Tal og einingar. Mål. for opplæringa er at eleven skal kunne

8 1

Tal og einingar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere overslag over svar, rekne med og utan tekniske hjelpemiddel i praktiske oppgåver og vurdere kor rimelege resultata er

1.1 Reknerekkjefølgje På ungdomsskulen har du lært mange reknereglar for rekning med tal. Vi repeterer nokre reglar: Positivt tal positivt tal = positivt tal + + = + Positivt tal negativt tal = negativt tal + = Negativt tal positivt tal = negativt tal + = Negativt tal negativt tal = positivt tal = + Når vi gongar to tal, blir svaret eit positivt tal dersom forteikna er like. Svaret blir eit negativt tal dersom forteikna er ulike. Rekn ut. a) 3 4 b) 4 ( 2) c) ( 3) 12 d) ( 5) ( 3) a) 3 4 = 12 b) 4 ( 2) = 8 c) ( 3) 12 = 36 d) ( 5) ( 3) = 15 ON Reknestykka ovanfor kan vi rekne ut på lommereknaren. Då er det viktig å vite at på mange lommereknarar er det to ulike minusteikn. Slike lommereknarar har både eit differanseteikn og eit forteikn. Differanseteiknet bruker vi når vi til dømes skal rekne ut 45 12. Forteiknet bruker vi dersom vi skal leggje inn eit negativt tal, til dømes 2. Differansetasten står på høgre sida av lommereknaren. Forteikntasten ( ) finn du anten på den venstre sida eller i den nedste rekkja. Forteikntast: ( ) Differansetast: I uttrykket 4 ( 2) er minusteiknet eit forteikn. Då må vi bruke forteikntasten ( ). Vi tastar slik: Svaret blir 8. 4 ( ) 2 = OFF 10 Dersom du bruker Casio, får du som oftast rett svar når du bruker differansetasten der du skulle ha brukt forteikntasten. Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Når vi til dømes skal rekne ut 4 + 3 2, er det viktig å vite korleis vi skal gjere det. Vi må rekne ut 3 2 før vi legg saman. Då får vi 4 + 6 = 10. I reknestykket 4 + 3 2 må vi ikkje leggje saman 4 og 3 først. Då får vi svaret 7 2 = 14. Det blir feil. Utrekningar gjer vi alltid i denne rekkjefølgja: 1 Først multiplikasjon ( ) og divisjon ( : ) 2 Deretter addisjon (+) og subtraksjon ( ) Rekn ut. a) 5 + 2 4 b) 3 5 4 3 c) ( 3) 2 + 2 5 a) 5 + 2 4 = 5 + 8 = 13 Multiplikasjon før addisjon b) 3 5 4 3 = 15 12 = 3 Multiplikasjon før subtraksjon c) ( 3) 2 + 2 5 = 6 + 10 = 4 Multiplikasjon før addisjon ON OFF Gode lommereknarar reknar slik vi lærde ovanfor. Når vi skal rekne ut 5 + 2 4, tastar vi 5 + 2 4 = Det gir svaret 13. Viss du får 28, bør du kjøpe deg ein betre lommereknar. Oppgåve 1.10 Rekn ut både med og utan lommereknar. a) 5 6 b) 5 ( 4) c) ( 6) 3 d) ( 4) ( 6) Oppgåve 1.11 Rekn ut både med og utan lommereknar. a) 6 + 2 3 b) 3 7 + 5 ( 4) c) ( 6) 3 + ( 4) ( 5) d) 6 ( 5) 2 + ( 3) 5 11

Når du skal rekne ut eit uttrykk som òg inneheld potensar eller parentesar, må du alltid gjere det i denne rekkjefølgja: 1 Rekn først ut parentesuttrykka. 2 Rekn deretter ut potensane. 3 Gjer deretter multiplikasjonane og divisjonane. 4 Gjer til slutt addisjonane og subtraksjonane. Rekn ut. a) 2 (3 + 1) + 4 2 3 b) 3 2 + (2 5) 2 a) 2 (3 + 1) + 4 2 3 1 Rekn først ut uttrykket i parentesen. = 2 4 + 4 2 3 2 Rekn ut potensen. = 2 4 + 4 8 3 Gjer multiplikasjonane. = 8 + 32 = 24 4 Gjer til slutt addisjonen. b) 3 2 + (2 5) 2 1 Rekn først ut uttrykket i parentesen. = 3 2 + ( 3) 2 2 Rekn ut potensane. = 9 + 9 = 0 3 Gjer til slutt addisjonen.!! Legg spesielt merke til korleis vi reknar ut 4 2 3. Det er ikkje det same som 8 3. Når vi skriv 4 2 3, er det berre 2-talet som skal opphøgjast i tredje potens. Vi får 4 2 3 = 4 8 = 32 Dersom vi vil at 4-talet òg skal opphøgjast i tredje potens, må vi setje ein parentes og skrive (4 2) 3 = 8 3 = 512 Når vi skriv 3 2, er det berre talet 3 som skal opphøgjast i andre potens, ikkje talet 3. Dermed er 3 2 = 9 Dersom vi vil opphøgje talet 3 i andre potens, må vi skrive ( 3) 2. ( 3) 2 = 9 La oss no rekne oppgåve a i dømet ovanfor på lommereknaren. 12 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

