Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima
Innhold 1 Om wxmaxima 5 1.1 Tilleggspakker................................. 5 2 Regning 6 2.1 Tallregning................................... 6 2.2 Regnerekkefølge................................ 7 2.3 Tallet π..................................... 7 2.4 Minne...................................... 7 2.5 Kvadratrot.................................... 9 2.6 Parenteser.................................... 9 2.7 Brøk....................................... 9 2.8 Store og små tall................................ 10 2.9 Sinus, cosinus og tangens.......................... 10 2.10 n-terøtter.................................... 11 2.11 Potenser..................................... 11 2.12 Logaritmer................................... 12 3 Funksjoner 12 3.1 Tegning av grafer for hånd.......................... 13 3.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet................ 14 3.3 Utregninger på grafen............................. 15 3.3.1 Finne y når du kjenner x....................... 16 3.3.2 Nullpunkter.............................. 16 3.3.3 Finne x når du kjenner y....................... 17 3.3.4 Topp- og bunnpunkter........................ 18 3.3.5 Skjæringspunkter mellom grafer.................. 19 3.3.6 Derivert................................. 20 3.4 Tangent..................................... 20 4 Lineær regresjon 21 5 Likninger 22 5.1 Likninger av andre og tredje grad...................... 22 5.2 Likningssett................................... 23 6 Sannsynlighetsregning 24 6.1 n r........................................ 24 2
Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet wxmaxima som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1T», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 1T, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2009. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 10 Tallregning 2.1 14 Regnerekkefølge 2.2 66 Likningssett 5.2 70 Regresjon 4 86 Potenser 2.11 88 Negative potenser 2.11 90 Lese standardform 2.8 91 Taste inn standardform 2.8 92 N-terot 2.10 94 Brøkeksponent 2.11 95 Lage verditabell 3.1 96 Logaritmer 2.12 136 nc r 6.1 171 Andregradslikning 5.1 202 Sinus, cosinus, tangens 2.9 206 Inversfunksjonene 2.9 245 Tegne graf 3.2 262 Informasjon fra grafer 3.3 265 Regne ut funksjonsverdi 3.1 266 Regne ut den deriverte 3.3.6 271 Finne tangent 3.4 3
1 Om wxmaxima wxmaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/) er et grafisk brukergrensesnitt til Maxima (http://maxima.sourceforge.net/). Dette heftet tar utgangspunkt i en binærdistribusjon av wxmaxima med norske menyer publisert for Windows på http://www.moglestu.vgs.no/maxima/. Det finnes også distribusjoner av wxmaxima for Linux og Mac OS X. Foreløpig må man da bruke engelsk. Brukere på Linux og Mac burde likevel ha nytte av heftet. Maxima er i utgangspunktet basert på tekstkommandoer. wxmaxima gjør det unødvendig å huske alle kommandoer. Når du trykker på en knapp eller gjør valg fra menyene, blir riktig tekstkommando skrevet inn for deg. Det er imidlertid ingenting i veien for å lære seg en del kommandoer. Du vil arbeide mer effektivt om de husker de vanligste kommandoene. 