EXCEL. 1.1 Arbeidsbøker og regneark

1 EXCEL Excel er et regnearkprogram som utgjør en del av programpakken Microsoft Office. Dette dataprogrammet har blitt utviklet gjennom mange år og er i dag det regnearkprogrammet som dominerer markedet. Denne boken bruker i utgangspunktet 2010-versjonen av Excel. Det er noen nyheter og endringer i denne versjonen sammenlignet med 2007-versjonen. 2010-versjonen er tilgjengelig i en 64-bits versjon som betyr økt kapasitet og større muligheter for å jobbe med store og komplekse regneark og arbeidsbøker. Det er også lagt inn noen nye verktøy på båndet. Den viktigste endringen her er at Officeknappen fra 2007-versjonen er erstattet med en Fil-meny (en ny fane) som gir en såkalt «Backstage-visning». For de tilfellene gjennom boken der det er forskjeller mellom 2007- og 2010- versjonen, kommer vi også til å presentere stoffet med 2007-versjonen. Eldre versjoner av Excel er ganske forskjellige fra 2007- og 2010-versjonene. Dersom du bruker en eldre versjon, kan det være vanskelig å kjenne seg igjen i noen av forklaringene. Dette kapitlet gir en innføring i Excel og presenterer de viktigste anvendelsene der stoffet spenner fra relativt enkle til mer avanserte metoder. Vi har også prøvd å ta med noen råd om hvordan man kan jobbe effektivt med Excel og lage gode regnearkmodeller. For de som vil lære mer, kan vi henvise til bøker av Fry 1 eller Walkenbach. 2 Det finnes også mye nyttig stoff om Excel på Internett. Excel består av modulene regneark, diagram, VBA (Visual Basic for Applications) og flere biblioteksfunksjoner. I dette kapitlet skal vi i tillegg til regneark, si litt om diagram og noen av biblioteksfunksjonene. VBA behandles i kapittel 10. Nyheter i Excel 2010 Vil du lære enda mer om Excel? 1.1 Arbeidsbøker og regneark En Excelfil kalles en arbeidsbok og består av flere regneark. Et regneark består av mange celler som kan inneholde tekst, tall eller formler som kan henvise til andre celler. Hver celle har en adresse definert av et kolonnenummer som kan gå fra A til XFD, og et radnummer som kan gå fra 1 til 1 048 561. I figur 1.1 har vi skrevet inn et tall i celle B3. Figur 1.1 Regneark. Celleadresse 1 Frye, C.D., Microsoft Excel 2010 Step by Step, Microsoft Press, 2010. 2 Walkenbach, J., Excel 2010 Bible, Wiley, 2010. Kapittel 1 Excel 11

«Advarsel om feil» kan vi også velge hvilken feilmelding som skal vises dersom brukeren skriver inn en ulovlig verdi i cellen. I dialogboksen for datavalidering finnes valget «Liste» under «Tillat». Hvis man står i en celle og har valgt datavalidering og «Liste», kan man som «Kilde» angi et celleområde som inneholder en liste med bestemte data (se figur 1.29). Hvis man også haker av for «Rullegardinmeny i celle», vil en rullegardinmeny med listen og en knapp med en pil ( ) bli tilknyttet den aktuelle cellen. Figur 1.29 Datavalidering. Tenk deg at vi har en kundeliste i cellene G3:G8 som inneholder navnene Anne, Berit, Eva, Kari, Mona og Pia. I celle B2 ønsker vi at det bare skal være mulig å skrive inn et av disse navnene. Vi markerer først celle B2, klikker på fanen «Data» og velger «Datavalidering» under gruppen «Dataverktøy». Da kommer dialogboksen i figur 1.29 til syne. Her velger vi «Liste» under «Tillat» og angir G3:G8 som kilde. Når vi klikker «OK» blir kundelisten (i cellene G3:G8) tilknyttet celle B2 ved at det kommer til syne en pil ( ) til høyre for cellen når vi står i den. Når vi klikker på denne pilen, får vi frem en rullegardinmeny der vi kan velge et av navnene Anne, Berit, Eva, Kari, Mona eller Pia. Dersom vi forsøker å skrive inn noe annet i denne cellen, vil vi få en feilmelding. 1.5 Funksjoner En funksjon i Excel er et lite dataprogram (makro) som returnerer en eller flere verdier som vanligvis beregnes på grunnlag av de argumentene (input) vi gir funksjonen. Man får frem en oversikt over alle funksjonene Excel tilbyr ved å klikke på fanen «Formler». Se figur 1.30. Under gruppen «Funksjonsbibliotek» kan man velge mellom ulike kategorier. Hvis man klikker på «Økonomisk» får man, som seg hør og bør, opp en liste med økonomifunksjoner. Hvis man klikker på en av disse, får man opp en dialogboks for funksjonen. Opprette en liste for innholdet i en celle Videoklipp kundeliste.avi Funksjonsbibliotek Figur 1.30 Funksjonsbibliotek. Kapittel 1 Excel 29