ON Vi skal rekne ut 2 (3 + 1) + 4 2 3. OFF CASIO Vi tastar ( ) 2 ( 3 + 1 ) + 4 2 X 3 = Vi får svaret 24. Legg merke til at vi bruker tasten X 3 når vi skal opphøgje eit tal i tredje potens. Dersom vi skal rekne ut 2 4, bruker vi tasten x og tastar 2 x 4. TEXAS Vi tastar ( ) 2 ( 3 + 1 ) + 4 2 ^ 3 = Vi får svaret 24. Legg merke til at vi bruker tasten ^ når vi skal rekne ut 2 3. Vi tastar 2 ^ 3. Dersom vi skal rekne ut 2 4, tastar vi 2 ^ 4. Oppgåve 1.12 Rekn ut både med og utan lommereknar. a) 4 2 2 b) 4 ( 2) 2 c) 5 3 2 d) (5 3) 2 Oppgåve 1.13 Rekn ut både med og utan lommereknar. a) 2 (7 5) + 2 b) 3 (4 12) + 2 3 2 c) (8 4) ( 3) 2 d) 2 4 + 3 (17 3 2 ) + (3 4 2 2 5 2 ) 1.2 Hovudrekning og overslagsrekning I yrkeslivet og i dagleglivet er det ikkje så ofte vi gjer utrekningar ved hjelp av blyant og papir. Anten bruker vi lommereknar, eller så reknar vi i hovudet. Når vi reknar i hovudet, kan vi ikkje bruke dei same metodane som når vi reknar med blyant og papir. Når vi reknar i hovudet, klarer vi ikkje å hugse mange mentetal. Først ser vi på ein metode som vi kan bruke når vi legg saman og trekkjer frå (addisjon og subtraksjon). Denne metoden går ut på å dele tala i tiarar og einarar. Deretter trekkjer vi saman dei heile tiarane først. Tenk gjerne på pengar når du reknar! 13

Rekn ut i hovudet. a) 68 + 54 b) 64,50 + 78 c) 228 73 d) 152,00 83,50 a) 68 + 54 = b) 64,50 + 78 = 60 + 50 = 110 Tiarane først 60 + 70 = 130 8 + 4 = 12 Deretter einarane 4,50 + 8 = 12,50 110 + 12 = 122 130 + 12,50 = 142,50 c) 228 73 = d) 152,00 83,50 = 220 70 = 150 150 80 = 70 8 3 = 5 2 3,50 = 1,50 150 + 5 = 155 70 1,50 = 68,50 Oppgåve 1.20 Rekn ut i hovudet. a) 74 + 52 b) 36 + 51 c) 274 + 52 d) 127 + 113 e) 195 + 26,50 f) 456 + 378 Oppgåve 1.21 Rekn ut i hovudet. a) 74 52 b) 136 51 c) 274 152 d) 127,50 102,50 e) 495,50 124 f) 478 356 Mange reknestykke klarer vi ikkje å få til i hovudet. Då kan vi i staden bruke overslagsrekning og finne om lag kor stort svaret er. Eit slikt cirkasvar er ofte godt nok for oss. I overslagsrekning bruker vi desse reglane: I addisjon og multiplikasjon rundar vi eitt tal opp og eitt ned. I subtraksjon og divisjon rundar vi anten begge tala opp eller begge tala ned. 14 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Bruk overslagsrekning og finn omtrent kor stort svaret er. a) 184,75 + 257,20 b) 657,50 379,45 c) 18,5 26,3 d) 122 : 3,12 a) I addisjon rundar vi eitt tal opp og eitt ned. 184,75 + 257,20 180 + 260 = 440 b) I subtraksjon rundar vi anten begge tala opp eller begge tala ned. 657,50 379,45 660 380 = 280 c) I multiplikasjon rundar vi eitt tal opp og eitt ned. 18,5 26,3 20 25 = 500 d) I divisjon rundar vi anten begge tala opp eller begge tala ned. 122 : 3,12 120 : 3 = 40 Mona har ein moped som ho bruker mykje. Bruk overslagsrekning når du gjer denne oppgåva. a) Ein dag fyller ho 5,8 liter bensin som kostar 9,18 kr per liter. Omtrent kor mykje kostar bensinen b) Mopeden bruker 0,23 liter bensin per mil. Om lag kor mykje bensin treng ho til ein tur på 18 mil c) Omtrent kor lang tid bruker ho på 18 mil når ho køyrer 47 km/h a) Prisen for 5,8 liter bensin blir 9,18 kr 5,8 9 kr 6 = 54 kr Her har vi runda det eine talet opp og det andre ned fordi vi multipliserer. 15

b) Talet på liter med bensin er 0,23 l 18 0,2 l 20 = 4 l Også her har vi runda det eine talet opp og det andre ned. c) Ettersom 18 mil = 180 km, blir timetalet 180 : 47 200 : 50 = 4 Ho bruker ca. 4 timar. Her runda vi begge tala opp fordi vi dividerer. Oppgåve 1.22 Bruk overslagsrekning og finn om lag kor stort svaret er. a) 232,5 + 488,3 b) 488,3 232,5 c) 42,8 18,7 d) 362 : 7,3 Oppgåve 1.23 Bruk overslagsrekning og finn om lag kor stort svaret er. a) 788,3 + 615,2 b) 788,3 615,2 c) 123,2 2,13 d) 582 : 20,3 Oppgåve 1.24 Håkon og Gustav går mykje langrenn. Dei går rundar i lysløypa. Kvar runde er 2,6 km. a) Håkon gjekk ein dag 12 rundar. Omtrent kor langt gjekk han b) Håkon brukte i gjennomsnitt 9 min 10 s per runde. Omtrent kor lang tid brukte han på dei 12 rundane c) Gustav gjekk 2 rundar på 15 min 20 s. Kor lang tid brukte Gustav per kilometer Oppgåve 1.25 Marie er i butikken og har med seg 200 kr. Ho kjøper eit brød til 17,50 kr ein pakke kjøtdeig til 46,50 kr 2 liter jus til 11,50 kr per liter 5 kg poteter til 24 kr ein pose eple til 19,50 kr 4 flasker brus til 9,90 kr per flaske ei avis til 10 kr Bruk overslagsrekning og finn ut om Marie har med seg nok pengar. 16 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

