5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets tilstand etter k tidsskritt. Har allerede sett på slike diskrete dynamiske systemer i forbindelse med avsn. 4.9 (om Markov kjeder) og avsn. 5.5 (om komplekse egenverdier). Slike systemer har anvendelser i fysikk, tekniske fag, økonomi, biologi etc. Begynner med et klassisk rovdyr/byttedyr eksempel. 1 / 17
Et økologiskt system Betrakter rovdyr og byttedyr i et avgrenset region: ugler og rotter. O k : antall ugler etter k tidsperioder (angitt i måneder) R k : antall rotter (målt i tusener) etter k tidsperioder. Feltstudier leder frem til et dynamisk system for x k = (O k, R k ): O k+1 = 0.5 O k + 0.4 R k R k+1 = p O k + 1.1 R k m.a.o. x k+1 = A x k [ ] 0.5 0.4 der A = p 1.1 og p er en positiv parameter som avhenger av hvor mange rotter en ugle spiser hver måned (i gjennomsnitt). Hva skjer med bestandene over tid? Dette vil avhenge av p. Tar noen generelle betraktninger først. 2 / 17
Betrakt en n n reell matrise A. La x 0 R n og sett x k+1 = A x k der k 0. Vi har sett tidligere at da er x k = A k x 0. Vi ønsker å forstå hva som skjer med x k når k. For en diagonaliserbar A er idéen å skrive x 0 ved hjelp av egenvektorene og bruke at A v = λ v A k v = λ k v. Vi antar derfor at A er diagonaliserbar. Da finnes det n lineært uavhengige egenvektorer v 1, v 2,..., v n som tilhører egenverdier λ 1, λ 2,..., λ n. Vi kan alltid ordne disse slik at λ 1 λ 2... λ n. 3 / 17
Siden {v 1,..., v n } er en basis for R n finnes c 1,..., c n R slik at Nå vet vi at A k v j = λ k j x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n v j for alle j. Det gir at x k = A k x 0 = A k (c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n ) = c 1 A k v 1 + c 2 A k v 2 + + c n A k v n = c 1 λ k 1 v 1 + c 2 λ k 2 v 2 + + c n λ k n v n Vi har altså kommet frem til følgende nyttige formel for x k : x k = c 1 λ k 1 v 1 + c 2 λ k 2 v 2 + + c n λ k n v n ( ) 4 / 17
Alternativ fremstilling: Sett B = {v 1, v 2,..., v n }. Da er B en basis for R n og [x 0 ] B = (c 1, c 2,..., c n ). Sett P = P B = [v 1 v 2... v n ], D = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ). Siden A = P D P 1 får vi at x k = A k x 0 = P D k P 1 x 0, og det gir P 1 x k = D k P 1 x 0. Så variabel-skiftet y k = P 1 x k = [x k ] B, k 0, gir at y 0 = [x 0 ] B = (c 1, c 2,..., c n ) og y k = D k y 0 = (c 1 λ k 1, c 2λ k 2,..., c n λ k n ), m.a.o. [x k ] B = (c 1 λ k 1, c 2λ k 2,..., c n λ k n ) som sier det samme som ( )! 5 / 17
Fra x k = c 1 λ k 1 v 1 + c 2 λ k 2 v 2 + + c n λ k n v n ( ) kan vi f.eks. si følgende: Anta λ 1 1 mens λ 2,..., λ n alle er mindre enn 1. Når k er stor vil da λ k 2 0,..., λ k n 0, og det gir Spesielt er når k er stor. x k c 1 λ k 1 v 1. x k+1 c 1 λ k+1 1 v 1 = λ 1 c 1 λ k 1 v 1 λ 1 x k Anta λ 1, λ 2,..., λ n alle er mindre enn 1. Da vil x k 0 når k er stor. Vi sier da at 0 er en attraktor for systemet. 6 / 17
Grafisk beskrivelse av løsninger når n = 2 Når A er en 2 2 matrise kan vi tegne forskjellige baner for systemet. Med en bane menes en følge av vektorer i R 2 av typen der x k+1 = A x k. {x k } k 0 = x 0, x 1, x 2,..., x k, x k+1,... Hvert valg av x 0 i R 2 bestemmer en bane for systemet. Vi antar som før at A er diagonaliserbar. Likningen ( ) sier at der λ 1 λ 2. Flere situasjoner kan oppstå: x k = c 1 λ k 1 v 1 + c 2 λ k 2 v 2 7 / 17
Tilfelle 1: origo er attraktor. Dette skjer når både λ 1 og λ 2 er mindre enn 1. Vi har da at x k 0 når k, dvs enhver bane (uansett startvektor) konvergerer mot 0. I ugler-rotter eksemplet skjer dette f.eks. når p = 0.14: utregning gir nemlig da at at λ 1 0.984, λ 2 = 0.616. Så i dette tilfellet vil begge populasjonene vil dø ut etterhvert... Matlab illustrasjon. Tilfelle 2: origo er avviser. Dette skjer når både λ 1 og λ 2 er større enn 1. Her vil enhver bane gå vekk fra origo, bortsett fra når x 0 = 0. Matlab illustrasjon. 8 / 17
Tilfelle 3: origo er sadelpunkt. Dette skjer når λ 1 > 1 > λ 2. Hvis x 0 = c 2 v 2, dvs c 1 = 0, vil banen konvergere mot origo. Hvis c 1 0 vil banen divergere og nærme seg asymptotisk linjen utspent av v 1. I ugler-rotter eksemplet skjer dette f.eks. når p = 0.104: da finner man at λ 1 1.02, λ 2 = 0.58, og det gir x k c 1 1.02 k v 1 1.02 x k 1 dvs. 2% vekst i begge populasjoner pr. måned. Matlab illustrasjon. Tilfellene λ 1 = 1 > λ 2 og λ 1 = 1 = λ 2 kan også studeres ved hjelp av ( ) i hvert konkret tilfelle. 9 / 17
