2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f ( the domain of f), mens B kalles kodomenet til f ( the codomain of f) f (a) er verdien til f i a ( the value of f at a) Mengden {f (a) a A} av alle verdier til f kalles bildet (eller verdimengden) til f ( the range of f) Merknad 22 Definisjonen ovenfor er ikke matematisk korrekt, fordi det ikke er klart hva en regel er Det finnes en absolutt korrekt definisjon, som vi ikke skal bruke i dette kurset Vi skal betrakte en regel som en formel, eller en algoritme, eller en annen brukbar beskrivelse 22 ransformasjoner og operatorer erminologien i lineær algebra er relativt gammel, og noen ganger stemmer ikke med den moderne matematiske terminologien Derfor følgende Definisjon 2 (Def 4 + Def 8) Gitt to vektorrom V og W En funksjon : V W kalles en transformasjon eller en avbildning ( a transformation or a mapping) Hvis V W, kalles en slik transformasjon en operator ( an operator) 2 En transformasjon/operator kalles lineær (linear) hviss for alle vektorer u, v V, or alle skalærer k R, er (a) (ku) k (u) ; (b) (u + v) (u) + (v) Merknad 24 Jeg foretrekker ordet transformasjon, men i eksamensoppgaver i 2-24 brukes ordet avbildning Eksempel 25 (Hovedeksemplet) La A Mat m n være en m n matrise Betegn med A : R m R n
den følgende transformasjonen (operatoren hvis m n): A (x) Ax R m, x x x 2 Rn x n Merknad 26 En slik transformasjon kalles en matrisetransformasjon ( matrix trransformation, Def ovenfor Ex 4) Følgende teorem beksriver lineære transformasjoner R n R m, og hjelper til å bygge matrisen A: eorem 27 (h 42 + formel 42) Gitt en lineær transformasjon : R n R m Da eksisterer det en entydig bestemt matrise A Mat m n slik at A (matrisen betegnes som A ) 2 Matrisen A bygges slik: anvend på basisvektorene e i fra standardbasisen (e, e 2,, e n ),,, Rn, og sett resultatene som kolonner i matrisen A: Eksempel 28 (Ex 4) La A (e ) (e 2 ) (e n ) : R 4 R være definert slik: x x 2 x x 4 2x x 2 + x 5x 4 4x + x 2 2x + x 4 5x x 2 + 4x
La oss bygge matrisen A: 2 4 5,, 2 4 5, Endelig: A A (x) Ax 2 5 4 2 5 4, 2 5 4 2 5 4 x x 2 x x 4 2x x 2 + x 5x 4 4x + x 2 2x + x 4 5x x 2 + 4x (x) Eksempel 2 (Nulltransformasjonen, Ex 42) : V W, (x) Hvis V R n og W R m, er A der A er m n nullmatrisen eksempel, hvis m 4 og n 6, er A 4,6 For Eksempel 2 (Identitetsoperator, Ex 4) I V : V V, I V (x) x 2
Hvis V R n, er I V A der A I n er identitetsmatrisen For eksempel, hvis n 4, er A I 4 Merknad 2 Vi skiller notasjonene for identitetsoperatoren (I V eller I R n) og identitetsmatrisen I n Definisjon 22 (Def 8) Gitt to transformasjoner : U V, 2 : V W Deres komposisjon ( their composition) defineres slik: 2 : U W 2 (x) 2 ( (x)), x U Definisjon 2 (Formler 84 og 85) Gitt Hvis det eksisterer slik at : V W S : W V S I V, S I W, dvs S ( (x)) x, x V, (S (y)) y, y W, kaller vi S for den inverse til ( the inverse of ), og betegner S 2 (Litt annerledes enn Def 82) En slik transformasjon kalles invertibel eller en isomorfi ( invertible, or an isomorphism) Vi sier også at rommene V og W er isomorfe ( isomorphic), og skriver V W
