side 1 Detaljert eksempel om Plassverdisystemet for tosifrede tall Dette er et forslag til undervisningsopplegg knyttet til kompetansemål på 2. årstrinn i hovedområdet Tall og algebra. Kompetansemål etter 2. årstrinn Eleven skal kunne: telje til 100, dele opp og byggje mengder opp til 10, setje saman og dele opp tigrupper Tabellen i veiledningen knytter dette kompetansemålet til emnet Tallforståelse. Hvert kompetansemål i Tallforståelse har mindre læringsmål på hvert årstrinn. Eksemplene og undervisningsoppleggene i veiledningen er knyttet til disse læringsmålene. Læringsmål etter 2. årstrinn: Eleven skal kunne beskrive plassverdisystemet for tosifrede tall Bakgrunnsinformasjon Vårt hinduarabiske tallsystem er basert på å gruppere og telle med tiere og bruke posisjonen til et siffer for å vise verdien til sifferet. Den laveste sifferverdien har plassen lengst til høyre i tallet. Sifferverdien øker med potenser av 10 for hver plass mot venstre. Systemet krever en plassholder (null) for å markere plasser som ikke har noen verdi for tallet, for eksempel 4082. Nullen holder på hundreplassen slik at man kan lese tallet fire tusen og åtti to, og se at det ikke er noen hundrer i tallet. Forutsetninger for elevene Noen forutsetninger er nøvdvendige hos elevene før man setter i gang undervisningsopplegget. Elevene bør kunne: telle sikkert og plassere tallene mellom 0 og 20 på tallinje gruppere sammen og telle grupper gruppere og telle med 10 om gangen se en mengde som en enhet, f.eks. ti objekter som en tier (vise at ti kronestykker er like mye penger som en tikrone, eller at ti enerformer i Numicon eller tallbase er like mye som en tierform)
side 2 Innledende fellesaktiviteter i klassen Gruppering Dette er eksempel på en gruppeutfordring der elevene skal arbeide praktisk. De vil få en felles opplevelse, samtidig som de gjør seg egne erfaringer. Målet er at elevene etter hvert skal oppdage sammenhengen mellom et stort antall objekter, gruppering av objektene, tallet som representerer objektene og notasjon for tallet i plassverdisystemet. En stor mengde pinner (en sekk med fyrstikker uten svovel) eller en bøtte med småstein skal telles. La elevene arbeide uten spesiell instruksjon. Avbryt dem før de er ferdig, gjerne i forbindelse med en pause. La dem fortsette tellingen etter pausen. Hvor var de? Er det vanskelig å huske? Hvordan holde orden på tellingen? Har noen en måte å vite hvor mange de har telt? Kanskje må alle begynne på nytt? La dem dele sine ideer på hvordan de kan holde orden på tellingen. Det vil vanligvis være ulike forståelser og erfaringer i elevgruppene. Deling av ulike erfaringer er en måte å utnytte mangfoldet på og tilpasse opplæringen ved at den blir mer variert og presentert på flere ulike måter. Grupperer noen i femmere eller treere? Noen grupperer kanskje i tiere? Hva mener de er lettest når de skal telle opp alt? La elevene gruppere mange ulike gjenstander og bruke egne symboler for grupperingene. Etter hvert kan deres egne tallsymboler erstattes med tradisjonelle symboler. Gruppering i tiere og enere Aktiviteten kan følges opp med at elevene får bruke for eksempel en haug med pinner (mellom 20 og 50). Be de sortere i tiere. Pass på at det ikke er et helt antall tiere. Del ut strikker og be dem binde sammen i tierbunter. Introduser begrepet siffer, og la elevene skrive antall pinner med tiere og enere. Snakk om hvordan dette skal leses og tolkes. La eleven gå begge veier med konkreter. Skriv tall, og finn fram bunter og enkeltpinner, og omvendt. Det finnes ferdig konkretiseringsmateriell som er fint å bruke til dette, for eksempel det som kalles base 10.
