Vektorer. Mål. for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne

8

Vektorer Mål for opp læ rin gen er at ele en skal kun ne gjøre rede for begrepene implikasjon og ekialens, kjenne til anlige matematiske beistyper og argumentasjon og gjennomføre matematiske beis gjøre rede for det geometriske bildet a ekto rer som piler i pla net og beregne sum, differens og skalarprodukt a ektorer og produktet a tall og ektor reg ne med ektorer i planet skreet på koordinatform, beregne lengder, astander og inkler ed ektorregning og agjøre når to ektorer er parallelle eller ortogonale

. Im pli ka sjon og ek i a lens I den nor ske sko len ble det rundt 970 tatt i bruk man ge lo giske symboler i matematikken. Vi skal gjø re oss kjent med noen a dis se symbolene. Vi et at his x + = 4, så er x = 3. Med bruk a sym boler fra logikken skrier i x + = 4 x = 3 Teg net er en implikasjonspil som i le ser «fø rer til at», «med fø rer at» eller «impliserer at». Skriemåten A B betyr at his påstanden A er rik tig, så er også påstanden B rik tig. Slike påstander trenger ikke ære ma tematiske. Vi kan for eksempel skrie: Personen heter Ola Per so nen er en gutt Det er en rik tig slut ning. Men denne slut nin gen er ikke riktig: Per so nen er en gutt Personen heter Ola His x =, fø rer det til at x = 4. Med sym boler skrier i x = x = 4 Men his x = 4, be hø er ikke det bety at x =. Det rik ti ge kan ære at x =. Der for kan i ikke skri e at x = 4 x =. Det rik tige er x = 4 x = el ler x = Likningene x = 8 og x = 4 har nøy ak tig de sam me løs ningene, nemlig x = og x =. Vi sier at de to lik ningene er ekialente og skri er x = 8 x = 4 Teg net kal ler i et ekialenstegn. Vi le ser «er ek ialent med», «har samme løsning som» el ler «his og bare his». Vi kan også skri e x = 4 x = eller x = Det er ikke bare i ma tematikk i bru ker ekialensteg net. Vi kan skri e Ola er fa ren til Jens Jens er søn nen til Ola To påstander A og B er ek i alente dersom påstand A er rik tig his og bare his på stand B er rik tig. Vi skri er A B. To lik nin ger er ekialente his de har nøy ak tig de sam me løs ningene. 0 0 Sinus T > Vektorer

Når i lø ser en lik ning, gjør i lik nin gen om på en slik måte at i får en ny likning med den sam me løs nin gen. Vi kan for eks empel flyt te ledd oer på den andre siden a likhetstegnet når i sam tidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere eller di idere på begge si dene a likhetstegnet med tall som ikke er null. Når i om for mer en lik ning på den ne må ten, får i en ek ialent lik ning som har nøy ak tig de sam me løsningene som den lik ningen i begynte med. Da kan i bru ke ekialenstegnet mellom likningene. Når i flyt ter et ledd oer på den and re si den a lik hetstegnet og skifter for tegn på led det, får i en ek i alent likning. Når i diiderer eller mul tipliserer på begge sidene a likhetstegnet med et tall som ikke er null, får i en ek i alent likning. EKS EM PEL Løs likningen 3x x + 3 = 4x + 3 Løs ning: 3x x + 3 = 4x + 3 3x 6x = 0 3x(x ) = 0 3x = 0 eller x = 0 x = 0 eller x =? Opp ga e.0 Sett inn ett a sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) Jeg er fra Ha mar Jeg er fra Nor ge b) Jeg er fra Ber gen Jeg er ber gen ser c) Jeg er fra Oslo Jeg he ter Odd d) Jeg er fra Finn mark Jeg er fra Alta e) Jeg er fra Oslo Jeg bor i Oslo Opp ga e. Sett inn ett a sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) 3x = x = 4 b) x = 4 x = 6 c) x = 9 x = 3 eller x = 3 d) x 3 = x x =

. Vek tor og skalar Når en per son trek ker en kas se et ter seg, er det ikke nok å ite hor stor kraften er. Kraftretningen har også be tyd ning for ha som skjer med kas sen. Når en bil kjø rer med far ten 50 km/h, er selsagt fartsret nin gen ik tig når i skal be skrie ferden. For en ori en te rings lø per som skal løpe km, er retningen han løper i, særdeles iktig for resultatet. En stør rel se der i må kjen ne ret nin gen for å kun ne be skrie størrelsen fullstendig, kaller i en ektor. Vi snak ker om kraftektorer og fartsektorer. Som sym bol for ek to rer bru ker i en bok sta med pil oer. For en kraftektor bru ker i sym bolene K el ler F, og for en fartsektor bru ker i ofte symbolet. Sym bo let K le ser i K ek tor, og le ser i ek tor. Vek to rer teg ner i ofte som pi ler. Den ne figuren iser de krefte ne K og F som ir ker når to per so ner trek ker i en kas se i her sin ret ning: F K G Kraftektoren G er her tyng dekraften. Lengden a pilene iser hor stor kraf ten er. To pi ler som er like lan ge, står som sym bol for like sto re kref ter. Det fins også man ge stør rel ser som ikke har noen ret ning, f.eks. tid, leng de, areal, olum, tem peratur og masse. En slik stør rel se som ikke har noen retning, kal ler i en skalar.! La K ære en kraftektor der kraf ten er 50 N (new ton). Vi sier at leng den a ektoren K er 50 N. Legg mer ke til at leng den a kraftektoren K har beneningen newton (N). Når i me ner leng den a ek to ren K, skri er i K. Vi skri er K = 50 N Vi må ikke skri e K = 50 N, for ek to ren K har to egen ska per: leng de og ret ning. Der for kan i ikke set te ektoren lik leng den, som bare er den ene egenskapen. Sinus T > Vektorer Dersom en gjenstand har far ten 0 m/s, sier i at leng den a fartsektoren er 0 m/s. Leng den a en fartsektor har be ne ningen m/s. Vi skrier = 0 m/s

