FoU i Praksis 2012. Samandrag av artiklane frå konferanse om praksisretta FoU i lærerutdanning. Trondheim, 23. og 24. april 2012

FoU i Praksis 2012 Samandrag av artiklane frå konferanse om praksisretta FoU i lærerutdanning Trondheim, 23. og 24. april 2012 Redigert av Ingar Pareliussen, Bente Bolme Moen, Anne Beate Reinertsen og Trond Solhaug

Fauskanger, J. and Mosvold, R. (2013) «Det ligger jo i bunn for alt» om læreres oppfatning av undervisningskunnskap knyttet til posisjonssystemet.in: Pareliussen, I., Moen, B.B., Reinertsen A., Solhaug, T.: FoU i praksis 2012 conference proceedings, Akademika forlag Trondheim, pp. 86-93 «Det ligger jo i bunn for alt» om læreres oppfatning av undervisningskunnskap knyttet til posisjonssystemet Janne Fauskanger og Reidar Mosvold Undervisningskunnskap i matematikk (UKM) beskriver den spesielle fagkunnskapen lærere trenger for å gjennomføre matematikkundervisning. For å kunne planlegge etter- og videreutdanning tilpasset lærernes behov, er det av betydning for lærerutdannere å kjenne læreres UKM. Kunnskap om den UKM lærere ser på som betydningsfull for sitt arbeid vil også være nyttig. I denne artikkelen har vi fokus på lærernes epistemiske oppfatninger om UKM, og vi viser hvordan muntlige refleksjoner omkring UKM-oppgaver kan være et nyttig utgangspunkt for lærerutdannere som skal planlegge etter- og videreutdanningskurs for lærere. Diskusjoner av oppgaver knyttet til posisjonssystemet er i fokus, da posisjonssystemet danner et grunnlag for regneutvikling og derfor vektlegges i etter- og videreutdanning av lærere. Innledning Fokuset på lærernes kunnskap har økt de siste årene, og gjennom arbeidet med å forstå denne kunnskapen har det blitt utviklet flere, mer eller mindre overlappende, rammeverk for læreres kunnskap (f.eks. Blömeke & Delaney, 2012; Petrou & Goulding, 2011) mange med utgangspunkt i Shulman (1986). Shulman skilte blant annet mellom fagkunnskap og fagdidaktisk kunnskap (øverst i figur 1) i sine teorier om læreres profesjonskunnskap. Rammeverket for undervisningskunnskap i matematikk (UKM) beskriver den spesielle fagkunnskapen lærere trenger for å gjennomføre matematikkundervisning (Ball, Thames, & Phelps, 2008; Fauskanger, Bjuland, & Mosvold, 2010). Her tar en utgangspunkt i de to nevnte kategoriene fra Shulman når en skiller mellom følgende aspekter ved læreres UKM: allmenn fagkunnskap, spesialisert fagkunnskap og matematisk horisontkunnskap på den ene siden, og kunnskap om faglig innhold og elever, kunnskap om faglig innhold og undervisning og kunnskap om læreplan og pensum på den andre siden (Figur 1. Ball et al., 2008; Fauskanger et al., 2010; Opsvik & Skorpen, 2012). Spesialisert fagkunnskap er i likhet med fagdidaktisk kunnskap tett knyttet til praksis. I motsetning til fagdidaktisk kunnskap krever ikke spesialisert fagkunnskap kunnskap om elevene eller om undervisningen. Spesialisert fagkunnskap er i så måte en bestemt type matematisk kunnskap, men det er ikke nødvendigvis en type kunnskap som matematikere innehar. Et eksempel er ulike måter å gruppere tallet 456 på. Mens allmenn fagkunnskap knyttes til at 456 er 4 hundrere, 5 tiere og 6 enere, vil en med spesialisert fagkunnskap eksempelvis i tillegg kunne se på 456 som 3 hundrere, 15 tiere og 6 enere og relatere dette til hvordan en slik ikke-standard oppdeling brukes i standard algoritmer for subtraksjon (se figur 2). Spe- Figur 1: Læreres UKM (fra Ball et al., 2008) Oversettelse basert på Fauskanger og kollegaer (2010), samt sialisert fagkunnskap innebærer altså en fleksibel Opsvik og Skorpen (2012). Universitetet i Stavanger