1.1 Tilleggspakker Det finnes nokså mange utvidelser til Maxima. En del funkasjonalitet som av ulike grunner ikke er innebygd i Maxima kan lastes inn i programmet ved kommandoen «load». Mange pakker med slike tilleggsfunksjoner ligger klare, for eksempel til sannsynlighetsregning med binomisk og hypergeometrisk fordeling skriver du «load (distrib)$». I tillegg kan man laste ned pakker som utvider Maximas funkasjonalitet fra Internett. Gyldendal Undervisning har laget en samling kommandoer tilpasset norsk videregående skole. Den installeres slik: 1. Last ned filen «gyldendal.mac» fra http://www.gyldendal.no/sigma/ til en mappe på din datamaskin, for eksempel i «My Documents». 2. Velg «Åpne» fra Fil-menyen og bla fram til den mappen du lastet ned filen til. 3. Tast inn «gyldendal.mac» til høyre for «File name:» («Filnavn:») og klikk på «Open» («Åpne»). I noen Maximadistribusjoner kan du også velge «Load package» fra File-menyen. Per mars 2009 inneholder gyldendal.mac følgende kommandoer. sind(u): Finner sin til vinkel u (i grader). cosd(u): Finner cos til vinkel u (i grader). tand(u): Finner tan til vinkel u (i grader). 4
asind(a): Finner hvilken vinkel i grader som har sinusverdi a. acosd(a): Finner hvilken vinkel i grader som har cosinusverdi a. atand(a): Finner hvilken vinkel i grader som har tangensverdi a. ntrt(n,a): Finner n-teroten av a. lg(a): Finner den logaritmen til a (logaritme med grunntall 10). grader2radianer(u): Konverterer en vinkel u fra grader til radianer. radianer2grader(u): Konverterer en vinkel u fra radianer til grader. 2 Regning 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Gangetegnet er obligatorisk, så 2x må tastes inn som «2 x». Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Maxima regner eksakt. Det betyr at den unngår avrundinger og desimaltall så ofte som mulig. Dersom du vil ha svaret i desimaltall, må du be spesielt om det. Trykk på knappen «Til desimaltall», eller tast «float(%)», så får du det siste svaret i desimaltall. Du kan også legge til ordet «numer» på slutten av linja etter et komma, så får du desimaltall. (%i1) 2/3,numer; (%o1).6666666666666666 5
2.2 Regnerekkefølge Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik det står. Utregningen 4+5 2 3 taster vi inn som det står og avslutter med enter. Maxima bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. (%i1) 4+5*2^3; (%o1) 44 Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser, som for eksempel i utregningen 7 ( 4 2 5 ( 3)) 2, som tastes inn slik: (%i1) 7*(-4^2-5*(-3))^2; (%o1) 7 2.3 Tallet π For å skrive inn π, taster vi «%pi». Vi kan også trykke på knappen for π nederst i vinduet. Når Maxima viser matematikk på skjermen, skriver den π som «%pi». Og som alltid: Vil du ha et desimaltall i stedet, bruker du «float» eller «numer». (%i1) %pi; (%o1) %pi (%i2) float(%pi); (%o2) 3.141592653589793 2.4 Minne Du kan enkelt lagre tall eller uttrykk for seinere bruk i programmets minne. Alle svar lagres automatisk i det midlertidige minnet «%». La oss si at du har regnet ut (4 + 5) 2 3 og fått 72. Om du så taster % %pi og trykker enter, vil Maxima multiplisere det forrige svaret du fikk, nemlig 72, med π. (%i1) (4+5)*2^3; (%o1) 72 (%i2) %*%pi; (%o2) 72 %pi (%i3) float(%); (%o3) 226.1946710584651 6
I tillegg til «%», fungerer de fleste tegn og kombinasjoner av tegn som minne. Du lagrer en verdi eller et uttrykk i et minne ved å skrive navnet etterfulgt av kolon og så verdien du vil lagre. For å lagre forrige verdi i et minne vi kaller «a», gjør vi slik: (%i4) a:%; (%o4) 226.1946710584651 For å lagre uttrykket 3x 2 på «sigma» gjør vi slik: (%i1) sigma:3*x-2; (%o1) 3x - 2 Verdien i minnet får du fram igjen ved å skrive navnet. (%i1) sigma; (%o1) 3x - 2 (%i2) 2*sigma; (%o2) 2(3x - 2) Slik ser det ut om vi legger 2 og 71 inn i minnene a og b og så regner ut a b og får 142: (%i1) a:2; (%o1) 2 (%i2) b:71; (%o2) 71 (%i3) a*b; (%o3) 142 2.5 Kvadratrot For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «sqrt()», eller trykker på kvadratrotknappen. (%i1) sqrt(5),numer; (%o1) 2.23606797749979 7
