Kapitalverdimodellen tips til praktisk implementering ( )

Kapitalverdimodellen tips til praktisk implementering Knut Boye Høyskolen i Agder & Norges Handelshøyskole Foretaksøkonomisk Institutt Helleveien 30 5035 Bergen Steen Koekebakker Høyskolen i Agder Institutt for Økonomi Serviceboks 422 4604 Kristiansand 1. Introduksjon I dette notatet viser vi hvordan kapitalverdimodellen kan implementeres i praksis. Vi gir en trinnfor-trinn oppskrift for hvordan relevant markedsinformasjon kan hentes fra internett (www.oslobors.no) og videre hvordan EXCEL kan brukes for å pre-prosessere dataene og beregne parameterne i kapitalverdimodellen. Resten av notatet er organisert på følgende måte: I del 2 gir vi en kort beskrivelse av kapitalmarkedsteorien. I del 3 viser vi hvordan parametrene i kapitalverdimodellen kan estimeres. Først beskrives dette detaljert for Norsk Hydro, så følger resultater for de 25 mest likvide norske selskapene. Alle utregningene vi presenterer i dette notatet, finnes i EXCEL-filene NHY.xls og NORSKE_OBX.xls. I appendiks gir vi en detaljert beskrivelse av nedlasting av finansielle data, og klargjøring av data, samt modellberegningene. 2. Kapitalverdimodellen og Single Index Model Kapitalverdimodellen (CAPM) er gitt ved: ( ) β ( ) E Rj = RF + j E RM RF (1) hvor E( R j ) er forventet avkastning til aksje j. Forventet avkastning er i denne modellen gitt som risikofri rente, ( ) E R R R F pluss en risikopremie. Risikopremien består av markedets meravkastning, M F, multiplisert med en selskapsspesifikk risikofaktor, j aksjens betaverdi. Betaverdien er definert ved ( j, RM ) ( ) M β, som vanligvis bare kalles Cov R β j = (2) Var R Betaverdien bestemmes av variansen (risikoen) til markedsavkastningen og kovariansen (samvariasjonen) mellom aksjens avkastning og markedets avkastning. Hvis f.eks avkastningen til en aksje har null samvariasjon med markedsavkastningen, vil dette gi betaverdi lik null. Forventet avkastning vil da være lik risikofri rente. Men det betyr ikke at en aksje med betaverdi null har null risiko, slik tilfellet er for en risikofri plassering. Det betyr bare at aksjens risiko utelukkende består av usystematisk risiko. Den usystematiske risikoen, som også kalles bedriftsspesifikk risiko, gir ingen betaling i form av høyere forventet avkastning. Vi skal se nærmere på avveiningen mellom systematisk og usystematisk risiko for enkeltaksjer straks. Men Knut Boye & Steen Koekebakker