forståelse for posisjonssystemet. I tillegg inkluderer fagkunnskapen matematisk horisontkunnskap, som er: «en bevissthet om hvordan spennvidden av matematiske emner inkludert i læreplanen er relatert til hverandre» (Ball et al., 2008, s. 403, vår oversettelse). På den høyre siden av figur 1 beskrives den fagdidaktiske kunnskapen, hvor videreformidling av kunnskap er i fokus. Her er kunnskap om faglig innhold og undervisning det viktigste, men hele tiden med den matematikkfaglige kunnskapen som utgangspunkt. Tar vi opp igjen eksemplet med ikke-standard oppdeling i posisjonssystemet, vil det å kunne analysere elevenes matematiske feil og misoppfatninger tilknyttet posisjonssystemet være eksempler på kunnskap om elever og om undervisning; andre eksempler er: å kunne stille spørsmål relatert til posisjonssystemet, å kunne svare på spørsmål og å kunne evaluere læremidler til bruk i opplæringen tilknyttet posisjonssystemet. Tilknyttet UKM-rammeverket er det utviklet flere sett med oppgaver ment å måle læreres UKM som utgangspunkt for utvikling og kvalitetssikring av etter- og videreutdanning (Ball et al., 2008). I etter- og videreutdanning er det ikke bare relevant å få innblikk i læreres UKM, det vil også kunne være av betydning å tilegne seg kunnskap om de oppfatninger lærere har om UKM (Cady, Meier, & Lubinski, 2006; Fives & Buehl, 2010). Vi bygger på Buehl (2008) når vi kaller oppfatninger om undervisningskunnskap for epistemiske oppfatninger. Disse oppfatningene er knyttet til lærernes personlige epistemologi som omhandler et individs oppfatninger om hvordan kunnskap defineres, konstrueres, begrunnes og rettferdiggjøres, og til slutt hvordan kunnskap lagres. I forskningslitteraturen verserer det flere begreper og definisjoner som er knyttet til epistemiske oppfatninger ett slikt begrep er epistemologiske oppfatninger. Hofer og Pintrich (1997, s. 112) forklarer dette som: «individuals belief about the nature of knowledge and the processes of knowing». Epistemiske oppfatninger knyttes til de epistemologiske på ulikt vis. Når vi i denne sammenheng diskuterer epistemiske oppfatninger, mener vi læreres oppfatninger om undervisningskunnskap (Buehl, 2008). I sitt forsøk på å lage en syntese av flere rammeverk inkluderer Petrou og Goulding (2011) oppfatninger i læreres kunnskap, og UKM-rammeverket er i så måte kritisert for ikke å inkludere oppfatninger. I denne artikkelen har vi fokus på lærernes epistemiske oppfatninger om UKM, eller enda mer spesifikt på læreres oppfatninger omkring UKM knyttet til posisjonssystemet. I vår studie har vi brukt UKM-oppgaver som utgangspunkt for fokusgruppeintervjuer for å nærme oss følgende spørsmål: Hvordan kan undersøkelser av læreres epistemiske oppfatninger om UKM gi lærerutdannere et godt grunnlag for utvikling av etter- og videreutdanning tilknyttet posisjonssystemet? Teoretisk bakgrunn Posisjonssystemet danner grunnlaget for fleksibel regneutvikling (Thompson, 2003) og vektlegges derfor i etter- og videreutdanning. Sifrene 0 til 9 er byggesteiner i vårt tallsystem og med dem kan vi skrive de aller fleste tall. Om vi følger posisjonssystemets regler kan sifrene settes sammen slik at de gir mening utover seg selv. Ifølge Jones og hans kolleger (1996) er det fire nøkkelaspekt ved posisjonssystemet: 1) telling (både med én om gangen og for eksempel 10 eller 100 om gangen), 2) oppdeling (for eksempel 53 oppdelt i 5 tiere og 3 enere, men også ikke-standard oppdeling som 53 oppdelt i 4 tiere og 13 enere), 3) gruppering (i forhold til om elever ser verdien av å gruppere og endre grupperinger/dele opp på andre måter for å løse flersifrede problemer) og 4) tallrelasjoner (ordne tall i rekkefølge og avgjøre hvorvidt et tall er større og mindre enn et annet). Jones og hans kolleger (1996) utviklet en modell som viser hvordan tilegnelsen av tosifrede tall kan beskrives. De brukte denne som ramme for å planlegge, gjennomføre og vurdere undervisning. Modellen har 5 nivåer. På det siste nivået har barnet god kunnskap og vet at tosifrede heltall viser hele antallet ved hjelp av tiere og enere. Her kan eksempelvis 53 deles opp i 5 tiere og 3 enere så vel som i 4 tiere og 13 enere, og dette brukes fleksibelt i den flersifrede regningen. Ross (1989) har også utviklet en Fou i Praksis 2012 conference proceedings 87