Det i ser seg at kraftektorer, fartsektorer og and re ek to rer har man ge felles egen ska per. I ma tematikken studerer i disse felles egenskapene og regner ofte med ek to rer uten at ek torene har noen bestemt fy sisk be tydning. Ofte bru ker i sym bolene a, b, c, d, u eller om ek torer. Vi tegner ektorene som piler på den ne må ten: d c u a b Vektorene a, b og c har samme retning. Vektorene u og har også samme retning. Vektorene a og c har både sam me ret ning og sam me leng de. Vi sier da at ek to re ne er like og skri er a = c To ek to rer er like der som ek torene har samme ret ning og sam me leng de. To ek to rer er alt så like når i kan pa ral lell for sky e den ene slik at den nøyak tig dek ker den and re. Vektorene a og d på figuren har motsatt retning og sam me leng de. Vi kaller dem motsatte ektorer og skri er a = d Vektorene a og d er pa ral lel le sel om de har mot satt ret ning. To ektorer er parallelle der som ek torene har sam me ret ning el ler motsatt retning. Vektorene a, b, c og d på figuren er parallelle ektorer. Vektorene u og er også pa ral lel le.? Opp ga e.0 Hilke a disse størrelsene er ekto rer, og hil ke er skalarer? a) For flyt ning b) Are al c) Kraft d) Akselerasjon e) Vo lum 3

? Opp ga e. Hilke ekto rer er like, og hil ke er pa ral lel le uten å ære like? a b c d e f g h i j Noen gan ger ser i på ek to rer som orienterte linjestykker. La A og B ære to punk ter. Vektoren AB har ut gangspunkt i A og en depunkt i B slik denne figuren iser: B AB A Vektoren BA har ut gangs punkt i B og en depunkt i A og har der med sam me leng de som AB, men de to ek torene har motsatt ret ning. Der med er BA = AB I parallellogrammet ABCD er si de ne par is pa rallelle og like lan ge: D DC C AD BC 4 4 Sinus T > Vektorer A AB B Vektorene AB og DC har der med sam me leng de og sam me ret ning. Da er AB = DC Vektorene AD og BC har også sam me leng de og sam me ret ning. Vi skri er AD = BC Legg mer ke til at for eks em pel CD og AB har sam me leng de og mot satt ret ning. Der med er CD = AB. En ek tor der leng den er null, kal ler i en nullektor. Vi bru ker sym bo let 0 for nullektoren. I parallellogrammet oenfor er for eksempel AA = 0 Nullektoren er den enes te ek to ren som ikke har noen be stemt ret ning. Vi sier at den er pa ral lell med alle ek torer.

Opp ga e. D H C E I G? A F B Hilke andre ekto rer på fi gu ren er lik dis se ek torene? a) AB b) AD c) AF d) AE e) AI Opp ga e.3 Tegn tre punk ter som ikke lig ger på lin je. Hor man ge forskjellige ektorer kan du trekke mellom punktene? f) AC.3 Sum a ek to rer Vi skal nå lære å sum me re ek to rer. Først ser i på to ek to rer AB og BC og tol ker dem som for flytninger. C AC BC A AB B Vektoren AB sa rer til en for flyt ning fra punk tet A til punk tet B, og BC sa rer til en for flyt ning fra B til C. Sam let for flyt ning er fra A til C. Dette er bakgrunnen for denne de finisjonen a summen a to ektorer: AB + BC = AC Legg mer ke til at de to bok sta e ne in nerst i ut tryk ket AB + BC er like. Disse bokstaene og plusstegnet for sin ner når i sum me rer og får AC. AB + BC = AC 5

Vektorsummen AB + BC er lik AC, og sum men har dermed utgangspunktet sitt i ut gangs punk tet for den første ektoren og endepunk tet sitt i en depunktet for den andre. Hor dan kan i nå fin ne sum men a de to ek to re ne u og til enst re nedenfor? C u + u A u Vi lar A ære ut gangs punk tet for u, og så lar i B ære en de punk tet for u. Der med blir u = AB. Deretter parallellforskyer i slik at får utgangspunk tet i B. Se figuren til høyre oenfor. Endepunktet for kal ler i C. Da er = BC. Nå er sum men u + = AB + BC = AC Vektorsummen u + går der med fra ut gangs punk tet for u til en de punk tet for. B Når i skal finne summen a to ektorer u og, teg ner i først u. Der et ter teg ner i med ut gangs punkt i endepunktet for u. Summen u + går nå fra ut gangs punk tet for u til endepunktet for. u + u? Opp ga e.30 Finn ed teg ning. a) + u b) u + d) + ( u ) e) u + Er noen a sa re ne like? c) u + ( ) f) + ( ) u Når i leg ger sam men to tall, x og y, et i at x + y = y + x. Mot slut ten a dette delkapittelet iser i at det samme gjelder for ektorer. u + = + u 6 6 Sinus T > Vektorer