la oss først sette opp kapitalverdimodellen på regresjonsform. Anta at vi observerer avkastningen på en aksje og avkastningen på totalmarkedet t = 1,, n perioder. Da vil regresjonssammenheng av kapitalverdimodellen i ligning (1) over kunne presenteres som hvor R jt og ( ) Rjt RFt α j β j RMt RFt jt = + +ε (3) R Mt er avkastningen for henholdsvis enkeltaksjen og markedet i periode t. Avkastningen på en risikofri plassering i samme periode er R Ft, mens ε jt er regresjonens feilledd. Vi antar vanligvis at feilleddet er uavhengig og identisk fordelt over tid med forventning null. Gitt disse antakelsene kan vi estimere α j og β j i (3) ved vanlig lineær regresjon (OLS). Merk at risikofri avkastning fra (1) er flyttet over til venstre side av likhetstegnet. Ifølge kapitalverdimodellen skal vi ha α = 0. Dette kan vi teste ved en enkel t-test i regresjonen (3). Dersom α > 0, betyr dette at aksjen gir systematisk høyere avkastning enn det kapitalverdimodellen predikerer. Aksjen er underpriset. Motsatt hvis α < 0. Men hva med systematisk eller usystematisk risiko? Som sagt bruker vi varians som et mål på risiko. Totalvariansen til aksjens (mer-) avkastning kan deles i systematisk eller usystematisk risiko. Den usystematiske risikoen fanges opp i feilleddet til regresjonen. Den systematiske risikoen skyldes variasjoner i avkastningen til markedet. Dekomponeringen i systematisk og usystematisk varians kan vi gjøre ved å regne ut variansen på begge sider av ligning (3): ( ) Var( R R ) = Var( α + β R R + ε ) jt Ft j j Mt Ft jt ( ) ( ε jt) = β Var R R + Var 2 j Mt Ft (4) Overgangen i ligning (4) kan vi fordi α j og β j er konstanter med varians lik null. I tillegg er Cov R R, ε = 0. Vi har altså følgende sammenheng: ( Mt Ft jt ) feilleddet uavhengig slik at ( ) Systematisk risiko som følge av samvariasjon med markedet: β 2 Var ( R R ) + Usystematisk risiko som skyldes bedriftsspesifikke forhold: Var ( ε jt ) j Mt Ft = Total varians til aksjens (mer-) avkastning: Var( R R ) Det kan ofte være interessant å vite hvor stor andel av totalrisikoen som er systematisk og usystematisk. 2 β j Var ( RMt RFt) Andel systematisk risiko: Var( R jt RFt ) (5) 2 Var ( ε jt ) β j Var ( RMt RFt) Andel usystematisk risiko: = 1 Var( R R ) Var( R R ) jt Ft jt Ft Når vi kjører regresjoner, er vi vanligvis interessert i hvor mye forklaringsvariablene er i stand til å forklare av variasjonen i den eksogene variabelen. Forklaringsgraden kalles ofte R 2 eller forklart varians, og den oppgis som en prosentsats. I regresjoner av typen som er beskrevet i ligning (3), tilsvarer R 2 altså den systematiske risikoen til aksjen. jt Ft 2

Vi skal straks komme til anvendelse av disse sammenhengene i praksis, men først skal vi presentere en forenklet modell. Ofte presenteres følgende sammenheng R = α + β R +ε (6) jt j j Mt jt hvor alle definisjonen er som over. Vi ser at dette er samme sammenheng som i (3), bortsatt fra at den risikofri rente ikke er tatt med. Denne sammenhengen kalles ofte for Single Index Modell (SIM), men det er strengt tatt ikke en modell i det hele tatt. Likevel viser det seg at betaverdien estimert ved OLS, samt anslagene på systematisk/usystematisk risiko vanligvis blir svært like om vi benytter ligning (6) fremfor ligning (3). Dette skyldes at det er bevegelsene i markedet og aksjekursene som dominerer i (3) og (6), og derfor gir det små utslag på betaestimat og (u)systematisk risiko om risikofri rente utelates helt. Fra et teoretisk ståsted er det kun (3) som er holdbar. Men, om vi er interessert i å beregne betaverdien, vil vi i dette notatet demonstrere at vi kan velge å bruke den enklere sammenhengen i ligning (6). 3. Empiriske analyser Vi har lastet ned 5 år med data fra Oslo Børs fra de 25 mest likvide børsnoterte norsk selskapene. Disse selskapene inngår for tiden i den såkalte OBX indeksen. I tillegg har vi lastet ned data for totalindeksen (Oslo Børs All Share Index OSEAX) for samme periode. Vi trenger også observasjoner på den risikofrie renten. Til dette har vi benyttet den effektive renten for statspapirer med 3 måneder til forfall fra obligasjonsindeksen ST0X. 1 Vi trenger prisen på et statsgarantert papir med forfall om 3 måneder. Fra denne prisen kan vi så regne ut den effektive 3 måneders renten. I virkeligheten finnes det ikke til enhver tid en statsobligasjon med akkurat 3 måneder til forfall. På Oslo Børs publiseres ulike obligasjonsindekser. For indeksen ST1X er det korte rentepapirer som inngår. Indeksen kan vises i to ulike formater, både som (normalisert) pris og som effektiv rente. Vi velger effektiv rente som ønsket format. Dermed har vi daglige observasjoner på 3 måneders risikofri rente. I appendiks gir vi en detaljert beskrivelse for hvordan du kan laste ned dataseriene og bruke EXCEL til å endre formatet fra daglige til månedlige data. I denne delen presenterer vi empiriske resultater. Først presenteres resultater for Norsk Hydro spesielt. Så presenteres de samme resultater for de øvrige selskapene i en oppsummerende tabell. 3.1 Single Index Model for Norsk Hydro regresjon via plot Vårt datasett består av månedlige observasjoner (60 observasjoner) fra 1/10/2001 til 1/09/2006. De første observasjonene er gjengitt i figur 1. 1 Den korte renten er en proxy for den risikofrie renten som er vanlig i tilsvarende undersøkelser. Dersom resultatene fra analysene skal brukes i investeringsbeslutninger med lang investeringshorisont, kan det være fornuftig å bytte ut den kortsiktige renten med en matchende statsobligasjonsrente, dvs. renten på en statsobligasjon med forfall tilsvarende investeringshorisonten. 3