femstegsmodell til bruk i undervisningen, spesielt for å analysere elevers forståelse. På steg 4 vet elevene at 5 i 53 er 5 grupper á 10. På steg 5 forstår elevene at også 4 tiere og 13 enere er 53. Thompson (2003) sier at det tilknyttet flersifret regning er av betydning å ha to delkomponenter av posisjonssystemet i fokus: kvantitetsverdi (53 ses på som 50 og 3) og kolonneverdi (53 ses på som 5 tiere og 3 enere). Mens de fleste metoder for hoderegning tar utgangspunkt i kvantitetsaspektet av posisjonssystemet, tar de fleste standardalgoritmer utgangspunkt i kolonneaspektet. Konklusjonen er at om elever skal utvikle en rik forståelse for posisjonssystemet, utgjør forståelsen for at 53 betyr 5 tiere og 3 enere kun en del av dette bildet. Mange av feilene som elever (i USA) gjør tilknyttet de fire regneartene indikerer at de tolker og behandler flersifrede tall som ensifrede tall plassert ved siden av hverandre og bruker ikke betydningen de ulike sifrene på ulike posisjoner i flersifrede tall har (Fuson, 1992). Dette kan komme av de erfaringene de har fra sin undervisning. Bruk av standardalgoritmer gjør at en ikke tenker på hva de ulike sifrene representerer da det kan forvirre i utregningsprosessen. Kilpatrick og hans kollegaer (2001) vektlegger det å hjelpe elevene til å utvikle en god forståelse for posisjonssystemet som en basis for å bli god til flersifret regning, og det å ha kunnskaper om flersifrede tall handler om mer enn å ha kunnskap om de enkelte sifrene. Denne forståelsen blir sentral enten en fokuserer på standardalgoritmer eller ikke. Tar en utgangspunkt i standardalgoritme a for subtraksjon (figur 2), ser en at når en veksler om en av de fire tierne til enere, så deles 46 opp i 3 tiere og 16 enere. Dette kommer enda klarere frem i standardalgoritme b (figur 2). Utvikling av forståelse for posisjonssystemet må være en langsiktig prosess (Thompson, 2003) hvor progresjonen er nøye planlagt av en som har oversikt over hvilke aspekter som er nødvendige for å forstå systemet fullt ut. For læreres UKM betyr dette at læreren eksempelvis må vektlegge alle nøkkelaspekter ved posisjonssystemet i sin undervisning (Jones et al., 1996), støtte barna i sin utvikling opp mot fleksibel forståelse for posisjonssystemet (nivå 5, Jones et al., 1996; Ross, 1989), fokusere på lineære aspekter ved tosifrede tall og vektlegge kvantitetsverdi før kolonneverdi og hjelpe elever til å se sammenhengen mellom disse to (Thompson, 2003). I tillegg må lærernes UKM blant annet inkludere kunnskap om hvorfor posisjonssystemet er sentralt. Figur 2: To algoritmer for subtraksjon. Årsaken til at mange elever langt opp på mellomtrinnet ikke er på de høyeste nivåene, er ifølge Ross (1989) at de får riktig svar på oppgaver som gis i undervisningen uten å ha god forståelse for posisjonssystemet. Studier av læreres oppfatninger om hvilke aspekter ved UKM tilknyttet posisjonssystemet de vektlegger, er dermed et sentralt grunnlag for å utvikle etter- og videreutdanning for lærere. Metoder For å besvare forskningsspørsmålet, har vi i denne artikkelen tatt utgangspunktet i analyser av data fra seks fokusgruppeintervjuer. Et fokusgruppeintervju er en planlagt diskusjon hvor en legger til rette for at en utvalgt gruppe av deltakere kan dele sine ideer og synspunkter (Wilkinson, 2004). Deltakerne i et fokusgruppeintervju kan diskutere videre ut fra hverandres svar, og mulighetene ligger dermed til rette for å utdype de temaene som blir tatt opp. Våre tidligere arbeider har tydet på at fokusgruppeintervju basert på UKM-oppgaver inviterer lærere til å reflektere rundt den kunnskap de finner relevant og ikke (Fauskanger, 2012). Dette indikerer at det vil være mulig for forskere å studere læreres epistemiske oppfatninger om ulike aspekter av UKM gjennom fokusgruppeintervju basert på UKM-oppgaver (Mosvold & Fauskanger, 2012). De 26 lærerne (8 menn og 18 kvinner) i studien deltok i et videreutdanningskurs i matematikk for lærere (30 studiepoeng) da studien ble gjennomført. Fokusgruppeintervjuene ble gjennomført mot slutten av det første semesteret. Halvparten av lærerne arbeidet på småskoletrinnet åtte på mellomtrinnet og Fou i Praksis 2012 conference proceedings 88