Figur 1.32 Autofullfør. Et annet alternativ for å få tilgang til funksjonene, er å klikke på funksjonsveiviseren f x som står ved starten av formellinjen eller lengst til venstre i gruppen «Funksjonsbibliotek» under fanen «Formler». Når vi klikker på f x, kommer dialogboksen i figur 1.31 til syne. I det øverste feltet kan vi skrive inn et stikkord eller en beskrivelse av funksjonen vi leter etter. Når vi klikker «Gå til», kommer det opp forslag til funk- Figur 1.31 Dialogboks for å sette inn en funksjon. sjoner i det nederste feltet. I det midterste feltet kan vi velge en kategori. I figur 1.31 er «Alle» valgt. Dermed kommer alle funksjonene som tilbys, frem i det nederste feltet. Nederst til venstre i dialogboksen ser vi at det står «Hjelp med denne funksjonen». Dersom vi klikker på denne hyperkoblingen, kommer det opp en ny dialogboks som forklarer og demonstrerer funksjonen som er valgt i det nederste feltet. Dersom vi kjenner de første bokstavene i navnet på funksjonen vi skal bruke, kan vi skrive og disse bokstavene. Da kommer det frem en liste med funksjonsnavn som starter med de angitte bokstavene. Her kan vi dobbeltklikke på den ønskede funksjonen og skrive inn argumentene. Anta at vi ønsker å beregne nåverdien av en etterskuddsannuitet (et konstant beløp utbetalt i slutten av hver periode fremover i et gitt antall perioder). Vi prøver derfor med å skrive «NÅ» i en celle og får opp listen som er vist i figur 1.32. Når vi dobbeltklikker på «NÅVERDI», får vi muligheten til å skrive inn argumentene for funksjonen. La oss nå demonstrere en annen funksjon. I figur 1.33 ønsker vi å multiplisere tallene i området A2:E2 med tallene i området A4:E4 (altså 1 1, 2 2, osv.) og summere disse produktene i celle G4. Når vi står i celle G4, klikker vi på f x. I dialogboksen «Sett inn funksjon» velger vi funksjonen SUMMERPRODUKT i kategorien «Matem. og Trig.». Da kommer funksjonens dialogboks opp som vist i figuren. I dialogboksen får vi noen korte forklaringer av funksjonen og argumentene. Som «Matrise 1» angir vi A2:E2 (ved å klikke og dra over cellene). Som «Matrise 2» angir vi A4:E4. Når vi klikker «OK», får vi resultatet 55 i celle G4. Vi kommer til å benytte mange ulike funksjoner av forskjellige kategorier gjennom hele denne boken. 30