1.3 Einingar Når vi lagar mat, måler vi mengda av kveitemjøl, sukker og smør i gram eller kilogram. Fast stoff måler vi gjerne i desse to einingane. Større mengder måler vi ofte i tonn. Mindre mengder kan vi måle i milligram. Vi har denne samanhengen mellom milligram (mg), gram (g), kilogram (kg) og tonn: 1 tonn = 1000 kg 1 kg = 0,001 tonn 1 kg = 1000 g 1 g = 0,001 kg 1 g = 1000 mg 1 mg = 0,001 g Legg merke til at kilo betyr tusen, og at milli betyr tusendel. a) Kor mange kilogram er 3,2 tonn b) Kor mange gram er 1,7 kg c) Kor mange gram er 2500 mg a) Vi utnyttar at 1 tonn er 1000 kg. Det gir 3,2 tonn = 3,2 1000 kg = 3200 kg b) Ettersom 1 kg er 1000 g, får vi 1,7 kg = 1,7 1000 g = 1700 g c) Vi kan gå fram på denne måten: 2500 mg = 2,5 1000 mg = 2,5 g 500 400 600 1 /2 kg 300 700 200 800 100 GRAM 900 0 1000 1 kg Oppgåve 1.30 a) Kor mange gram er 0,67 kg b) Kor mange kilogram er 3700 g c) Kor mange gram er 250 mg d) Kor mange tonn er 4500 kg Vi kan òg bruke ein tabell når vi skal rekne om mellom desse einingane. Tabellen ser slik ut: tonn kg g mg 17

Når vi skal finne ut kor mange gram 1,7 kg svarar til, skriv vi talet i tabellen på denne måten: tonn kg g mg 1 7 0 0 Vi fyller ut med nullar til vi kjem til ruta med gram (g). No ser vi at 1,7 kg er 1700 g. Dersom vi skal rekne om 23 400 g til kilogram, skriv vi talet slik at det siste sifferet står i ruta med gram (g). tonn kg g mg 2 3 4 0 0 Vi ser at 23 400 g er lik 23,4 kg. a) Kor mange kilogram er 17,1 tonn b) Kor mange gram er 781 mg a) Vi teiknar den delen av tabellen der vi har tonn og kilogram. Vi plasserer talet 17,1 slik at 7-talet kjem i ruta med tonn. Til slutt fyller vi ut med nullar heilt fram til ruta med kilogram (kg). tonn kg 1 7 1 0 0 Vi teiknar berre den delen av tabellen som vi har bruk for. 17,1 tonn er 17 100 kg. b) Vi lagar ein tabell med gram og milligram og skriv talet 781 slik at talet 1 står i ruta under milligram (mg). g mg 0 7 8 1 Talet når ikkje fram til ruta med gram. Vi set inn talet 0. 781 mg er 0,781 g. 18 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Oppgåve 1.31 Løys oppgåva ved hjelp av ein tabell. a) Kor mange gram er 0,67 kg b) Kor mange milligram er 0,2 g c) Kor mange kilogram er 3700 g d) Kor mange tonn er 4500 kg Oppgåve 1.32 Rekn om til gram. a) 2,5 kg b) 0,7 kg c) 0,025 tonn På kjøkkenet bruker vi ofte hektogram (hg) når vi til dømes skal vege kjøt eller smør. Hekto tyder 100, slik at 1 hg = 100 g 1 g = 0,01 hg 1 kg = 10 hg 1 hg = 0,1 kg Vi plasserer hektogram i tabellen på denne måten: kg hg g Rekn om til hektogram. a) 2,4 kg b) 1250 g a) kg hg g b) kg hg g 2 4 1 2 5 0 2,4 kg er 24 hg. 1250 g er 12,5 hg. Oppgåve 1.33 Gjer om til hektogram. a) 5,25 kg b) 0,35 kg c) 250 g Oppgåve 1.34 Gjer om til gram. a) 4,5 hg b) 0,7 hg c) 0,75 kg 19

Væske måler vi ofte i liter (l), desiliter (dl), centiliter (cl) eller milliliter (ml). Her er 1 l = 10 dl 1 dl = 0,1 l 1 dl = 10 cl 1 cl = 0,1 dl 1 l = 100 cl 1 cl = 0,01 l 1 cl = 10 ml 1 ml = 0,1 cl 1 l = 1000 ml 1 ml = 0,001 l 1 dl Vi kan bruke denne tabellen: 1 cl 1 dl 1 cl l dl cl ml Rekn om til centiliter. a) 7,25 l b) 145 ml a) l dl cl ml 7,25 l = 725 cl 7 2 5 b) l dl cl ml 1 4 5 145 ml = 14,5 cl Oppgåve 1.35 Rekn om til liter. a) 75 dl b) 320 cl c) 45 cl Oppgåve 1.36 Rekn om til centiliter. a) 2,5 l b) 0,25 l c) 2,5 ml 20 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Når vi skal skrive spesielt store eller spesielt små tal, bruker vi desse prefiksa: exa E 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1 000 000 000 000 000 tera T 1 000 000 000 000 giga G 1 000 000 000 mega M 1 000 000 kilo k 1000 milli m 0,001 mikro µ 0,000 001 nano n 0,000 000 001 piko p 0,000 000 000 001 Når vi sender ein straum I gjennom ein motstand med resistansen R, får vi eit spenningsfall U som vi kan rekne ut ved hjelp av Ohms lov: U = R I Straumen I måler vi i ampere (A), resistansen R måler vi i ohm (), og spenninga U måler vi i volt (V). Vi skal no sjå korleis vi kombinerer desse måleiningane med prefiksa ovanfor. Skriv storleikane utan prefiks. a) 12 kv b) 1,7 µa c) 0,5 M a) 12 kv = 12 1000 V = 12 000 V b) 1,7 µa = 1,7 0,000001 A = 0,0000017 A c) 0,5 M = 0,5 1 000 000 = 500 000 Skriv storleikane med eit prefiks som passar. a) 150 000 V b) 0,000000045 A c) 1 600 000 21