fem på ungdomstrinnet. De hadde ulik arbeidserfaring som lærere og ulik formell utdanning. En evaluering av egen kunnskap viste at de fleste lærerne så på egen kunnskap tilknyttet emnene tall og tallregning (som inkluderer posisjonssystemet) som tilstrekkelig til å undervise i emnene. Lærerne hadde arbeidet med ti UKM-oppgaver og reflektert rundt disse skriftlig i månedene før intervjuet ble gjennomført (jf. Colussi, 2007). En av disse UKM-oppgavene en flervalgsoppgave med fire deloppgaver hadde faglig fokus på posisjonssystemet, og vil bli brukt som case i denne artikkelen. 70 % av lærerne mente at denne oppgaven var den som best representerte kunnskap som var av betydning for dem i lærergjerningen, og det er av den grunn relevant å studere nærmere. Oppgaven som ikke er frigitt og derfor bare kan beskrives omtrentlig har en innledende tekst som beskriver grupper av elever som har delt opp et tresifra tall i hundrere, tiere, enere og tideler på ulikt vis (f.eks. delt 456 inn i hundrere, tiere, enere og/eller tideler). Lærerne utfordres i oppgaven til å markere hvilke elevsvar de vil akseptere som riktige. I den første oppgaven (1a) har gruppen av elever presentert et svar som ikke er riktig (f.eks. 456 delt inn i 4 hundrere, 50 tiere og 6 enere). I de andre tre oppgavene har elevgruppene svar som er matematisk korrekte, inkludert oppdeling i hundrere, tiere og enere (1b), hundrere, tiere og tideler (1c) og tiere og enere (1d). Oppdelingen som følger posisjonene (456 delt opp i 4 hundrere, 5 tiere og 6 enere) er ikke blant de gitte elevsvara. Det ble gjort lydopptak fra intervjuene, og disse ble transkribert. Transkripsjonene ble så analysert i tre steg. For å velge ut aktuelle deler av transkripsjonene gjennomførte vi først en dobbel innholdsanalyse. Første forfatter leste gjennom intervjuene og identifiserte på denne måten alt som ble sagt tilknyttet den aktuelle oppgaven. Andre forfatter gjennomførte en innholdsanalyse slik Krippendorff (2004) anbefaler. Her ble det gjort et utvalg basert på søk etter ord knyttet til posisjon og plassverdi. I dette utvalget ble ytringer sett på som kode-enhet, mens konteksten ble definert til å omfatte to ytringer før og etter hvert treff på søk etter nøkkelord. Vi studerte videre hva som ikke var med i det ene utvalget, men i det andre, og bestemte oss for å ta med unionen av de to utvalgene i våre videre analyser. For å studere lærernes oppfatninger om UKM, brukte vi aspektene ved UKM presentert i figur 1 som koder i analysens andre del, og de utvalgte transkripsjonene ble kodet i forhold til disse aspektene av to forskere. I et tredje steg ble de kodede delene sett i forhold til aspekter ved posisjonssystemet fremhevet som sentrale i litteraturen. Resultater og diskusjon I intervjuene ble alle seks aspekter av UKM (figur 1) diskutert i større eller mindre grad, med unntak av det sjette intervjuet hvor lærerne ikke diskuterte spesialisert fagkunnskap og kunnskap om faglig innhold relatert til elevene. I alle fokusgruppeintervjuene ble posisjonssystemet fremhevet som sentral lærerkunnskap. Vi tar utgangspunkt i utsnitt fra ett av intervjuene (28.11.11) for å illustrere resultatene fra våre analyser. Tre av de fire lærerne som er med i dette intervjuet jobber på samme skole; den siste læreren (Doris) jobber på naboskolen. Inge og Doris underviser på mellomtrinnet, mens Sara og Ada underviser på småskoletrinnet. Inge, Sara og Ada har alle undervist mellom 10 og 20 år, mens Doris har over 20 års erfaring som lærer. Inge har ingen studiepoeng i matematikk eller matematikkdidaktikk; de tre andre lærerne har mellom tre og 15 studiepoeng. Etter å ha lest lærernes skriftlige tilbakemeldinger i forkant av intervjuene, har intervjuer fått forsterket inntrykket av at alle lærerne vektlegger kunnskap om posisjonssystemet. Intervjuer (I) prøver derfor å få lærerne til å reflektere over hva det er som gjør akkurat dette aspektet ved lærernes UKM så viktig: 130 I:... Hva er det som gjør at posisjonssystemet er så viktig? 131 Doris: Det er jo grunnlaget for sånn vi både teller og regner. Eh, det ligger jo i bunn for alt. (7s) Tallene hadde ikke hett det de heter engang hvis vi ikke hadde det posisjonssystemet som vi har. Doris peker på at posisjonssystemet er grunnlaget for alt barna gjør i matematikken, og dette er et syn mange av lærerne i intervjuene deler. Etter en liten tenkepause legger hun til at posisjonssystemet også har betydning for tallenes navn. Refleksjonene til Doris her kan knyttes til kunnskap om læreplan og pensum. Vi ser også indikasjoner på at hun er bevisst på tallsystemets historie og utvikling, og dette kan knyttes til den delen av UKM som vi kaller for matematisk horisontkunnskap. I de fleste av fokusgruppeintervjuene Fou i Praksis 2012 conference proceedings 89

