Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamlig (bakerst i oppgavesettet). Kotroller at du har fått alle arkee. Les oppgavetekstee øye. Bruk ege ark på hver oppgave. Begru alle svar. Alle delspørsmål teller like mye. Oppgave På figure edefor er det teget i e parabel og e rett lije. Figure viser også et skravert areal, avgreset av parabele og de rette lija. a) Fi fuksjosuttrykkee for de rette lija og parabele. b) Bereg arealet av det skraverte området. c) Fies det aegradsfuksjoer som har vedepukter? Forklar.
Oppgave Fuksjoe f er gitt ved f ( ) =, R. + a) Fi ullpuktee til f. b) Fi alle asymptoter til f. c) Deriver fuksjoe og vis at f har miimum år =. d) Vis at 4 3 f ( ) =. 4 Oppgave 3 Ved et fallskjermhopp er vi ødt til å ta hesy til luftmotstade for å få e rimelig beskrivelse av hastighete ved ulike tidspukter. Vi skal her ata at hastighete ved et fallskjermhopp starter på 50 km/t, som vi teker oss er hastighete i de frie dele av fallet. 0,t Etter at skjerme er utløst er hastighete ved tid t gitt ved fuksjoe v ( t) = 35e + 5 (km/t). (Tallee her gjelder ikke geerelt. E modell er aturligvis helt avhegig av fallskjermes utformig, og det ka være vesetlige forskjeller. Dessute gjør vi oe forekliger slik at vi får relativt pee tall.) a) Er det mulig å oppå hastighete 0 km/t? b) Vi skal ata at hoppere ikke ka ha hastighet større e 0 km/t i det ha lader. Reg ut hvor lag tid det tar før dee hastighete er oppådd. c) Hvor høyt over bakke må fallskjermhoppere miimum være i det ha løser ut skjerme dersom ha ikke skal ha hastighet større e 0 km/t i det ha lader? (Bruk det du reget ut i pukt b). Oppgave 4 a) På fødselsdage si setter Per hvert år i 5000 kroer på sparekotoe. Reta er hele tide 7 %. Hvor mye har Per på sparekotoe etter 0 år? b) Per har også et lå med tilbakebetaligstid på 0 år. Det første avdraget er på 0000, deretter reduseres avdraget med 850 kroer per år i de 0 åree. Hvor mye har Per betalt til samme i avdrag på dee tide? (Vi skal bare bry oss om disse avdragee i dee oppgave, ikke oe aet).
Oppgave 5 l( a) Bruk delvis itegrasjo til å fie det ubestemte itegralet 3 ) d (Hit: de ee valgte fuksjoe bør ok være ) b) Nedefor ser du kurve som represeterer løsigsmegde til ligige 3 3 y = 4 : Bruk implisitt derivasjo til å fie ligige for tagete til kurve i puktet (0,). c) Løs ligige si() = cos() Oppgave 6 Vi skal studere fuksjoe f cos( y), y) =, hvor D f er gitt ved 0 og - y. l( ) ( Grafe til dee fuksjoe ser slik ut: 3
Det rektagulære området som er teget i er defiisjosområdet. a) Vis ved regig at puktet,0 er et stasjoært pukt. b) Av grafe ser vi at f har maksimum for det stasjoære puktet. Vis at f,0 = + l() c) f har sitt miimum på rade av defiisjosområdet (av symmetrigruer har de miimum på to steder). Fi dee miimumsverdie. Oppgave 7 a) Forklar kort hva e differesialligig er. La y() være vekta av avlige på et jordstykke dersom vi bruker kilo gjødsel. Naturligvis er det e øvre grese for hvor stor avlig vi ka få på et jordstykke, i dette tilfellet skal vi ata at dee grese er 6 to. Videre ka vi ata at vekstrate til y er % av differese (6 y). Dersom vi ikke bruker gjødsel produserer jordstykket 4 to. Dersom vi bruker mer e 50 kg gjødsel vil vi skade avlige. b) Sett opp e differesialligig som modellerer opplysigee i oppgavetekste, og løs de. c) Hvor stor blir avlige dersom vi bruker 00 kg gjødsel? d) Teg e skisse av grafe til y (det skal bare være e skisse, ikke bruk lag tid på å tege dee). 4
