for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne

8 1

Algebra Mål for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne faktorisere po ly no mer ved hjelp av null punk ter og polynomdivisjon, og bru ke det te til å løse lik nin ger og ulik he ter med polynomer og rasjo nale uttrykk om for me og for enk le sam men sat te ra sjo na le funk sjo ner og and re sym bol ske ut trykk med og uten bruk av digita le hjelpe mid ler gjø re rede for im pli ka sjon og ek vi va lens og gjen nom fø re di rek te og kontrapositive be vis

1.1 Im pli ka sjon og ek vi va lens Mange av de matematiske symbolene som er van li ge i dag, ble først tatt i bruk i pe ri oden fra år 15 til 17. For noen sym boler kjenner vi både opphavsmannen og nøyaktig når symbo le ne først ble tatt i bruk: Tegn Navn År Brøkstreken Fibonacci 122 Teg ne ne + og Widman 1489 Kvadratrottegnet Rudolff 1526 Likhetstegnet = Record 1557 De si mal teg net. el ler, Napier 1616 Ulikhetstegnene < og > Herriot 1631 Multiplikasjonstegnet Oughtred 1631 Divisjonstegnet Rahn 1659 Divisjonstegnet : Leibniz 1684 Multiplikasjonstegnet Leibniz 1693 Symbolet Jones 176 I den nor ske sko len ble det rundt 197 tatt i bruk man ge lo giske symboler. Vi skal gjø re oss kjent med noen av dis se symbolene. Vi vet at hvis 2x + 1 = 4, så er 2x = 3. Med bruk av sym bo ler fra lo gikken skri ver vi 2x + 1 = 4 2x = 3 Tegnet er en implikasjonspil som vi le ser «fø rer til at», «med fø rer at» eller «impliserer at». Vi bruker denne pila mellom to lik ninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten A B be tyr at hvis på standen A er rik tig, så er også påstanden B rik tig. Slike påstander trenger ikke være ma tematiske. Vi kan for eksempel skrive: Personen heter Ola Per so nen er en gutt Det er en rik tig slut ning. Men denne slut nin gen er ikke riktig: Per so nen er en gutt Personen heter Ola 1 1 Sinus R1 > Algebra

Hvis x = 2, fø rer det til at x 2 = 4. Med sym bo ler skri ver vi x = 2 x 2 = 4 Men hvis x 2 = 4, be hø ver ikke det bety at x = 2. Det rik ti ge kan være at x = 2. Der for kan vi ikke skri ve at x 2 = 4 x = 2. Det rik ti ge er x 2 = 4 x = 2 el ler x = 2 Man ge bru ker et eget lo gisk sym bol for «el ler» og skri ver x 2 = 4 x = 2 x = 2 Tegnet le ser vi alt så «el ler». Vi bru ker det mel lom to på stan der for å fortel le at minst en av på stan de ne må være rik tig. Likningene 2x 2 = 8 og x 2 = 4 har nøy ak tig de sam me løs ningene, nemlig x = 2 og x = 2. Vi sier at de to lik nin ge ne er ekvivalente (likeverdige) og skriver 2x 2 = 8 x 2 = 4 Tegnet kal ler vi et ekvivalenstegn. Vi le ser «er ek vi va lent med», «har sam me løs ning som» el ler «hvis og bare hvis». Vi kan også skri ve x 2 = 4 x = 2 x = 2 Det er ikke bare i ma te ma tikk vi bru ker ekvivalenstegnet. Vi kan skrive Ola er fa ren til Jens Jens er søn nen til Ola To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er rik tig hvis og bare hvis på stand B er rik tig. Vi skri ver A B To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. På grunn kur set lær te vi å løse lik nin ger. Når vi lø ser en lik ning, gjør vi liknin gen om på en slik måte at vi får en ny lik ning med den sam me løs ningen. Vi kan for eks em pel flyt te ledd over på den and re si den av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere og dividere på beg ge si de ne av lik hets teg net med tall som ikke er null. Når vi om for mer en lik ning på den ne må ten, får vi en ek vi va lent lik ning som har nøy ak tig de samme løsnin ge ne som den lik nin gen vi be gyn te med. Da kan vi bru ke ek vivalenstegnet mellom likningene. 11

Når vi flyt ter et ledd over på den and re si den av lik hetstegnet og skifter for tegn på led det, får vi en ek vi valent likning. Når vi dividerer eller mul tipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ek vi valent likning. EKS EM PEL Løs likningen 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 6x = 3x(x 2) = 3x = x 2 = x = x = 2! I den ne boka kom mer vi nor malt ikke til å skri ve ek vi va lenstegnet når vi lø ser lik ninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ek vivalen te når det ikke står noe sym bol mel lom dem.? Opp ga ve 1.1 Sett inn ett av sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) Jeg er fra Ha mar Jeg er fra Nor ge b) Jeg er fra Ber gen Jeg er ber gen ser c) Jeg er fra Oslo Jeg he ter Odd d) Jeg er fra Finn mark Jeg er fra Alta e) Jeg er fra Oslo Jeg bor i Oslo 12 12 Sinus R1 > Algebra Opp ga ve 1.11 Sett inn ett av sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) 3x 2 = 12 x 2 = 4 b) x = 4 x 2 = 16 c) x 2 = 9 x = 3 x = 3 d) x 3 = x x 2 = 1

I til legg til teg net («el ler») har vi teg net for «og». Teg net bør vi lese «og sam ti dig». Vi kan for eks em pel bru ke det når vi lø ser to lik nin ger med to ukjen te. Likningssettet 2x + y = 1 x y = 2 be tyr at de to lik nin ge ne skal være opp fylt sam ti dig. Vi kan der for skri ve 2x + y = 1 x y = 2! Vi kan ikke all tid er stat te or det «og» med teg net, for teg net be tyr «og sam ti dig». Vi kan gjer ne si at en lik ning har løs nin ge ne x = 2 og x = 3. Det er ikke det sam me som å si at lik nin gen har løs nin ge ne x = 2 x = 3. Variabelen x kan ikke sam ti dig være både 2 og 3. Vi må si at lik nin gen har løsningen x = 2 x = 3.? Opp ga ve 1.12 Omtrent hvor mange nålevende personer passer med beskrivelsen? a) Jeg er norsk Jeg er kvin ne b) Jeg er norsk Jeg er kvin ne c) Jeg er trøn der Jeg er svensk d) Jeg er trøn der Jeg er svensk Opp ga ve 1.13 Finn løsningene. a) x 2 = 9 x > b) x 2 = 9 x < c) x 2 + x 2 = x > d) x = 2 x 2 2x + 1 = e) x + y = 3 2x 3y = 1 f) x + y = 5 x y = x 3y 1.2 Noen be vis me to der Når vi di vi de rer 17 med 2, får vi 17 : 2 = 8 16 1 Tal let 8 kal ler vi kvotienten, og tal let 1 kal ler vi resten. Vi kan skri ve 17 2 = 8 + 1 2 Vi mul ti pli se rer med 2 og får 17 = 2 8 + 1 13