Når i skal sum me re tre tall, kan i gjø re det i den rek ke føl gen i il. Vi kan først sum me re de to før ste tallene og så leg ge til det sis te tal let. Men i kan også leg ge sam men de to sis te tal le ne først og så leg ge til det første tal let. His tal le ne er x, y og z, er (x + y) + z = x + (y + z) I opp ga e.35 skal du be i se at en til sarende regel gjelder for en sum a ektorer. His a, b og c er tre ek torer, er ( a + b ) + c = a + ( b + c ) EKS EM PEL ABCD er et parallellogram. Vi setter a = AB og b = AD. D C b A a B Uttrykk ekto re ne ed hjelp a a og b. a) AC b) CB + BA + AD Løs ning: a) Vi skri er AC som en sum a to ek to rer. AC = AB + BC = AB + AD = a + b b) Vi summerer ektorene. CB + BA + AD = ( CB + BA ) + AD = CA + AD = CD = BA = a Vi kan se på den ne sum men som en for flyt ning. Vi flyt ter oss først fra C til B, der etter fra B til A og til slutt fra A til D. Til sam men blir det te en for flyt ning fra C til D. For flytningen er alt så lik CD, som er a. 7

? Opp ga e.3 La ABCD ære en fir kant som ikke tren ger å ære et pa ral lel lo gram. Trekk sam men. a) AB + BC b) CD + DA c) DC + CB + BA d) AB + DA Opp ga e.3 ABCD er et pa ral lel lo gram. Vi set ter AB = a og AD = b Ut trykk dis se ek to re ne ed hjelp a a og b. a) BC b) CD d) CD + DA e) DC + CB + BA c) AB + BC f) AB + CD EKS EM PEL Met te skal ro oer ei el. Hun skal fra A til B og stil ler bå ten i rik tig ret ning idet hun be gyn ner å ro. Hun jus te rer ikke kur sen mens hun ror oer ela. På den tida hun bru ker på å krys se ela, flyt ter an net seg en strek ning s som ist på figuren til enstre nedenfor. I hil ket punkt kom mer Met te i land? B B A s A AB s AC s C Løs ning: På den tida Met te skul le ro strek nin gen AB, har an net for flyt tet seg strekningen s. Det punk tet C der Met te når land, er be stemt ed at AC = AB + s Du fin ner punk tet på figuren til høyre oenfor. 8 8 Sinus T > Vektorer

? Opp ga e.33 De to el e bred de ne til ei el er helt ret te og pa rallelle. Bred den a ela er 50 m. Van net ren ner 0,5 m/s. Knut skal ro oer ela og ror med en fart på m/s reg net i for hold til an net. Han ror i en ret ning som er in kelrett på el ebredden. a) Hor lang tid bru ker Knut oer ela? b) Hor tref fer Knut el ebredden på motsatt side? Opp ga e.34 Knut i opp ga e.33 fant ut at han måt te ta en an nen kurs his han il le rett oer ela. Bå ten måt te peke opp oer mot strøm men. Han alg te en in kel på 60 med el ebredden. a) Hor lang tid bru ker han nå oer ela? b) Hor tref fer han el ebredden på motsatt side? Beis for at u + = + u Vi ser på to ek torer u og og teg ner først u. Endepunktene for u kaller i A og B som ist på den nederste figuren. Deretter teg ner i to gan ger, en gang med utgangspunkt i A og en gang med ut gangspunkt i B. De to en depunktene til kal ler i D og C. Ettersom sidene BC og AD er pa rallelle og like lan ge, er ABCD et pa rallellogram. Sidene AB og DC er da pa rallelle og like lan ge. Der med er A D u u u B C DC = AB = u Nå sum merer i ektorene: u + = AB + BC = AC + u = AD + DC = AC Vi har ist at u + = + u 9

? Opp ga e.35 Velg tre ek to rer a, b og c som er ken er pa ral lel le el ler like lan ge. La A ære ut gangs punk tet for a og B en de punk tet. Tegn b med ut gangs punkt i B. La C ære en de punk tet for b. Tegn c med ut gangs punkt i C. La D ære en de punk tet for c. Bruk den fi gu ren du nå har, til å ise at ( a + b ) + c = a + ( b + c ).4 Vektordifferanse For to tall u og et i at u + ( ) = u Vi de finerer differansen u mel lom to ek to rer u og på til sa ren de måte. u = u + ( ) Vi fin ner u ed å sum me re ek to ren u og ek to ren. La u og ære ek torene til høyre. Når i skal teg ne ek to ren u, kan i gå fram på to uli ke må ter. u Metode Vi bru ker de finisjonen a differansen slik i fin ner den oen for. Først teg ner i ek to ren u som ist til enst re ne den for. Der et ter teg ner i ek toren med ut gangs punkt i en de punk tet for u. Vek to ren u går nå fra ut gangspunk tet for u til en de punk tet for. u u u u 0 0 Sinus T > Vektorer Metode Vi teg ner ek torene u og med sam me ut gangs punkt som ist til høy re oenfor. Vektoren u går da fra en de punk tet for til en de punk tet for u.