Figur 1.33 Funksjonen SUMMERPRODUKT. Kombinasjoner av funksjoner Det kan ofte være nyttig å kombinere funksjoner i Excel for å løse en bestemt utfordring. Anta at vi ønsker å trekke tilfeldige verdier for en normalfordelt variabel med forventning (median) 20 og standardavvik 10. Til dette kan vi benytte funksjonen NORMINV som tar en sannsynlighet (mellom 0 og 1), medianen og standardavviket som argumenter og returnerer variabelens verdi. Med sannsynligheten 0,5 får vi naturligvis NORMINV(0,5;20;10) 20. Med sannsynligheten 0,2 får vi NORMINV(0,2;20;10) 11,6. Siden vi ønsker en tilfeldig verdi fra denne normalfordelingen, kan vi generere en tilfeldig sannsynlighet med funksjonen TILFELDIG. Denne funksjonen har ingen argumenter og returnerer et tilfeldig tall mellom 0 og 1. Når vi legger inn funksjonen NORMINV som vist i figur 1.34, kan vi skrive inn TILFELDIG() i boksen for «Sannsynlighet». Når vi står i denne boksen kan vi også klikke på adressefeltet og velge den funksjonen vi ønsker å sette inn fra listen som dukker opp. Vi ser i formellinjen at vi nå har fått den sammensatte funksjonen «NOR- MINV(TILFELDIG();B3;B4)» som gir oss en tilfeldig verdi fra den aktuelle normalfordelingen. En tilfeldig verdi fra en normalfordeling Kapittel 1 Excel 31

Figur 1.34 Sammensatte funksjoner. La oss også se på et eksempel der vi kombinerer funksjonene INDEKS og SAMMENLIGNE for slå opp i en salgsoversikt. I figur 1.35 finner vi en salgsoversikt i cellene E4:I9 med overskrifter. Vi ser f.eks. at kunden Holm har handlet for kr 88 256 i februar. Vi skal nå angi måned og kunde i cellene B3:B4 og benytte funksjonen SAMMENLIGNE til å finne tilhørende rad- og kolonnenummer i celleområdene D4:D9 og E3:I3. Disse skal vi gi til funksjonen INDEKS slik at den leser riktig verdi fra celleområdet. Figur 1.35 Oppslag i en tabell. Oppslag i tabell I celle B6 leser funksjonen SAMMENLIGNE måneden fra celle B3 og finner radnummeret for denne måneden i området D4:D9. Formelen er vist i celle C6. I denne formelen må vi også angi 0 som et tredje argument for å fortelle funksjonen at den skal finne frem til cellen med samme verdi som angitt i celle B3. I celle B7 brukes funksjonen SAMMENLIGNE for å finne kolonnenummeret i området E3:I3 for innholdet i celle B4. I celle B9 tar funksjonen INDEKS rad- og kolonnenummeret fra henholdsvis celle B6 og B7, og benytter disse for å finne riktig verdi i celleområdet E4:I9. (Se formellinjen i figur 1.35.) I stedet for å gjøre denne operasjonen i to steg kunne vi ha kombinert funksjonene og benyttet funksjonen: «INDEKS(E4:I9;SAMMENLIGNE(B3;D4:D9; 0);SAMMENLIGNE(B4;E3:I3;0))» 32

1.10 Datatabeller* Dersom man trenger å utføre flere beregninger på en systematisk måte, kan en datatabell i Excel være til god hjelp. Ved ulike problemstillinger kan det være nyttig med både én- og toverditabeller. La oss demonstrere dette med to sensitivitetsanalyser der vi ser på hvordan dekningsbidrag og resultat for en produksjonsbedrift påvirkes av endringer i pris og antall solgte enheter. Eksempel 1.2 (toverditabell) En bedrift produserer et produkt med en variabel kostnad per enhet på 20 kr og en fast kostnad per år på 100 000 kr. Vi skal lage en toverditabell som viser hva årsresultatet blir ved ulike kombinasjoner av antall solgte enheter og pris per enhet. I regnearket nedenfor beregnes årsresultatet i celle B13 på grunnlag av antall, pris, variabel enhetskostnad og faste kostnader (gitt i cellene B3:B6). For å lage datatabellen skriver vi først inn egnede verdier for pris i rad 3 og antall i kolonne E. Videoklipp datatabell.avi Toverditabell Vi ønsker nå å sette de ulike verdiene for antall fra cellene E4:E16 inn i celle B3, samt de ulike prisene fra cellene F3:P3 inn i celle B4 slik at alle beregnede resultat fra celle B13 settes inn i datatabellen (F4:P16). Den øverste venstre cellen (E3) i datatabellen skal inneholde formelen som benyttes for beregning av verdiene i datatabellen. I dette eksempelet må det bli «B13», altså celleadressen som angir resultatet. Når alle verdier og formler er på plass, markerer vi området E3:P16 og klikker på fanen «Data» samt «Hva-skjer-hvis-analyse» i gruppen «Dataverktøy» og deretter «Datatabell». Da får vi opp dialogboksen i figuren ovenfor. Som «Innsettingscelle, rad» velger vi B4, altså celleadressen for pris per enhet. Som «Innsettingscelle, kolonne» velger vi B3. Dette er celleadressen for antall solgte per år. Dermed blir prisene fra cellene F3:P3 sendt til innsettingscelle B4, og verdiene for antall fra cellene E4:E16 sendt til innsettingscelle B3, slik at datatabellen (i figuren på neste side) fylles med beregnede resultat (fra celle B13) ved ulike kombinasjoner av pris og antall solgte enheter. Kapittel 1 Excel 47

