Funksjoner, repetisjonsoppgaver.

Repetisjonsoppgaver, uke og, i Matematikk 0, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke og Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Oppgave Funksjoner gitt ved funksjonsuttrkk på formen f() = m + b, der m og b er konstanter, kalles lineære funksjoner. Vi varmer opp med å se litt på disse. a ) Lag en skisse av grafen til funksjonen gitt ved f() =, på området gitt av. Oppgaven bør løses uten bruk av elektroniske hjelpemidler. b ) Lag også en skisse av grafen til funksjonen gitt ved g() = + på samme område. c ) Konstantfunksjoner, som for eksempel funksjonen h() =, er det av og til hensiktsmessig åtenkepå som lineære funksjoner med m =0,dvs.f() =0 +. Skisser også denne grafen på samme område. d) Hvis vi generelt snakker om lineære funksjoner på formenf() =m + b kalles konstantene m og b for parametre. Det som kan sies om slike uten åspesifiserehvilketallm og b er gjelder for alle lineære funksjoner. Hva kan vi generelt si om grafen til alle lineære funksjoner (hvilken tpe kurver er de)? Hva sier parameteren b om funksjonen f() =m + b? Svar for eksempel med hvor vi lett finner b ved åsepågrafentilf. Hva sier parameteren m om f() =m + b En liten kommentar om språkbruken i oppgaven: Navnet på funksjonene i denne oppgaven er f, mensf() er funksjonsuttrkket, enformeltilå finne funksjonsverdien hvis vi setter inn. Korrekt språkbruk er altså som i innledningen og oppgave a) og b). Ofte bruker vi likevel den ikke helt korrekte, men kortere uttrkksmåten funksjonen f() =m + b, som i c) og d) oppgavene. Oppgave Funksjoner gitt ved funksjonsuttrkk på formen f() =a + b + c. der parametrene a, b og c er konstanter (og a 0) kalles andregradsfunksjoner. Hvis for eksempel a =ogb = c =0får vi f() =. Grafen til denne på området ertegnet her, til høre. Denne kurven, og grafen til alle andre andregradsfunksjoner, kalles parabler. - - 0 a) Lag en frihåndstegning av grafen til f() = (den som er vist her), og grafen til f() = på samme område og i samme diagram. b ) Lag også enfrihåndstegning av grafene til funksjonene gitt ved h() = og i() =.

Repetisjonsoppgaver, uke og, i Matematikk 0, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. c ) Hvilken rolle spiller konstanten a for formen til grafen til andregradsfunksjoner? (Svar uformelt og muntlig, til deg selv.) d ) Lag en skisse (sammen med f() = )) av grafen til g() =( ) påområdet 0, for eksempel ved å regne ut f(), f(), f(), f() og f() og frihåndstegne en parabel gjennom disse punktene. Hva er sammenhengen mellom grafene til g() ogf() =? e) Hvis d er en konstant, og vi har en funksjon f kan vi danne en n funksjon g gitt ved g() =f( d). Funksjonsuttrkket til g finner vi da ved å erstatte alle forekomnster av i f() med d. Forrige deloppgave var et eksempel på dette, med f() =,såf( ) = ( ). Hva er, generelt, sammenhengen mellom grafen til f() ogg() =f( d)? f ) Hva er generelt sammenhengen mellom grafene til f()ogf()+e,dere er en konstant? Bruk dette til å tegne grafen til h() =( ), i samme diagram som du tegnet g() =( ). g) Ved bruk av. kvadratsetning kan vi regne sammen h() tilformena + b + c slik: h() =( ) = + = 6 +7. Vi kan generelt gjøre omformingen den motsatte vegen ved teknikken som kalles utflling til fullstendig kvadrat. En måte å gjøre dette på for andregradspolnomer er slik: a( d) + e = a( d + d )+e = a ad + d + e som skal være lik a + b + c Vi ser at a allerdede er riktig. Koeffisienten foran førstegradsleddene skal være like, det vil si ad = b, som vi får ved åvelged = b a. Konstantleddene skal også være like, det vil di at d + e = c som vi får ved åvelgee = c d. I eksemplet er a =,b = 6 ogc = 7, som gir d = b a = 6 =.Videreere = c d = 7 =. Ved å sette disse verdiene inn for a, d og e iformenh() =a( d) + e finner vi h() =( ) +( ) = ( ). Bruk teknikken beskrevet over til å skrive funksjonen j() = + påformen a( d) + e. Bruk så det som er sagt tidligere i denne oppgaven til å lage en frihåndstegning av grafen til j() utenå regne ut en eneste funksjonsverdi. h ) Andregradsfunksjoner har en en viktig smmetriegenskap, som lettest sees hvis de er ordnet til formen a( d) + e. Hva er det jeg sikter til? i) Andregradslikninger er likninger på formena + b + c = 0. Røttene i disse kan finnes fra formelen b ± b ac a der tegnet ± betr pluss eller minus, slik at vi (generelt) får to løsninger, også kallt røtter. Utledningen av formelen er en bruk av metoden med utflling av kvadratet som ikke taes med her. Denne formelen er det nok lurest ålære,denstår ikke i formelsamlinga til Haugan. Bruk denne formelen til å løse andregradslikningen + =0. Hvor finner du igjen disse røttene på grafen fra forrige deloppgave?