Figur 1: Månedlig avkastning for OSEAX og NHY Av figuren ser vi at dataene er på avkastningsform. F.eks for Norsk Hydro (ticker-symbol NHY) er prisen 55,19 den 01/10/2001, mens den har steget til 59,51 en måned senere. Altså en økning på 7,83%. Vi skal nå estimere β og α i Single Index Model fra (6). Vi velger først å gjøre dette via et scatter-plot. Merk observasjonene i kolonne B og C, og velg punktdiagram (XY) som graf-alternativ i diagramveiviseren. Velg fullfør. Du kan alltids legge til aksetitler og lignende senere. I figur 2 ser vi figuren produsert av EXCEL: 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% -20,00 % -15,00 % -10,00 % 5,00% 0,00% -5,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00 % -10,00% 15,00 % Serie1-15,00% -20,00% Figur 2: XY-plot for NHY vs. OSEAX Foreløpig viser figuren bare kombinasjoner av avkastning på NHY langs y-aksen og avkastning for tilsvarende måned for OSEAX langs x-aksen. Vi ønsker nå å trekke en regresjonslinje gjennom punktene. Dette gjøres på følgende måte: Plasser markøren på ett av punktene i figuren og klikk på høyre museknapp. Noen av punktene i plottet blir opplyst. I tillegg kommer det til 4

syne en meny med flere alternativ. Scroll ned til legg til trendlinje og klikk venstre museknapp. Det kommer da opp flere alternativer for hvordan EXCEL kan legge til trend gjennom datapunktene. Dialogboksen vi får opp, gir oss mulighet til å spesifisere Type og Alternativer. Siden vi er interessert i en lineær sammenheng mellom avkastningen på NHY og OSEAX, velger vi Lineær under Type. Vi klikker oss så inn på Alternativer. Nederst i dialogboksen krysser vi av for Vis formel i diagrammet og Vis R-kvadrert verdi i diagrammet. Hele operasjonen er vist i figur 3. Figur 3: Regresjon via XY-plot i EXCEL Denne operasjonen resulterer i at en regresjonslinje trekkes gjennom punktene. I figur 4 ser vi resultatet. Her har vi lagt inn hovedtittel og akse-titler på grafen, og pyntet den litt ved å fjerne den grå bakgrunnen, lagt inn farge på regresjonslinjen og lignende. Ofte kan det være lurt å justere litt på figurutseende for å øke lesbarheten av plottet. NHY vs. OSEAX: Mnd avk. 2001-10 : 2006-09 NHY -15% -20% y = 1,1589x - 0,0029 R 2 = 0,776 0% -20% -15% -10% -5% -5% 0% 5% 10% 15% -10% OSEAX 25% 20% 15% 10% 5% Figur 4: Estimering av trendlinje, skjæringspunkt og systematisk risiko i Single Index Model Hva betyr resultatene fra regresjonen? y angir månedlig avkastning på NHY, x er avkastning på totalindeksen på Oslo Børs (OSEAX). 5