Eksempel 24 (Grunnlaget til Hovedprinsippet, Seksjon 82) Hvis dim V n, er V R n La være en basis for V, og la være definert slik: G (g, g 2,, g n ) : V R n, S R n V, (x) x G R n, x V, α S α 2 α g + α 2 g 2 + + α n g n V, α n Da er S, og både og S er isomorfier α α 2 α n Rn 2 (Ex 827) Isomorfiene P n R n+ er gitt ved : P n R n+, S : R n+ P n, ( α + α x + α 2 x 2 + + α n x n) (Ex 828) S α α α n La m 2, n Isomorfiene α α α n Rn+, α + α x + α 2 x 2 + + α n x n P n Mat m n R mn : Mat 2 R 6, S : R 6 Mat 2, 4
er gitt ved ( ) a a 2 a a 2 a 22 a 2 S b b 2 b b 4 b 5 b 6 a a 2 a 2 a 22 a a 2 R 6, b b b 5 Mat b 2 b 4 b 2 6 Merknad: vi definerer isomorfien kolonnevis, ikke radvis, som i Ex 828 eorem 25 (Formlene 42 og 46) Hvis A Mat m n og B Mat k m, er B A BA : R n R k, dvs 2 2 Mat k n 2 Hvis A Mat n n, er ( A ) A : R n R n, dvs Mat n n Oppgave 26 Kan vi definere for : R n R m, der m n? 2 Matrisen for en lineær transformasjon (Ch 84) 2 Hovedprinsippet igjen La oss utvide Hovedprinsippet (se Seksjon 82) Ethvert (endelig dimensjonalt, dvs som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n, der n dim V Rommet er jo isomorf til R n, se Eksempel 24! Alle lineære transformasjoner : V W 5
kan beskrives som matrisetransformasjoner A : R n R m, der n dim V og m dim W En oppgave om vektorrom og lineære transformasjoner kan løses slik: Oversett oppgaven fra V, W, -språket til R n, R m, A -språket Her trenger man to ordbøker, dvs to basiser: G for V og H for W Matrisen beskrives nedenfor A H G 2 Løs oppgaven for R n, R m og A : beskriv ker ( A ) Null (A), R ( A ) col (A), finn diverse basiser, løs systemet Ax b osv Oversett resultatene tilbake til V, W, -språket : beksriv ker, R ( ), finn diverse basiser, løs likningen (y) c osv Dette gjøres på følgende måte (se begynnelsen av Ch 84) Anta at vi har to basiser: G for V, og H for W : G (g, g 2,, g n ) V, H (h, h 2,, h m ) W Matrisen for mht basiser G og H (the matrix for relative to the bases G and H) er definert i formel 845: (x) H H G x G der x G er koordinatvektoren til x mht basisen G (en n kolonnevektor), og der (x) H er koordinatvektoren til (x) mht basisen H (en m kolonnevektor) Matrisen A H G er da en m n matrise Definisjonen hjelper til å bruke matrisen A, men ikke til å bygge A For å bygge A H G, er det bedre å bruke formel 844: matrisen A består av kolonner som er koordinatvektorer til (g i ) mht basisen H: A H G (g ) H (g 2 ) H (g n ) H For operatorer (se Formlene 847 og 848) betegnes matrisen G G enklere som G, og A G (g ) G (g 2 ) G (g n ) G, (x) G G x G 6
Eksempel 27 (Hovedeksemplet) Det er relativt enkelt å finne matrisen A i tilfellet V R n, W R m, og E og F er standardbasiser: Hvis E (e, e 2,, e n ) F (f, f 2,, f m ) for en m n matrise A, så er Eksempel 28 (Igjen Ex 4) La være definert slik: La også x x 2 x x 4,,,, A : R n R m E (e, e 2, e, e 4 ) F (f, f 2, f ) La oss bygge matrisen F E A : R 4 R,, 2x x 2 + x 5x 4 4x + x 2 2x + x 4 5x x 2 + 4x,,,, A F E :, Rn, Rm R R4, A (e ) F (e 2 ) F (e ) F (e 4 ) F (e ) (e 2 ) (e ) (e 4 ) 2 5 4 2 5 4 7