peker lærerne på at posisjonssystemet er grunnlaget for alt annet barna skal lære i matematikkfaget, men det varierer i hvor stor grad lærerne spesifiserer hva de faktisk mener med dette og hvilke deler av lærernes UKM som blir trukket inn i argumentasjonen. Når intervjuer gjentar spørsmålet om hva som gjør posisjonssystemet så viktig, kommer de andre lærerne med eksempler på hva det vil si at posisjonssystemet er grunnlaget for alt annet. Først gir Inge en utdypning av aspekter knyttet til den matematiske horisonten: 133 Inge: Eh. (.) Jeg, jeg tenker at dette er grunnlaget for det meste og det er jo her grunnlaget for en fleksibel tallforståelse ligger, at vi kan faktisk si tall på veldig mange forskjellige måter og uttrykke oss og holde styr på tall med ulike siffer i det, ikke sant. Så jeg tenker og at det er grunnlaget for mye, både tallforståelse, regnearter og, divisjon og subtraksjon. Tenker jeg. Inges utsagn kan knyttes både til matematisk horisontkunnskap og kunnskap om læreplan og pensum, og vi ser her at det kan være et uklart skille mellom disse to aspektene ved læreres UKM. Dette uklare skillet fremheves også i senere publikasjoner tilknyttet matematisk horisontkunnskap (Jakobsen, Thames, Ribeiro, & Delaney, 2012). Inge viser at han tenker på arbeidet med posisjonssystemet som noe som vektlegges på lavere trinn, men samtidig er dette også noe som danner grunnlaget for emner som kommer senere i læreplan og pensum. Et eksempel er regneartene, og Inge peker på at forståelse for posisjonssystemet danner grunnlaget for et senere møte med regneartene. Å hjelpe elevene til å utvikle en god forståelse for posisjonssystemet, som en nødvendig basis for å bli god til flersifret regning, fremheves også i litteraturen (Kilpatrick et al., 2001). Inge knytter videre posisjonssystemet til tallforståelse og dermed til elevers fleksible tallforståelse noe som kan indikere at han har elevene (og kunnskap om faglig innhold og elevene) i fokus. I den videre diskusjonen i gruppen, kommer Sara inn på mer spesialiserte deler av læreres matematiske kunnskap når hun peker på utfordringene lærerne selv kan ha når de regner i andre tallsystem (134). 134 Sara: Vi ser jo det hvor vanskelig det blir når vi skal inn i andre tallsystem og regne med det. Sant. Så dette å forstå verdien på tallene og skal skrive inn riktig veksling, alt dette her. Og jeg tenker at hvis de ikke kan dette her med posisjonssystemet her, altså de som ikke kan det, de sliter sikkert like mye som det vi sliter når vi skal inn i andre tallsystem. 135 Ada: Og det ser vi jo at elevene gjør. De sliter med det, de har ikke posisjonen, de sveiver og dem snur og... Jeg ser vi jobber nesten fra første dag i første klasse, så snakker vi om å lære dato, vi teller antall elever, så begynner vi å snakke om 1-er plass og 10-er plass, første uka i første klasse. Så må vi må vi gjøre det i lang, lang tid, i tre år, da er det ikke alle som har det på plass enda. Så det er om igjen og om igjen og om igjen. Vi gjør det hver dag. Så når vi på en måte snakker om at posisjonssystemet er viktig så er det liksom «æææ, det er noe vi jobber med hele tiden». Regning i andre tallsystemer er vektlagt i lærerutdanningen, og gjennom å regne i andre tallsystemer blir en oppmerksom på de utfordringer en elev måtte stå ovenfor om vedkommende ikke skjønner posisjonssystemet algoritmene bygger på. Dette understrekes av Birkeland og hans kolleger (2005, s. 71/72) når de sier: «For å kunne tenke over vår måte å skrive tall og regne med tall på, kan det være nyttig å nullstille seg ved å ta for seg et posisjonssystem med en annen basis enn ti». Regning i andre tallsystemer er dermed en del av lærernes spesialiserte fagkunnskap, for at de som lærere skal se titallsystemet i perspektiv og se de likheter og ulikheter som fremkommer når andre baser enn ti. Sara er inne på dette, og hennes utsagn indikerer at spesialisert fagkunnskap hjelper henne til å bedre forstå de utfordringer elevene står ovenfor når hun sier «de sliter sikkert like mye som vi sliter» (134). Ada retter deretter fokuset mot elevenes kunnskap om posisjonssystemet (135), og indirekte sier hun dermed også noe om den kunnskap hun som matematikklærer