3.0 Variabler Peder har en stor eplehage og selger epler i hele kasser. En dag selger han 3 kasser og den neste 5 kasser. Han vil finne ut hvor mange epler han har solgt til sammen når det er 50 epler i hver kasse. Det kan han finne ut på to måter. Han kan finne ut hvor mange epler han solgte hver dag og deretter summere tallene. 3 50 5 50 750 150 000 1. dag. dag Men han kan også først finne ut hvor mange kasser han har solgt og deretter regne ut hvor mange epler det blir. (3 5) 50 8 50 000 kasser Begge regnestykkene gir selvsagt samme svar. Peder er ikke sikker på hvor mange epler det er i hver kasse, bare at det er like mange epler i hver. La x være det ukjente antallet epler i hver kasse. Han kan regne på begge måtene ovenfor nå også og må få det samme svaret på begge måtene. Regnestykket blir: 3 x 5 x (3 5) x 8 x 1. dag. dag kasser Her er x en variabel. Det er et ukjent tall. Vi ser at vi kan trekke sammen variabler på denne måten: 3x 5x 8x Her har vi utelatt gangetegnene. Det gjør vi ofte i matematikk. Dermed er 3x 3 x. Hvis det er 00 epler i hver kasse, blir antallet epler 8x 8 00 1600 På slutten av den andre dagen får Peder tilbake to kasser fra en misfornøyd kunde. Antallet epler han har solgt, kan han også nå regne ut på to måter som må gi samme svar: Vi ser at 3 x 5 x x (3 5 ) x 6x 1. dag. dag retur 3x 5x x 6x kasser Dette er rett uansett hvilket tall x er, og uansett hva variabelen x betyr i praksis. Vi kan alltid trekke sammen slike variabeluttrykk. 1
Mange kunder syntes at kassene var for store. Han begynte dermed å selge epler i små kasser også. En dag solgte han 3 store kasser og 4 små kasser. Dagen etter solgte han 5 store kasser og små. Hvis det er 50 epler de store kassene og 100 epler i de små, kan han finne antall solgte epler på denne måten: 3 50 4 100 5 50 100 (3 5) 50 (4 ) 100 8 50 6 100 600 1. dag. dag store kasser små kasser Hvis det er x epler i de store kassene og y epler i de små, kan Peder regne ut samlet antall epler på denne måten: 3 x 4 y 5 x y (3 5) x (4 ) y 8 x 6 y 1. dag. dag store kasser små kasser Vi kan føre regnestykket slik: 3x 4y 5x y 3x 5x 4y y 8x 6y Leddene 3x og 5x er av samme type, og vi ser at vi kan trekke dem sammen til 8x. Leddene 4y og y er også av samme type og de kan trekkes sammen til 6y. Oppgave 3.00 En dag solgte Peder 6 store kasser epler og 4 små kasser. Dagen etter solgte han 7 store kasser og 5 små. a) Finn et uttrykk for antall solgte epler hvis det er x epler i de store kassene og y i de små. b) Bruk uttrykket i oppgave a til å finne antallet solgte epler hvis det er 50 epler i de store kassene og 100 epler i de små. c) En dag var antall solgte epler gitt ved 4x 5y 10 Hva kan du si om salget den dagen? Oppgave 3.01 Trekk sammen uttrykkene. a) x 5x b) 3x 7x x c) x 7y 6x 5y d) 15x 1y 8x 5y e) 3x 5y 10 4x y 5 f) 5a b 5 3a 8b 7 g) 3a b 7 3a b 3