Eksempel 2 (Ex 82) Hvis er nulltransformasjonen: : V W (x), så er H G nullmatrisen av størrelsen m n, der n dim V, m dim W, uavhengig av basiser G og H Eksempel 22 (Ex 8 og 844) Hvis er identitesoperatoren (I V (x) x), er I V : V V I V G I n der n dim V, uavhengig av basisen G, fordi I V (g ) G g G I V (g 2 ) G g 2 G I V (g n ) G g n G eorem 22 (h 85) Gitt to basiser G og H for det samme vektorrommet V Da er I H G P H G, I G H P G H (der P H G og P G H er overgangsmatriser) 24 Bildet og kjernen Definisjon 222 (Def 82 + Def 8) La : V W,, 8
være en lineær transformasjon Kjernen ker til ( the kernel of ), bildet R ( ) til ( the range of ), nulliteten til ( the nullity of ) og rangen til ( the rank of ) defineres slik: eorem 22 (h 84) ker {x V (x) } V, R ( ) { (x) x V } W, nullity ( ) dim (ker ), rank ( ) dim R ( ) nullity ( ) + rank ( ) dim V Eksempel 224 (Ex 8) La A Mat m n og Da er A : R n R m ker Null (A), R ( ) col (A), der Null (A) er nullrommet til A og col (A) er kolonnerommet til A Merknad 225 La G være en basis for V, og H være en basis for W I følge Hovedprinsippet, kan ker og R ( ) beskrives ved hjelp av Null (A) og col (A) der A H G Eksempel 226 (Ex 85) Velger standardbasisene La n 4: A F E : P n P n+, (p (x)) xp (x) E (, x, x 2,, x n) P n, F (, x, x 2,, x n+) P n+ G J
Ingen frie variable, derfor Null (A) {}, ker {} nullity ( ) Kolonnene i A danner en basis for col (A), derfor danner ( x, x 2, x, x 4, x 5) en basis for R ( ), og rank ( ) 5 eorem 227 (h 84 + modifisert h 842) La : U V, S : V W, og la G, H og J være basiser for U, V, og W S J G S J H H G 2 er invertibel, dvs er en isomorfi, hviss matrisen ( H G ) er invertibel, og G H ( H G ) Eksempel 228 (Ex 87) Siden S (X) X ( E, S : Mat 2 2 Mat 2 2, S E er S invertibel med S S, og, (S E ) S E, ker S {},, R (S) Mat 2 2, nullity (S), rank (S) 4 ),
2 er ikke lineær det : Mat 2 2 R Eksempel 22 (Ex 8) : P R, (p) p ( ) p (2) p (4) G (, x, x 2, x ) P, H H G, 2 4 8 4 6 64, R G J Prøv å tolke resultatet! Fasit: R ( ) R, tuppelet ( 8 + 2x 5x 2 + x ) 8 2 5 danner en basis for ker, nullity ( ) Eksempel 2 (Ex 8) Velger standardbasisen La n 4: : P n P n, (p (x)) p (x) E (, x, x 2,, x n) P n (), (x), ( x 2) 2x, ( x ) x 2, ( x 4) 4x 2 F E 4 G J () danner en basis for ker, (, 2x, x 2, 4x ) danner en basis for R ( ), nullity ( ), rank ( ) 4