Hvis vi di vi de rer et helt tall x med 2, får vi en kvo ti ent k og en rest r. Resten r er en ten el ler 1. Vi kan skri ve x = 2 k + r Hvis res ten r =, er tal let x de le lig med 2. Det er det sam me som at tal let x er et par tall. Hvis res ten r = 1, er tal let x ikke de le lig med 2. Det er det sam me som at x er et od de tall. Den ne egen ska pen kan vi bru ke som defi nisjon av par tall og od de tall. Et helt tall x er et par tall hvis det fins et helt tall k slik at x = 2k. Et helt tall x er et od de tall hvis det fins et helt tall k slik at x = 2k + 1. Tal let 26 er et par tall for di 26 = 2 13. Tal let 15 er et od de tall for di 15 = 2 7 + 1. I matematikken må vi bevise alle regler og setnin ger. Da tar vi ut gangs punkt i definisjoner og setnin ger som er be vist før. Så be vi ser vi nye set nin ger som vi der et ter kan bru ke i nye be vis. Vi har mange forskjellige typer bevis. Et direkte bevis er en se rie med logiske argumenter som fører oss direkte til den setnin gen vi vil be vi se. Vi skal se på et eksempel. EKS EM PEL La x være et helt tall. Be vis set nin ge ne. a) x er et par tall x 2 er et par tall b) x er et od de tall x 2 er et od de tall a) Hvis x er et par tall, fins det et helt tall k slik at x = 2k. Da er x 2 = (2 k) 2 = 2 2 k 2 = 2 2 k 2 = 2 (2k 2 ) = 2 s Tal let s = 2k 2 er et helt tall, og da er x 2 = 2 s et par tall. b) Hvis x er et od de tall, fins det et helt tall k slik at x = 2k + 1. Da er x 2 = (2k + 1) 2 = (2k) 2 + 2 2k 1 + 1 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k) + 1 = 2 r + 1 Tal let r = 2k 2 + 2k er et helt tall, og da er x 2 = 2 r + 1 et od de tall. 14 14 Sinus R1 > Algebra

? Opp ga ve 1.2 Bevis setningene. a) x par tall og y par tall x y par tall b) x par tall og y od de tall x y par tall c) x od de tall og y od de tall x y od de tall Opp ga ve 1.21 La x være et partall. Be vis at 4 går opp i x 2. Opp ga ve 1.22 La x være et oddetall. Be vis at 4 går opp i x 2 1. Velg noen verdier for x og vis at også 8 går opp i x 2 1. Klarer du å forklare hvorfor det er slik? And re gan ger fø rer vi et indirekte bevis el ler et kontrapositivt bevis. Vi an tar da at set nin gen ikke er rik tig, og vi ser at det fø rer til en selv mot si gel se. Vi ser på et eks em pel. EKS EM PEL Bevis setningene. a) x 2 er et par tall x er et par tall b) x 2 er et od de tall x er et od de tall a) Vi ten ker oss at set nin gen ikke er rik tig. Det må da fin nes et helt tall x slik at x 2 er et par tall uten at x er et par tall. Et ter som x ikke er et par tall, må x være et od de tall. Et ter det vi vis te på forrige side, er x 2 da et od de tall. Det er en selv mot si gel se, for x 2 skul le være et par tall. Der som x 2 er et par tall, må alt så x være et par tall. b) Vi ten ker oss at set nin gen ikke er rik tig. Det må da fin nes et helt tall x slik at x 2 er et od de tall uten at x er et od de tall. Hvis x ikke er et od de tall, må x være et par tall. Et ter det vi vis te på forrige side, er x 2 da et par tall. Det er en selv mot si gel se, for x 2 skul le være et od de tall. Der som x 2 er et od de tall, må alt så x være et od de tall. 15

Vi har nå be vist dis se to set ningene x er et par tall x 2 er et par tall x 2 er et par tall x er et par tall El ler sagt med ord: Hvis x er et par tall, så er x 2 et par tall. Og hvis x 2 er et par tall, så er x et par tall. Da har vi vist at x er et par tall hvis og bare hvis x 2 er et par tall. Det te kan vi skri ve med sym bo ler: x er et par tall x 2 er et par tall Vi har også be vist den ne ekvivalensen:!? x er et od detall x 2 er et od detall Når vi skal bevise ekvivalensen A B, må vi vise at A B, og at B A. Opp ga ve 1.23 Bevis setningen. x er od de tall og y er od de tall x y er od detall Opp ga ve 1.24 Bevis setningene. a) x er et par tall x 3 er et par tall b) x er et od detall x 3 er et od detall Med det vi nå har lært om par tall, od de tall og be vis me to der, kan vi be vise at tal let 2 er et irrasjonalt tall. Et irrasjonalt tall er et tall som vi ikke kan skri ve som en brøk. EKS EM PEL Be vis at 2 er et irrasjonalt tall. Vi gjennomfører et indirekte bevis. Tenk deg at 2 ikke er et irrasjonalt tall. Da må 2 være en brøk. Da fins det hele tall a og b som er slik at a b = 2 og der brø ken a er forkortet mest mulig. b 16 16 Sinus R1 > Algebra

Da må ( a b ) 2 = ( 2 ) 2 a 2 b 2 = 2 a 2 b 2 b2 = 2 b 2 a 2 = 2 b 2 Ettersom b 2 er et helt tall, er a 2 = 2 b 2 et par tall. Men når a 2 er et par tall, er a et par tall. Det fins da et helt tall k slik at a = 2 k. Vi set ter det inn i lik nin gen a 2 = 2 b 2. Det gir (2 k) 2 = 2 b 2 2 4 k 2 = 2 b 2 2 k 2 = b 2 b 2 = 2 k 2 Nå er k 2 et helt tall. Da er b 2 = 2 k 2 et par tall. Men når b 2 er et par tall, er b et par tall. Nå har vi vist at både a og b er par tall. Da kan brø ken a b forkortes med 2. Det stem mer ikke med for ut set nin gen om at a skul le være b fer dig for kor tet. Vi har fått en selvmotsigelse. Der med må 2 være et irrasjonalt tall. Når vi skal be vi se en ma te ma tisk på stand som in ne hol der variabler, er det ikke nok å vise at set nin gen er rik tig for noen verdier av variablene. Vi må vise at den er rik tig for alle verdier. Hvis vi der imot skal vise at en set ning er feil, er det nok å fin ne et moteksempel. Hvis noen på står at n er et irrasjonalt tall for alle hele tall n, kan vi mot be vi se det ved å fin ne et eks em pel som vi ser at det er galt. Hvis n = 4, er 4 = 2, og det er ikke noe irrasjonalt tall. På stan den er alt så ikke rik tig.? Opp ga ve 1.25 Be vis at 3 er et irrasjonalt tall. (Tips: Tenk deg at 3 er en brøk som er fer dig for kor tet. Vis at brø ken kan for kor tes med 3.) Opp ga ve 1.26 Be vis at den ne set nin gen er feil: x er et od de tall minst ett av tal le ne x 2 og x + 2 er et prim tall 17

1.3 Polynomdivisjon Uttrykket P(x) = 2x 3 6x 2 2x + 48 er et eksempel på et polynom. Uttrykket er av tred je grad. Vi sier derfor at P(x) er et tredjegradspolynom. Tallene 2, 6, 2 og 48 kaller vi koeffi sientene i polynomet. Tallet 2 kaller vi tredje gradskoeffisienten, tallet 6 er andregradskoeffisienten, 2 er førstegradskoeffisienten, og tal let 48 er konstantleddet. Vi multipliserer uttrykket (2x 4)(x + 4) og får Dermed er (2x 4)(x + 4) = 2x 2 + 8x 4x 16 = 2x 2 + 4x 16 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) Da er 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) = 2x 4 x + 4 (x + 4) I ste det for brøkstrek bruker vi ofte divisjonstegn. Med den skrivemåten blir (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 Vi skal nå lære å di vi de re to po ly no mer uten å faktorisere først. Me to den likner på den vi bruker når vi dividerer tall. ➊ ➍ (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 ➋ 2x 2 + 8x ➌ 4x 16 ➎ 4x 16 ➏ Her er en for kla ring av de seks punk te ne oven for: ➊ Vi må multiplisere x med 2x for å få 2x 2. ➋ Vi reg ner ut (x + 4) 2x og får 2x 2 + 8x. ➌ Vi reg ner ut (2x 2 + 4x) (2x 2 + 8x) og får 4x. Der et ter flyt ter vi ned leddet 16. ➍ Vi multipliserer x med 4 for å få 4x. ➎ Vi reg ner ut (x + 4) ( 4) og får 4x 16. ➏ Til slutt reg ner vi ut ( 4x 16) ( 4x 16) og får res ten, som her blir. Vi kan di vi de re et tredjegradspolynom med et po ly nom av før s te grad på tilsvarende måte. 18 18 Sinus R1 > Algebra

EKS EM PEL Utfør divisjonen. (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) = x 2 x 12 2x 3 4x 2 2x 2 2x 2x 2 + 4x 24x + 48 24x + 48 Begge divisjonene foran gav res ten. I sli ke til fel ler sier vi at di vi sjo nen går opp. Men det er man ge di vi sjo ner som ikke går opp. Vi utfører divisjonen (4x 2 2x + 1) : (2x 2). (4x 2 2x + 1) : (2x 2) = 2x + 1 4x 2 4x 2x + 1 2x 2 3 Her fikk vi res ten 3. Der med står vi igjen med 3 : (2x 2), som er det 3 sam me som. Divisjonen gir da dette svaret: 2x 2 (4x 2 3 2x + 1) : (2x 2) = 2x + 1 + 2x 2 Dette kan vi kontrollere ved multiplikasjon. EKS EM PEL Utfør divisjonen. (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) 19

(x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) = x 2 3x 11 + x 3 x 2 3x 2 8x 3x 2 + 3x 11x + 13 11x + 11 2 2 x 1? Opp ga ve 1.3 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 2 5x + 4) : (x 1) b) (2x 2 4x + 2) : (x 3) c) (3x 2 + 5x 2) : (3x 1) d) (2x 2 + 4x + 3) : (4x + 2) Opp ga ve 1.31 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x 1) b) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x + 2) c) (8x 3 4x 2 16x 6) : (2x 5) d) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) : (x 1) Vi kan også di vi de re med po ly no mer av and re grad el ler høy ere. EKS EM PEL Utfør divisjonen. (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) = x 2 2x 3 + 3x 2 + 2x 4x 2 6x 4 4x 2 6x 4 2 2 Sinus R1 > Algebra Før vi gjør en slik di vi sjon, må vi ord ne po ly no me ne slik at ledd med høy grad står først. Det kan også løn ne seg å set te inn ledd med ko ef fisient der det mang ler ledd.

Når gra den til res ten er la ve re enn gra den til det po ly nomet vi dividerer med, av slut ter vi di vi sjo nen som vist i eks empelet nedenfor. EKS EM PEL Utfør divisjonen. (4x 3 2x 2 + 3) : (2 x 2 ) Vi ord ner uttrykkene, set ter inn ledd med ko effisient og utfører divisjonen. (4x 3 2x 2 + x + 3) : ( x 2 + x + 2) = 4x + 2 + 8x 1 2 x 4x 3 + x 2 8x 2 2x 2 + 8x + 3 2x 2 + x + 4 8x 1 Når vi di vi de rer et po ly nom P(x) med et po lynom Q(x), får vi en rest med la ve re grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradspolynom, blir res ten et tall.? Opp ga ve 1.32 Utfør polynomdivisjonene. a) (2x 3 + 3x 2 + 2x 1) : (x 2 + x 1) b) (2x 4 + 5x 3 x 2 6x) : (2x 2 + x 3) c) (x 3 + 3x 2 2x 6) : (x 2 2) d) (x 3 + x 2) : (x + 3) e) (2x 4 + 5x 2 + 2) : (2x + 1) f) (4x 4 + 3x 3 + x) : (x 2 1) Opp ga ve 1.33 Utfør polynomdivisjonen P(x) : (x 2) og finn res ten r. Regn der etter ut P(2). Hva ser du? a) P(x) = x 2 + 4x + 3 b) P(x) = x 3 3x 2 + 2x + 3 c) P(x) = x 3 + 2x 2 6x 4 21

1.4 Res ten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P(x) = x 2 + x 1 med x 2, får vi (x 2 + x 1) : (x 2) = x + 3 + x 2 2x 3x 1 3x 6 5 Vi finner at resten r = 5. 5 x 2 Uttrykket x 2 har null punk tet x = 2. Når vi reg ner ut P(2), får vi P(2) = 2 2 + 2 1 = 5 Vi ser at P(2) er lik res ten et ter di vi sjon med (x 2). I slut ten av delkapittelet vi ser vi at det te er en ge ne rell re gel. Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir res ten r = P(x ). EKS EM PEL a) Finn resten ved divisjonen (x 2 2x + 1) : (x 3) uten å ut fø re di visjonen. b) Kontroller dette ved å utføre divisjonen. a) Her er P(x) = x 2 2x + 1 og x = 3. Vi får r = P(3) = 3 2 2 3 + 1 = 4 Res ten blir 4. b) (x 2 2x + 1) : (x 3) = x + 1 + x 2 3x x + 1 x 3 4 Vi ser at res ten er 4. Det stem mer. 4 x 3 22 22 Sinus R1 > Algebra

? Opp ga ve 1.4 Finn res ten uten å di videre. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen. a) (x 2 2x + 3) : (x 1) b) (2x 2 + 5x 7) : (x 2) c) (x 3 2x 2 + x 2 ) : (x + 3) d) (2x 3 + 2x 2 3x 3) : (x + 1) Når vi dividerer et polynom P(x) med (x x ), vet vi at res ten er P(x ). At en di vi sjon går opp, er det sam me som å si at res ten er. Det er det sam me som at P(x ) =. La P(x) være et po ly nom. Divisjonen P(x) : (x x ) går opp P(x ) = EKS EM PEL Av gjør om di visjonen (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) går opp uten at du gjør di vi sjo nen. Kontroller dette ved å utføre divisjonen. Her er P(x) = x 3 2x 2 7x 4 og x = 4. P(4) = 4 3 2 4 2 7 4 4 = 64 32 28 4 = Ettersom P(4) =, går di vi sjo nen med (x 4) opp. Vi utfører divisjonen. (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 x 3 4x 2 2x 2 7x 2x 2 8x x 4 x 4 Divisjonen går opp. 23

I eks em pe let på forrige side fant vi ut at di vi sjo nen med (x 4) måt te gå opp for di P(4) =. Vi så at Dermed er (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 (x 3 2x 2 7x 4) = (x 4) (x 2 + 2x + 1) Vi ser at (x 4) er en faktor i polynomet. Hvis P(x) er et po ly nom slik at P(x ) =, går di vi sjo nen P(x) : (x x ) opp. Der med fins det et po lynom Q(x) slik at P(x) : (x x ) = Q(x). Da er P(x) = (x x ) Q(x), og (x x ) er en fak tor i P(x). Og om vendt: Hvis (x x ) er en fak tor i P(x), så fins det et po lynom Q(x) slik at P(x) = (x x ) Q(x). Da er P(x ) = (x x ) Q(x ) = Q(x ) = Vi har vist den ne regelen: La P(x) være er et po lynom. P(x) har fak toren (x x ) P(x ) = EKS EM PEL Finn ut om (x + 2) er en fak tor i po lynomet P(x). a) P(x) = 2x 2 + 3x 2 b) P(x) = x 3 + 3x 2 + 2x + 4 a) Ettersom (x + 2) = (x ( 2)), må vi un dersøke om P( 2) =. P( 2) = 2 ( 2) 2 + 3 ( 2) 2 = 8 6 2 = (x + 2) er en fak tor. b) P( 2) = ( 2) 3 + 3 ( 2) 2 + 2 ( 2) + 4 = 8 + 12 4 + 4 = 4 For di P( 2), er (x + 2) ikke en fak tor i P(x). 24 24 Sinus R1 > Algebra

? Opp ga ve 1.41 Av gjør om di vi sjo nen går opp uten å ut føre divisjonen. a) (x 2 + 2x 3) : (x 1) b) (x 3 3x 2 + 2x + 2) : (x + 2) c) (2x 3 + 4x 2 1x 12) : (x 2) d) (x 4 1x 2 + 8) : (x + 3) Opp ga ve 1.42 Av gjør om (x 2) er en fak tor i P(x) uten å di videre. a) P(x) = 2x 2 + 4x 6 b) P(x) = 2x 2 + 6x 2 c) P(x) = x 3 3x 2 + 3x 2 d) P(x) = x 4 3x 3 + 4x + 1 Opp ga ve 1.43 Av gjør om (x 1) og om (x + 2) er fak to rer i P(x) når a) P(x) = x 2 4x + 3 b) P(x) = x 3 + 2x 2 x 2 c) P(x) = 2x 3 3x 2 + 2x + 1 d) P(x) = x 4 2x 3 + 2x 2 + x 2 Opp ga ve 1.44 Bestem tallet a slik at di vi sjo nen går opp. a) (x 2 + ax 2) : (x 2) b) (x 2 + 3x + a) : (x + 5) c) (x 3 + ax 2 + ax + 4) : (x + 2) d) (ax 2 + ax + 2) : (x + 1) e) (x 2 5x + 6) : (x a) Be vis for at di vi sjo nen P(x) : (x x ) gir res ten r = P(x ) La P(x) være et po ly nom. Når vi ut fører divisjonen, fin ner vi et po lynom Q(x) slik at r P(x) : (x x ) = Q(x) + x x der tallet r er resten. Det er det sam me som at P(x) x x = Q(x) + r x x Når vi multipliserer med (x x ) på beg ge si dene av likhetstegnet, får vi P(x) = (x x ) Q(x) + r Her skal høy re og venst re side av lik hets teg net være like for alle ver di er av x, spe si elt for x = x. Der med er P(x ) = (x x ) Q(x ) + r = Q(x ) + r = r Der med har vi vist at res ten r = P(x ). 25

1.5 Faktorisering av po ly no mer Å faktorisere et po ly nom vil si å skri ve po ly no met som et pro dukt av po ly nomer av la ve re grad. På vg1 lær te vi å faktorisere andregradspolynomer ved hjelp av null punktene. Vi brukte denne regelen: Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to null punktene x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Der som andregradsuttrykket har ett null punkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Hvis andregradsuttrykket ikke har null punk ter, er det ikke mu lig å faktorisere uttryk ket i førstegradsfaktorer. EKS EM PEL Faktoriser po ly no me ne i førstegradsfaktorer hvis det er mu lig. a) 2x 2 2x 24 b) x 2 + 6x + 9 c) 2x 2 + 4x + 5 a) Først fin ner vi null punk te ne til ut tryk ket ved hjelp av andregradsformelen. 2x 2 2x 24 = x = ( 2) ± ( 2) 2 4 2 ( 24) 2 2 x = 2 ± 196 4 x = 2 ± 14 4 x = 12 eller x = 16 4 4 x = 3 eller x = 4 Der med er 2x 2 2x 24 = 2(x ( 3))(x 4) = 2(x + 3)(x 4) 26 26 Sinus R1 > Algebra

b) Likningen x 2 + 6x + 9 = har løsningen 6 ± 6 x = 2 4 1 9 2 6 ± x = 2 x = 6 2 x = 3 Ut tryk ket har bare ett null punkt. Da er x 2 + 6x + 9 = (x ( 3)) 2 = (x + 3) 2 c) Nullpunktene fin ner vi slik: 2x 2 + 4x + 5 = 4 ± 4 x = 2 4 2 5 2 2 4 ± 24 x = 4 Det går ikke an å reg ne ut 24. Ut tryk ket har der med ikke noen nullpunkter. Det te ut tryk ket kan vi ikke faktorisere.? Opp ga ve 1.5 Faktoriser andregradsuttrykkene i førstegradsuttrykk hvis det lar seg gjø re. a) x 2 4x + 3 b) 2x 2 4x + 2 c) 3x 2 + 6x 9 d) 2x 2 + 8x + 1 Opp ga ve 1.51 Faktoriser uttrykkene mest mulig. a) x 3 4x b) x 3 + 4x c) x 3 2x 2 + x d) 2x 3 1x 2 + 12x Når vi skal faktorisere et tredjegradsuttrykk, må vi kjen ne en førstegradsfaktor. Vi ut fø rer en polynomdivisjon og skri ver tredjegradsuttrykket som et pro dukt av et førstegradsuttrykk og et andregradsuttrykk. Til slutt un der sø ker vi om vi kan faktorisere andregradsuttrykket. 27

EKS EM PEL Et po ly nom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 x + 2 a) Vis at (x + 1) er en fak tor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mu lig. a) Vi må un der sø ke om P( 1) =. P( 1) = ( 1) 3 2 ( 1) 2 ( 1) + 2 = 1 2 + 1 + 2 = Der med er (x + 1) en fak tor. b) Nå vet vi at di vi sjo nen P(x) : (x + 1) går opp. (x 3 2x 2 x + 2) : (x + 1) = x 2 3x + 2 x 3 + x 2 3x 2 x 3x 2 3x 2x + 2 2x + 2 Der med er x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 2 3x + 2) Det neste er å faktorisere uttrykket x 2 3x + 2 der som det lar seg gjøre. Likningen x 2 3x + 2 = har løs nin ge ne x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Inn satt i ut tryk ket oven for gir det faktoriseringen x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 1)(x 2) EKS EM PEL Et po ly nom er gitt ved P(x) = x 3 x 2 4x 6 a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mu lig. 28 28 Sinus R1 > Algebra

a) Vi regner ut P(3). P(3) = 3 3 3 2 4 3 6 = 27 9 12 6 = b) Etter som P(3) =, vet vi at di visjonen P(x) : (x 3) går opp. Vi utfører polynomdivisjonen og får (x 3 x 2 4x 6) : (x 3) = x 2 + 2x + 2 Der med er x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2). Det nes te er å faktorisere ut trykket x 2 + 2x + 2 om mu lig. Vi lø ser der for likningen x 2 + 2x + 2 = 2 ± 2 x = 2 4 1 2 2 ± = 4 2 2 Andregradslikningen har in gen null punk ter, og vi kan der for ikke faktorisere andregradsuttrykket. Den bes te faktoriseringen av tredjegradsuttrykket er der med x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2)? Opp ga ve 1.52 Et po ly nom er gitt ved P(x) = x 3 + 4x 2 + x 6 a) Vis at (x 1) er en fak tor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mu lig. Opp ga ve 1.53 Et po ly nom er gitt ved P(x) = 2x 3 + 2x 2 16x 24 a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mu lig. Opp ga ve 1.54 Et po ly nom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 3x + 1 a) Vis at (x + 2) er en fak tor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mu lig. 29

1.6 Lik nin ger og ulik he ter På vg1 lær te vi å løse andregradsulikheter. Nå re pe te rer vi me toden. EKS EM PEL Løs ulik heten x 2 2x 8 > Vi må faktorisere andregradsuttrykket. Da bru ker vi andregradsformelen el ler lom meregneren og fin ner at lik ningen x 2 2x 8 = har løsningene x = 4 og x = 2. Der med er x 2 2x 8 = (x 4)(x + 2) for alle ver di er for x. Ulik he ten blir (x 4)(x + 2) > Nå teg ner vi fortegnslinjer for faktorene x 4 og x + 2 og la ger deretter en fortegnslinje for (x 4)(x + 2) ved å ut nyt te at to negative fak to rer gir et po si tivt svar, at en po si tiv og en ne ga tiv fak tor gir et negativt svar, og at to po si ti ve fak to rer gir et po sitivt svar. 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 x x 4 x + 2 (x 4)(x + 2) Vi skul le fin ne de ver diene av x der (x 4)(x + 2) >. Da må vi pluk ke ut de x-verdiene der fortegnslinja for ut tryk ket er sam menhengende. (x 4)(x + 2) > når x < 2 el ler x > 4 Ulik he ten vi be gyn te med, har den sam me løs ningen: x 2 2x 8 > når x < 2 el ler x > 4 3 3 Sinus R1 > Algebra

EKS EM PEL Løs ulik heten x 2 2x + 3 > Vi bru ker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 2 2x + 3 = x = 2 ± 4 12 2 x = 2 ± 8 2 Kvadratrota av 8 fins ikke. Der med har ikke x 2 2x + 3 noen nullpunkter, og ut tryk ket kan da hel ler ikke skif te for tegn. Ut tryk ket er dermed en ten po si tivt for alle ver di er av x, el ler så er ut tryk ket ne ga tivt for alle ver di er av x. Det fin ner vi ut ved å set te inn én ver di for x. Vi vel ger x =. Det gir x 2 2x + 3 = 2 2 + 3 = 3 Ettersom uttrykket er positivt for x =, må ut tryk ket være po si tivt for alle ver di er av x. x 2 2x + 3 > for alle x? Opp ga ve 1.6 Løs ulik hetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 2 5x + 6 > b) x 2 + x 2 < c) 2x 2 + 4x + 2 d) 2x 2 + 4x + 3 Det fins en for mel som vi kan bru ke til å løse tredjegradslikninger. Den læ rer vi ikke i det te kur set. En tredjegradslikning kan ha inn til tre løs nin ger. Vi må kjen ne en av dem for å kun ne fin ne de to and re. 31

EKS EM PEL a) Vis at x = 2 er en løs ning av tredjegradslikningen x 3 + 2x 2 5x 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten a) Vi set ter Da er x 3 + 2x 2 5x 6 < P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 P(2) = 2 3 + 2 2 2 5 2 6 = 8 + 8 1 6 = x = 2 er en løs ning av lik nin gen. b) Ettersom P(2) =, er (x 2) en fak tor i P(x). Vi vet da at den ne polynomdivisjonen går opp: (x 3 + 2x 2 5x 6) : (x 2) = x 2 + 4x + 3 x 3 2x 2 4x 2 5x 4x 2 8x 3x 6 3x 6 Der med er x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) Nå kan vi løse tredjegradslikningen. x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = Når pro duk tet av to tall er, må ett av tal le ne være null. Det gir x 2 = el ler x 2 + 4x + 3 = 4 ± 4 x = 2 el ler x = 2 4 1 3 2 x = 2 el ler x = 4 ± 4 2 32 32 Sinus R1 > Algebra

x = 2 el ler x = 4 ± 2 2 x = 2 el ler x = 1 eller x = 3 Likningen har løsningene x = 3, x = 1 og x = 2. c) Faktorisering av x 2 + 4x + 3 gir x 2 + 4x + 3 = (x ( 3))(x ( 1)) = (x + 3)(x + 1) Der med kan vi faktorisere tredjegradsuttrykket P(x). P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = (x 2)(x + 3)(x + 1) Ulik he ten lø ser vi nå ved å lage fortegnslinjer for fak to re ne. 4 3 2 1 1 2 3 x x 2 x + 3 x + 1 P(x) x 3 + 2x 2 5x 6 < når x < 3 og når 1 < x < 2 EKS EM PEL a) Vis at x = 2 er en løs ning av tredjegradslikningen x 3 x 2 3x + 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x 3 x 2 3x + 6 > a) Vi set ter P(x) = x 3 x 2 3x + 6 Da er P( 2) = ( 2) 3 ( 2) 2 3 ( 2) + 6 = 8 4 + 6 + 6 = x = 2 er en løs ning av lik nin gen. 33

b) Ettersom P( 2) =, er (x + 2) en fak tor i P(x). Den ne polynomdivisjonen går opp: (x 3 x 2 3x + 6) : (x + 2) = x 2 3x + 3 x 3 + 2x 2 3x 2 3x 3x 2 6x 3x + 6 3x + 6 Der med er x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) Nå lø ser vi tredjegradslikningen. x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) = x + 2 = el ler x 2 3x + 3 = x = 2 el ler x = 3 ± 3 2 4 1 3 x = 2 el ler x = 3 ± 2 3 2 Andregradslikningen har ingen løsning, der for er x = 2 den eneste løsnin gen av tredjegradslikningen. Likningen har løsningen x = 2. c) Ettersom x 2 3x + 3 ikke har null punk ter, er ut tryk ket en ten posi tivt for alle x eller negativt for alle x. Ut tryk ket er 3 når x =, der med må x 2 3x + 3 være po si tivt for alle ver di er av x. Nå kan vi lage fortegnslinje for P(x) = x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) 4 3 2 1 1 2 3 x x + 2 x 2 3x + 3 P(x) x 3 x 2 3x + 6 > når x > 2 34 34 Sinus R1 > Algebra

? Opp ga ve 1.61 a) Vis at x = 1 er en løs ning av lik nin gen x 3 4x 2 + x + 6 = b) Finn alle løs ningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 > Opp ga ve 1.62 Polynomfunksjonen P er gitt ved P(x) = x 3 + 2x 2 3x 1 a) Vis at x 2 er en fak tor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mu lig. c) Finn nullpunktene til P ved reg ning. d) Finn ut ved reg ning for hvil ke ver di er av x gra fen til P lig ger un der x-aksen. Opp ga ve 1.63 a) Bestem tal let a slik at x = 2 blir en løs ning av lik nin gen x 3 2x 2 + ax + 8 = b) Løs lik nin gen for den ne ver di en av a. c) Bruk denne verdien av a og løs ulikheten x 3 2x 2 + ax + 8 1.7 For kor ting av ra sjo na le ut trykk Et rasjonalt ut trykk er på for men P(x), der P(x) og Q(x) er po ly no mer. Q(x) I det te ka pit te let skal vi lære å for kor te noen sli ke ut trykk. Hvis det skal være mu lig å for kor te det ra sjo na le ut tryk ket x2 5x + 6 x, må 2 (x 2) være en fak tor i tel le ren x 2 5x + 6. Da må tel le ren x 2 5x + 6 = når x = 2. Vi un der sø ker det: 2 2 5 2 + 6 = 4 1 + 6 = Der med kan vi for kor te ut tryk ket en ten ved å ut fø re polynomdivisjonen (x 2 5x + 6) : (x 2) el ler ved å faktorisere tel le ren ved hjelp av nullpunktene. 35

x 2 5x + 6 har null punk te ne x = 2 og x = 3. Der med er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Det gir: x 2 5x + 6 (x 2) (x = 3) = x 3 x 2 (x 2) P(x) At vi kan for kor te ut tryk ket x x, er det sam me som å si at (x x ) er en fak tor i P(x). Det er det sam me som at P(x ) =. La P(x) være et po ly nom. Da kan vi for kor te P(x ) =. P(x) x x hvis og bare hvis EKS EM PEL Forkort uttrykket x 3 2x 2 5x + 6 x 3 hvis det er mu lig. Først un der sø ker vi om det er mu lig å for kor te ut tryk ket. Da må telleren P(x) = når x = 3. P(3) = 3 3 2 3 2 5 3 + 6 = 27 18 15 + 6 = Ut tryk ket kan for kor tes, og vi ut fø rer en polynomdivisjon: Dermed er (x 3 2x 2 5x + 6) : (x 3) = x 2 + x 2 x 3 3x 2 x 2 5x x 2 3x 2x + 6 2x + 6 x 3 2x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2 + x 2) og x 3 2x 2 5x + 6 x 3 = (x 3)(x2 + x 2) = x x 3 2 + x 2 36 36 Sinus R1 > Algebra

EKS EM PEL Un der søk om vi kan for korte uttrykket x 3 x + 2 x + 2 Det er mu lig å forkorte uttrykket hvis telleren P(x) = når x = 2. P( 2) = ( 2) 3 ( 2) + 2 = 8 + 2 + 2 = 4 Det er ikke mu lig å for kor te ut tryk ket.? Opp ga ve 1.7 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjø re. a) x2 + x 2 x 1 b) 2x2 + 4x 6 x + 3 c) x 2 + 5x 14 x 2 d) 2x2 + 6x 2 2x 6 Opp ga ve 1.71 Forkort uttrykkene om mu lig. a) x3 + x 2 x 1 b) x3 + 6x 2 + 11x + 6 x + 3 c) x 3 9x 3x + 6 d) x + 1 x 3 + 2x 2 + 2x + 1 Opp ga ve 1.72 For hvil ke a kan vi for korte uttrykket x 2 + 5x + a x + 2 I de eks emp le ne og opp ga ve ne vi har reg net til nå, har det vært et førstegradsuttrykk i nev ne ren el ler tel le ren. Nå skal vi se på ra sjo na le ut trykk der vi ikke har noe førstegradsuttrykk. EKS EM PEL Forkort uttrykket x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x + 6 37

Vi faktoriserer nevneren. Likningen x 2 5x + 6 = har løsningene x = 2 og x = 3. Der med er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Nå un der sø ker vi om (x 2) el ler (x 3) er fak torer i telleren, som vi set ter lik P(x). (x 2) er en fak tor hvis P(2) =. P(2) = 2 3 3 2 2 2 + 3 = 8 12 2 + 3 = 3 Der med er (x 2) ikke en fak tor. (x 3) er en fak tor hvis P(3) =. P(3) = 3 3 3 3 2 3 + 3 = 27 27 3 + 3 = Alt så er (x 3) en fak tor, og denne divisjonen går opp: Etter dette er Det gir (x 3 3x 2 x + 3) : (x 3) = x 2 1 x 3 3x 2 x + 3 x + 3 (x 3 3x 2 x + 3) = (x 2 1) (x 3) x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x + 6 Vi flyt ter ned to ledd for di både and reog tredjegradsleddet for svin ner. = (x2 1)(x 3) (x 2)(x 3) = x2 1 x 2? Opp ga ve 1.73 For kort ut tryk ke ne hvis det lar seg gjø re. a) x3 2x + 4 x 2 4 b) x 2 + 4x + 3 x 3 + 3x 2 4x 12 Opp ga ve 1.74 For hvil ke ver dier av a kan vi for korte uttrykket x 3 4x 2 + 6x + a x 2 4x + 3 38 38 Sinus R1 > Algebra

1.8 Ra sjo na le lik nin ger En brøk er ikke de fi nert når nev ne ren er null. I ra sjonale uttrykk må vi der for pas se på at nev ne ren ikke blir null. I ut trykket x + 1 x(x 2) er nev ne ren null når x = og når x = 2. Det er ikke mu lig å set te inn x = eller x = 2 i ut trykket. Der for må vi for utsette at x og at x 2 når vi reg ner med det te ut trykket. Slike forut set nin ger er svært vik ti ge når vi lø ser lik nin ger der den ukjen te er med i nev ne ren. EKS EM PEL Løs likningen. 2 x 2 2x + 2 x = 1 x 2 Faktorisering av nev nere n gir 2 x(x 2) + 2 x = 1 x 2 Nev ne ren er lik null når x = og når x = 2. Vi må der for forutsette at x og at x 2. Nå multipliserer vi med fellesnevneren x(x 2) på beg ge si dene av likhetstegnet. 2 x(x 2) + x(x 2) 2 x(x 2) x 2 + 2 (x 2) = 1 x 2 + 2x 4 = x 2x 2 = x 2x x = 2 x = 2 In gen løs ning 1 x(x 2) = (x 2) Likningen har ingen løs ning for di vi forutsatte at x 2. Det er ikke mu lig å set te inn x = 2 i den lik nin gen vi skul le løse. 39

EKS EM PEL Løs likningen x x 3 2 x 1 = 4 x 2 4x + 3 Først faktoriserer vi nev ne ren x 2 4x + 3. Andregradsuttrykket har nullpunktene x = 1 og x = 3. Der med er x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3) Likningen blir x x 3 2 x 1 = 4 (x 1)(x 3) I denne likningen må x 1 og x 3, for nev ner ne kan ikke være lik null. Nå multipliserer vi med fel les nev ne ren (x 1)(x 3). x (x 1)(x 3) (x 3) x(x 1) 2(x 3) = 4 x 2 x 2x + 6 = 4 x 2 3x + 2 = 2 (x 1)(x 3) (x 1) Andregradsformelen eller lommeregneren gir x = 1 el ler x = 2 = 4 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) Men x = 1 pas ser ikke inn i lik ningen i oppgaven. Dermed er løsningen x = 2? Opp ga ve 1.8 Løs lik ningene. a) 1 x + 1 x 2 = 2 x 2 2x 2 b) x 3 4 x 2 3x = 1 x 2 c) x 1 3 x + 1 = 4 x 2 1 4 4 Sinus R1 > Algebra

? Opp ga ve 1.81 Løs likningene. a) c) x x + 2 + 8 x 2 + 2x = 3 x x x + 2 + 18 x 2 2x 8 = 3 x 4 x b) x 3 2 x = 9 x 2 3x 3 d) x 2 4x 5 + 5 x + 1 = x x 5 Hvis den ra sjo na le lik nin gen gir oss en tredjegradslikning, må vi van lig vis kjen ne en av løs ningene for å fin ne de and re. EKS EM PEL a) Vis at x = 1 er en løs ning av lik nin gen x 2 x + 3 + 35x 6 x 2 + 5x + 6 = 8x x + 2 b) Finn de and re løs ningene. a) Vi set ter inn x = 1 på venstre og på høyre side av lik hets teg net og sammenlikner. 1 V.s. = 2 1 + 3 + 35 1 6 1 2 + 5 1 + 6 = 1 4 + 29 12 = 3 12 + 29 12 = 32 12 = 8 3 H.s. = 8 1 1 + 2 = 8 3 x = 1 er en løs ning. b) Nå faktoriserer vi nev ne ren x 2 + 5x + 6. Null punk te ne er x = 2 og x = 3. Der med er x 2 + 5x + 6 = (x ( 2))(x ( 3)) = (x + 2)(x + 3) Likningen blir x 2 x + 3 + 35x 6 (x + 2)(x + 3) = 8x x + 2 Her må x 2 og x 3. Fel les nev ne ren er (x + 2)(x + 3). Vi gan ger med den på beg ge si de ne av lik hets tegnet. x 2 (x + 3) (x + 2)(x + 3) + 35x 6 (x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) = 8x (x + 2)(x + 3) (x + 2) x 2 (x + 2) + 35x 6 = 8x (x + 3) x 3 + 2x 2 + 35x 6 = 8x 2 + 24x x 3 6x 2 + 11x 6 = 41

x = 1 er en løs ning av lik nin gen og må der for også være et null punkt for det te tredjegradsuttrykket. Den ne di vi sjo nen må da gå opp: (x 3 6x 2 + 11x 6) : (x 1) = x 2 5x + 6 x 3 x 2 5x 2 + 11x 5x 2 + 5x 6x 6 6x 6 Der med er x 3 6x 2 + 11x 6 = (x 1)(x 2 5x + 6) Likningen blir (x 1)(x 2 5x + 6) = x 1 = el ler x 2 5x + 6 = Andregradslikningen har løsningene x = 2 og x = 3. Det gir løsningene x = 1, x = 2 og x = 3? Opp ga ve 1.82 a) Vis at x = 2 er en løs ning av lik nin gen 1x + 4 x 2 + 2x 3 = x 2 x + 3 + 2x x 1 b) Finn de and re løsningene. 42 42 Sinus R1 > Algebra 1.9 Ra sjo na le ulik he ter Ulikheten x + 3 4 2x > kaller vi en ra sjonal ulikhet. Vi kan ikke multiplisere med 4 2x på beg ge sidene av ulikhetstegnet. Hvis vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet, må vi snu tegnet. Ut tryk ket 4 2x er po sitivt for noen ver dier av x og ne ga tivt for and re ver di er. Hvis vi mul tipliserer med 4 2x, vet vi ikke len ger hvil ken vei ulik hetstegnet skal vende. Der for må vi lage en fortegnslinje.