Hva med komplekse egenverdier? Man kan bruke ( ) selv om noen (eller alle) egenverdier og de tilhørende egenvektorene er komplekse. Dersom A er en 2 2 reell matrise med komplekse egenverdier λ = a ± i b der b 0 vet vi fra avsn. 5.5 at A similær med en rotasjonsmatrise ganget med r = a 2 + b 2. Banene til systemet x k+1 = A x k vil da virvle utover langs en spiral dersom r > 1. følge en ellipse (eller en sirkel) dersom r = 1. virvle innover mot origo langs en spiral dersom r < 1. For eksempler med 3 3 matriser, se Eks. 6 og 7 i boka. 10 / 17
5.7 Anvendelser på differensiallikninger Vi skal se på 1. ordens systemer av differensiallikninger av typen x (t) = A x(t), med vekt på systemer av typen x 1 (t) = a x 1(t) + b x 2 (t) x 2 (t) = c x 1(t) + d x 2 (t) Mange egenskaper blir tilsvarende som for diskrete dynamiske systemer, og egenverdier/egenvektorer er nøkkelen til forståelse når A er diagonaliserbar. Anvendelser i fysikk, meterologi, tekniske fag, økonomi, biologi etc. 11 / 17
La x 1 (t),..., x n (t) være (reelle) deriverbare funksjoner av variabelen t. La A = [ ] a ij være en n n matrise. x 1 (t) Vi setter x(t) =, x (t) =. x n (t) og dropper ofte å skrive variabelen t. x 1 (t). x n(t), Første ordens systemet av (ordinære) differensiallikninger x 1 = a 11 x 1 + + a 1n x n x 2 = a 21 x 1 + + a 2n x n. x n = a n1 x 1 + + a nn x n kan da angies på matriseform: x = A x 12 / 17
En løsning av systemet er en (vektor)funksjon x(t) som oppfyller x (t) = A x(t) for alle t i et gitt intervall, f.eks. t 0 eller t R. Når n = 2 eller 3 kan vi tenke på en løsning av systemet som en flyt-kurve for vektorfeltet F gitt ved F(y) = A y, y R n. Det kan vises at systemet x = A x alltid har et fundamentalsystem av løsninger: dette er n (lineært uavhengige) løsninger som utspenner hele løsningsmengden til systemet. Et initialverdiproblem får vi når vi ønsker å finne løsningen av systemet x = A x som også tilfredstiller en initialbetingelse, f.eks. av typen x(0) = x 0, der x 0 er en oppgitt vektor. 13 / 17
Tilfellet der A er en diagonalmatrise. Dette er den enkleste situasjonen og systemet består da av separate problemer. F.eks. [ ] [ ] [ ] x 1 (t) 2 0 x1 (t) x 2 (t) = 0 3 x 2 (t) som gir Løsningen blir [ x1 (t) x 2 (t) x 1(t) = 2x 1 (t), ] [ c1 e = 2t ] [ 1 c 2 e 3t = c 1 0 x 2(t) = 3x 2 (t). ] e 2t + c 2 [ 0 1 ] e 3t. Generelt: Dette antyder at løsningene av x = A x kan være lineære kombinasjoner av løsninger på formen x(t) = v e λt der v er en egenvektor for A tilhørende en egenverdi λ. 14 / 17
Det kan faktisk sjekkes at x(t) = v e λt alltid gir en løsning av x = A x når λ er en egenverdi for A med tilh. egenvektor v: Derivasjon komponentvis gir at x (t) = λ v e λt. Dessuten er A x(t) = A v e λt = λ v e λt (siden A v = λ v per antagelse). Dette viser at x oppfyller x = A x. Løsninger av typen x(t) = v e λt der λ er en egenverdi for A med tilh. egenvektor v kalles ofte egenfunksjoner for systemet x = A x. Neste gang vil vi begrunne følgende: Hvis P = [v 1..., v n ] og D = diag(λ 1,..., λ n ) diagonaliserer A, så er { v1 e λ 1t,..., v n e λnt} et fundamentalt system av løsninger for x = A x, dvs enhver løsning er en lineær kombinasjon av disse egenfunksjonene. 15 / 17
Eksempel (fra i boka). Bevegelsen til en partikkel i planet beskrives ved initialverdiproblemet x = A x, x(0) = x 0 der [ A = 4 5 2 1 ] [ 2.9, x 0 = 2.6 ]. Egenverdiene til A er λ 1 = 6 og λ 2 = 1, med tilhørende egenvektorer v 1 = ( 5, 2) og v 2 = (1, 1). Så generell løsning av x = A x blir x(t) = c 1 v 1 e λ 1t + c 2 v 2 e λ 2t = c 1 [ 5 2 ] e 6t + c 2 [ 1 1 ] e t Initialbetingelsen x(0) = x 0 gir (ved å sette t=0): [ ] [ ] [ ] 5 1 2.9 c 1 + c 2 2 =. 1 2.6 16 / 17
Løsning av dette likningssystemet gir c 1 = 3 70, c 2 = 188 70. Dermed er løsningen vi er ute etter gitt ved x(t) = 3 [ ] 5 e 6t + 188 70 2 70 [ 1 1 ] e t. Som for diskrete dynamiske systemer (med n = 2) kan man tegne i planet løsninger av differensiallikningen for forskjellige valg av initialvektor x 0. I eksemplet ovenfor blir origo et sadelpunkt (se figur i boka). Dette kommer av at e 6t mens e t 0 når t. 17 / 17