2.6 Parenteser Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er 5 + 7 2 3 = 12 6 = 2 Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning i programmet, må vi hjelpe til med å slå parenteser om telleren og nevneren. (%i1) (5+7)/(2*3); (%o1) 2 Ulike distribusjoner av Maxima håndterer parenteser litt forskjellig. I noen distribusjoner får man automatisk både høyre- og venstreparentes når man taster «(». I andre distribusjoner må man passe på å lukke parenteser selv. 2.7 Brøk Brøker taster du inn med vanlig deletegn i stedet for brøkstrek. Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Svaret blir oppgitt i brøk. Dersom du vil ha desimaltall, trykker du som vanlig på «Til desimaltall». Skal vi for eksempel regne ut 2 + 3 3 8 7 3 slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får: Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi regne ut brøken 1 2 1 3 taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken. 8
2.8 Store og små tall Når tallene blir svært store eller svært små, skriver programmet dem på standardform. I utgangspunktet får du 16 desimaler. Du velger selv om du taster inn på standardform eller ikke. Skal du taste inn 6700000000, kan du velge å taste «6.7 10 9. Regnestykket 6700000000 0,0002 kan du velge å regne ut som 6,7 10 9 2 10 4 ved å taste slik: (%i1) 6.7*10^9*2*10^(-4); (%o1) 1340000.0 2.9 Sinus, cosinus og tangens Maxima har innebygget sinus, cosinus og tangens, men de innebygde funksjonene bruker et annet vinkelmål enn grader, nemlig radianer. Og radianer kommer du ikke borti før i Vg3. For å regne med grader, må du laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1. De trigonometriske funksjonene for grader taster du inn med «sind()», «cosd()» og «tand()». For å finne sin 45, taster du inn «sind(45)». (%i1) sind(45); (%o1).7071067811865475 For å gå tilbake, bruker vi «asind()», «acosd()» og «atand()»: For å finne hvilken vinkel som har cosinus-verdi 1, taster vi «acosd(1/2)». 2 (%i1) acosd(1/2); (%o1) 60.0 2.10 n-terøtter Maxima har ikke innebygget noen funksjon for n-terøtter, med du kan laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1. For å regne ut n-terøtter, bruker vi «ntrt». Eksempel: For å beregne 5 7,34 gjør vi slik: (%i1) ntrt(5,7.34); (%o1) 1.489838565112205 9
2.11 Potenser Potenser tastes inn med cirkumflex,. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 5. (%i1) 2^5; (%o1) 32 For å taste inn potenser med flere elementer i eksponenten, slår du en parentes om eksponenten. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 ( 5) og 2 2 3 ved å taste 2 (2/3). 2.12 Logaritmer Maxima har ikke innebygget noen funksjon for logaritmer med grunntall 10, med du kan laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1. Vi finner lg 25 slik: (%i1) lg(25),numer; (%o1) 1.397940008672037 3 Funksjoner Det er to måter å angi navn på funksjonsuttrykk i Maxima. Du kan tilordne en variabel et navn f slik: (%i1) f:2*x+5; (%o1) 2 x + 5 Men du kan også lage en maxima-funksjon med funksjonsnavnet slik: 10
(%i1) f(x):=2*x+5; (%o1) f(x) := 2 x + 5 Begge metoder har sine fordeler. I dette heftet har vi brukt den første metoden. 3.1 Tegning av grafer for hånd Når du tegner grafer for hånd, er det praktisk å bruke digitalt verktøy til å regne ut funksjonsverdier for funksjonen. Først definerer vi funksjonen ved å sette en variabel til den funksjonen. Eksempel: Om vi skal arbeide med funksjonen f(x) = 15, gjør vi slik: x Så vi setter vi inn 3 for x med funksjonen «ev»: Dersom vi ønsker å regne ut en flere verdier i en tabell, taster vi inn x-verdiene i en liste inni «[» og «]» slik: Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom dem. 11
y 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 x 3.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x). Ut fra funksjonens definisjonsmengde lager vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det. Som eksempel skal vi nå tegne grafen til f(x) = x 2 2x + 4 for x [ 5, 5]. Først definerer vi funksjonen: Så lager vi verditabell. Vi lar tabellen gå fra 5 til 5. Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 5 til 5, må y være mellom 35 og 10. Nå velger vi «Graf 2d» fra Grafer-menyen. Vi fyller inn feltene for «Uttrykk» og «Variabel» slik: 12
Vi trykker OK og får tegnet grafen: Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du gå på «Grafer 2d» igjen og endre vindusinstillingene. I eksempelet ovenfor kunne en hevde at den mest interessante delen av grafen er der hvor y er mellom 10 og 6. Endrer vi vinduet tilsvarende, blir grafen slik: 13
3.3 Utregninger på grafen Maxima gjør ikke beregninger på selve grafen, men regner eksakt. Nedenfor finner du metoder for hvordan du kan bruke Maxima til å regne ut svar som også kan finnes for eksempel ved avlesning på grafen. Maxima gir deg imidlertid det eksakte svaret. 3.3.1 Finne y når du kjenner x Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi av x, «bruker vi «ev()». Eksempel: Vi lar f være f(x) = 0,0025x 3 + 0,075x 2 + 1. Vi regner ut f(12,6) slik: Altså er f(12,6) = 7,90606. 3.3.2 Nullpunkter Du finner nullpunkter ved å skrive «solve» (eller klikke på «Nullpunkter»-knappen). Eksempel: La f(x) = x 2 3x 5. Vi skal finne nullpunktene. 14
Dersom en av løsningene inneholder konstanten «%i», betyr det at løsningen er et såkalt komplekst tall. Slike løsninger tar vi ikke med. Eksempel: La f(x) = x 2 5x 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter. Vi ser at begge løsningene inneholder «%i». Funksjonen f har derfor ingen nullpunkter. Dersom funksjonen har et nullpunkt, men Maxima ikke finner det eksakt, kan vi finne en tilnærmingsverdi (med så stor nøyaktighet vi måtte ønske). Da må du tegne grafen til funksjonen, jfr. avsnitt 3.2. Så må du finne et intervall langs x-aksen som nullpunktet ligger i. Så bruker du «find root» til å finne nullpunktet. Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 2,3 x 6. Vi prøver først å løse den med «solve»: Vi tegner grafen. 15
Vi ser at nullpunktet ligger mellom 0 og 4 på x-aksen. Vi bruker «find root»: 3.3.3 Finne x når du kjenner y Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, løser vi likningen f(x) = a. Dette gjør vi på samme måte som når vi finner nullpunkter, jfr. avsnitt 3.3.2, men i stedet for å bruke «solve(f)», bruker vi «solve(f=a)». Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x 3 4x 2 + 3x + 12. Vi skal finne når f(x) oppnår verdien 4. Vi kan kun bruke løsningen som ikke inneholder «%i». Svaret er at f oppnår verdien 4 når x = 1. 3.3.4 Topp- og bunnpunkter Topp- og bunnpunkter finner vi ved å regne ut den deriverte med «diff» og sette denne lik null. For å avgjøre om vi da finner et toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt, tegner vi grafen til funksjonen. 16
Eksempel: La f(x) = x 2 3x 5. Vi skal finne bunnpunktet. Vi definerer f og trykker på «Deriver» (eller skriver «diff(f,x)»): Deretter finner vi når f (x) er null («solve») og hvilken verdi f har da («ev»): Til slutt tegner vi grafen for å avgjøre hva slags ekstremalpunkt det er. Altså er det et bunnpunkt. Koordinatene er 3 2, 29. 4 Dersom det er flere topp- eller bunnpunkter, gjentar du prosessen. 3.3.5 Skjæringspunkter mellom grafer Skjæringspunkter mellom to grafer f og g finner vi ved å løse likningen f = g. Vi taster «solve(f=g)». 17
Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom f(x) = x 2 3x 5 og g(x) = 2x+3. Vi definerer f og g og taster «solve(f=g)». Vi runder av svaret til desimaltall. Til slutt regner vi ut funksjonsverdien av x-verdiene til skjæringspunktene. Altså er skjæringspunktene ( 2,37, 7,74) og (3,37, 3,74). 3.3.6 Derivert Du finner den deriverte til en funksjon f med «diff(f,x)». Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 0,001x 3 + 0,09x 2 + 10. Vi skal finne f (x) og f (10). Vi definerer f, vi lar f1 være den deriverte av f og finner verdien av den deriverte når x er 10: Dette betyr at f (10) = 1, 5 18
3.4 Tangent Maxima regner ikke ut tangenten for deg, men kan hjelpe deg i utregningen av tangenten for eksempel ved hjelp av ettpunktsformelen. Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x 2 3x 5. Vi skal finne likningen til tangenten til kurven for x = 4. Først definerer vi funksjonen f: Så regner vi ut y-koordinaten til tangeringspunktet: (%i1) ev(f,x=4); (%o1) -1 Altså går tangenten gjennom punktet (4, 1). Så finner vi stigningstallet til tangenten ved å finne uttrykket for den deriverte og så verdien av den deriverte i punktet: (%i1) f1:diff(f,x); (%o1) 2 x - 3 (%i2) ev(f1,x=4); (%o2) 5 Altså er stigningstallet 5. Da kan vi bruke ettpunktsformelen y y 1 = a(x x 1 ). Vi taster inn ettpunktsformelen med x 1 = 4, y 1 = 1 og a = 5 og løser uttrykket vi da får med hensyn på y. (%i1) y-(-1)=5*(x-4); (%o1) y + 1 = 5 (x - 4) (%i2) solve(%,y); (%o2) [y = 5 x - 21] Altså er likningen til tangenten y = 5x 21. 4 Lineær regresjon Velg «Regresjon» fra Funksjonsanalyse-menyen. Der taster du inn x- verdiene og y-verdiene med komma mellom. Eksempel: Vi legger inn følgende verditabell: x 2 1 0 1 2 3 4 y 781 766 734 707 670 634 600 19
Da blir det slik: Så klikker vi på OK. Da åpnes programmet gnuplot som viser et bilde av punktene fra verditabellen. Når vi skifter tilbake til wxmaxima, kommer funksjonsuttrykket til syne. Dette betyr at regresjonslinja er y = 31,1x + 730,0. 5 Likninger 5.1 Likninger av andre og tredje grad Likninger løser vi med «solve». Eksempel på andregradslikning: Vi løser likningen 7x 2 + 19x 6 = 0 slik: Eksempel på tredjegradslikning: 3x 3 x 2 12x + 4 = 0 20
Hvis en av løsningene inneholder konstanten «%i», betyr det at tallet er såkalt komplekst. Denne løsningen tar vi ikke med. Eksempel: Vi løser likningen : x 2 + 3x + 3 Begge løsningene inneholder konstanten «%i». Da svarer vi at likningen ikke har noen løsning. 5.2 Likningssett Likningssett løses ved å velge «Løs likningssett» fra Likninger-menyen. Eksempel: Vi skal løse likningssettet 36x + 43y = 8 11x 21y = 139 Vi velger «Løs likningssett» fra Likninger-menyen og taster inn at antall ukjente er 2. Vi trykker OK. Da får vi opp et vindu hvor vi skriver inn de to likningene våre. Når vi klikker OK, får vi opp løsningen: Altså er løsningen x = 5 og y = 4. 6 Sannsynlighetsregning 6.1 n r Antall kombinasjoner av r ut fra n, finner vi ved å velge «Binomialkoeffisient» fra Sannsynlighet-menyen. 21
Eksempel: Vi skal regne ut 6 2. Vi velger «Binomialkoeffisient» fra Sannsynlighetmenyen og taster inn Vi klikker på OK og får: Altså er 6 2 = 15. 22