a) 150 000 V = 150 1000 V = 150 kv b) 0,000000045 A = 45 0,000000001 A = 45 na c) 1 600 000 = 1,6 1 000 000 = 1,6 M Oppgåve 1.37 a) Skriv storleikane utan prefiks. 1) 340 kv 2) 150 na 3) 0,05 G b) Skriv storleikane med eit prefiks som passar. 1) 0,000015 V 2) 0,000000005 A 3) 750 000 Straum er ein viktig energiberar i vårt samfunn. I naturfaga måler vi energi i måleininga joule (J). Det er den energimengda vi får på eitt sekund når straumen er 1 A og spenninga er 1 V. Det er ei svært lita energimengd. Den energien som blir brukt per tidseining, kallar vi effekt. I naturfaga bruker vi måleininga watt (W) for effekt. Effekten er 1 W når vi bruker energien 1 J kvart sekund. Ein varmeomn har til dømes effekten 1 kw = 1000 W. Når denne omnen har stått på i 1 time, har han brukt ei energimengd som vi kallar 1 kwh (kilowattime). Det er den vanlegaste måleininga for elektrisk energi. Kor mange joule svarar 1 kwh til 22 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Når effekten er 1 kw = 1000 W, er energimengda 1000 J per sekund. Ettersom 1 time = 60 60 s = 3600 s blir energimengda på 1 time 1000 J 3600 = 3 600 000 J = 3,6 1 000 000 J = 3,6 MJ Det gir denne samanhengen mellom einingane: 1 kwh = 3,6 MJ Eit norsk hushald bruker i gjennomsnitt ca. 15 400 kwh straum kvart år. Kor mange gigajoule (GJ) svarar det til 15 400 kwh = 15 400 3,6 MJ = 55 440 MJ = 55,4 GJ Eit norsk hushald bruker ca. 55 GJ straum per år. Oppgåve 1.38 a) Mange norske hushald fyrer med ved. Energimengda frå ved er i gjennomsnitt 4000 kwh per hushald per år. Kor mange gigajoule svarar det til b) Eit norsk hushald bruker i gjennomsnitt ca. 52 GJ energi frå oljeprodukt per år. Kor mange kilowattimar svarar det til Oppgåve 1.39 Den kraftintensive industrien i Noreg brukte 259 PJ energi i 2003. I Noreg var det då 2,02 millionar hushald som kvart brukte 30 000 kwh energi. Bensin og diesel er då medrekna. Var det hushalda eller den kraftintensive industrien som brukte mest energi i 2003 23

1.4 Summering av mengder I ei betongblanding er det 390 kg sement, 1,2 tonn sand, 1,1 tonn pukk og 225 liter vatn. Kva veg denne betongen i alt Vi må gjere alle mengdene om til den same eininga. Vi reknar i tonn, og 390 kg er det same som 0,390 tonn. Når vi skal finne ut kor mykje 225 l vatn veg, må vi hugse på at 1 l vatn veg 1 kg. 1 l vatn veg 1 kg. 225 l vatn veg altså 225 kg. Det er 0,225 tonn. Blandinga veg 0,390 tonn + 1,2 tonn + 1,1 tonn + 0,225 tonn = 2,915 tonn Vi rundar av svaret til 2,9 tonn. Grunnen er at det berre er éin desimal i 1,2 tonn og i 1,1 tonn. Då tek vi berre med éin desimal i svaret. Denne regelen bruker vi berre der tala er målte verdiar. Når vi summerer tal som er målte med vekt eller andre målereiskapar, bruker vi til vanleg så mange desimalar i svaret som det er i det talet som har færrast desimalar. Vi kan bruke tabellar når vi summerer tal med ulik eining. Legg saman. a) 345 kg + 1,6 tonn + 950 kg b) 5,4 hg + 2,2 kg + 620 g c) 5,2 dl + 1,3 l + 45 cl a) tonn kg 3 4 5 1 6 9 5 0 2 8 9 5 I alt blir det 2,895 tonn. I kolonnane over 5-talet og 9-talet manglar det tal. Dei desimalane bør vi derfor ikkje ta med i svaret. Vi rundar av svaret oppover. Det blir i alt 2,9 tonn. 24 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

b) kg hg g c) l dl cl 5 4 5 2 2 2 1 3 6 2 0 4 5 3 3 6 0 2 2 7 Til saman blir det 3,360 kg. I kolonnen over 6-talet manglar det eit tal. Den desimalen bør vi dermed ikkje ta med i svaret. Vi rundar av svaret oppover. Det blir 3,4 kg i alt. Kolonnen over 7-talet manglar eit tal. Vi tek derfor ikkje med sifferet 7 i svaret og rundar av 2,27 til 2,3. Det blir 2,3 l i alt. Oppgåve 1.40 Trekk saman. a) 1,2 kg + 1,54 kg + 2,1 kg b) 0,7 tonn + 0,47 tonn + 500 kg c) 0,25 hg + 12,4 g + 0,0024 kg Oppgåve 1.41 Trekk saman. a) 2,4 l + 0,6 l + 20 dl b) 0,4 l + 2,1 dl + 12 cl c) 0,62 l + 1,7 dl + 5 cl Oppgåve 1.42 I ei betongblanding er det 475 kg sement 1,4 tonn pukk 1,5 tonn sand 270 l vatn Kva veg blandinga Oppgåve 1.43 Ei oppskrift på grovt formbrød er slik: 1,5 kg sammale rugmjøl 7 hg kveitemjøl 4 ts salt 100 g gjær 14 dl vatn Kor mykje veg deigen 25

Når vi seriekoplar motstandar, finn vi den samla resistansen R ved å summere resistansane i alle motstandane. R 1 R 2 R 3 Dersom vi seriekoplar tre motstandar med resistansane R 1, R 2 og R 3, blir resistansen R i seriekoplinga R = R 1 + R 2 + R 3 Finn resistansen når vi seriekoplar tre motstandar med resistansane 45 000, 20 k og 0,75 M. Vi gjer resistansen om til kiloohm (k). 45 000 = 45 k 0,75 M = 0,75 1000 k = 750 k Deretter summerer vi resistansane. 45 000 + 20 k + 0,75 M = 45 k + 20 k + 750 k = 815 k Oppgåve 1.44 Finn resistansen når vi seriekoplar motstandar med resistansane a) 7500 og 1,5 k b) 240 000, 450 k og 1,2 M 26 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