Repetisjonsoppgaver, uke og, i Matematikk 0, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. j ) Tegn kurvene gitt ved likningene = 6 +7 og = + inn i samme diagram. Finn eksakt verdi av koordinatene til de to skjæringspunktene mellom kurvene. ( Eksakt verdi betr i dette tilfellet talluttrkk som inneholder heltall og rottegn, i tillegg til brøkstrek, +, og.) Finn også røttene tilnærmet som desimaltall. (Her bør du bruke kalkulator eller et dataprogram). Oppgave La funksjonen f være gitt ved funksjonsuttrkket f() =( +)( )( ) a) Finn koordinatene der grafen til f skjærer aksen. b ) Vi kan ogsåskrivef() = +. Vis hvordan du omformer funksjonsuttrkket ( +)( )( ) til +. Hva er koordinaten der grafen skjærer aksen? c ) Regn ogsåutf( ) og f(), og lage en røff, håndtegnet skisse av grafen for. En til en skala, at en enhet langs aksen tegnes like lang som en enhet langs aksen, er nok ikke hensiktsmessig. Figuren blir nok tdeligere om enheter på aksen er omtrent like lang som en enhet langs aksen. Oppgave La f() = a) Hva er domenet (eng.: domain), også kallt definisjonsområdet, forf? b) Hva er verdimengden (eng.: range) tilf? c) Hva er f(0), f(), f(), f(9) og f(/)? Bruk disse punktene til åhåndtegne grafen til f for 0 0. d ) Tegn også grafentil i samme diagram. Oppgave Hvilke av følgende påstander stemmer for alle reelle tall og? Bortsett fra i a), b) og c) skal du forutsette at og ikke er negative. a) = b) = c) = d) + = + e) = f) 6 =6 g) / = / h) / = / i) 0 0 = 0.08.08, Hans Petter Hornæs

Repetisjonsoppgaver, uke og, i Matematikk 0, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Fasit, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Oppgave a), b) og c): Siden grafen til lineære funksjoner er rette linjer er det nok å finne to punkter for å tegne den, f.eks for =0 og =. For eksempel er f(0) = ogf() = =,så grafen er den rette linja som skjærer aksen for = oggår gjennom punktet med koordinater (, ) (der den skjærer den horisontale grafen til h()). Grafen som går nedover (mot høre) er g(). d) Grafen til lineære funksjoner er rette linjer. Parameteren b, konstantleddet, angir skjæring med aksen (eng.: intercept). Hvis aksen naturlig er innenfor utsnittet grafen tegnes gir dette et punkt på linja det er lett å finne og tegne. Parameteren m kalles stigningskoeffisienten. Den angir stigningen (eng.: slope) til linja som m =Δ/Δ f() =m + b forholdet mellom økning i retningen, Δ, når vi øker verdien med Δ i retningen. Δ Forholdet Δ/Δ blir det samme uansett hvor på linja du starter, og hvor lang du velger Δ (siden en Δ endring i Δ medfører en tilsvaredne endring i Δ). b Hvis m>0går linja oppover (mot høre), hvis m<0gårlinja nedover. - - - - - Oppgave Figur til a Figur til b Figur til d - 8 7 6-0 - - 0 - - c) Konstanten a angir hvor bratt grafen er. Øker den, som her med en faktor, fordobles vertikal avsrtand til aksen, som blir det samme som at den klemmes sammen til halv bredde horisontalt. Avtar den med en faktor, til /, trekkes den ut til dobbel bredde. Blir den i tillegg negativ speiles den vertikalt så den åpner seg nedover istedenfor oppover. d) Grafen til g er grafen til f forskjøvet enheter mot høre. e) Grafen til g er forskjøvet d enheter mot høre. Hvis d<0 er forskvinga mot venstre. Dette kan også uttrkkes som f( + d), med positiv d. - - 0