De to me todene gir sam me re sul tat. His i pa rallellforskyer figuren til høy re slik at fal ler sam men med på fi gu ren til enstre, får i et pa rallel lo gram for di de to si de ne med u er pa rallelle og like lan ge. Der med er de to and re si dene også parallelle og like lan ge. Me to de er kan skje enk lest, men det er lett å glem me hil ken ei ek toren skal gå. Vi kan kontrollere retningen ed å undersøke om + ( u ) = u? Opp ga e.40 Finn u og u ed teg ning. a) b) u u Opp ga e.4 La ABCD ære en fir kant som ikke tren ger å ære et pa rallellogram. Trekk sam men. a) AB AD b) AD AC c) BC BA d) AC DC Opp ga e.4 ABCD er et pa rallellogram. Vi setter AB = a og AD = b. Skri dis se ek to re ne ed hjelp a a og b. a) AB AC b) CD CA c) DC CB d) AB DC Opp ga e.43 ABCD er et pa rallellogram. Vi setter AB = a og AD = b. Vis at dia gonalene er a + b og a b. His i har tre ek to rer a, b og c slik at a + b = c, så er a = c b. Det kan i ise på den ne må ten: a + b = c a + b + ( b ) = c + ( b ) a + 0 = c b a = c b

EKS EM PEL Met te skal ro oer ei el fra A til B. På den tida hun bru ker på å krys se ela, flyt ter an net seg en strek ning s som ist på figuren til enst re ne den for. Hun il ikke jus te re kur sen mens hun ror. Finn det punk tet C som hun må sik te bå ten mot idet hun be gyn ner å ro, his hun skal kom me fram til punk tet B. C A s B A AC s AB s B Løs ning: His Met te ror mot et punkt C, il ela dra bå ten ned oer en strek ning s. His Met te da skal ha ne i punk tet B, må C oppfylle likningen AC + s = AB Dermed er AC = AB s = AB + ( s ) Vi kan nå finne punktet C som ist til høy re oen for.? Opp ga e.44 Knut skal ro oer ei el med pa ral lel le, rett linjede elebred der. Bred den a ela er 50 m. Van net ren ner 0,5 m/s. Han star ter i et punkt A og il til et punkt B på mot satt side, der AB står in kel rett på el e bred den. Han skal krys se ela i lø pet a min. Han tar sik te på et punkt C som lig ger oen for B på mot satt side. a) Finn astanden BC. b) Hil ken fart må Knut hol de målt i for hold til an net? Sinus T > Vektorer Opp ga e.45 Knut skal ro oer ela i opp ga e.44 og be stem mer seg i ste det for å kom me i land på et punkt D som lig ger 5 m oen for punk tet B fra opp ga e.44. Han il ro strek ningen AD på min. Han tar nå sik te på et punkt E som lig ger oen for D. a) Finn astanden DE. b) Hil ken fart må Knut nå hol de i for hold til an net?

.5 Pro dukt a tall og ek tor Tal let kal ler i ab solutterdien til tal let. Vi skri er = Vi de finerer absolutterdi en a et tall x på den ne må ten: Der som x 0, er x = x. Der som x < 0, er x = x. Når tal let x er ne ga tit, har x og x mot sat te for tegn. Et ter det te blir 5 = 5 og 7 = 7. Ab so lutt er di en a et tall er all tid positi eller null. Legg mer ke til at i bru ker det sam me sym bo let for ab so lutt er di en a et tall som for leng den a en ek tor. Leng den a en ek tor kal les noen gan ger ab solutterdien a ek to ren.? Opp ga e.50 Finn absolutterdien a tallene. a) 3 b) c) 0 d) e) 3 Nå skal i de fi ne re pro duk tet a et tall og en ek tor. Der som er en ek tor, de fi ne rer i 3 slik at 3 3 = + + Vektoren 3 har sam me ret ning som og er tre ganger så lang. Vektoren 3 de finerer i som den mot sat te ek to ren a 3, og ek to ren 3 er der med 3 gan ger så lang som, men har mot satt ret ning. Vi ser at 3 3 = 3 = 3 Vektoren t de finerer i på denne måten: La t ære et tall og en ek tor. Vektoren t er pa ral lell med og er t gan ger så lang som. His t er et po si tit tall, har og t sam me ret ning. His t er et ne ga tit tall, har og t mot satt ret ning. 3

Vi leg ger mer ke til at t = t Vektorene ( ) og har sam me leng de og mot satt ret ning. Der med er ( ) = EKS EM PEL La ære en ek tor med leng den 5. a) Finn leng den og ret ningen til ) 4 ) b) Tegn ek to re ne i oppgae a når er ek to ren ne denfor. 5 Løs ning: a) ) 4 har sam me ret ning som og har leng den b) 4 = 4 = 4 5 = 0 ) og har mot satt ret ning. Leng den a er = = 5 = 0 5 4 0 0? Opp ga e.5 Tegn en ek tor. Tegn deretter ektorene 3, ( 3) og ( ). Opp ga e.5 Tegn to ek to rer a og b som ikke er pa ral lel le. Tegn deretter ektorene a + 3 b, a b og a + b. 4 4 Sinus T > Vektorer

Når i reg ner med tall, har i dis se regnereglene: t (a + b) = t a + t b s a + t a = (s + t) a s (t a) = (s t) a Det fins tilsarende regler for ektorer. For alle tall s og t og alle ek to rer a og b har i disse reglene: t ( a + b ) = t a + t b s a + t a = (s + t) a s (t a ) = (s t) a Den første rege len i ser i for alle po si ti e tall t på slut ten a det te delkapittelet. De and re reg le ne skal du be i se i opp ga e.55. EKS EM PEL Trekk sam men. a) (3 a + b ) b) 6 ( 3 a + 3 b ) + 0 ( 3 5 a 5 b ) Løs ning: a) Vi bru ker regnereglene oen for og får (3 a + b ) = (3 a ) + ( b ) = ( 3) a + ( ) b = 6 a + 4 b b) Regnereglene gir 6 ( 3 a + b 3 ) + 0 ( 3 5 a 5 b ) = 6 3 a + 6 b + 0 3 3 5 a 0 5 b = 9 a + 4 b + 6 a 5 b = (9 + 6) a + (4 5) b = 5 a b 5