1.5 Desimaltal og brøkar Eit tal som ikkje er eit heilt tal, skriv vi til vanleg som eit desimaltal eller som ein brøk. Talet 0,6 er eit desimaltal, og talet 3 er ein brøk. Talet over 5 brøkstreken kallar vi teljaren, og talet under brøkstreken kallar vi nemnaren. 3 teljaren 5 nemnaren Det er lett å hugse når du har denne regelen: T eljaren er på t oppen, og n emnaren er n ede. Ein brøk kan vi alltid skrive som eit desimaltal. Vi dividerer då teljaren med nemnaren. Denne divisjonen gjer vi enklast på lommereknaren. Skriv brøkane 3 4 21 og 8 Vi bruker lommereknaren og får 3 4 = 3 : 4 = 0,75 21 = 21 : 8 = 2,625 8 som desimaltal. Nokre gonger går ikkje divisjonen opp. Då blir det uendeleg mange desimalar i desimaltalet. Lommereknaren viser i slike tilfelle berre nokre av desimalane. Skriv brøkane 5 6 17 og 13 som desimaltal. 5 = 5 : 6 = 0,833333 = 0,833 6 17 = 17 : 13 = 1,3076923 = 1,308 13 27

Oppgåve 1.50 Skriv tala som desimaltal. a) 1 2 b) 1 4 c) 2 5 d) 3 8 e) 3 20 f) 3 16 Oppgåve 1.51 Skriv tala som desimaltal. a) 1 3 b) 1 6 c) 3 7 d) 2 9 e) 2 11 f) 7 17 Når vi skal samanlikne to brøkar, gjer vi først om brøkane til desimaltal. Då er det enklare å sjå kva for eit tal som er størst eller minst. Kva for ein brøk er størst a) 7 3 og 9 b) 4 og 5 5 7 8 a) Vi bruker lommereknaren og gjer brøkane om til desimaltal. 7 3 = 7 : 3 = 2,333 5 9 = 9 : 5 = 1,8 7 er størst. 3 = b) Vi reknar om til desimaltal og får 4 7 = 0,571 5 8 = 0,625 5 er størst. 8 = Oppgåve 1.52 Kva for ein brøk er størst a) 3 4 og 4 b) 13 5 6 12 og 5 c) 23 11 25 og 13 d) 18 29 19 og 30 Oppgåve 1.53 Kva for ein brøk er størst a) 1 3 og 1 4 b) 2 3 19 og 29 c) 3 4 og 9 12 d) 7 9 42 og 54 28 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

1.6 Brøkrekning Brøkane 1 4 og 2 8 1 4 = 1 : 4 = 0,25 2 8 = 2 : 8 = 0,25 Begge tala er lik 0,25. Brøkane 1 kan vi skrive som desimaltal på denne måten: 4 og 2 8 må derfor vere like. Det kan vi òg finne ut ved å sjå på ein pizza. Pizzaen til venstre nedanfor er delt i 4 like store delar. Hege et eitt stykke av denne pizzaen. Ho et altså 1 4 pizza. 1/4 1/8 1/8 Pizzaen til høgre ovanfor er delt i 8 like delar, og kvar del er altså 1 8 pizza. Thomas et to slike stykke. Han et altså 2 pizza. Figurane viser at Hege og 8 Thomas et like mykje. Då er 2 8 = 1 4 Dette kan vi få fram ved å dividere teljaren og nemnaren med 2. 2 8 = 2 : 2 8 : 2 = 1 4 Vi har forkorta brøken. Når vi forkortar ein brøk, dividerer vi med det same talet i teljaren og nemnaren. Brøken endrar då ikkje verdi. 29

Forkort brøkane. a) 6 8 b) 27 21 a) 6 8 = 6 : 2 8 : 2 = 3 4 = b) 27 21 = 27 : 3 21 : 3 = 9 7 = Til vanleg fører vi forkortingane på denne måten: 3 a) 6 8 = 3 4 4 = 9 b) 27 21 = 9 7 = 7! Når du reknar med brøk, må du passe på å forkorte alle svar. I brøken 9 er teljaren større enn nemnaren. Då har vi ein uekte brøk. Ein 7 uekte brøk kan vi skrive som eit blanda tal. Brøken 9 er det same som det 7 blanda talet 1 2. I den vidaregåande skulen treng du til vanleg ikkje gjere 7 uekte brøkar om til blanda tal. Vi kan bruke lommereknaren til å forkorte brøkar og til å gjere uekte brøkar om til blanda tal. Vi løyser no oppgåva i dømet ovanfor på lommereknaren. ON CASIO Når vi skal leggje inn brøken 6 tastar vi 8, 6 8 = Vi får svaret 3 som vist på figuren 4 nedanfor: TEXAS Når vi skal leggje inn brøken 6 tastar vi 8, 6 A b/c 8 = Vi får svaret 3 som vist på figuren 4 nedanfor: 30 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Vi går fram på tilsvarande måte når vi skal forkorte brøken 27. Men no 21 viser lommereknaren dette svaret: Vi går fram på tilsvarande måte når vi skal forkorte brøken 27. Men no 21 viser lommereknaren dette svaret: OFF Lommereknaren skriv svaret som ein uekte brøk. Svaret er 9. Dersom vi 7 vil ha svaret som blanda tal, trykkjer vi på tasten SHIFT og deretter på tasten S D. Svaret blir 1 2 7 som vist på denne figuren: Lommereknaren skriv svaret som eit blanda tal. Svaret er 1 2 7. Legg merke til korleis lommereknaren skriv blanda tal. Dersom vi vil ha svaret som ein uekte brøk, trykkjer vi no på tasten 2nd og deretter på tasten A b/c. Svaret blir 9 når vi trykkjer på =. 7 Oppgåve 1.60 Forkort brøkane både utan og med lommereknar. a) 4 b) 9 c) 18 d) 42 6 15 21 54 Oppgåve 1.61 Bruk lommereknaren til å forkorte brøkane. 72 a) b) 126 c) 132 d) 153 120 294 198 51 e) 117 78 f) 308 231 All talrekning med brøkar kan vi gjere på lommereknaren. Rekn ut på lommereknaren. 5 a) 12 + 4 b) 3 3 4 : 9 10 31

