??.??.???? MATEMATIKK (MAT1005) Sentralmål / Spredningsmål DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 30 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 60 minutter (Del 1 må leveres inn før hjelpemidlene kan benyttes) Total poengsum: 30 poeng Karakter 2: 8p Karakter 3: 13p Karakter 4: 18p Karakter 5: 23p Karakter 6: 27p Læreplanmål Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser Beregne og drøfte sentralmål og spredningsmål Gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner KJENNETEGN PÅ GRAD AV MÅLOPPNÅELSE Lav grad Karakter 1/2 Middels grad Karakter 3/4 Høy grad Karakter 5/6 Viser regneferdigheter og matematisk forståelse: I ingen eller liten grad I delvis eller noen grad I stor eller meget stor grad Formidlingen av oppgaveløsningen er oversiktlig og matematisk korrekt: I ingen eller liten grad I delvis eller noen grad I stor eller meget stor grad Viser logisk forståelse, er oppfinnsom og anvender faglig kunnskap: I ingen eller liten grad I delvis eller noen grad I stor eller meget stor grad Når oppgaven krever en bestemt løsningsmetode: Bruker eleven ingen eller i liten grad en matematisk metode Bruker eleven en alternativ løsningsmetode Bruker eleven en matematisk korrekt løsningsmetode
DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 30 minutter Oppgave 1 (6 poeng) I kiosken på senteret ble det notert hvor mye hver av de syv første kundene betalte for varene de kjøpte. Dette var resultatet: 20, 60, 50, 45, 55, 20, 30 a) Finn variasjonsbredden. Variasjonsbredden er forskjellen mellom høyeste og laveste verdi. Varasjonsbredden = Høyeste verdi Laveste verdi = 60 20 = 40 Variasjonsbredden er 40. b) Finn medianen. Median som også kalles Q 2 ligger midt i tallmaterialet. Vi ordner tallene: 20, 20, 30, 45, 50, 55, 60 og ser at 45 er det midtre tallet. Medianen er 45. c) Hvor mye brukte kundene i gjennomsnitt. Vi finner gjennomsnittet ved å legge sammen alle verdiene og deler på antallet observasjoner. 20+60+50+45+55+20+30 7 d) Finn nedre kvartil. = 280 7 Lager en tabell over resultatene. NEDRE HALVDEL = 40 Gjennomsnittet er 40. ØVRE HALVDEL 20 20 30 45 50 55 60 nedre kvartil median øvre kvartil Q 1 Q 2 Q 3 Nedre kvartil som også kalles Q 1 ligger midt i den nedre halvdel av observasjonene. Nedre kvartil er 20. e) Finn øvre kvartil. Se tabellen i oppgave d). Øvre kvartil som også kalles Q 3 ligger midt i den øvre halvdel av observasjonene. Øvre kvartil er 55. f) Finn kvartilbredden. Kvartilbredden = Øvre kvartil Nedre kvartil = 55 20 = 35 Kvartilbredden er 35.
Oppgave 2 (6 poeng) Histogrammet viser aldersfordelingen i en sjakklubb. y 7 6 5 4 3 2 1 20 30 40 50 80 Alder x Intervall (Alder) Frekvens Intervallbredde Søylehøyde [ a, b f b a f b a [00, 20 4 20 80 [20, 30 3 10 30 [30, 40 5 10 50 [40, 50 6 10 60 [50, 80 2 30 60 N = 020 S = 280 a) Se på histogrammet, tegn av tabellen og fyll inn verdiene. Intervall (Alder) Frekvens Intervallbredde Søylehøyde [ a, b f b a f b a [00, 20 4 20 80 [20, 30 3 10 30 [30, 40 5 10 50 [40, 50 6 10 60 [50, 80 2 30 60 N = 20 S = 280 b) Hvor mange medlemmer har sjakklubben? Frekvensen (f) viser hvor mange medlemmer sjakklubben har i de ulike aldersintervallene. Vi legger sammen frekvensene og får n = 20. Sjakklubben har 20 medlemmer. c) Finn gjennomsnittsalderen til medlemmene i sjakklubben. Intervall (Alder) Frekvens Midtpunkt Sum (S) [ a, b f x m f x m [00, 20 4 10 40 [20, 30 3 25 75 [30, 40 5 35 175 [40, 50 6 45 270 [50, 80 2 65 130 N = 20 S = 690 Gjennomsnittsalderen i sjakklubben = S N = 690 20 = 34, 5 år
DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 60 minutter Oppgave 4 (8 poeng) Her er den omtrentlige karakterfordelingen i matematikkfaget for 1000 studenter ved ett universitet i Norge i 2015. Karakterene a f er erstattet med 6 1 slik at vi kan regne på tallmaterialet. Karakter Frekvens 6 99 5 93 4 272 3 166 2 113 1 257 Kilde: uib.no a) Hva er typetallet? Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger. Vi ser at frekvensen for karakter 4 er 272. Typetallet er 4. b) Finn gjennomsnittet. Karakter x Frekvens f f x 6 99 594 5 93 465 4 272 1088 3 166 498 2 113 226 1 257 257 N = 1000 S = 3128 Gjennomsnittskarakter = Summen av karakterer Antall studenter = S N = 3128 3, 13 1000
c) Finn variansen. Karakter x Kvadratisk avvik (x g) 2 6 (6 3,13) 2 = ( 2,87) 2 8,237 5 (5 3,13) 2 = ( 1,87) 2 3,497 4 (4 3,13) 2 = ( 0,87) 2 0,757 3 (3 3,13) 2 = ( 0,13) 2 0,017 2 (2 3,13) 2 = ( 1,13) 2 1,277 1 (1 3,13) 2 = ( 2,13) 2 4,537 A 18,32 Vi finner da at summen av de kvadratiske avvikene (A) er 18,32 Variansen = A N = 18,32 6 3, 05 A er summen av de kvadratiske avvikene N er antall observasjoner d) Finn standardavviket. standardavviket = variansen = A N = 18,32 6 1, 75 Oppgave 5 (10 poeng) Tabellen viser omtrent hvor mange personer i Norge som betalte formueskatt i 2012. Alder Frekvens [17, 27 6 744 [28, 40 34 725 [41, 50 84 972 [51, 60 142 676 [61, 70 191 760 [71, 100 196 520 Kilde: ssb.no a) Hvor mange personer betalte formueskatt? Alder Frekvens [17, 27 6 744 [28, 40 34 725 [41, 50 84 972 [51, 60 142 676 [61, 70 191 760 [71, 100 196 520 N = 657 397 Vi legger sammen frekvensen og får N = 657 397. Det betyr at 657 397 personer betalte formueskatt i 2012.
b) Hva er gjennomsnittsalderen til en person som betaler formueskatt? Utvider tabellen med Midtpunkt og Sum i tabellen. Intervall (Alder) Frekvens (f) Midtpunkt Sum (S) x m f x m [17, 27 6 744 22,0 148 368 [28, 40 34 725 34,0 1 180 650 [41, 50 84 972 45,5 3 866 226 [51, 60 142 676 55,5 7 918 518 [61, 70 191 760 65,5 12 560 280 [71, 100 196 520 85,5 16 802 460 N = 657 397 S = 42 476 502 Gjennomsnittsalder = 42 476 502 657 397 64, 61 år c) Finn medianen i det gruppedelte materialet ved regning. Legger til Kumulativ frekvens i tabellen. Intervall (Alder) Frekvens (f) Kumulativ frekvens [17, 27 6 744 6 744 [28, 40 34 725 41469 [41, 50 84 972 126 441 [51, 60 142 676 269 117 [61, 70 191 760 460 877 [71, 100 196 520 657 397 Vi har 657 397 observasjoner, medianen i datamaterialet er da observasjon nummer: 657 397 +1 2 = 328 699 Observasjon nummer 328 699 ligger i intervallet [61, 70 som har kumulativ frekvens = 269 117 460 876. I dette intervallet har vi da 191 760 observasjoner (fra og med 269 117 og til og med 460 876). Observasjon nummer 328 699 269 117 = 59 582 i intervallet [61, 70 blir da «medianalder». "Medianalder" = 61 år + 59 582 191 760 9 63, 7964 år 9 fordi intervallet har bredde = 9
d) Finn medianen i det gruppedelte materialet grafisk ved hjelp av GeoGebra. Utvider tabellen med Relativ kumulativ frekvens. Intervall (Alder) Frekvens (f) Kumulativ frekvens Relativ kumulativ frekvens [17, 27 6 744 6 744 0,0103 [28, 40 34 725 41 469 0,0631 [41, 50 84 972 126 441 0,1923 [51, 60 142 676 269 117 0,4094 [61, 70 191 760 460 877 0,7011 [71, 100 196 520 657 397 1,0000 1: Kopierer den kumulative frekvensen og limer denne inn vertikalt i Regneark. 1: Fører også inn 17 og 0 i linje 1 i regneark. 2: Høyreklikk i det merkede området i Regneark og velg: Lag Polylinje 3: 4: Lag ved å velge og så og klikk i skjæringen. sier oss at når vi er midt i tallmaterialet (0.5) så er den grafiske medianen 64,1059 år.
e) Lag et histogram i GeoGebra som viser fordelingen. Intervall (Alder) Frekvens Intervallbredde Søylehøyde [a, b f b a f b a [17, 27 6 744 10 674,40 [28, 40 34 725 12 2 893,75 [41, 50 84 972 9 9 441,33 [51, 60 142 676 9 15 852,89 [61, 70 191 760 9 21 306,67 [71, 100 196 520 29 6 776,55 NB! Husk at GeoGebra ikke vil ha komma (, ) i Regneark, men punkt (. ) Merk intervallene (A1 til A7) i GeoGebra, høyreklikk og velg Lag Liste Merk intervallene (B1 til B6) i GeoGebra, høyreklikk og velg Lag Liste Vi har nå laget to lister, Liste1 og Liste2. Nederst, i kommandofeltet : Vi får da dette resultatet: