Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen med basiser og basisskifte skal vi se nærmere vi på i avsnitt 5.4 og i Notat 2. Anvendelser til dynamiske systemer og systemer av differensiallikninger kommer på slutten av kapitlet. Vil også si litt om numerisk approksimasjon av egenverdier og egenvektorer. 1 / 15
5.1 Egenverdier og egenvektorer En egenvektor for en n n matrise A er en vektor x i R n slik at x 0 og A x = λ x for en skalar λ. Skalaren λ kalles en egenverdi for A, og vi sier at x er en egenvektor tilhørende egenverdien λ. Matlab-demo. Eksempel. La P være en stokastisk matrise og la q være en likevektsvektor for P. Vi har da P q = q = 1 q. Så q er en egenvektor for P tilhørende egenverdien 1. Eksempel. Ser på en 2 x 2 matrise. 2 / 15
Anta at A er en n n matrise og at λ er en skalar. Vi setter E A λ = { x R n A x = λ x } Merk at E A λ = Nul (A λ I ) Spesielt er E A λ et underrom av Rn. λ er en egenverdi for A E A λ {0} Når λ er en egenverdi for A sier vi at Eλ A assosiert med λ. er egenrommet til A Det er lett å finne en basis for et egenrom. Vi ser på et par eksempler. 3 / 15
Merk også : Vi skal snart se at en n n matrise A har høyst n forskjellige egenverdier. Men A trenger ikke å ha noen egenvektor og egenverdi. Tenk f.eks på en 2 2 rotasjonsmatrise med en vinkel forskjellig fra 0 og π. Derimot vil A alltid ha komplekse egenverdier med tilhørende komplekse egenvektorer hvis slike tillates. (Kommer tilbake til dette i avsn. 5.5). 4 / 15
Matlab demo: Matlab-kommandoen eig(a) angir egenverdiene til en kvadratisk matrise A. I praksis bestemmes egenvektor og egenverdi samtidig. Jf. Matlab-kommandoen [V, D] = eig(a) Det finnes effektive numeriske metoder for å beregne egenverdier og egenvektorer, bl.a. den såkalte QR-algoritmen, som vi kommer såvidt innpå senere. 5 / 15
Litt om poenget med egenverdier og egenvektorer Betrakt en n n matrise A og x 0 R n. Vi kan da definere en følge {x k } i R n iterativt ved ( ) x k+1 = A x k, k = 0, 1, 2,... dvs. x 1 = A x 0, x 2 = A x 1 = A (A x 0 ) = A 2 x 0, x 3 = A x 2 = A A 2 x 0 = A 3 x 0, osv. Vi ser at x k = A k x 0, k = 0, 1, 2,... 6 / 15
Anta nå at x 0 er en egenvektor for A, tilhørende egenverdien λ. Vi har da at A k x 0 = λ k x 0, k = 0, 1, 2,... Siden vi også vet at x k = A k x 0 for hver k, får vi at x k = A k x 0 = λ k x 0, k 0. Vi illustrerer hvordan dette kan brukes på en Markov kjede. 7 / 15
En nyttig observasjon La A være en n n matrise og λ være en skalar. Ved bl.a. IMT gjelder følgende: λ er en egenverdi for A Eλ A {0} Nul (A λ I ) {0} A λ I er ikke invertibel (m.a.o. singulær) det(a λ I ) = 0. Spesielt har vi at 0 er en egenverdi for A A er ikke invertibel (dvs A er singulær) det(a) = 0. 8 / 15
Videre får vi : TEOREM 1: Egenverdiene til en triangulær kvadratisk matrise er dens diagonalelementer. Spesielt: egenverdiene til en diagonalmatrise er, ganske enkelt, diagonalelementene. Et annet nyttig resultat er: TEOREM 2: La A være en n n matrise og anta at v 1, v 2,..., v p er egenvektorer som tilhører forskjellige egenverdier λ 1, λ 2,..., λ p. Da er v 1, v 2,..., v p lineært uavhengige. 9 / 15
5.2 Den karakteristiske likningen Det karakteristiske polynomet til en n n matrise A er polynomet p A gitt ved p A (λ) = det(a λi ). Den karakteristiske likningen til A er likningen p A (λ) = 0. p A (λ) er et polynom i variabelen λ av grad n, med ledende koeff. lik ( 1) n. Siden λ er en egenverdi for A det (A λi ) = 0, har vi at λ er en egenverdi for A p A (λ) = 0 Dermed kan A ha høyst n forskjellige egenverdier. Komplekse røtter i p A kalles komplekse egenverdier til A. 10 / 15
Eksempel. La A = [ ] 0.95 0.1 (stokastisk matrise). Da er 0.05 0.9 p A (λ) =... = λ 2 1.85λ + 0.85 = (λ 1)(λ 0.85). Egenverdiene til A er dermed 1 og 0.85. Litt om polynomer og eigenverdier i Matlab: Betrakt polynomet p(λ) = λ 2 6λ + 5. Sett p = [1 6 5]. Finner da røttene til p ved kommandoen Her får vi: ans = 5 1. roots(p) Hvis A er en n n matrise, vil kommandoen poly(a) regne ut koeffisientene til polynomet q A (λ) = det(λi A). Merk at q A (λ) = det( (A λi )) = ( 1) n p A (λ). 11 / 15
Eksempel. La A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kommandoen poly(a) gir :. 1.0000-15.0000-18.0000-0.0000 Det betyr at p A (λ) = ( 1) 3 q A (λ) = λ 3 + 15λ 2 + 18λ = λ (λ 2 15λ 18) Kommandoen roots([1-15 -18 0]) gir at røttene i q A (og p A ), og dermed egenverdiene til A, er tilnærmet lik 0, 16.12 og -1.12 Vi får det samme med kommandoen eig(a). De to siste egenverdiene kan beregnes eksakt: 1 2 (15 ± 297). 12 / 15
Definisjon. Den (algebraiske) multiplisiteten til en egenverdi λ for en kvadratisk matrise A er multiplisiteten av λ som en rot i p A. Eksempel. I forrige eksempel har alle tre egenverdiene mult. lik 1. Eksempel. Anta at p A (λ) = λ 3 (λ + 1) (λ 2) 4 Egenverdien 0 har da mult. 3, 1 har mult. 1 og 2 har mult. 4. Merk: Det kan vises at Det gir ofte nyttig informasjon. dim (Eλ A ) multiplisiteten til λ 13 / 15
Similaritet To n n matriser A og B kalles similære hvis det fins en invertibel n n matrise P slik at P 1 AP = B (Dette er ekvivalent med at A = PBP 1 ). Avbildningen A P 1 AP kalles en similaritetstransformasjon. Legg merke til: TEOREM 4: Similære matriser har samme determinant og samme karakteristiske polynom; spesielt har de samme egenverdier (med samme multiplisitet). 14 / 15
Sluttkommentarer: For store matriser er det vanligvis ikke å anbefale å prøve å finne egenverdiene ved å beregne røttene til det karakteristiske polynomet. Det å finne røtter i polynomer av høy grad er nemlig numerisk vanskelig. Matlab gjør faktisk om problemet til det å bestemme egenverdiene til en passende matrise! Det finnes egenverdi-algoritmer som baserer seg på gjentatte similaritetstransformasjoner; da bevares egenverdiene (ved Teorem 4). Idéen er å omforme A ved similaritet til en triangulær matrise; klarer vi det står jo egenverdiene på diagonalen! Dette er strategien bak QR-algoritmen. 15 / 15