OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM 2007-2008 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk språk. Du får ikke godkjent en besvarelse som ikke er motivert, som jeg ikke forstår, eller som jeg ikke kan lese. En betyr at oppgaven er litt mer utfordrende enn vanlig OPPGAVESETT 6. Innleveres senest 8/5-08 Oppgave 6.1. La K 0 K 1 K 2 K r være inklusjoner av kropper. (1) Vis at K r er endelig generert over K 0 hvis og bare hvis K i+1 er endelig generert over K i for i = 0, 1,..., r 1. (2) Vis at når (1) holder så vil [K r : K 0 ] = [K r : K r 1 ][K r 1 : K r 2 ] [K 1 : K 0 ]. Oppgave 6.2. For reele tall a 1, a 2,..., a r betegner vi med Q(a 1, a 2,..., a r ) den minste kroppen som inneholder a 1, a 2,..., a r. Bestem (1) [Q(7 + 3 5) : Q]. (2) [Q( 2, 3) : Q]. (3) [Q( 2, 3 2) : Q]. (4) [Q( 4 2) : Q] (5) [Q( 2, 4 2) : Q]. Oppgave 6.3. La V være et vektorrom over kroppen K og la W være et underrom. (1) Vis at om V er endelig generert så er W endelig generert. (2) Vis at W = V hvis og bare hvis dim K (W) = dim K (V ). Oppgave 6.4. La U og V være vektorrom over kroppen K og la T : U V være en lineær avbildning, det vil si, for alle u, v i V og a i K så gjelder (1) T(u + v) = T(u) + T(v), og (2) T(au)aT(u). Kjernen A til T er alle u i U slik at T(u) = 0 og bildet B til T er alle v i V slik at v = T(u) for noe u i U. (1) Vis at A er et underrom av U. (2) Vis at B er et underrom av V. (3) Vis at om U er endelig generert over K så er dim K (U) = dim K (A) + dim K (B). 1

2 OPPGAVESETT 1. Innleveres senest 8/11-07 Oppgave 1.1. Finn snittet mellom linjene: (1) (x 1) + 2(y 2) = 0 og 3(x 4) + 2(y 3) = 0. (2) 2x 5y = 1 og 3x 3y = 2. Oppgave 1.2. Finn snittet mellom: (1) Linjen (x 1) + 2(y 2) = 0 og sirkelen (x 1) 2 + y 2 = 3 2. (2) Linjen 3(x 4) + 2(y 3) = 0 og sirkelen (x 3) 2 + (y 2) 2 = 5 2. Oppgave 1.3. Konstruer tallene: (1) 1/2. (2) 2 (3) 1/3 (4) 3. Oppgave 1.4. Vis snittene mellom de to sirklene (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 = r1 2 og (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 = r2 2 er det samme som snittene mellom hvilken som helst av sirklene og linjen (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 (x a 2 ) 2 (y b 2 ) 2 = r1 2 r2, 2 det vil si, linjen 2(a 2 a 1 )(x (a 1 + a 2 )/2) + 2(b 2 b 1 )(y (b 1 + b 2 )/2) = r1 2 r2 2. Oppgave 1.5. Figurene i beviset for 1.2.1 er tegnet for a og b positive. Tegn figurene når a eller b er negative. Oppgave 1.6. Vis at vi fra de trigonometriske likhetene cos(θ + ϕ) = cos(θ) cos(ϕ) sin(θ) sin(ϕ), sin(θ + ϕ) = sin(θ) cos(ϕ) + cos(θ) sin(ϕ) får likheten cos(3θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos(θ).