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig Formelsamlig for Matematikk, Modul Geerelt FORMEL FOR LØSNINGENE TIL ANNENGRADSLIGNINGEN: Ligige a b c + + = 0 har løsiger gitt ved b ± b 4ac =. a KONTINUERLIG FUNKSJON: f er kotiuerlig i c dersom lim f ( ) = f ( c) c INVERS FUNKSJON: g er ivers til f dersom g( f ( )) =. De iverse skrives ofte f ( ). Rekker GEOMETRISK REKKE: dersom < <, og da er + k 3 = + + + + L + =. Rekke er koverget k = 0 + k 3 = + + + + L = lim =. k = 0 ( a + a ) ARITMETISK REKKE: a + a + a3 + + a = ( a + a) ( a a + a) (Alterativ form: a + a + a3 + L + a = ) a Derivasjo L, hvor = a a + a a PRODUKTREGELEN: Hvis f ( ) = g( ) h( ), så er f ( ) = g ( ) h( ) + g( ) h ( ) KJERNEREGELEN: Hvis f ( ) = g( u( )), så er f ( ) = g ( u) u ( ) KVOTIENTREGELEN: Hvis u( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) f ( ) =, så er f ( ) = v( ) v( ) r POTENSREGELEN: Hvis f ( ) = a, så er r ( ) =, hvor a R f r, r er rasjoal. 5
DERIVASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONER: Hvis f ( ) = a, så er f ( ) = a l a hvor a > 0. (spesialtilfelle: ( e ) = e, side l e = ). DERIVASJON AV LOGARITMER: Hvis f ( ) = l, så er f ( ) = /, hvor 0. DERIVASJON AV TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER: (si ) = cos og (cos ) = si. f PARTIELT DERIVERTE: For e fuksjo f (, y ) skriver vi eller f (, ) y for de partielt deriverte med hesy på. Tilsvarede for derivasjo med hesy på y. Aederivertteste Hvis f ( c) = 0 og f ( c) < 0, så er ( c, f ( c )) et lokalt maksimumspukt, og f ( c ) e lokal maksimumsverdi. Hvis f ( c) = 0 og f ( c) > 0, så er ( c, f ( c )) et lokalt miimumspukt, og f ( c ) e lokal miimumsverdi. Vedepukt Dersom ( a, b ) er et pukt på grafe til e fuksjo f, kalles ( a, b ) et vedepukt dersom f ( a) = 0. Ofte agis bare a for å markere et vedepukt (sier ma at fuksjoe har vedepukt for = a er det uderforstått at ( a, f ( a )) er vedepuktet). L Hôpitals regel L HÔPITALS REGEL FOR 0/0 : f ( ) f ( ) Forutsatt at g ( 0 ) 0, har vi at lim = lim. Regele ka brukes til å bestemme 0 g( ) 0 g ( ) f ( ) 0 grese i tilfeller hvor vi får lim = " ". 0 g ( ) 0 L HÔPITALS REGEL FOR / : Dersom lim f ( ) = lim g( ) =, da er 0 0 eksisterer, eller er ±. f ( ) f ( ) lim = lim, forutsatt at g( ) g ( ) 0 0 f ( ) g lim 0 ( ) Regeregler for logaritmer l a = l a l a e = a l( ab) = l a + l b l( a / b) = l a l b 6
Itegrasjo DELVIS INTEGRASJON: uv = u v d + uv d INTEGRASJON VED SUBSTITUSJON = Dersom f ( ) = g( u) u ( ) er f ( ) d g( u) u ( ) du = G ( ) + C hvor G er e atiderivert til g. Ved beregig av bestemte itegraler: b f ( ) = a u( b) u( a) g( u) du DELBRØKSOPPSPALTNING A E rasjoal fuksjo skrives som e sum av fuksjoer på forme hvor A og a er + a kostater. Vi får A/( + a) d = A l + a + C. Et eksempel viser prisippet. Vi vil skrive som e sum av brøker med førstegradspolyomer i evere. Vi har at = ( )( + ), og skriver A A = + +, hvor A og A er kostater. For å bestemme A gager vi med på begge sider, og ser på: A = A + ( ) + + Når = er det siste leddet på høyreside 0, og A er lik vestreside, som da er ½. Kostate A bestemmes på tilsvarede måte. SPESIELLE INTEGRALER + d = l + C + d = + C e d e C = + l d = l + C Fuksjoer i flere variable TANGENTPLAN Dersom f (, y ) er e partielt deriverbar fuksjo, er tagetplaet for grafe til f i puktet ( a, b ) gitt ved z = f ( a, b)( a) + f ( a, b)( y b) + f ( a, b). y STASJONÆRT PUNKT Dersom f (, ) 0 0 y0 = og f y ( 0, y0) = 0, kalles ( 0, y 0) et stasjoært pukt. 7
Løsiger av differesialligiger at Ligiger på forme y = ay, har løsig y = ke at b Ligiger på forme y = ay + b, a 0, har løsig y = ce der c er e vilkårlig a kostat. B A Ligiger på forme y = ay + by + c, a 0 har løsig y = A + ( B _ A) at + ke der k er e vilkårlig kostat. I tillegg kommer de kostate løsige y = A. Noe gager er det mer aturlig å skrive e slik ligig på forme dy a( y A)( y B) dt =, hvor 0 E typisk situasjo hvor e slik ligig opptrer, er år vi forsøker å modellere et feome hvor de relative veksthastighete er proporsjoal med det vi kaller de ledige kapasitete. At de relative veksthastighete er proporsjoal med de ledige y kapasitete uttrykkes ved = a( B y), hvor B er de såkalte bærekapasitete. y 8