Stigningstallet til regresjonslinjen er 1,1589. Dette betyr at i gjennomsnitt vil en 1% månedlig avkastning på OSEAX resultere i en 1,1589% økning i NHY. Ved en nedgang på 1% på OSEAX, vil dette i gjennomsnitt resultere i en avkastning på -1,1589% for NHY. Dette stigningstallet kjenner vi igjen fra diskusjonen foran som beta-verdien i (6). Skjæringspunktet er gitt ved -0,0029. Dette forteller oss at dersom OSEAX opplever en måned med 0% avkastning vil NHY i gjennomsnitt oppleve en avkastning på -0,29%. Dette skjæringspunktet kjenner vi igjen som alpha-verdien i (6). R 2 ( R-i-andre eller R-kvadrert ) forteller oss at 77,60% av variasjonen i avkastningen til NHY kan forklares med variasjonen i avkastningen til OSEAX. De resterende 22,40% forklares av variasjon i feilleddet. Fra diskusjonen i av ligningene (4) og (5) kjenner vi igjen R 2 som andelen systematisk risiko, mens andelen feilleddsvariasjon tilsvarer usystematisk risiko. Usystematisk risiko kalles også for unik risiko dvs. forhold som er spesifikke for NHY. Vi kan altså skrive regresjonsresultatene på formen til ligning (6) som: R = α + β R + ε NHYt NHY NHY OSEAXt NHYt = 0, 0029 + 1,1589R + ε OSEAXt NHYt (7) hvor vi har satt j = NHY og M = OSEAX. 3.2 Single Index Model for Norsk Hydro via regresjonskommandoer Det er andre, mer direkte måter å gjøre disse regresjonene på enn via XY-plottet. I figur 5 har benyttet mer direkte metoder for å estimere Single Index Modell (cellene C66-C68). 6

Figur 5: Direkte estimering med EXCEL s regresjonskommandoer Tallene er produsert med EXCELs regresjonskommandoer. Vi bruker følgende kommandoer: SKJÆRINGSPUNKT(kjente_y; kjente_x), STIGNINGSTALL(kjente_y; kjente_x) og RKVADRAT(kjente_y; kjente_x). Husk at avkastning til NHY er venstresiden i regresjonen (kjente_y) og OSEAX er forklaringsvariabelen eller høyresidevariabelen (kjente_x) slik at cellekommandoene blir C64: =SKJÆRINGSPUNKT(C4:C62;B4:B62) C65: =STIGNINGSTALL (C4:C62;B4:B62) C66: =RKVADRAT (C4:C62;B4:B62) Vi ser fra figur 5 at disse kommandoene gir samme resultat som metoden med XY-plottet. 3.3 Single Index Model for Norsk Hydro via (ko-)variansutregninger Før vi gir oss helt med Single Index Modell skal vi sjekke resultatene en siste gang. Fra (2) ser vi at beta er gitt ved forholdet mellom kovariansen til aksjeavkastningen og markedsavkastningen, og variansen til markedsavkastningen. Det skulle bety at vi kan finne beta-verdien direkte ved (ko-) variansberegninger. Og det stemmer. Hvis vi velger følgende kommando: =KOVARIANS(C4:C62;B4:B62)/VARIANSP(B4:B62), returnerer EXCEL tallet 1,1589 som vi kjenner igjen fra utregningene over. Av uttrykket ser vi at det er en direkte sammenheng med ligningen i (2). Det som er viktig å få med seg her, er at vi bruker varianskommandoen VARIANSP i stedet for VARIANS. VARIANSP antar at du bruker hele populasjonen i stedet for et utvalg. Disse to varianskommandoene blir veldig like om utvalget er stort. Her har vi kun 59 avkastningsobservasjoner, og derfor gir VARIANS-kommandoen et noe høyere anslag på 7

variansen, noe som medfører et noe lavere estimat på beta-verdien (1,1393). Du kan selv sjekke EXCEL-arket hvordan vi kan regne ut skjæringspunktet og R 2 for hånd. 3.4 CAPM for Norsk Hydro via regresjonskommandoer I denne delen skal vi estimere beta-verdien i CAPM. Fremgangsmåten er identisk med den vi benyttet i Singel Index Model, men vi må justere datasettet noe. Dette ser vi klart om vi sammenligner (3) og (6). I CAPM sammenhengen i (3) er det ekstraavkastningen til en aksje utover en risikofri plassering som er lineær i ekstravkastningen til markedet utover risikofri rente. Vi bruker den effektive renten implisitt i prisen på korte statspapirer som risikofri rente. Denne finner vi Oslo Børs hjemmesider som indeksen ST1X. Nedlastningen og pre-prosessering er beskrevet i appendiks. Merk spesielt at vi må justere den effektive renten fra årlig til månedlig størrelse. I fila NHY.xls i arket har vi i arket CAPM lagt inn månedlig risikofri rente (se figur 6). Figur 6: Data fra arket CAPM i fila NHY.xls I kolonne E (=B-D) og F (=C-D) har vi regnet ut meravkastningen utover risikofri rente for NHY og OSEAX. Kolonne E og F tilsvarer henholdsvis høyre og venstresiden i regresjonsuttrykket fra ligning (3). Nå kan vi gjenta operasjonen vi gjennomførte i forbindelse med beregning av Single Index Model; XY-plot -> legg til linear regresjon. Resultatet er gitt i figur 7. 8