Å skjule innholdet ien celle Verdien som kommer frem i datatabellens formelcelle (her E3) er uinteressant. Dersom man ønsker å skjule innholdet i denne cellen, kan dette f.eks. gjøres med en bestemt formatering. Da trykker man på høyre musetast og klikker på «Formater celler». I dialogboksen som kommer frem, velger man «Egendefinert» under fanen «Tall». I feltet for «Type» skriver man deretter inn et semikolon. Når man klikker «OK» vil cellen se ut som en blank celle. Énverditabell Eksempel 1.3 (énverditabell) Vi tar utgangspunkt i bedriften fra eksempel 1.2 og antar en pris på 50 kr per enhet. Vi skal lage en tabell som viser dekningsbidrag og resultat ved ulike verdier for antall solgte enheter. Her kan vi lage en énverditabell der vi skriver inn verdier for antall solgte enheter i kolonnen til venstre for tabellen. Dette er illustrert i regnearket under. Tabellen må inneholde en kolonne med beregnede dekningsbidrag og en kolonne med beregnede resultat. Over kolonnen med dekningsbidrag skriver vi inn formelen «B11» som er celleadressen for beregnet dekningsbidrag. Over kolonnen med resultat skriver vi inn formelen «B13» som er celleadressen for beregnet resultat. 48

For å generere tabellen markerer vi området E3:G19 og klikker på fanen «Data» samt «Hva-skjer-hvis-analyse» og «Datatabell». Da kommer dialogboksen i figuren foran til syne. Vår tabell er en énverditabell og feltet «Innsettingscelle, rad» skal derfor stå tomt. I feltet «Innsettingscelle, kolonne» skriver vi B3 som er celleadressen for antall solgte per år. Når vi trykker OK, genereres datatabellen som vist i figuren under. Til slutt ser vi på et eksempel der innsettingscellene inngår i datatabellens formel. Tenk deg at du ønsker å sette opp den lille multiplikasjonstabellen i Excel. Denne inneholder 100 tall, og det blir relativt tungvint å lage den med formler. I stedet kan den lages som en datatabell med noen få tastetrykk. Eksempel 1.4 (toverditabell) Vi ønsker å lage en datatabell som inneholder den lille multiplikasjonstabellen. Først skriver vi inn rad- og kolonneoverskrifter med 1 10 som vist i regnearket under. Som innsettingsceller for rad og kolonne benyttes to ledige celler, f.eks. C2 og A4. I så fall blir formelen i celle B3 lik «C2*A4» slik at tallene fra radog kolonneoverskriftene settes inn formelen og resultatet settes inn i tabellen. Når formel samt rad- og kolonneoverskrifter er på plass, merkes området B3:L13 før vi klikker på fanen «Data» samt «Hva-skjer-hvis-analyse» og Kapittel 1 Excel 49

«Datatabell». I dialogboksen som dukker opp, skriver vi C2 i feltet for «Innsettingscelle, rad» og A4 i feltet for «Innsettingscelle, kolonne». Når vi trykker OK, genereres datatabellen som vist i figuren under. 1.11 Matriseformler* Ved systematiske beregninger på data samlet i flere celler, kan det være svært effektivt å benytte matriseformler i Excel. En matriseformel utfører beregninger på tall som står i et rektangulært område begrenset av en eller flere rader og kolonner. Når vi skriver inn en vanlig formel i Excel, som f.eks. «B2+B3», utføres beregningen når vi trykker Enter. For matriseformler må vi markere området i regnearket der vi ønsker at svarene skal vises, skrive inn matriseformelen, og deretter trykke F2 og Ctrl + Shift + Enter. Det finnes ferdiglagde matrisefunksjoner i Excel, men det kan også være hensiktsmessig å benytte andre funksjoner og formler på matriseform. La oss illustrere med noen eksempler. Eksempel 1.5 (Summering med en enkel matriseformel) Legg tallet 2 til hvert av tallene 1, 2, 3, 4 og 5. Videoklipp matriseformel.avi Løsningsforslag Denne oppgaven kan enkelt løses på «vanlig» måte. Da skriver vi først tallene 1, 2, 3, 4 og 5 f.eks. inn i cellene A3:A7 og tallet 2 inn i celle A9. Så skriver vi formelen «A3+$A$9» inn i celle B3 og kopierer denne formelen nedover til cellene B4:B7 ved å klikke og dra i det svarte korset (nederst til høyre i cellen). Da kommer resultatene 3, 4, 5, 6 og 7 frem i cellene B3:B7 som vist i figuren til høyre. En tilsvarende beregning kan gjøres med en matriseformel. Da markerer vi først området B3:B7 og skriver inn formelen «A3:A7+A9» som vist i figuren 50

under og til venstre. Deretter trykker vi F2 og Ctrl + Shift + Enter slik at resultatet kommer frem som vist i figuren under og til høyre. Matriseformelen angis altså som {A3:A7+A9} i formellinjen. Dette betyr at formelen dekker hele området (B3:B7) som utgjør en enhet i regnearket. Dersom vi forsøker å skrive inn noe annet i en celle i dette området, får vi en feilmelding med beskjeden «Du kan ikke endre deler av en matrise». Når vi klikker «OK» på feilmeldingen, kommer vi tilbake til det vi skrev inn, og blir dermed låst. Vi løser dette problemet med å trykke på tasten Esc. Alle endringer som gjøres, som f.eks. i cellene A3:A7, oppdateres automatisk i matriseformelen. Eksempel 1.6 (Kombinert matriseformel) Til høyre ser vi to matriser med tall. Lag en formel som angir antall like tall som står på samme posisjon i de to matrisene. Løsningsforslag To tall kan sammenlignes med funksjonen HVIS i Excel. Dersom vi bruker denne i en matriseformel kombinert med funksjonen SUMMER, kan vi telle opp antall like tall i like posisjoner i de to matrisene. Vi skriver inn formelen «SUM- MER (HVIS(A3:G7 A9:G13; 1; 0)) i en celle, f.eks. I3. Formelen sammenligner en og en posisjon i områdene A3:G7 og A9:G13. Den gir verdien 1 hvis den finner identiske verdier, og 0 ellers. Når alle cellene er sjekket, summeres alle enere og nuller. Dermed får vi talt opp antall celler med identisk innhold når vi trykker F2 og Ctrl + Shift + Enter. Vi ser av figuren at resultatet blir 3. Kapittel 1 Excel 51

Presentasjon av data med frekvenstabell og stolpediagram Dersom man har store mengder data man ønsker å presentere, f.eks. i et stolpediagram, kan det være nyttig å dele dataene inn i klasser. Dette kan gjøres effektivt med funksjonen FREKVENS i Excel. La oss illustrere med et eksempel. Videoklipp frekvenstabell.avi Eksempel 1.7 (Funksjonen FREKVENS) I regnearket til høyre har vi et datasett med observerte verdier. Vi skal nå telle opp antall verdier i intervallet 0 100, i intervallet 100 200, osv. opp til intervallet 600 700. Vi skal også presentere disse resultatene i et stolpediagram. En inndeling av disse verdiene i klasser kan gjøres med frekvensfunksjonen i Excel. Da må vi først definere egnede intervall for resultatene slik at frekvensfunksjonen kan telle opp antall verdier innenfor det enkelte intervall. I dette tilfellet er intervallene gitt og skrevet inn som vist i figuren til høyre. Det første intervallet er representert med 100 i celle M3. Frekvensfunksjonen vil definere innholdet i denne cellen som alle verdier opp til og med 100. Tallet 200 i celle M4 representerer intervallet fra 100 opp til og med 200, osv. Når vi skal lage en frekvenstabell, markerer vi i dette tilfellet området N3:N9. Så klikker vi på funksjonsveiviseren og velger funksjonen FREKVENS. I dialogboksen som dukker opp, setter vi inn A3:J12 som «Datamatrise» og M3:M9 som «Intervallmatrise». Så klikker vi «OK» og trykker på tasten F2. Da ser regnearket ut som vist i figuren til høyre. Når vi trykker Ctrl + Shift + Enter får vi frem frekvenstabellen i området N3:N9. (Se figuren på neste side.) I regnearket har vi også presentert resultatene med et stolpediagram. Vi har skrevet inn egne akseetiketter for diagrammet i området L3:L9. 52

Matriseregning Begrepet matrise har en egen betydning innenfor det matematiske fagfeltet lineær algebra. En matrise er et rektangulært sett med tall ordnet i m rader og n kolonner. En mxn-matrise kalt A, ser ut som følger, der hvert tall symboliseres med a ij hvor radnummeret er i 1, 2,..., m og kolonnenummeret er j 1, 2,..., n. a 11 a 12 a 1j a 1n A a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Vi skal se på noen funksjoner som Excel tilbyr for regning med matriser. Funksjonen MMULT foretar en matrisemultiplikasjon mellom to matriser. To matriser kan multipliseres dersom antall kolonner i den første er lik antall rader i den andre. Produktet av to matriser C A B der mxp-matrisen A ganges med pxn-matrisen B, blir mxn-matrisen C der hvert tall i matrisen C beregnes som: c ij p a ik b kj i 12,,, m j 12,,, n k 1 Matrisemultiplikasjon a 11 a 1p a 2p a m1 a mp b 11 b 12 b 1n b p1 b p2 b pn c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn Kapittel 1 Excel 53

Eksempel: 1 3 0 2 2 5 2 5 0 1 3 1 1 2 + 3 1 1 5+ 3 ( 3) 1 0+ 3 1 0 2 + 2 1 0 5+ 2 ( 3) 0 0+ 2 1 ( 2) 2 + 5 1 ( 2) 5+ 5 ( 3) ( 2) 0+ 5 1 5 4 3 2 6 2 1 25 5 Å transponere en matrise Rekkefølgen på matrisene som multipliseres, er altså ikke likegyldig. Ved bruk av funksjonen MMULT angis de to matrisene som skal multipliseres på vanlig måte i funksjonens dialogboks. Løsningen må defineres som en matriseformel ved å markere cellene som skal inneholde resultatmatrisen og trykke F2 og Ctrl+Shift+Enter. (Matrisemultiplikasjon betyr ikke å multiplisere sammen hvert ledd i to matriser. De to formlene «A3:C5*A7:C9» og «MMULT(A3:C5;A7:C9)» gir altså ulike resultat.) Funksjonen TRANSPONER bytter om på rader og kolonner i en matrise. Hvis vi transponerer matrisen A (som er en mxn-matrise), får vi den transponerte matrisen A T som blir en nxm-matrise: a 11 a 12 a 1n a 11 a m1 A a 22 a 2n A T a m1 a m2 a mn a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Å beregne en invers matrise Eksempel: 2 0 A 3 1 A T 2 3 4 0 1 5 4 5 I Excel kan man også transponere en matrise A ved å markere området for A og trykke Ctrl + C (for å kopiere). Så klikker man på en ny celle der den transponerte matrisen skal plasseres, høyreklikker på musen og velger «Lim inn utvalg». I dialogboksen som kommer opp, markerer man «Bytt om rader og kolonner». Da får man skrevet ut den transponerte matrisen A T fra cellen man står i. Husk at denne matrisen ikke oppdateres selv om du forandrer matrisen A. Dersom du ønsker dette, må du bruke funksjonen TRANSPONER. Funksjonen MINVERS beregner den inverse matrisen A 1 av en kvadratisk matrise A slik at produktet av de to matrisene blir lik enhetsmatrisen: A 1 A I. Enhetsmatrisen I har alltid kun 1-tall langs diagonalen (fra øvre venstre hjørne) 54

og 0 ellers. Husk også at matrisen A må ha like mange rader og kolonner for at den inverse matrisen A 1 skal kunne beregnes. Eksempel: A 4 4 2 05, 1 2 1 0 1 A 1 0 0 1 0 1 0 05, 2 2 4 4 2 1 0 1 0 1 0 05, 1 2 0 0 1 05, 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Funksjonen MDETERM beregner determinanten for en kvadratisk matrise. (Matrisen må altså ha like mange rader og kolonner.) Determinanten for en 2x2-matrise beregnes som: a det A 11 a 12 a 11 a 22 a 12 a 22 Determinanten for en 3x3-matrise kan beregnes ved at man tar utgangspunkt i en rad eller en kolonne og deler opp regnestykket i nye mindre determinanter. Hvis vi tar utgangspunkt i første rad, kan determinanten for en 3x3-matrise beregnes som: Å beregne determinanten for en matrise det A a 11 a 12 a 13 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 a a 23 a 12 a + 22 13 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 a 11 ( a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 ( a 33 a 23 a 31 ) + a 13 ( a 32 a 22 a 31 ) På tilsvarende måte kan vi beregne determinanter for enda større matriser. Pass på fortegnene i denne beregningen. Vi starter med positivt fortegn i øverste venstre hjørne av determinanten og skifter fortegn når vi går bortover og nedover i determinanten. La oss ta et eksempel på en 3x3-matrise: 2 0 7 det A 5 3 1 2 1 8 2 3 1 1 8 0 5 1 2 8 + 7 5 3 2 1 23 ( 8 1 1) 05 ( 8 1 2) + 75 ( 1 3 2) 39 La oss nå demonstrere bruken av noen matrisefunksjoner med et eksempel. Kapittel 1 Excel 55

Eksempel 1.8 (Løsning av likningssystem vha. matrisefunksjoner) Løs følgende likningssystem med hensyn på x 1, x 2 og x 3 : Målsøkefunksjonen i Excel kan være svært nyttig dersom man ønsker å gjennomføre en såkalt hva-skjer-hvis-analyse. Dette kan f.eks. være en sensitivitetsanalyse der man spør: Hvor mange enheter må vi selge av et produkt for å oppnå et overskudd på 200 000 kr? I Excel finner vi målsøkefunksjonen under fanen «Data» og «Hva-skjer-hvisanalyse» i gruppen «Dataverktøy». Når vi velger «Målsøking», kommer diax 1 + 3x 2 2x 3 8 3x 1 x 2 + x 3 10 5x 1 + 2x 2 x 3 21 Løsningsforslag Et likningssystem på formen: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 b 1 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 b 3 kan formuleres med matrisene Ax b, der: A a 11 a 12 a 13 a 22 a 23 x x 1 b x 2 b 1 b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 En omskrivning av denne sammenhengen gir løsningen på likningssystemet: Videoklipp likningssystem.avi Ax b A 1 Ax A 1 b x A 1 b I regnearket under er matrisen A skrevet inn i området A4:C6 og matrisen b i området E4:E6. I området G4:I6 har vi beregnet A 1 ved hjelp av funksjonen MINVERS. Dermed kan matrisen x med løsningen beregnes i området K4:K6. Vi ser at x 1 3, x 2 7 og x 3 8. Hva-skjer-hvisanalyse 1.12 Målsøking 56