Repetisjonsoppgaver, uke og, i Matematikk 0, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. f ) Dette forskver grafen a enheter oppover, nedover hvis a<0. I dette tilfellet forskves altså grafentil( ) enheter nedover. Siden denne var grafen til forskjøvet enheter mot høre er altså den samlede virkningen åforskvedennemot høre og nedover. Generelt vil f( ) forskve grafen til f enhetermot høre og nedover, og f( d)+e forskve grafen til fd enheter mot høre og e enheter oppover. - - 0 - - g ) Vi har allerede a =iorden.d = b a = /( ) =. e = c d = ( ) =. Det vil si at + =( ( )) =( +), og grafen er den samme parabelen som forskjøvet mot venstre og nedover. h ) Grafen er smmetrisk om den vertikale linja ved = d. i) b ± b ac = ± ( ) = ± + = ± a Ved å bruke minusroten er = =, mens plussroten er = + =. Dette er koordinatene der grafen skjærer aksen (hvis du bruker samme utsnitt av grafen som jeg har gjort tidligere havner disse akkurat på toppen). j ) Kurven gitt ved likningen = 6 + 7 er det samme som grafen gitt ved h() = 6 + 7, tegnet i f oppgaven. koordinatene i skjæringene er de verdiene som gjør funksjonsuttrkkene like: 6 +7= + 6 +7 ( +)=0 6 +7+ =0 +=0 Tegnet bruker vi til å angi overgangen mellom likninger som har samme løsningsmengde, og her har jeg bare trukket fra + på begge sider av likhetstegnet ( flttet + over på venstresiden ). Å finne skjæringspunktene er altsåå løse andregradslikningen +=0: Dette gir røttene = + ( ) ± ( ) og =. - - = ± 0 Dette lar seg ikke forenkle med eksakte verdier, eretirrasjonalt tall som ikke kan skrives som brøk mellom heltall. I masnge situasjoner ønsker vi svaret på denne formen (blant annet ved eksamen i Matematikk 0, som jo foregår uten kalkulator). Andre ganger ønsker vi dette tilnærmet med desimaltall, og da bruker vi normal elektroniske hjelpemidler og finner, hvis vi bruker gjeldende siffer: =.8, =.68 Sjekk at dette ser rimelig ut på figuren.

Repetisjonsoppgaver, uke og, i Matematikk 0, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Oppgave a ) Skjering med aksen er der f() =0 ( +)( )( ) = 0. b ) Et produkt er 0 hvis (og bare hvis) en av faktorene er 0, det vil si for + = 0 =, =0 =eller =0 =. Multipliserer først sammen de to første, dev å multiplisere hvert ledd i førsste parantes med hvert ledd i andre, eller alternativt ved. kvadratsetning: ( +)( )( ) = ( + ) + + ( ))( ) = ( )( ) Multiplliserer så sammen disse på samme måte: ( + ( ) + ( ) = + På den siste formen får vi skjering med aksen direkte fra konstantleddet, dvs. =. c) f( ) = ( ) ( ) ( ) + = 8 8++= og f() = 8. 8 6 - - Oppgave a ) b ) - - -6-8 -0 Vi kan ikke ta kvadratrot av negative tall (og få et reelt tall), f.eks. ville vært tallet som er slik at =. Siden negative tall også blir positive når de kvadreres, f.eks ( ) = ( )( ) = 9 ( minus ganger minus gir pluss ). For 0 og alle positive tall eksisterer derimot kvadratroten. Dette kan kalles alle ikke negative tall, men også kan skrives[0,.(det halvåpne intervallet fra og med 0 til uendelig). Dette er den begrensningen på domenet som følger av matematiske begrensninger i formelen. Det kan være tterligere begrensninger på domenet, f.eks i anvendelser der bare er praktisk mulig for et avgrenset intervall. Verdimengden er også [ 0, ], alle ikke negative tall er kvadratroten av noe, nemlig av =. = er per definisjon det ikke negative tallet slik at =. For eksempel er =, men også ( ) =.Daerkvadratrotendefinert slik at. c) f(0) = 0 siden 0 =0,f() = siden =,f() = siden =,f(9) = siden =9og f ( ) = ( siden ) = = =. Grafen er den til venstre i tegningen nedenfor. d) Grafen til =f( ) er grafen til f() = forskjøvet to enheter mot høre: 0 6 8 0

Repetisjonsoppgaver, uke og, i Matematikk 0, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Oppgave a ) Feil. Fella kom med en gang, omformingen i a) brukes ofte når vi kan forutsette 0, men er ikke riktig for <0. F.eks er ( ) = =. Dermed gjelder ikke denne for alle reelle tall. b ) Feil. Bortsett fra for =0får vi her kvadratroten av et negativt tall, som ikke er noe reelt tall. c) Riktig. er absoluttverdien, også kalt tallverdien. Det er ofte hensiktsmessig når man skal regne med absoluttverdifunksjonen å omforme den til =. d ) Feil. Bortsett fra om = 0 eller =0er + +. For eksempel med =9og =6er + = 9+6= = mens + = 9+ 6=+=7. e ) Riktig, kvadratrøtter (og andre røtter og potenser) kan taes faktor for faktor i et prodkt. f ) Feil. Det riktige, fra = med =6er 6 = 6 =. g ) Riktig. Røtter og potenser av brøker kan taes hver for seg i teller og nevner. Dette er egentlig bare en omforming av regelen fra e. h ) Riktig, dette er regelen fra forrige punkt med =. i ) Riktig, røtter kan taes faktor for faktor i et produkt, også som her med eller flere faktorer. 0 = 0 så 0 0 0 =. = fordi ( ) 0 =( ( ) ) = =. Her har jeg brukt potensregelen a m n =(a m ) n og at =. Hans Petter Hornæs