NHY vs. OSEAX: Mnd avk. 2001-10 : 2006-09 25% 20% 15% y = 1,1589x - 0,002 R 2 = 0,776 0% -20% -15% -10% -5% 0% -5% 5% 10% 15% Figur 7: CAPM regresjon for Norsk Hydro Vi ser at figur 4 og figur 7 er veldig like. Skjæringspunktet er endret fra -0,0029 til -0,0020, mens beta estimatet (1,1589) og andel systematisk risiko (77,60%) er helt like. Vi kan skrive regresjonsresultatene på formen til ligning (6) som: 10% 5% -10% -15% -20% ( R R ) ( R R ) = α + β + ε = 0, 002 + 1,1589( R R ) + ε NHYt Ft NHY NHY OSEAXt Ft NHYt OSEAXt Ft NHYt (8) hvor vi har satt j = NHY, F = ST1X og M = OSEAX. Sammenligner vi regresjonen i (7) og (8), ser vi at resultatene er, for alle praktiske formål, identiske! Det var altså unødvendig å justere avkastningstallene for aksjen og markedet med månedlig risikofri avkastning for å regne ut betaverdien til Norsk Hydro. La oss sjekke om det samme er tilfelle for andre selskaper. 3.5 Single Index Model og CAPM for et utvalg norske selskaper Vi har gjort samme eksersisen for en rekke norske selskaper som vi allerede har gjennomført for Norsk Hydro. Vi har lastet ned data for alle selskapene som inngår i den såkalte OBX-indeksen. OBX-indeksen består av de 25 mest likvide verdipapirene på Oslo Børs rangert etter siste seks måneders omsetning. Dette er ikke det samme som de 25 største norske selskapene, men alle de største selskapene er også blant de mest likvide, og dermed med i indeksen. Indeksen revideres på halvårlig basis, og den er handlebar, dvs det eksisterer børsnoterte futures- og opsjonskontrakter skrevet på denne indeksen. I tabell 1 har vi presentert resultatene fra Single Index og CAPM regresjoner for disse 25 selskapene. 9