side 3 Egen kalender Det er første dagen i en ny måned. Elevene blir presentert for en skål med elleve hvite kuler og en trekloss med to blomsterpinner montert. Dette skal være klassens nye kalender. Hvordan vil elevene bruke kalenderen til å vise at det er første dagen i mars? Figur 1 klassens kulekalender Arbeidet kan for eksempel foreløpe slik: En elev foreslår å farge tre kuler grønne, slik at de kan være tiere. Eleven sier at det kan være maks 31 dager i en måned, så vi trenger bare tre tiere. Tre kuler farges og 12. mars blir vist med en grønn kule og to hvite. De tre kulene er plassert på samme pinne, men det er lett å se hvilken som er tier. Dette systemet fungerer fint 13., 14., 15., 16., 17. og 18. mars. Men 19. mars får elevene et nytt problem. De har bare 8 hvite og 3 grønne kuler. De kommer ikke lenger. Etter en stund foreslår en elev å begynne på nytt med de 11 hvite kulene. Han foreslår at denne gangen skal den ene stanga farges grønn. Da har en kule på den grønne stanga verdi ti, og en kule på den hvite stanga verdi en. Denne gangen fungerer løsningen deres for alle dagene, og det blir slik at det er posisjonen til kulen som viser verdien, ikke fargen på selve kula. Kun den 29. i hver måned er alle elleve kulene i bruk. Kalenderen blir en daglig kilde til utforskning av posisjonssystemet for tallene opp til 31, og en daglig repetisjon for elever som trenger tid for å forstå og uttrykke sammenhengen mellom kulenes plassering og verdien av kulene. NB! Det er viktig at det er elevenes ideer og ikke lærerens tanker som gir utformingen av kalenderen. For elever som er klar for ytterligere utfordringer med plassverdisystemet kan kalenderen etter hvert suppleres med en abacus med flere posisjoner innenfor heltallene, og senere også desimaltall. Det finnes ingen begrensninger på hvor
side 4 mange posisjoner man kan gi abacusen. Store aktuelle tall fra aviser kan gjerne visualiseres på en abacus med mange posisjoner. Abacus med opp til 19 kuler på hver posisjon gjør det mulig å sette opp regnestykker innenfor alle de fire regningsartene. Det er fint hvis arbeid på abacusen følges opp av arbeid på papir. Uansett årstrinn finnes det elever som i problemløsning vil ha utbytte av å kunne se på og manipulere et materiell for å tenke klarere. Det må understrekes at det ikke er materiellet i seg selv, men det som gjøres og sies i bruken av det som fremmer læringen. Å plassere kulene i kalenderen kan gjøres automatisk. Det er resonnementet som følger med som viser om eleven kan forklare plassverdisystemet. Når det gjelder arbeidet mot å beskrive plassverdisystemet for tosifrede tall, er det viktig å være oppmerksom på om eleven gjenkjenner antall, uten å behøve telle på nytt igjen hvis et tall allerede er telt at det siste tallet de har sagt i remsa tilsvarer antall objekter i mengden at antallet er konstant, uavhengig av hvor eleven begynner å telle objektene at antallet er konstant, uavhengig av hvordan objektene er spredd eller samlet at antallet er konstant, om objektene er små eller store endret tellemønster mellom tolv og tjue endret mønster ved tieroverganger tallet sin plass på en tallinje en mengde objekter som en enhet (ti som en tier) 0 som plassverdiholder at store mengder som 43 kan deles opp i 4 tiere og 3 enere sammenheng mellom gruppering i tiere og enere og notasjon for tallet 43 Grunnleggende ferdigheter Gjennom den innledende samtalen og arbeidet med konkretene får elevene trening i å uttrykke seg muntlig ved å lytte til og lese tall og fortelle regnefortellinger. Her kan elevene bruke både tankegangs-, kommunikasjons- og resonnementskompetanse. Å uttrykke seg skriftlig arbeider elevene med når de skriver og tegner symboler for tall i ulike sammenhenger og skriver egne regnefortellinger. De tar da også i bruk symbol- og formalismekompetanse og representasjonskompetanse. Den samme kompetansen bruker elevene når de gjennom lesing av tall tolker og oversetter ord som syttifire til symbolene 74, som lik 7 tiere og 4 enere og omvendt, og når de leser og tolker enkle illustrasjoner og tekster. Det er viktig at