En dag solgte Peder 5 store kasser og små kasser med epler. Dagen etter solgte han 4 store kasser og 6 små, men da kom en kunde tilbake med store kasser og 3 små. Tallet på solgte epler kan vi sette opp slik: 5x y 4x 6y x 3y 5 4 x 6 3 y 7x 5y 1. dag. dag retur store kasser små kasser Hvis tallet på epler er 50 i de store kassene og 100 i de små, får vi 7x 5y 7 50 5 100 1750 500 50 Vi fører vanligvis regnestykket slik: (5x y) (4x 6 y) (x 3 y) 5x y 4x 6y x 3y 5x 4x x y 6y 3y 7x 5y Vi ser at vi har denne regelen: Vi kan fjerne parenteser med + foran uten å endre fortegn på leddene inne i parentesen. Hvis vi fjerner en parentes med foran, må vi bytte fortegn på leddene inne i parentesen. En dag solgte Peder 4 store kasser og 3 små to dager på rad. Tallet på epler blir da Vi ser at (4x 3 y) 4 x 3 y 8 x 6 y per dag store kasser (4x 3 y) 8x 6y små kasser Når vi skal gange et tall med et parentesuttrykk, må vi gange tallet med hvert ledd i parentesen. EKSEMPEL 4x y 3x y a) b) 3 x y 4 x y c) (3 a b) 3 a b Løsning: 4x y 3x y 4x y 3x y 4x 3x y y x 0 x a) 3 x y 4 x y 6x 3y 4x 4y 6x 3y 4x 4y 10x y b) c) (3 a b) 3 a b 6a b 6a 3b 6a b 6a 3b 6a 6a b 3b b 3
Oppgave 3.0 a) x y x y b) 4x x 5 c) x 3y 3 x y d) 4( x 1) (x ) e) x 3y 4 x y f) 3 a b c a 3b c Noen ganger får vi bruk for å trekke sammen uttrykk som inneholder potenser. I uttrykket x 4x 3 x x 5 er leddene x og x av samme type og kan trekkes sammen. Det samme gjelder leddene 4x og x. I uttrykket x 4x 3 x x 5 x x 4x x 3 5 3x x 8 a b ab a b ab er det bare leddene ab og a b som er av samme type. Det gir a b ab a b ab a b a b ab ab 3a b ab ab EKSEMPEL a) x x x x 4 b) x 3x 1 4 x x c) ab a b ab a b Løsning: a) x x x x 4 x x x x 4 x x x x 4 x 4x b) x 3x 1 4 x x 4x 6x 4x 4x 8 c) 4x 6x 4x 4x 8 4x 4x 6x 4x 8 x 6 ab a b ab a b ab ab a b a b 3ab 4
Oppgave 3.03 Trekk sammen uttrykkene. a) x 3x x 3x 4 b) 6 x x 1 3 x 4x c) d) 3 4 xy x y xy x y ab a b 3ab a b e) 3 a b ab a b 3ab 5
Oppgavedel 3.0 Variabler KATEGORI 1 Oppgave 3.100 a) x 3x + 5y 3y + 4x b) a 3b + 3a b + a c) 5x y 3x 4y d) 6a + b 5a + 3b Oppgave 3.101 a) 3x + x y y b) x + x 3x + 3x x c) 4a + a 3a + a a d) a a + (a a) Oppgave 3.10 a) xy x + 3y xy + x + 3y b) ab a + ab + 3a 4ab c) x + y + 3x + y + 3(x y) d) x + x + 3x 6 x + 6 KATEGORI Oppgave 3.00 Regn ut og trekk sammen. a) 3(1 x) (x 1) b) 4(x 3) + 3(x ) c) a( b) b(a 3) d) ab(1 + b) a(b b) Oppgave 3.01 Løs opp parentesene og trekk sammen. a) (5x 3y) + (x 4y) x b) (4a + b 3c) (a b + c) c) (x + y) + 3(x 3y) + 4y d) 4(a b) (3a 3b) Oppgave 3.0 Regn ut og trekk sammen. a) (a + b) 3a + 4b 3(b a) b) a(a 3) 3a + a(3 a) c) b(a 3b) a(a + b) ab 6
Oppgave 3.03 I de åpne rutene mangler enten, 3 eller 4. (x + y) Finn de riktige tallene. (x + y) = 6y 7
FASIT teoridel 3.00 a) 13x 9y b) 4150 c) Han solgte 4 store kasser, 5 små og 10 epler i tillegg. 3.01 a) 3x b) 8x c) 8x 1y d) 7x 7y e) 7x 4y 5 f) 8a 6b g) 10 3.0 a) 3x b) x 7 c) 7x d) 0 e) y f) 4a c 3.03 a) x 6 b) 1 c) x y xy d) a b 4ab e) a b 1ab 8
FASIT oppgavedel 3.100 a) 3x y b) 6a 5b c) x 6y d) a 5b 3.101 a) 4x 3y b) 3x 4x c) 3a d) 3a 3a 3.10 a) xy 6y b) ab a c) 8x y d) x 5x 3.00 a) 5x 5 b) 11x 18 c) a ab 3b d) 3ab 3.01 a) 5x 7y b) a 4b 5c c) 8x y d) a b 3.0 a) a 3b b) 0 c) a ab 3b 3.03 4 ( x y) ( x y) 6y 9