EKS EM PEL I ABC er M midt punk tet på BC. Vi set ter AB = a og AC = b. Finn AM ut trykt ed a og b. b C M Løs ning: Først fin ner i BC. BC = BA + AC = a + b Punktet M lig ger midt på BC. Der med er Da er BM = BC = ( AM = AB + BM = a A a + b ) = a + b a + b = a + b a B? Opp ga e.53 Trekk sam men. a) 3 ( a + b ) b) (4 a + 6 b ) 3 c) 4 ( 3 a 4 3 (6 a + 6 b ) 3 a + b 9 ) b ) + 3 ( Opp ga e.54 Tegn en fir kant og finn midt punk tet på her side. Tegn en fir kant som har hjør ner i hert a dis se midt punk te ne. Ha slags fi gur ser det te ut til å ære? Tegn fle re fir kan ter med for skjel li ge fa son ger og se ha som skjer med firkanten mellom midtpunktene. Hil ken re gel ser ut til å gjel de? Vi skal nå be i se re ge len ed hjelp a ektorregning. Først teg ner i en fritt algt fir kant ABCD som ikke tren ger å ære et pa rallellogram. M er midt punk tet på AB, M er midt punk tet på BC, M 3 er midtpunktet på CD, og M 4 er midt punk tet på AD. Vi set ter a = AB, b = BC og c = CD. a) Finn AD ut trykt med a, b og c. b) Finn M M og M 4 M 3 ut trykt med a, b og c. c) Ha slags fi gur er M M M 3 M 4? 6 6 Sinus T > Vektorer

Be is for at t ( a + b ) = t a + t b Vi be iser sammenhengen bare for t > 0. E Først teg ner i ektorene a og b et ter herandre og setter nanene A, B og C på en de punk te ne som ist til høyre. C Vi leg ger mer ke til at AC = a + b A a b B t a Nå for len ger i linjestykket AB til punk tet D slik at AD blir t ganger så lang som AB. Da er AD = t AB = t a Gjennom punktet D trek ker i nå en lin je som er pa ral lell med b. Den ne linja skjærer forlengelsen a AC i punk tet E. Nå er ADE formlik med ABC. Alle si de ne i ADE er da t gan ger så lan ge som si de ne i ABC. Ettersom DE i til legg er pa ral lell med BC, er Videre er Nå er Der med er DE = t BC = t b AE = t AC = t ( a + b ) AE = AD + DE t ( a + b ) = t a + t b Vi har nå be ist re ge len for alle po si tie erdi er a t. D? Opp ga e.55 La a ære en ek tor og la s og t ære to tall. Tal le ne kan alt så ære po sitie eller negatie. Vis at a) s a + t a = (s + t) a b) s (t a ) = (s t) a 7

.6 Vek to rer på ko or di nat form Ofte plas serer i ektorer i et koordinatsystem: Vektoren e går fra ori go O til punk tet (, 0). Vek to ren e går fra O til (0, ). Se figuren til enstre nedenfor. Begge disse ek to re ne har leng den, og de står in kel rett på herand re. Slike ektorer med lengden kaller i enhetsektorer. 5 y 5 y 4 3 e e 3 4 5 x 4 3 e e u 3 e 3 4 e 5 x Vektoren u på fi gu ren til høy re oen for går tre en heter i positi x-retning og to enheter i positi y-ret ning. Da er u = 3 e + e Dette er en ganske upraktisk skriemå te. I ste det skri er i u = [3, ] Her har i skre et ek to ren u på koordinatform, og i sier at u har ektorkoordinatene [3, ]. Legg mer ke til at i set ter ha ke pa ren te se ne [ og ] om ko ordinatene til en ektor. Det gjør i for at det skal bli let te re å skil le ek toren [3, ] fra punk tet (3, ). En ek tor u = [x, y] der som u = x e + y e. Vektoren u går da x enheter i positi x-ret ning og y en heter i positi y-retning. EKS EM PEL Finn koordinatene til ek torene. a b 4 3 4 3 3 4 y c d x 8 8 Sinus T > Vektorer

Løs ning: Vektoren a går en he ter i po si ti x-ret ning og en het i positi y-retning. Da er a = [, ] Vektoren b går en he ter i po si ti x-ret ning og en het i ne gati y-ret ning. Vi kan også si at b går en het i po si ti y-retning. Koordinatene til b er b = [, ] Vektoren c går en he ter i ne ga ti x-retning og enheter i positi y-ret ning. Da er c = [, ] Vektoren d går en he ter i ne ga ti x-ret ning og en he ter i ne gati y-ret ning. Vi kan også si at d går en he ter i po si ti x-ret ning og enheter i positi y-retning. Dermed er d = [, ] EKS EM PEL Tegn a = [, 3], b = [ 3, ] og c = [, 3] i et ko ordinatsystem. Løs ning: Når i skal teg ne en ek tor i et ko or dinatsystem, bestemmer i fritt hor utgangspunktet til ektoren skal ære. y b 4 3 a x 5 4 3 3 4 3 c 4 9