ON OFF CASIO a) Vi tastar 5 1 2 + 4 3 = Svaret blir 7 4 som vist her: Når vi vil ha svaret som blanda tal, trykkjer vi på tasten SHIFT og deretter på tasten S D. Svaret blir 1 3 b) Vi tastar 4. 3 4 9 1 0 Det gir svaret 5 6 trykkjer på =. når vi TEXAS a) Vi tastar 5 A b/c 1 2 + 4 A b/c 3 = Svaret blir 1 3 4 som vist her: Når vi vil ha svaret som ein uekte brøk, trykkjer vi no på tasten 2nd og deretter på 7 tasten A b/c. Svaret blir b) Vi tastar 3 A b/c 4 9 A b/c 1 0 Det gir svaret 5 6 trykkjer på =. når vi 4. Oppgåve 1.62 Bruk lommereknaren og rekn ut. a) 1 3 + 4 9 d) 3 5 12 b) 1 3 4 9 e) 3 : 5 12 c) 1 3 : 4 9 f) 3 + 5 12 Oppgåve 1.63 Bruk lommereknaren og rekn ut. a) 2 ( 3 8 + 1 4 ) b) ( 5 6 2 9 ) 3 5 c) ( 5 36 + 1 12 ) : 2 9 d) ( 7 6 2 9 ) ( 1 5 + 1 4 ) 32 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

1.7 Brøkdelen av eit tal Anne skal kjøpe eit dataspel som kostar 540 kr. Ho skal betale 1 3 far betaler 2. Kor mykje skal kvar av dei betale 3 Anne skal betale tredjedelen av prisen. Det er 540 kr : 3 = 180 kr sjølv, og Dette kan vi òg rekne ut slik: Å dividere med 3 er det same 1 som å multiplisere med 540 kr = 180 kr 1. 3 3 Når far skal betale 2, skal han betale dobbelt så mykje som Anne. Det er 3 2 180 kr = 360 kr Vi kan òg rekne slik: 2 540 kr = 360 kr 3 Å finne 2 av 540 kr er det same som å multiplisere 2 med 540 kr. Vi går 3 3 fram på tilsvarande måte for alle brøkdelar og alle tal. Brøkdelen av eit tal finn vi ved å multiplisere brøken med talet. Rekn ut 3 8 av 320 kr. 3 8 av 320 kr = 3 320 kr = 120 kr 8 Oppgåve 1.70 Rekn ut 5 av tala. 8 a) 40 b) 56 c) 12 Oppgåve 1.71 a) Kor mykje er 2 3 c) Kor mykje er 3 8 av 48 kr 4 b) Kor mykje er 7 av 72 kr 3 d) Kor mykje er 4 av 49 kr av 72 kr 33

Arne og Gro deler ein jobb. Ei veke arbeider Arne fem dagar og Gro to dagar. Til saman får dei 2800 kr i løn. Kor mykje skal Arne ha i løn Arne og Gro arbeider sju dagar til saman. Ettersom Arne arbeider fem av dei sju dagane, skal han ha 5 7 av 2800 kr = 5 2800 kr = 2000 kr 7 Martin og Sondre skal dele 720 kr. Martin får 420 kr. Kor stor del av pengane får Martin, og kor stor del får Sondre Den brøkdelen Martin får, er 420 kr 720 kr = 420 720 = 420 720 = 42 72 = 42 72 = 7 12 = Sondre får 720 kr 420 kr = 300 kr. Den brøkdelen Sondre får, er 300 kr 720 kr = 300 720 = 300 720 = 30 72 = 30 72 = 5 12 = 42 72 12 30 72 7 5 12 Oppgåve 1.72 I ei blanding av saft og vatn er det 1 saft og 5 6 6 vatn. a) Kor mykje saft og kor mykje vatn er det i 3 liter blanding b) Kor mykje saft og kor mykje vatn er det i 3,6 liter blanding c) Kor mykje vatn er det når det er 2 liter rein saft 3 l Oppgåve 1.73 Per, Anne og Jan skal dele 9600 kr. Jan skal ha 2, Anne skal ha 1, og Per 5 6 skal ha resten. a) Kor mange kroner skal Anne og Jan ha kvar b) Kor mange kroner skal Per ha c) Kor stor brøkdel skal Per ha 34 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

1.8 Binære tal Når vi reknar, bruker vi titalssystemet. Korleis det verkar, finn vi ut ved å sjå på til dømes talet 2347. 2347 = 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 7 Dersom vi bruker potensar, får vi 2347 = 2 10 3 + 3 10 2 + 4 10 + 7 Det siste sifferet er einarar, det nest siste er tiarar, det tredje siste hundrarar, osb. Dette talsystemet har ti talsymbol (0, 1, 2,, 9). I ein datamaskin eller lommereknar kan vi tenkje oss at alle tal blir lagra ved at ein brytar er av eller på. Då har vi berre to moglege talsymbol: 0 når brytaren er av, og 1 når han er på. Derfor må vi bruke eit talsystem med berre to symbol, 0 og 1. Det talsystemet kallar vi totalssystemet eller det binære talsystemet. Alle tal i dette systemet består dermed berre av nullar og einarar. Talet 1010 er eit døme på eit binært tal. Det er ikkje det same som tusen og ti. Når vi skal finne ut kva for eit tal det er, gjer vi slik: 1010 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 0 = 1 8 + 0 4 + 1 2 + 0 = 10 Det binære talet 1010 er det same som talet ti. Vi ser at det binære talsystemet verkar på same måten som titalssystemet. Skilnaden er at for binære tal bruker vi potensar av to i staden for potensar av ti. Alle datamaskinar og lommereknarar bruker totalssystemet til all rekning utan at vi oppdagar det. Når du skriv eit reknestykke ved hjelp av tastaturet, blir tala automatisk omsette til totalssystemet. Alle utrekningane blir så gjorde i totalssystemet. Svaret blir deretter omsett til titalssystemet før det blir skrive ut på skjermen. Vi skal no lære å omsetje tal mellom totalssystemet og titalssystemet. Rekn om frå binære tal til vanlege tal. a) 101 b) 1101 c) 10011 a) 101 = 1 2 2 + 0 2 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5 b) 1101 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 c) 10011 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 35