må ha om elevene (kunnskap om faglig innhold og elevene). Ada går også mer i dybden på hvilken kunnskap om posisjonssystemet hun mener elevene bør ha. Når hun sier «1-er plass og 10-er plass» indikerer hun oppdeling i enere og tiere (Jones et al., 1996) og at kolonneverdi (Thompson, 2003) er sentralt. Ada fremhever også at det tar lang tid å utvikle en grundig forståelse for posisjonssystemet, noe som støttes av eksempelvis Thompson (2003). Når intervjueren retter fokuset mot elevenes kunnskap, kommer Doris inn på den delen av UKM som handler om det faglige innholdet og undervisningen (kunnskap om faglig innhold og undervisning): Fou i Praksis 2012 conference proceedings 90

136 I: Hvis dere har elever i klassen som dere vil sette kryss over, at «nå kan du posisjonssystemet». Hva er det de kan, de som virkelig kan det? (4s) Hva er det de har skjønt? 137 Doris: (5s) De har vel i hvert fall kontroll på verdiene og sifrene. Det er jo helt sikkert. Sånn som jeg sier alltid til dem at «da skriver vi en-en-en på tavlen og så sier vi at dette her er penger, og du får den og du får den og du får den, da får vi delt ut enerne, da har alle fått like mye, fordi alle fikk jo 1». Men de hyler jo fryktelig fort at det var kjempeurettferdig fordi en fikk 100 000 og en fikk bare 1. I likhet med mange av lærerne i de andre intervjuene, legger Doris stor vekt på elevenes forståelse for sifrenes verdi i forhold til posisjonen. En oppdeling som følger posisjonene (Jones et al., 1996) og kolonneverdi (Thompson, 2003) synes å være noe lærerne i alle våre seks fokusgruppeintervjuer vektlegger. Etter å ha innledet med å slå fast betydningen av dette, presenterer Doris et eksempel på hvordan hun selv ofte gjør det i undervisningen. Ytringen (137) gir dermed et eksempel på kunnskap om faglig innhold og undervisning, samtidig som det også er tett knyttet til kunnskapen om elevene. Det kan ofte være vanskelig å skille mellom disse to kategoriene (jf. Blömeke & Delaney, 2012). Intervjueren ber Doris bekrefte at dette handler om verdien av sifrene i forhold til posisjonen (138), og Doris bekrefter dette og følger opp med et eksempel (139): 138 I: Så du mener verdien av sifrene, det er hvor de står? 139 Doris: Det er sifrene ja. At de har greie på om 1-ern betyr noe forskjellig når den står på 100 000-passen eller på 1-er plassen. Da var de ikke like heldige med utdelingen. 140 Inge: Jeg tenker at det er viktig at de har kontroll på det med veksling i forhold til å addere og subtrahere og dividere og multiplisere. At det er et kriterium som må være oppfylt for å kunne posisjonssystemet. Du må ha kontroll på vekslingen i de ulike regnestykker 141 Doris: Og også desimalene. Fordi det holder jeg på med nå i 6. klasse, og i dag så var det «står de riktige nå?». Altså en skulle kladde et stykke. «Er det riktig?» Og det var det jo ikke, fordi da var 100-delen kommet for nær sånn at det ble litt feil. Ja, 100-delen og 10-delen. Men selv nå i 6. klasse så har de ikke helt taket på hvor alle plassene skal egentlig stå. Men hun var i hvert fall helt sikker på at det var viktig, selv om hun ikke var helt sikker på hvor den var. Men det var galt Dette eksemplet indikerer en type matematisk kunnskap som en kan forvente at alle voksne mennesker har (allmenn fagkunnskap), og denne typen kunnskap er ikke nødvendigvis knyttet til de spesifikke utfordringene matematikklærere møter i det undervisningsrelaterte arbeidet. Doris knytter sitt utsagn til «utdelingen» og viser dermed tilbake til rettferdig og urettferdig utdeling (137). Hun relaterer sine utsagn til den kunnskapen hun har om undervisning (kunnskap om faglig innhold og undervisning). Når Inge følger opp innspillet til Doris, peker han på et annet aspekt ved allmenn fagkunnskap i denne sammenhengen (140). Utsagnet til Inge kan tolkes som en indikasjon på at lærere også må ha forståelse for ulike måter å gjøre dette på, og det er i så fall et eksempel på læreres spesialiserte fagkunnskap. Deretter skyter Doris inn at dette også handler om desimalene (141), og dette blir et nytt eksempel på allmenn fagkunnskap. Når hun knytter det faglige innholdet til det de jobber med på hennes trinn, så kan det også tolkes som et eksempel på