Vi la ger fortegnslinjer for tel le ren og for nev ne ren hver for seg. 4 2 2 4 x x + 3 4 2x x + 3 4 2x Hvis tel leren og nevneren har sam me for tegn, blir brø ken positiv. Hvis telleren og nev ne ren har mot satt for tegn, blir brø ken ne ga tiv. Brø ken er null når tel le ren er null (x = 3). Brø ken er ikke de fi nert når nev ne ren er null (x = 2). Det punk tet mar ke rer vi ved å la to pilspisser møtes. Slike punkter ligger alltid under nullpunktene til nevneren.! Vi skal fin ne ut når ut tryk ket er po sitivt. Svaret fin ner vi der fortegnslinja er heltrukket. x + 3 > når 3 < x < 2 4 2x Fortegnslinjemetoden fun ge rer bare når vi har null på høy re side av ulikhetstegnet. Hvis vi har and re tall el ler ut trykk på høy re side, må vi ord ne uttrykket vårt slik at vi får null på høy re side. EKS EM PEL Løs ulik he ten x x 2 < 2. x x 2 < 2 x x 2 2 < x x 2 2(x 2) < x 2 x (2x 4) < x 2 x 2x + 4 < x 2 x + 4 x 2 < Legg mer ke til hvor dan vi gjør om tal let 2 til en brøk med x 2 som nev ner. 43

Nå kan vi lage fortegnslinje. 1 2 3 4 5 x x + 4 x 2 x + 4 x 2 Her skal vi fin ne ut når ut trykket er negativt. Svaret fin ner vi der vi har stiplet linje. x + 4 < når x < 2 og når x > 4 x 2! Multipliser aldri begge side ne av et ulik hets tegn med et ut trykk som kan være både po sitivt og negativt.? Opp ga ve 1.9 Løs ulikhetene. a) x 3 x + 1 > b) 2x + 4 x 1 < c) 2 x + 3 > d) 4 + x 3 2x Opp ga ve 1.91 Løs ulikhetene. a) x 1 x + 1 > 1 b) 2x 4 x 1 3 c) 2 x 1 < 2 d) 2x 4 x 2 > 3 Ulikheten i eksempelet ovenfor kan vi også løse på lommeregneren. ON CA SIO Vi vel ger GRAPH, tryk ker på TYPE, F6 og F1 (Y>) og leg ger inn uttrykket Y1 > ( X + 4)/(X 2) Deretter trykker vi på TYPE, F6 og F2 (Y<) og leg ger inn ut tryk ket Y2 < TEXAS Vi tryk ker på Y= og leg ger inn uttrykket Y1 = ( X + 4)/(X 2) < Teg net < fin ner vi ved å tryk ke på TEST og vel ge 5: <. 44 44 Sinus R1 > Algebra

Nå tryk ker vi på V-Window og velger vin du be stemt ved at x [ 3, 7] og y [ 5, 5]. Vi tryk ker på EXIT og på F6 (DRAW). Lommeregne ren skra ve rer da først alle punk ter som ligger over grafen. Deretter fjerner den skra ve rin gen som ikke lig ger un der x-ak sen. Vi kan da lese av løs nin gen på det skjerm bil det vi får fram. Lommeregneren setter Y1 lik 1 hvis X pas ser i ut tryk ket ( X + 4)/(X 2) <. Hvis X ikke pas ser, blir ut tryk ket lik. Nå vel ger vi et vin du be stemt ved at x [ 5, 5] og y [ 5, 5]. Når vi så tryk ker på GRAPH, får vi det te skjermbildet: OFF Ulikheten har løsningen x < 2 eller x > 4 Ulikheten har løsningen x < 2 el ler x > 4? Opp ga ve 1.92 Løs opp ga ve 1.91 ved hjelp av lom meregneren. Noen gan ger må vi faktorisere and re- el ler tredjegradsuttrykk når vi lø ser rasjonale ulikheter. EKS EM PEL Løs ulikheten x + 1 > 5x 1 x + 1 Vi flytter brøkuttrykket over på venstre side og set ter alt på fel les brøk strek. x + 1 > 5x 1 x + 1 (x + 1)(x + 1) x + 1 5x 1 x + 1 > (x 2 + 2x + 1) (5x 1) > Pass på parentesen om (5x 1). x + 1 45

x 2 + 2x + 1 5x + 1 > x + 1 x 2 3x + 2 > x + 1 Telleren x 2 3x + 2 har null punk te ne x = 1 og x = 2. Der med er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Inn satt i ulik he ten gir det (x 1)(x 2) > x + 1 Nå la ger vi fortegnslinjer: 3 2 1 1 2 3 x x 1 x 2 x + 1 (x 1)(x 2) x + 1 x + 1 > 5x 1 x + 1 når 1 < x < 1 og når x > 2? Opp ga ve 1.93 Løs ulikheten. 8 6x 1 x > x + 2 Opp ga ve 1.94 Løs ulikhetene. x(x 2) a) x + 1 > b) x x 3 > x 1 3x c) > x d) 3x + 1 x 2 x + 1 > 2x 3 Opp ga ve 1.95 a) Vis at x = 2 er en løs ning av lik nin gen x 3 4x 2 + x + 6 = 2x 2 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 < 2x 2 46 46 Sinus R1 > Algebra

SAM MEN DRAG Im pli ka sjon Skrivemåten A B be tyr at hvis på stan den A er rik tig, så er også påstanden B rik tig. Ek vi va lens To påstander A og B er ek vivalente dersom på stand A er rik tig hvis og bare hvis på stand B er rik tig. Vi skri ver A B. To lik nin ger er ek vivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et po ly nom Q(x), får vi en rest med la ve re grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Res ten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir res ten r = P(x ). Divisjonen P(x) : (x x ) går opp P(x ) = Fak tor i et po ly nom (x x ) er en fak tor i po ly no met P(x) når og bare når P(x ) =. Faktorisering av andregradsuttrykk Der som andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to null punk te ne x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Der som andregradsuttrykket har ett null punkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Hvis andregradsuttrykket ikke har null punk ter, er det ikke mu lig å faktorisere ut tryk ket i førstegradsfaktorer. Ra sjo na le ut trykk Et rasjonalt ut trykk er på for men P(x), der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) For kor ting av ra sjo na le ut trykk Vi kan for kor te P(x) x x hvis og bare hvis P(x ) =. 47