25 Injektive, surjektive og bijektive transformasjoner La oss minne kvantorer (quantifiers), som vi introduserte i Seksjon 52: Kvantor Forklaring i norsk Forklaring i engelsk Kommentar For alle/envher/ethvert For all/any Eksisterer det minst én/ett Exists at least one! Eksisterer det eksakt én/ett Exists exactly one! Eksisterer det høyst én/ett Exists at most one Brukes kun i dette kurset Definisjon 2 (Def 82, 822 og 82) Gitt : V W Vi sier at: a) G er surjektiv ( onto or onto W ) dersom ( y W ) ( x V ) slik at (x) y b) G er injektiv ( one-to-one or -) dersom ( y W ) (!x V ) slik at (x) y c) G er bijektiv eller invertibel eller en isomorfi ( invertible or an isomorphism) dersom ( y W ) (!x V ) slik at (x) y Merknad 22 Definisjonen til isomorfi her er litt annerledes enn Definisjon 2, men er ekvivalent til den Se ellers Figure 82 eorem 2 (h 82 utvidet) : V W er injektiv ker {} Null ( H G ) {} (uavhengig av basiser G og H) 2 : V W er surjektiv R ( ) W col ( H G ) R m (uavhengig av basiser G og H) : V W er bijektiv (invertibel, en isomorfi) H G er en invertibel matrise (uavhengig av basiser G og H) Man får da automatisk at dim V dim W 2
Eksempel 24 (Ex 845 utvidet) Finn E : P 2 P 2, E (, x, x 2), (f) f (x 5) 2 Vis at er invertibel og beregn E Vis at (g) g ( ) x+5 4 Beregn ( + 2x + x 2) 5 Beregn ( + 2x + x 2) Løsning 25 (), () E, (x) x 5, (x) E 5, ( x 2) (x 5) 2 x 2 x + 25, ( x 2 ) E 25 Endelig: E 5 25 2 Siden E er invertibel, og ( E ) er invertibel, og 5 25 E 5 25 5 25,
La S (g) g ( ) x+5 Da er S E S () E S (x) E S ( x 2 ) E E x + 5 derfor S 4 Løsning : ( + 2x + x 2 ) E E E x2 + x + 25 E x+5 E E + 2x + x 2 E 5 ( x+5 ) 2 25 E E, 5 25 ( + 2x + x 2) 66 84x + 27x 2 Løsning 2 (direkte): 2 66 84 27 ( + 2x + x 2) + 2 (x 5) + (x 5) 2 27x 2 84x + 66 5 Løsning : ( + 2x + x 2) E E + 2x + x 2 E, 5 25 ( + 2x + x 2) 8 + 4x + x2 2 8 4, Løsning 2 (direkte): ( + 2x + x 2) ( ) ( ) 2 x + 5 x + 5 + 2 + x2 + 4x + 8 26 Hvordan endres matrisen ved et basisskifte? I Ch 85 er det gitt en formel (h 852) for operatorer, men ikke for transformasjoner Det er lurt å gi den manglende formelen i dette Kompendium Formelen kan hjelpe dere til å løse flere oppgaver i Ch 8-84 4
Merknad 26 (Formel 852, korollar fra eorem 227) Gitt 4 vektorrom A, B, C og D, 4 basiser G, H, J og K, og transformasjoner: A S B C U D Da er U S K G U K J J H S H G eorem 27 (Korollar fra eorem 22 og 227) La : V W være en linear transformasjon, la G og G være to basiser for V, og la H og H være to basiser for W Da er H G P H H H G P G G, der P G G er overgangsmatrisen fra G til G, og P H H er overgangsmatrisen fra H til H Merknad 28 Husk at P H H (P H H ) og Bevis Siden er P G G (P G G) I W I V, H G I W I V H G I W H H H G I V G G P H H H G P G G Korollar 2 Hvis vi endrer bare én basis, blir formlene enklere: 2 H G H G P G G, H G P H H H G, 5
Korollar 24 (h 852) Hvis er en operator, dvs V W, og vi har to basiser G og G istedenfor fire, så er G G G P G G G G P G G P G G G P G G P G P der P P G G Eksempel 24 (Ex 84) Da er ( x y : R 2 R, ) y 5x + y 7x + 6y F E A 5 7 6 5 7 6 x y Men i eksemplet kreves det å finne matrisen H G mht basiser G og H som er forskjellige fra standardbasiser: ( ) 5 G,, 2 H, 2 2, 2 Vi skal da bruke eorem 27 Vi trenger da overgangsmatrisene: P F H 2, 2 2 P H F (P H F ) 2 2 2 2 2 2 P E G 5 2 2 2, Endelig: H G P H F F E P E G 2 2 2 2 2 5 7 6 5 2 2 6