logboksen i figur 1.62 til syne. I det øverste feltet kan vi angi en celleadresse, f.eks. B8, der vi ønsker en bestemt verdi. Denne angitte cellen må inneholde en formel. Den ønskede verdien skrives inn i det andre feltet merket «Til verdi». I det tredje feltet angir vi adressen til en celle, f.eks. B5, hvis innhold skal forandres slik at innholdet i den førstnevnte cellen (B8) blir lik den ønskede verdien. I dette tilfellet må formelen i celle B8 bruke verdien i celle B5, enten direkte eller indirekte. Her ber vi altså Excel om å forandre innholdet i celle B5 slik at resultatet av beregningen i celle B8 blir 100. Når man trykker «OK» i dialogboksen i figur 1.62, kommer det opp en ny dialogboks med en statusmelding. Figur 1.62 Målsøking. Eksempel 1.9 (Målsøking) Bedriften Gilbert AS produserer og selger et produkt til en pris på 50 kr per enhet. Variabel kostnad per enhet er 20 kr og fast kostnad er 100 000 kr per år. Disse opplysningene er lagt inn i regnearket til høyre. I det samme regnearket har vi for et år beregnet inntekter (som «B3*B4»), variable kostnader (som «B3*B5»), dekningsbidrag (som «B9+B10») og overskudd (som «B11+B12»). Av dette ser vi at dersom antall enheter i celle B3 endres, endres også overskuddet i celle B13. Vi ønsker nå å finne ut hvor mange enheter bedriften må selge for å oppnå et resultat på 100 000 kr. Da velger vi fanen «Data», «Hva-skjer-hvis-analyse» og «Målsøking». Som vist i figuren til høyre, ber vi målsøkefunksjonen endre innholdet i celle B3 (antall solgte per år) slik at overskuddet i celle B13 blir lik 100 000. Når vi trykker «OK», vil antall solgte per år settes til 6 667 slik at overskuddet blir 100 000. Videoklipp maalsoking.avi Når vi klikker på «Hva-skjer-hvis-analyse» under fanen «Data» og gruppen «Dataverktøy», er det tredje valget «Scenariobehandling» (foruten «Målsøking» og «Datatabell»). Vi anser dette verktøyet for å være mindre viktig for denne boken. Spesielt interesserte henvises til annen litteratur. 4 4 Frye, C.D., Microsoft Excel 2010 Step by Step, Microsoft Press, 2010. Kapittel 1 Excel 57

F-test i Excel 1.14 Dataanalyse* Analyseverktøyet er en biblioteksfunksjon i Excel som finnes under fanen «Data» i gruppen «Analyse». Dersom det ikke kommer opp som et valg her, må det installeres på samme måte som problemløseren (se side 58). Figur 1.65 Dialogboks for dataanalyse. Når vi velger Dataanalyse kommer dialogboksen i figur 1.65 til syne. Her kan vi velge flere ulike statistiske hypotesetester, gjøre tidsserieanalyser, osv. Lengst til venstre på regnearket i figur 1.66 har vi de to datasettene A og B. Vi ønsker å sjekke om de to datasettene kommer fra populasjoner med ulik varians og utfører derfor en F-test. I dialogboksen for dataanalyse velger vi «F- Test To utvalg for varianser» og får opp dialogboksen i figur 1.66. Her angir vi de to dataområdene A4:A10 og B4:B9 som henholdsvis «Variabel 1-område» og «Variabel 2-område». Vi velger 5 % som signifikansnivå og setter «alfa» til 0,05. Som «Utdataområde» velger vi A12 slik at resultatene fra F-testen blir skrevet ut fra denne cellen. Resultatene lengst til høyre i figuren viser en signifikanssannsynlighet på 46 % og at F < F-kritisk. Konklusjonen må bli at vi ikke kan påstå at de to datasettene kommer fra populasjoner med ulik varians. Figur 1.66 F-test i Excel. 60