager ved re gjettg, så observasjoee a tyde på overaturlge ever. 7 8
Forvetg og varas tl datorvarabel Ser på et forsø med bare to mulge utfall ved utfall A, P( A) = p Idatorvarabel: I = 0 ved ufall A*, P( A*) = p = q E( I) = PI ( = ) + 0 PI ( = 0) = p Forvetg og varas boms fordelg Atall A forsø: X = I + I +.. + I = I = Forvetg: E( X) = E( I ) + E( I ) +... + E( I ) = p+ p+... + p= p Uavhegge eeltforsø (ge ovaras mellom I-ee) medfører: VarX ( ) = VarI ( ) + VarI ( ) +... + VarI ( ) = pq+ pq+... + pq= pq= p ( p) E( I ) = PI ( = ) + 0 PI ( = 0) = p ( EI) Var( I) = E( I ) ( ) = p p = p( p) = pq 9 30 Boms fordelg estrastoff (bous, e pesum) Noe gager har ma å gjøre med e boms forsøsree der er stor og p er svært lte. Forvetet atall eeltutfall er som alltd μ= p. Uder betgelsee ovefor a det da vses at μ P( X = ) = e! μ Dette er possofordelge, og det a vdere vses at E( X) = Var( x) =μ Esempler på possofordelte hedelser: ) Utsedg partler fra e radoatv lde over et vsst tdsrom ) Atall ollsjoer e stert trafert veryss over et vsst tdsrom ) Atall sjelde celler et sysfelt uder mrosopet v) Atall tlfeller av autt dødsfall e stor populasjo over e bestemt tdsperode 3