? Opp ga e.60 Finn koordinatene til dis se ek torene. 7 6 5 4 a b 3 d 5 4 3 y c e 3 4 5 x Opp ga e.6 a) Tegn ektorene a = [, 3], b = [, ], c = [ 3, ], d = [, ] og e = [3, ] med ut gangs punkt i ori go. b) Finn koordinatene til ende punktene for ektorene. La u = [x, y ] og = [x, y ]. At dis se ek to re ne skal ære like, er det sam me som å si at de må gå nøy ak tig like langt både i x-ret ning og i y-retning. Alt så må x = x og y = y. To ek to rer er like his og bare his ektorkoordinatene er par is like. [x, y ] = [x, y ] x = x og y = y EKS EM PEL Fastsett tallene t og s slik at [t +, 3 + s] = [3, ] Løs ning: Vektorene er like når og bare når koordinatene er paris like. [t +, 3 + s] = [3, ] t + = 3 og 3 + s = t = og s = 5 Legg mer ke til at én ektorlikning gir to an li ge lik nin ger med tall. 30 30 Sinus T > Vektorer

? Opp ga e.6 a) Tegn punktene A(, 3), B(, ), C(3, ) og D(, ) i et ko or di natsystem. b) Skri ektorene AB, BC, DC og AD på koordinatform. c) Hil ke ek to rer i opp ga e b er like? d) Ha slags fi gur er ABCD? Opp ga e.63 Vi har ek to re ne a = [, 5], b = [, 3] og = [x, y + ]. a) Finn x og y når = a. b) Finn x og y når = b..7 Reg ning med ektorkoordinater Hor dan kan i finne summen a to ektorer når i kjenner koordinatene? La u = [x, y ] og = [x, y ]. Da er u = x e + y e og = x e + y Fra ka pit tel.5 et i at da er u + = x e + y e + x e + y e = x e + x e + y e + y e = (x + x ) e + (y + y ) e = [x + x, y + y ] For to ektorer på koordinatform fin ner i sum men på den ne må ten: e [x, y ] + [x, y ] = [x + x, y + y ] EKS EM PEL Finn sum men u + når a) u = [, ] og = [4, 3] b) u = [3, ] og = [, ] Løs ning: a) u + = [, ] + [4, 3] = [ + 4, + 3] = [6, 4] b) u + = [3, ] + [, ] = [3 + ( ), + ( )] = [, ] 3

EKS EM PEL La u = [3, ] og = [, 3]. a) Finn u + ed å teg ne ek to re ne. b) Finn u + ed reg ning. Løs ning: a) Vi teg ner u med ut gangs punkt i ori go og der et ter fra en depunktet for u. 5 4 3 y u 3 4 5 u + x Vektoren u + går nå fra ut gangs punk tet for u til en de punk tet for. A fi gu ren ser i at u + = [, ] b) Ved å bru ke for me len for ektorsummen får i u + = [3, ] + [, 3] = [3 + ( ), + ( 3)] = [, ]? Opp ga e.70 Finn u + ed reg ning og ed teg ning. a) u = [, ] = [, 3] b) u = [3, ] = [, ] c) u = [, ] = [, 3] d) u = [, 3] = [, 3] Hor dan kan i fin ne t når i kjen ner ko or di na te ne til? La = [x, y] og t et tall. Da er t = t[x, y] = t(x e + y e ) = tx e + ty e = [tx, ty] 3 3 Sinus T > Vektorer

Vi har ist den ne formelen: t[x, y] = [tx, ty] EKS EM PEL La u = [, 3] og = [, ]. Regn ut. a) u + 3 b) ( ) u + 4 Løs ning: a) u + 3 = [, 3] + 3[, ] = [4, 6] + [3, 6] = [7, 0] b) ( ) u + 4 = ( )[, 3] + 4[, ] = [ 4, 6] + [4, 8] = [0, 4]? Opp ga e.7 Vektorene u = [3, ] og = [, ] er gitt. Finn koordinatene til disse ektorene: a) 3 u b) ( ) c) u + d) u + 6 Differansen mellom ektorene u = [x, y ] og = [x, y ] er u = u + ( ) = [x, y ] + ( )[x, y ] = [x, y ] + [ x, y ] = [x + ( x ), y + ( y )] = [x x, y y ] [x, y ] [x, y ] = [x x, y y ] EKS EM PEL La u = [, 3] og = [4, ]. a) Finn u ed reg ning. b) Finn u ed teg ning. 33

Løs ning: a) u = [, 3] [4, ] = [ 4, 3 ( )] = [, 4] b) Vi teg ner først u med ut gangs punkt i ori go. Der et ter teg ner i ektoren = [4, ] = [ 4, ] med ut gangs punkt i en de punk tet for u. u 5 4 3 y u 3 3 4 5 x Vektoren u går nå fra ut gangs punk tet for u til en de punk tet for. Vi ser at u = [, 4] EKS EM PEL La a = [, 4], b = [3, ] og = [x, y]. Finn x og y slik at 4 a = 6 b Løs ning: 4 a = 6 b [x, y] 4[, 4] = 6[3, ] [x, y] [ 8, 6] = [8, 6] [x ( 8), y 6] = [8, 6] [x + 8, y 6] = [8, 6] For at de to ek to re ne skal ære like, må x + 8 = 8 og y 6 = 6 x = 0 og y = 0 x = 5 og y = 5 34 34 Sinus T > Vektorer