OPPGAVESETT 2. Innleveres senest 6/12 Oppgave 2.1. Vis at alle underkropper av de reelle tallene inneholder de rasjonale tallene. Oppgave 2.2. La K være en underkropp av kroppen L og la α være et element i L. Gi eksplisitte uttrykk for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divison av elementer i L på formen (a 0 + a 1 α + + a m α m )/(b 0 + b 1 α + + b n α n ) med a 0, a 1,..., a m, b 0, b 1,..., b n i K. Oppgave 2.3. Vis at om K er en underkropp av en kropp L og α er et element i L slik at α 2 + cα + d = 0 for noen elementer c og d i K så vil K(α) = {a + bα : a, b K}. Oppgave 2.4. La K være en kropp og la R bestå av alle -tupler (a 0, a 1,...) med koordinater a 0, a 1,... i K, slik at bare et endelig antall elementer a 0, a 1,... er forskjellige fra null. Vi definerer sum og produkt av elementer i R ved respektive (a 0, a 1,...) + (b 0, b 1,...) = (a 0 + b 0, a 1 + b 1, a 2 + b 2,...) (a 0, a 1,...)(b 0, b 1,...) = (a 0 b 0, a 1 b 0 + a 0 b 1, a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2,...). Betrakt K som inneholdt i R ved å identifisere elementet a i K med -tuplet (a, 0, 0,...). Sett T = (0, 1, 0, 0,...). Vis at alle elementene i R kan skrives entydig som a 0 + a 1 T + + a m T m med a 0, a 1,..., a m i K. Gi sammenhengen mellom elementene i R og K[T], og vis at addisjon og multiplikasjon av elementene i R og K[T] overenstemmer. Oppgave 2.5. La K være en kropp og la S bestå av alle funksjonene f : N K fra de naturlige tallene 0, 1, 2,... til K som bare tar et endelig antall ikke null verdier. Vi definerer addisjon og multiplikasjon av funksjonene i S ved respektive (f + g)(m) = f(m) + g(m) (fg)(m) = f(m)g(0) + f(m 1)g(1) + + f(1)g(m 1) + f(0)g(m). Betrakt K som inneholdt i S ved å identifisere elementet a med funksjonen { a for m = 0 a(m) = 0 for m = 1, 2,.... Sett { 0 for m = 0, 2, 3,... T(m) = 1 for m = 1. Vis at alle funksjonene i S kan skrives entydig som f = a 0 + a 1 T + + a m T m med a 0, a 1,... i K. Gi sammenhengen mellom elementene i S og K[T], og vis at addisjon og multiplikasjon av elementene i S og K[T] overenstemmer 3

4 Oppgave 2.6. La K være en kropp og a et element i K. Vis at om vi til hvert polynom f(t) assosierer elementet ϕ a (f) = f(a) i K så får vi en funksjon ϕ a : K[T] K slik at ϕ a (g + h) = ϕ a (g) + ϕ a (h) og ϕ a (gh) = ϕ a (g)ϕ a (h) for alle g og h i K[T]. Oppgave 2.7. La K være en kropp og la f være et polynom i K[T]. Definer funksjonen ϕ f : K K ved ϕ f (a) = f(a). (1) La K = {0, 1} være kroppen med to elementer, så 1 + 1 = 0. Vis at polynomene 0 og T + T 2 gir samme funksjon ϕ f : K K. (2) La K være en kropp med uendelig mange elementer. Vis at to ulike polynomer f og g i K[T] gir ulike funksjoner ϕ f og ϕ g. (Ledetråd: Bruk Lemma 2.2.4)

5 OPPGAVESETT 3. Innleveres senest 7/2 Oppgave 3.1. Gi, med egne ord, bevis for Lemma 2.2.8 s. 12. Oppgave 3.2. Gi, med egne ord, bevis for Lemma 2.2.9 s.13. Oppgave 3.3. Finn polynomer q(t) og r(t) slik at g(t) = q(t)f(t) + r(t) når: (1) g(t) = T 3 5T 2 + 4T + 1 og f(t) = T 2 7T + 4. (2) g(t) = T 3 5T 2 + 4T + 1 og f(t) = T + 4. Oppgave 3.4. Finn polynomer a(t) og b(t) slik at a(t)f(t)+b(t)g(t) = 1 når: (1) g(t) = T 3 5T 2 + 4T + 1 og f(t) = T 2 7T + 4. (2) g(t) = T 3 5T 2 + 4T + 1 og f(t) = T + 4. (3) Kan du finne a(t) og b(t) når g(t) = T 3 T 2 +5T 5 og f(t) = T 2 + 5? Oppgave 3.5. Vis at to moniske polynomer i K[T] som deler hverandre er like. Oppgave 3.6. La K = Q og L = R. Vis at (1) 2 + 3 er algebraiskt over Q (2) 3 7 er algebraiskt over Q (3) 3 5 + 1 er algebraiskt over Q. Oppgave 3.7. Finn minimalpolynomene i Q[T] for tallene 2, 3 3.