kunnskap om læreplan og pensum. Konklusjon I planlegging av etter- og videreutdanning for lærere er det nyttig å studere om lærernes oppfatninger av aspekter ved UKM samsvarer med det som vektlegges i litteraturen. Våre analyser viser at lærerne samlet sett legger vekt på alle aspektene ved UKM (figur 1) når de skal beskrive hva som er av betydning for dem som lærere, og de er enige om at posisjonssystemet er et sentralt grunnlag for elevenes videre læring. Vi ser også eksempler på at de oppfatningene som kommer til uttrykk gjennom diskusjonene i noen tilfeller ser ut til å stå i motsetning til det som vektlegges i litteraturen. Et eksempel er at lærerne fremhever kolonneverdi som mest sentralt. Thompson (2003) legger vekt på at det i flersifret regning er nødvendig Fou i Praksis 2012 conference proceedings 91

med et fokus på både kvantitetsverdi og kolonneverdi. Dette begrunnes i litteraturen med at de fleste metoder for hoderegning tar utgangspunkt i kvantitetsaspektet av posisjonssystemet. Et annet eksempel er at lærerne ser ut til å vektlegge en oppdeling som følger posisjonene, mens litteraturen (Jones et al., 1996) fremhever ikke-standard oppdeling som et grunnlag for flersifret regning. Flere lærere refererer til flersifret regning i sine begrunnelser, noe som er interessant, da en i de vanligste norske algoritmene for subtraksjon har behov for ulike typer oppdeling (som ikke følger posisjonene) når en for eksempel skal låne/veksle (som i figur 2). Dette kan bety at lærerne i sin undervisning ikke støtter elevene i utviklingen av en forståelse for posisjonssystemet på høyeste nivå (Jones et al., 1996; Ross, 1989), og gir indikasjoner på hva en kan vektlegge i fremtidig etter- og videreutdanning. På bakgrunn av denne studien blir det i fremtidig etter- og videreutdanning relevant å diskutere posisjonssystemets nøkkelaspekter (Jones et al., 1996), nivåer for forståelse av posisjonssystemet (Jones et al., 1996; Ross, 1989) og kvantitets- og kolonneverdi som grunnlag for elevers regning (Thompson, 2003). Det blir også vesentlig å fokusere på hvordan ikke-standard oppdeling er en forutsetning for våre vanligste standardalgoritmer eksempelvis for subtraksjon. Etter- og videreutdanning tilknyttet posisjonssystemet må ta utgangspunkt i de oppfatninger lærerne har om den UKM de ser på som betydningsfull, og studier av lærernes epistemiske oppfatninger om aspekter ved UKM blir sentralt. Slike studier kan også bidra til en videreutvikling og spesifisering av aspektene ved UKM. Diskusjoner rundt UKM-oppgaver ser ut til å være en fruktbar innfallsvinkel for å få innsikt i læreres epistemiske oppfatninger om UKM. Vi ser at fokusgruppeintervju rundt UKM-oppgaver kan få frem aspekter ved læreres epistemiske oppfatninger som er av betydning for fremtidig etter- og videreutdanning. Når vi eksempelvis har en indikasjon på at lærere ser ut til å foretrekke standard oppdeling (Jones et al., 1996), kan vi i etter- og videreutdanning utfordre dette gjennom å fokusere på ikke-standard oppdeling. Det blir dermed interessant for fremtidig forskning å studere læreres epistemiske oppfatninger tilknyttet ulike aspekter ved UKM, som deres oppfatninger om ulike algoritmer for subtraksjon (figur 2). Det blir også relevant å studere læreplaner og lærebøker for å få bedre innsikt i hvilket nivå (Jones et al., 1996; Ross, 1989) disse legger opp til at elevene skal utvikle forståelse for. Referanser Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407. Birkeland, P. A., Breiteig, T., & Venheim, R. (2005). Matematikk for lærere 1. Oslo: Universitetsforlaget. Blömeke, S., & Delaney, S. (2012). Assessment of teacher knowledge across countries: A review of the state of research. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 44(3), 223-247. Buehl, M. M. (2008). Assessing the multidimensionality of students epistemic beliefs across diverse cultures knowing, knowledge and beliefs. I M. S. Khine (Red.), Knowing, knowledge and beliefs: Epistemological studies across diverse cultures (s. 65-112). Nederland: Springer. Cady, J. A., Meier, S. L., & Lubinski, C. A. (2006). Developing mathematics teachers: Transition from preservice to experienced teacher. Journal of Educational Research, 99(5), 295-305. Colucci, E. (2007). «Focus groups can be fun»: The use of activity-oriented questions in focus group discussions. Qualitative Health Research, 17(10), 1422-1433. Fauskanger, J. (2012). «For norske lærere har stort sett en algoritme» om undervisningskunnskap i matematikk. I F. Rønning, R. Diesen, H. Hoveid & I. Pareliussen (Red.), FoU i Praksis 2011. Rapport fra konferanse om praksisrettet FoU i lærerutdanning (s. 129-141). Trondheim, Norway: Tapir Akademisk Forlag. Fauskanger, J., Bjuland, R., & Mosvold, R. (2010). «Eg kan jo multiplikasjon, men ka ska eg gjørr?» det utfordrende undervisningsarbeidet i matematikk. I T. Løkensgard Hoel, G. Engvik & B. Hanssen (Red.), Ny som lærer sjansespill og samspill (s. 99-114). Trondheim: Tapir akademisk forlag. Fives, H., & Buehl, M. M. (2010). Teachers articulation of beliefs about teaching knowledge: conceptualizing a belief framework. I L. D. Bendixen & F. C. Feucht (Red.), Personal epistemology in the classroom (s. 470-515). New York, NY: Cambridge University Press. Fuson, K. C. (1992). Research on whole number addition and subtraction. I D. A. Grouws (Red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 243-275). New York, NY: MacMillan. Fou i Praksis 2012 conference proceedings 92

Hofer, B. K., & Pintrich, P. R. (1997). The development of epistemological theories: Beliefs about knowledge and knowing and their relation to learning. Review of Educational Research, 67(1), 88-140. Jakobsen, A., Thames, M. H., Ribeiro, M., & Delaney, S. (2012). Using practice to define and distinguish horizon content knowledge. Paper presentert på The 12th International Conference on Mathematical Education, Seoul, Korea. Jones, G. A., Thornton, C. A., Putt, I. J., Hill, K. M., Mogill, T. A., Rich, B. S., & Van Zoest, L. R. (1996). Multidigit number sense: A framework for instruction and assessment. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), 310-336. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Krippendorff, K. (2004). Content analysis: An introduction to its methodology. Thousand Oaks, CA: Sage Publications. Mosvold, R., & Fauskanger, J. (2012). Teachers knowledge of mathematical definitions: What they need to know and what they think they need to know. Paper presentert på The Annual Meeting of the American Educational Research Association, Vancouver, Canada. Opsvik, F., & Skorpen, L. B. (2012). Om kvalitetar ved matematikkundervisning. I P. Haug (Red.), Kvalitet i opplæringa. Arbeid i grunnskulen observert og vurdert. (s. 144-170). Oslo: Det Norske Samlaget. Petrou, M., & Goulding, M. (2011). Conceptualizing teachers mathematical knowledge in teaching. I T. Rowland & K. Ruthven (Red.), Mathematical knowledge in teaching (s. 9-25). London: Springer. Philipp, R. A. (2007). Mathematics teachers beliefs and affect. I F. K. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 257-315). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Ross, S. (1989). Parts, wholes, and place value: A developmental view. The Arithmetic Teacher, 36(6), 47-51. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4-14. Thagaard, T. (2003). Systematikk og innlevelse en innføring i kvalitativ metode. Bergen: Fagbokforlaget. Thompson, I. (2003). Place value: The English disease? I I. Thompson (Red.), Enhancing primary mathematics teaching (s. 181-190). Maidenhead: Open University Press. Wilkinson, S. (2004). Focus group research. I D. Silverman (Red.), Qualitative research: Theory, method and practice (s. 177-199). London: SAGE Publications. Fou i Praksis 2012 conference proceedings 93

FoU i Praksis 2012 konferanse om praksisretta FoU i lærerutdanning Den tiande FoU i praksis-konferansen fann stad i Trondheim 23. og 24. april 2012 og vart arrangert av Dronning Mauds Minne Høgskole for førskulelærarutdanning. Sidan den fyrste FoU i praksis i 2002 har konferansen blitt ein viktig møtestad for dei som arbeider i lærar-utdanning og dei som forskar på lærarutdanning og praksisfeltet. I år er artiklane for fyrste gang publisert digitalt på nettet. I tillegg utgis ei papirutgåve med samandrag av dei publiserte artiklane. n www.akademikaforlag.no 9788232 100866 Kunnskapen du trenger Det skapende universitet