? Opp ga e.7 Finn u ed reg ning og ed teg ning. a) u = [, ] = [4, 3] b) u = [3, ] = [, ] c) u = [, ] = [, 3] Opp ga e.73 Vektorene u = [3, ] og = [, 4] er gitt. Finn koordinatene til disse ektorene: a) 3 u b) ( ) u 3 c) t u 3t Opp ga e.74 Finn koordinatene til x. a) [ 4, 6] x = [, ] b) 3 x + [, ] = x + [3, 6].8 Vek to ren mel lom to punk ter Nå skal i finne koordinatene til ektoren AB når i kjenner koordinatene til punktene A og B. Først stu de rer i ek to rer med ut gangs punkt i ori go, O. La = OA, der punk tet A har koordinatene (, ). Vek to ren = OA går en he ter i negati x-ret ning og en het i po si ti y-retning slik at OA = [, ] Vektorkoordinatene til ek to ren OA er de sam me som punktkoordinatene til punk tet A. y 4 3 A O 3 3 x Gjel der det te også for OA når A har ko or dinatene A(x, y)? Vi teg ner ek to ren når x og y er positie tall. Vektoren OA går x en he ter i positi x-ret ning og y en he ter i po si ti y-retning. Dermed er OA = [x, y] Vektorkoordinatene til ek to ren OA er de sam me som punktkoordinatene til punk tet A. Det te er rik tig sel om x el ler y er ne ga ti. O y OA x A(x, y) y x Det om end te gjel der også. His OA = [x, y], så har A koordinatene (x, y). 35

La O ære ori go. A har koordinatene (x, y) OA = [x, y] La A(x, y ) og B(x, y ) ære to punk ter. Vi il finne koordinatene til AB. y B(x, y ) A(x, y ) O x A fi gu ren ser i at Dermed er OA + AB = OB AB = OB OA Men ettersom A har koordinatene (x, y ) og B har koordinatene (x, y ), er OA = [x, y ] og OB = [x, y ]. Der med er AB = OB OA = [x, y ] [x, y ] = [x x, y y ] Dersom A har koordinatene (x, y ) og B har koordinatene (x, y ), er AB = [x x, y y ]!? I formelen oenfor regner i ut koordinatene til endepunktet minus koordinatene til utgangspunktet. Opp ga e.80 Punktene A(, ), B(, ), C(3, ), D(, 5) og O(0, 0) er gitt. Skri ektorene OA, OB, OC, AB, BC, DC, AC og BD på koordinatform. 36 36 Sinus T > Vektorer

EKS EM PEL I pa rallellogrammet ABCD har tre a hjørnene koordinatene A( 3, ), B(, ) og C(3, 4). Punk tet O er origo i koordinatsystemet. a) Finn koordinatene til OA og OB. b) Finn ko or dinatene til AB og BC. c) Finn koordinatene til punktet D ed reg ning. D A 3 y 5 4 C 3 B O 3 4 x Løs ning: a) Etter som O er ori go, har ek to ren OA de sam me ko or dinatene som punktet A. Tilsarende gjelder for ektoren OB og punk tet B. OA = [ 3, ] OB = [, ] b) Vi bru ker for me len på forrige side. AB = [ ( 3), ] = [5, ] BC = [3, 4 ] = [, ]! Når i har reg net ut ko or di na te ne til en ek tor på den ne må ten, kontrollerer i alltid ut reg nin ge ne ed å se på figuren. Der ser i for eks em pel at AB går 5 en he ter mot høy re og en het opp. Det stemmer med utregningene oenfor. c) Ettersom ABCD er et pa rallellogram, er sidene AD og BC pa rallel le og like lan ge. Der med er AD = BC = [, ] Da er OD = OA + AD = OA + BC = [ 3, ] + [, ] = [, 3] Punktet D har de samme koordinatene som ek to ren OD. D har ko or dinatene (, 3). Det stem mer med figuren oenfor.! Legg mer ke til den ne me to den for å finne koordinatene til et punkt. Vi bru ker ek to rer og går en kjent ei fra ori go, O, og fram til punktet. 37

EKS EM PEL Punktene A(3, ) og B(, 5) er gitt. Finn koordinatene til midtpunktet M på AB. 5 4 3 O y B M A 3 4 5 x Løs ning: Her er AB = [ 3, 5 ] = [, 4] Ettersom M lig ger midt på AB, har AM sam me ret ning som AB, men bare hal e leng den. Det gir AM = AB = [, 4] = [, ] La O ære origo i koordinatsystemet. Da er OM = OA + AM = [3, ] + [, ] = [, 3] Midtpunktet M har ko or di na te ne (, 3).? Opp ga e.8 Parallellogrammet ABCD har hjør ner i A(, ), B(5, ) og D(, 4). a) Finn koordinatene til AB og AD. b) Finn koordinatene til BC og DC. c) Finn koordinatene til punktet C. 38 38 Sinus T > Vektorer Opp ga e.8 Punktene A( 3, ), B(, ) og C(0, 5) er hjør ner i pa ral lel lo gram met ABCD. Finn koordinatene til D ed reg ning. Opp ga e.83 Punktene A(, 3) og B(4, ) er gitt. Finn koordinatene til midtpunktet på linjestykket AB.