6 OPPGAVESETT 4. Innleveres senest 6/3 Oppgave 4.1. (1) Vis at om V er et vektorrom over en kropp K og v, w er vektorer i V så vil v + w være en vektor i V. (2) Vis at om W er et underrom av V (se definisjonen i boken 3.1.6 side 20) og v, w er i W så vil v w være i W. Oppgave 4.2. (1) La m og n være heltall. Er de lineært uavhengige over de rasjonale tallene Q? (2) Er de reelle tallene 1, 2 lineært uahvhengige over Q? (3) er de reelle tallene 1, 2, 3 lineært uavhengige over Q? (4) Er vektorrommet V = {a 0 + a 1 π + + a m π m : m Z, a 0, a 1,..., a m Q} endelig generert over Q? (5) Er R endelig generert over Q? (Ledetråd: For (4) kan du bruke at tallet π er et transcendent tall, og for (5) at et underrom av et endelig generert rom er endelig generert.). Oppgave 4.3. Vis at om v 1,..., v m generere vektorrommet V over kroppen K og w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a m v m med a 1 0 så vil w, v 2, v 3,..., v m også generere V Oppgave 4.4. La V være et vektorrom over kroppen K og la w 1, w 2,..., w n være lineært uavhengige vektorer i V. Videre la a 2, a 3,..., a n være elementer i K. Vis at vektorene w 1, w 2 a 2 w 1, w 3 a 3 w 1,..., w n a n w 1 er lineært uavhengige. Oppgave 4.5. La V være et vektorrom over kroppen K og la w 1, w 2,..., w m være lineært uavhengige elementer. Vis at om w i V ikke kan skrives på formen b 1 w 1 + b 2 w 2 + + b m w m så er w, w 1, w 2,..., w m lineært uavhengige. OPPGAVESETT 5. Innleveres senest 3/4 Oppgave 5.1. (1) Hva betyr det at V er et vektorrom over en kropp K? (2) Vis at om K L er en kroppsutvidelse så er L et vektorrom over K. Oppgave 5.2. La v 1, v 2,..., v n være vektorer i vektorrommet V over K. (1) Hva betyr det at vektorene v 1, v 2,..., v n genererer vektorrommet V over K? (2) Hva betyr det at vektorene v 1, v 2,..., v n er lineært uavhengige over K? (3) Hva betyr det at vektorene v 1, v 2,..., v n er en basis for V over K? (4) Hva betyr det at vektorrommet V er endelig generert over K? Oppgave 5.3. (1) Bestem [Q( 2) : Q]. (2) Bestem Q( 3 2) : Q]. Oppgave 5.4. La (a 1, b 1 ) og (a 2, b 2 ) være ulike punkter som vi har konstruert i planet. (1) Vis at linjen gjennom punktene har formen cx+dy = e der vi kan konstruere c, d og e. (2) Vis at sirkelen med sentrum (a 1, b 1 ) som går gjennom (a 2, b 2 ) har formen (x c 3 ) 2 + (y d 3 ) 2 = r 2 der vi kan konstruere c 3, d 3 og r.

Oppgave 5.5. Vis at to linjer c 1 x + d 1 y = e 1 og c 2 x + d 2 y = e 2 er parallelle hvis og bare hvis c 1 d 2 c 2 d 1 = 0. 7