Oppgåve 1.80 Rekn om frå binære tal til vanlege tal. a) 110 b) 1110 c) 10110 d) 111001 Oppgåve 1.81 Fyll ut tabellen. Binærtal 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 Vanlege tal Korleis skal vi omsetje frå vanlege tal til binære tal Vi tek då utgangspunkt i denne tabellen med potensar av 2. 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Vi skal no skrive talet 23 som eit binært tal. Vi leitar oss fram til den største toarpotensen som er mindre enn 23. Det er 16. Vidare er 23 = 16 + 7. No finn vi den største toarpotensen som er mindre enn 7. Det er 4. Ettersom 7 = 4 + 3, får vi Dermed er 23 = 16 + 4 + 3 = 16 + 4 + 2 + 1 23 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 1 2 + 1 Talet 23 er dermed det same som det binære talet 10111. Skriv 37 som eit binært tal. 37 = 32 + 5 = 32 + 4 + 1 37 = 1 32 + 0 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 = 100101 36 Oppgåve 1.82 Skriv tala som binærtal. a) 13 b) 23 c) 42 d) 70 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Oppgåve 1.83 Skriv talet 241 som binærtal. Dei binære tala har mange siffer. Når vi skriv talet 211 som eit binærtal, blir det 11010011. Det er fort gjort å gjere feil når vi skal skrive eit slikt tal, eller når vi skal seie dette talet til ein annan person. Det blir lettare når vi les fire og fire siffer om gongen. I tillegg bruker vi denne tabellen: Binært tal Vanleg tal Symbol 0000 0 0 0001 1 1 0010 2 2 0011 3 3 0100 4 4 0101 5 5 0110 6 6 0111 7 7 Binært tal Vanleg tal Symbol 1000 8 8 1001 9 9 1010 10 A 1011 11 B 1100 12 C 1101 13 D 1110 14 E 1111 15 F Talet 11010011 deler vi opp i to delar og les det på denne måten: 1101 0011 = D3 D 3 Når vi så skal ha tilbake binærtalet, bruker vi tabellen og skiftar ut D med 1101 og 3 med 0011. Då får vi tilbake talet 11010011. Når vi skal finne ut kva for eit tal D3 er, kan vi gjere slik: I tabellen ser vi at D er talet 13. Då er D3 det same som 13 16 + 3 = 211 Talet 10111001001 har elleve siffer. Når vi skal lese dette talet, set vi ein 0 først slik at det blir tolv siffer. 010111001001 = 5C9 5 C 9 Vi les talet som 5C9. Kva for eit tal er så det Vi skriv det ved hjelp av potensar av 16. Hugs at C er det same som 12. 5C9 = 5 16 2 + 12 16 + 9 = 5 256 + 12 16 + 9 = 1481 Talet 5C9 er skrive i 16-talssystemet (det heksadesimale talsystemet). 37

a) Skriv det binære talet 1011011001 i det heksadesimale talsystemet. b) Skriv talet i det vanlege talsystemet. a) 1011011001 = 001011011001 = 2D9 2 D 9 b) Ettersom D er talet 13, blir dette 2D9 = 2 16 2 + 13 16 + 9 = 2 256 + 13 16 + 9 = 729 Oppgåve 1.84 a) Skriv det binære talet 11100101 i det heksadesimale talsystemet. b) Kva for eit tal er det Oppgåve 1.85 a) Skriv det binære talet 1111010100 i det heksadesimale talsystemet. b) Kva for eit tal er det Oppgåve 1.86 a) Skriv talet 812 i det binære talsystemet. b) Skriv svaret i oppgåve a i det heksadesimale talsystemet. c) Kontroller om svaret i oppgåve b gir talet 812. 1.9 Nokre digitale einingar Datamaskinar gjer om alle tal til binære tal. Grunnen er at maskinen har mange elektriske «brytarar» som kan vere av eller på. Ein slik «brytar» kallar vi ein bit. Ein bit kan dermed vere anten 0 eller 1. Alle andre teikn og symbol blir òg skrivne ved hjelp av 0 og 1. Bokstaven A blir gjord om til 01000001 og a til 01100001. Kvart teikn og kvar bokstav har sin eigen kode som er samansett av åtte 0 eller 1. Koden inneheld altså åtte bitar. Vi kallar det ein byte. Ein byte er dermed lagerplass for eitt teikn. 1 byte = 8 bitar 38 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

a) Kor mange byte er det i teksten «Lykke til!» b) Kor mange bitar blir det a) Teksten vår har ti teikn. Mellomrommet er òg eit teikn. Det er 10 byte i teksten. b) Vi veit at 1 byte består av 8 bitar. Dermed er 10 byte = 10 8 bitar = 80 bitar Til saman må vi bruke åtti 0 og 1 for å lagre teksten «Lykke til!». Oppgåve 1.90 a) Kor mange bitar er det i 12 byte b) Ein tekst er skriven med 248 bitar. Kor mange teikn er det i denne teksten Oppgåve 1.91 a) Kor mange byte er det i teksten «Alt vel. Send meir pengar.» b) Kor mange 0 og 1 må vi bruke for å lagre denne teksten digitalt I talsystemet vårt (titalssystemet) har vi faste namn på nokre spesielle tal. 10 2 = 100 hundre 10 3 = 1000 tusen 10 6 = 1 000 000 million 10 9 = 1 000 000 000 milliard Vi ser at det er nokre potensar av ti som har eigne namn. Når vi bruker totalssystemet, har vi sett namn på nokre potensar av to. 2 10 = 1024 kilo (k) 2 20 = 1 048 576 mega (M) 2 30 = 1 073 741 824 giga (G) Til vanleg er kilo = 1000. Men i den digitale verda er altså kilo = 1024. På tilsvarande måte er mega = 1 000 000, men når det gjeld datateknikk, er mega = 1 048 576. Vi bruker forkortinga B for byte og forkortinga b for bitar. Med denne skrivemåten er 1 kb = 1024 byte 1 kb = 1024 bitar 1 MB = 1 048 576 byte 1 Mb = 1 048 576 bitar 39