? Opp ga e.84 Punktene A(, ) og B(4, 7) er gitt. Et punkt C lig ger på linjestykket mellom A og B slik at C de ler AB i for hol det :. Finn koordinatene til C. Opp ga e.85 Punktene A(, ), B(, ) og C(3, ) er gitt. Et punkt D er plas sert slik at CD = AB + CB a) Lag fi gur og plas ser punk tet D. b) Finn koordinatene til D ed reg ning. Opp ga e.86 Tre a hjørnene i et parallellogram har koordinatene (, ), (3, ) og (, 4). Finn koordinatene til det fjerde hjørnet..9 Leng de og a stand Nå skal i finne lengden a en ektor når i kjenner koordinatene. Først fin ner i lengden a ektorene = [3, ] og u = [3, ]. Vi tegner ektorene med utgangspunkt i origo. 3 3 y 3 4 u x er leng den a hy po te nu sen i en rett ink let tre kant der ka te te ne har lengdene 3 og. Pytagorassetningen gir = 3 + = 3 + = 3 u er leng den a hy po te nu sen i en rett ink let tre kant der den ene ka te ten har leng den 3. In gen leng de kan ære ne ga ti, og leng den a den and re ka te ten blir der for og ikke. Leng den a u blir der med u = 3 + = 3 39

Men et tersom ( ) =, kan i også skri e u = 3 + ( ) = 3 La nå = [x, y], der x og y er to ilkårlige tall. x y x Her er lengden a hypotenusen i en rettinklet trekant der ka tetene har lengde ne x og y. Der med er = x + y Dersom x er et po si tit tall, er x = x, og da er x = x. Der som x er et nega tit tall, er x = x, og da er x = ( x) = x. Der med er x = x for alle tall x. Da er også y = y for alle y. Det gir og = x + y = x + y = x + y y Lengden a ektoren = [x, y] er = x + y EKS EM PEL Finn leng den a ek to rene = [ 3, 4] og u = [ 5, ]. Løs ning: = ( 3) + 4 = 9 + 6 = 5 = 5 u = ( 5) + ( ) = 5 + 44 = 69 = 3? Opp ga e.90 Finn lengden a ektorene. a) [4, 3] b) [ 5, 5] c) [ 6, 8] d) [t, 5t] Opp ga e.9 Bestem t slik at ek toren [3t, 4t] får leng den 5. 40 40 Sinus T > Vektorer

Formelen for lengden a en ek tor kan i også bru ke til å fin ne a standen mellom to punk ter A(x, y ) og B(x, y ). Vi teg ner punk tene og ektoren AB = [x x, y y ]. Astanden d mel lom punk te ne er lik leng den a ektoren AB. Der med er d = AB = (x x ) + (y y ) y B(x, y ) d AB A(x, y ) x Astanden mellom punktene (x, y ) og (x, y ) er d = (x x ) + (y y ) EKS EM PEL Finn astanden d mel lom punk tene (, ) og (, ). Løs ning: Astanden er d = ( ( )) + ( ) = 4 + ( 3) = 5 = 5 y 3 d x? Opp ga e.9 I parallellogrammet ABCD er A(, ), B(4, ), C(3, 3) og D(, 5). a) Finn leng den a si dene. b) Finn leng den a diagonalene. Opp ga e.93 La B(x, y) ære et punkt som har a stan den 5 fra punk tet S(, 3). Forklar horfor (x ) + (y 3) = 5 Ha slags kur e får i his i teg ner alle punk tene B(x, y) i et koordinatsystem? 4

SAM MEN DRAG Implikasjon Skriemåten A B betyr at his påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig. Ekialens To påstander A og B er ekialente når påstand A er riktig his og bare his påstand B er riktig. Vi skrier A B. Vek tor En ek tor er en stør rel se som har både leng de og ret ning. Skalar En skalar er en stør rel se som ikke har noen ret ning. Nullektor Nullektoren 0 har leng den 0. Enhetsektor En enhetsektor e har leng den. Sum a ek to rer Når i skal fin ne sum men a to ek to rer u og, teg ner i først u. Deretter tegner i med ut gangs punkt i en de punk tet for u. Sum men u + går nå fra ut gangs punk tet for u til en de punk tet for. For tre punk ter A, B og C er AB + BC = AC Dif fe ran se a ek to rer Vi finner differansen u ed å sum me re u og ( ). u = u + ( ) Vi kan også teg ne ek torene u og med felles utgangspunkt. Vektoren u går da fra en de punk tet for til en de punk tet for u. 4 4 Sinus T > Vektorer Pro dukt a tall og ek tor Vektoren t er pa ral lell med og er t gan ger så lang som. His t er et po si tit tall, har og t sam me ret ning. His t er et ne ga tit tall, har og t mot satt ret ning.

Noen reg ne reg ler for ek to rer a + b = b + a t ( a + b ) = t a + t b ( a + b ) + c = a + ( b + c ) s a + t a = (s + t) a s (t a ) = (s t) a Vek tor på ko or di nat form En ek tor u = [x, y] går x enheter i positi x-ret ning og y en he ter i positi y-retning. Like ek to rer To ek to rer er like når og bare når ektorkoordinatene er par is like. Reg ne reg ler for ektorkoordinater [x, y ] + [x, y ] = [x + x, y + y ] [x, y ] [x, y ] = [x x, y y ] t[x, y] = [tx, ty] Vek to ren mel lom to punk ter Vektoren mellom origo O(0, 0) og punk tet A(x, y) har koordinatene OA = [x, y] Vektoren mellom punktene A(x, y ) og B(x, y ) har koordinatene AB = [x x, y y ] Leng den a en ek tor Leng den a ek to ren = [x, y] er = x + y A stan den mel lom to punk ter Astanden mellom punktene (x, y ) og (x, y ) er d = (x x ) + (y y ) 43