side 5 elevene både øver seg på å sette ord på hva de gjør når de arbeider konkret, og at de tar vare på og skriver og tegner ned resultatet. Elevene arbeider med regning når de teller, grupperer og deler opp tosifrede tall i tiere og enere. Elevene tar i bruk problembehandlingskompetanse når de skal finne en måte å bruke kulene og pinnene på for å illustrere dagene i en måned. Denne aktiviteten er en begynnelse på utvikling av modelleringskompetanse. Elevene bruker hjelpemiddelkompetanse både når de arbeider med abacus eller digitale verktøy som kalkulator, og eksperimenterer med sammenhengen mellom tallverdier og posisjoner. Vurdering Bruk av kjennetegn på måloppnåelse i opplæringen kan bidra til å gjøre det tydelig for lærere og elever hva det er forventet at elevene skal mestre og hva som vektlegges i vurderingen av elevens kompetanse. Det kan også bidra til at elevene får økt forståelse for egen læringsprosess og hvordan de kan utvikle seg videre. Lærere vil ha behov for å beskrive ulik kvalitet på kompetanse både som del av skolens planleggingsarbeid og som del av elevenes læringsarbeid. I vurdering med karakter brukes tallkarakterer på en skala fra 1-6 som er beskrevet i forskrift til opplæringsloven. Når det gjelder vurdering uten karakter, er det ingen nasjonale føringer for hvor mange nivåer måloppnåelse kan beskrives på. Formålet med å beskrive kjennetegn på måloppnåelse er ikke først og fremst å plassere elevene på bestemte nivåer, men å bruke informasjonen om elevenes kompetanse i det videre læringsarbeidet. Det er ingen nasjonale føringer for hvor mange nivåer på måloppnåelse en lærer skal benytte i underveisvurdering. I dette eksempelet er det valgt tre nivåer for måloppnåelse. Bruk av hyppige og varierte aktiviteter som tar i bruk ulike tilnærminger og representasjoner kan gi ny innsikt. Denne innsikten kan komme fram gjennom samtaler mellom lærer og elev, eller mellom elever. Eleven kan forklare hva han/hun gjør og tenker. Noen elever vil kunne telle til ti og videre fra ti, men ennå ikke ha oppdaget ti som enhet. Eleven vil i så fall trenge flere grupperingsaktiviteter som foreslått innledningsvis. Aktiviteten kan varieres med telling og gruppering av for eksempel et stort antall kronestykker. Det er viktig med den samtidige samtalen. Hvorfor har vi ikke bare kronestykker som penger? Hva hvis du kun hadde kronestykker og skulle kjøpe en sykkel?
side 6 Lav måloppnåelse Middels måloppnåelse Høy måloppnåelse Eleven kan gruppere store mengder gjenstander i tiere gjennom å telle og legge i bunker på ti, og i noen tilfeller få enere til overs. Eleven kan beskrive posisjonssystemet med utgangspunkt både i gjenstander og i tosifra tall (gå begge veier). Eleven klarer ut fra en slik gruppering å finne ut antallet i en mengde opp mot hundre. Eleven kan skrive tallet og samtidig forklare sammenhengen mellom gruppering av gjenstander i enere og tiere og sifrenes plassering i forhold til hverandre i et tall med enere og tiere. Eleven tar i bruk forklaringer som viser til ideen om potenser av 10 og kan forklare hvordan et siffer har ulik verdi i forhold til hvor det står. Elevens innsikt gjør at det blir enkelt å utvide til større tall. Dersom eleven ikke oppnår lav måloppnåelse må lærer legge til rette for nye og rike erfaringer innenfor arbeidet med gruppering i tiere og enere. Velg annet materiell og nye problemstillinger, først og fremst arbeid med konkreter og tegninger. Eleven kan også lære av hvordan medelever arbeider når de grupperer store mengder i tiere og enere, og høre deres resonnementer omkring sammenheng med tall opp til 100. Det kan hende eleven trenger mer tid og flere gjentagelser for å utvikle ønsket kompetanse. Lærer bør være oppmerksom på dette og sjekke om det samme gjelder innenfor flere kompetansemål, om eleven for eksempel trenger mer tilpasning. Elever som viser kompetanse ut over høy måloppnåelse må få ekstra utfordringer. I forbindelse med plassverdisystemet kan eleven utfordres på å arbeide med tall over 100. Eleven kan også få utfordringer som å arbeide med andre redskaper som for eksempel kalkulator eller kinesisk abacus. En kinesisk abacus er fortsatt svært vanlig i Østen: Det er en kuleramme med kuler som glir på loddrette stenger. Stengene representerer hver sin posisjon i titallssystemet (enere, tiere, hundrer, eller om man vil, hundredeler, tideler, enere, tiere). På hver stang er det to femmerkuler over en tverrstang, og fem enerkuler under tverrstangen. Tverrstangen skiller altså enerkulene, der en kule teller som en på sin posisjon, fra femmerkulene, der en kule teller som fem på sin posisjon. Man viser et tall på abacusen ved å plassere kuler mot tverrstanga. Etter hvert som man adderer eller subtraherer endres antall kuler som ligger mot tverrstangen.