Vidare er 1 MB = 1024 kb 1 Mb = 1024 kb 1 GB = 1024 MB 1 Gb = 1024 Mb Til dagleg rundar vi ofte av og seier at 1 kb er 1000 byte, at 1 MB er 1000 kb, og at 1 GB er 1000 MB. Eit tekstdokument er på 2,7 kb. a) Kor mange teikn er det i dette dokumentet b) Kor mange 0 og 1 blir det a) 1 kb er 1024 byte, og éin byte er eitt teikn. Talet på teikn er 2,7 1024 = 2765 Vi gjer ikkje nokon stor feil om vi seier at det er 2700 teikn. b) Ettersom kvar byte (kvart teikn) har åtte bitar (0 eller 1), er talet på 0 og 1 8 2765 = 22 120 Oppgåve 1.92 Ein tekst er på 32 kb. a) Kor mange teikn er det b) Kor mange bitar blir det Oppgåve 1.93 Eit digitalt bilete blir òg lagra ved hjelp av berre 0 og 1. Eit bestemt bilete er på 1,2 MB. a) Kor mange kilobyte (kb) er det b) Kor mange byte blir det c) Kor mange 0 og 1 må vi bruke for å lagre dette biletet Når vi sender digitale tekstar, bilete eller musikk over telenettet, varierer farten veldig. Med ei vanleg analog (ikkje digital) telefonlinje kan vi sende 40 50 kb per sekund. Det er altså ca. 40 000 50 000 bitar per sekund. Vi måler farten i kilobitar per sekund (kbps). Når farten er 46,6 kbps, kan vi sende 46,6 kb på eitt sekund. 40 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Med breiband er farten mykje større. Vanleg fart er nokre tusen kilobitar per sekund. Farten kan til dømes vere 2048 kbps. Det er det same som 2 Mbps. Vi overfører då ca. 2 millionar nullar og einarar på eitt sekund. Eit bilete er på 728 kb. a) Kor mange kilobitar er det b) Kor lang tid tek det å overføre biletet på ei linje med farten 46,6 kbps c) Kor lang tid tek det på breiband med farten 2048 kbps a) Ettersom 1 byte er 8 bitar, er 728 kb det same som 728 8 kb = 5824 kb b) Med denne linja overfører vi 46,6 kb på eitt sekund. Talet på sekund blir 5824 46,6 = 125 Det tek 125 s (2 min 5 s) å overføre biletet. c) Med breiband overfører vi 2048 kb på eitt sekund. Talet på sekund blir då 5824 2048 = 2,8 Det tek 2,8 sekund. Oppgåve 1.94 I ein stor tekst er det 72 000 teikn. a) Kor mange kilobitar er det b) Kor lang tid tek det å overføre teksten på ei linje med farten 28,8 kbps c) Kor lang tid tek det å overføre teksten på breiband med 1024 kbps Oppgåve 1.95 Ein musikk-cd er på 25,7 MB. a) Kor lang tid tek det å overføre innhaldet på denne cd-en på ei linje med farten 46,6 kbps b) Kor lang tid tek det på breiband med farten 2048 kbps 41

SAMANDRAG Forteiknreglar Positivt tal positivt tal = positivt tal + + = + Positivt tal negativt tal = negativt tal + = Negativt tal positivt tal = negativt tal + = Negativt tal negativt tal = positivt tal = + Reknerekkjefølgje 1 Rekn først ut parentesuttrykka. 2 Rekn deretter ut potensane. 3 Gjer deretter multiplikasjonane og divisjonane. 4 Gjer til slutt addisjonane og subtraksjonane. Avrundingsreglar ved overslagsrekning Ved addisjon og multiplikasjon rundar vi eitt tal opp og eitt ned. Ved subtraksjon og divisjon rundar vi anten begge tala opp eller begge tala ned. Forkorting av brøkar Når vi forkortar ein brøk, dividerer vi med det same talet i teljaren og nemnaren. Brøken endrar ikkje verdi. Nokre storleikar kilo k 1000 hekto h 100 1 desi d 10 = 0,1 centi c milli m 1 100 = 0,01 1 1000 = 0,001 Samanhengen mellom nokre einingar 1000 kg = 1 tonn 1 kg = 0,001 tonn 1000 g = 1 kg 1 g = 0,001 kg 1000 mg = 1 g 1 mg = 0,001 g 10 dl = 1 l 1 dl = 0,1 l 10 cl = 1 dl 1 cl = 0,1 dl 10 ml = 1 cl 1 ml = 0,1 cl 42 Sinus 1EL-P > Tal og einingar

Brøkdelen av eit tal Brøkdelen av eit tal finn vi ved å multiplisere brøken med talet. Titalssystemet Titalssystemet er det talsystemet med grunntal 10 som vi bruker til dagleg. Talet 247 betyr 247 = 2 10 2 + 4 10 + 7 Totalssystemet Totalssystemet (det binære talsystemet) har grunntal 2. Alle tal blir der skrivne ved hjelp av siffera 0 og 1. Det binære talet 1101 betyr 1101 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 = 13 Byte (B) og bit (b) Ein bit består av éin 0 eller 1. Ein byte er eitt teikn og er samansett av åtte bitar. Samanhengen mellom nokre digitale einingar 1 kb = 1024 byte 1 kb = 1024 bitar 1 MB = 1 048 576 byte 1 Mb = 1 048 576 bitar 1 MB = 1024 kb 1 Mb = 1024 kb 1 GB = 1024 MB 1 Gb = 1024 Mb 43