NAVN TICKER OBS VOL SIM CAPM BETA ALPHA R 2 BETA ALPHA R 2 Oslo Børs All Share Index OSEAX 59 21% 1,0 0,0% 100% 1,0 0,0% 100,0% Acergy ACY 59 66% 2,3-1,8% 53% 2,3-1,4% 53,8% Aker Kværner AKVER 28 28% 0,9 3,5% 34% 0,9 3,5% 34,3% DnB NOR DnB NOR 59 23% 0,8 0,0% 48% 0,8-0,1% 48,4% Det Norske Oljeselskap DNO 59 62% 1,3 3,2% 18% 1,3 3,3% 18,0% Fast Search & Transfer FAST 59 88% 1,6 2,8% 13% 1,5 3,0% 13,1% Fred. Olsen Energy FOE 59 62% 2,2-0,2% 55% 2,2 0,1% 56,0% Frontline FRO 59 55% 1,3 0,6% 23% 1,3 0,7% 22,8% Norsk Hydro NHY 59 27% 1,2-0,3% 78% 1,2-0,2% 77,7% Norske Skogindustrier NSG 59 33% 1,1-2,3% 51% 1,1-2,3% 50,9% Orkla ORK 59 25% 0,9-0,2% 51% 0,9-0,3% 51,5% Pan Fish PAN 59 108% 1,3-5,9% 6% 1,3-5,9% 6,3% Petro Jarl PETRO 2 N/A N/A N/A N/A N/A N/A N/A Petroleum Geo-Services PGS 59 83% 2,4-2,3% 35% 2,4-1,9% 35,6% Prosafe PRS 59 32% 0,9 0,7% 38% 0,9 0,7% 38,6% Royal Caribbean Cruises RCL 59 44% 1,1 0,1% 24% 1,0 0,1% 24,3% SeaDrill SDRL 9 N/A N/A N/A N/A N/A N/A N/A Stolt Nielsen SNI 59 49% 1,4-1,4% 33% 1,4-1,3% 33,5% Storebrand STB 59 39% 1,4-1,6% 58% 1,4-1,5% 58,0% Statoil STL 59 24% 0,9 0,3% 57% 0,9 0,2% 57,5% Subsea 7 SUB 25 54% 1,3 4,7% 20% 1,3 4,8% 19,8% Tandberg TAA 59 60% 1,6-1,7% 29% 1,6-1,5% 29,4% Tandberg Television TAT 59 74% 2,1-0,9% 35% 2,1-0,5% 35,2% Telenor TEL 59 26% 0,8 0,1% 38% 0,8 0,1% 38,2% TGS-NOPEC Geop. Comp. TGS 59 46% 1,4 0,3% 39% 1,4 0,5% 39,7% Tomra TOM 59 49% 1,3-3,1% 28% 1,3-3,0% 28,4% Yara YAR 29 31% 1,0-0,4% 33% 1,0-0,4% 33,6% Tabell 1: Nøkkeltall og parameterestimeringer for de 25 mest likvide selskapene på Oslo Børs. Beregninger er gjort med utgangspunkt i 60 månedlige observasjoner (59 avkastningsobservasjoner) i perioden oktober, 2001 september 2006. Noen av selskapene har ikke vært notert i hele femårsperioden. Derfor baserer beregningene for disse selskapene seg på færre observasjoner (OBS). For selskaper med mindre enn 10 observasjoner har vi utelatt beregningene (N/A). Tabellen viser også årlig volatilitet for hvert selskap. Vi ser at resultatene for Single Index Model (SIM) er nær identiske med CAPM for alle selskapene. Når det gjelder tolkning av resultatene for det enkelte selskap, så må alle nøkkeltallene vurderes. Ta for eksempel Pan Fish. En betaverdi på 1,3 tilsier en noe høyere systematisk risiko enn for markedet. Men vi ser også at andelen systematisk risiko i forhold til totalrisikoen for Pan Fish er bare 6,3%. Den usystematiske (bedriftsspesifikke) risikoen til Pan Fish er på over 93%. Videre ser vi at årlig volatilitet (et mål på totalrisikoen) over femårsperioden er over 100%. I tilfellet Pan Fish har altså den systematiske risikoen (samvariasjonen med Oslo Børs) utgjort en svært ubetydelig del av risikobildet. Den bedriftsspesifikke risikoen har derimot vært desidert høyest av alle selskapene vi har med i undersøkelsen. Ingen som kjenner til nestenkonkursen til Pan Fish, kan være overrasket over denne konklusjonen. 10

Norsk Hydro, på den andre side, er det selskapet som har størst andel systematisk risiko, med 77,60%. Betaverdiene strekker seg fra 0,8 til 2,4, og ingen selskaper har så lav volatilitet som OSEAX. Diversifisering virker! 4. Oppsummering Dette notatet gir en oppskrift på hvordan man kan beregne betaverdier og systematisk/usystematisk risiko i Single Index Model (SIM) og kapitalverdimodellen (CAPM) ved hjelp av EXCEL. Vi gir en trinn-for-trinn oppskrift for hvordan relevant markedsinformasjon kan hentes fra www.oslobors.no, og videre hvordan EXCEL kan brukes for å pre-prosessere dataene og beregne parameterne i modellene. For alle praktiske formål, så gir SIM- og CAPMregresjoner identiske resultater for enkeltaksjer. 11

Appendiks: Datainnhenting og pre-prosessering i EXCEL I dette notatet har vi vist hvordan data fra nettstedet www.oslobors.no kan benyttes for å beregne betaverdier og systematisk/usystematisk risiko i Single Index Model (SIM) og kapitalverdimodellen (CAPM). Her følger en detaljert beskrivelse av datainnhentingen og preprosseringen som vi må gjøre i forkant av selve analysene. Resultatene av nedlastningene og prosesseringen finner du i EXCEL-filene NHY.xls og NORSKE_OBX.xls. Vi benytter her 5 år med månedlige data. For det første er 5 år med månedlige observasjoner standard i denne type analyser, og for det andre, historiske priser lengre tilbake i tid er ikke tilgjengelig fra www.oslobors.no. Hvis vi ser på regresjonsuttrykket i ligning (3) eller ligning (6), finner vi alle ingrediensene som er nødvendig for analysene: (a) månedlig avkastning på aksje(r), (b) månedlig avkastning på en markedsindeks i det aktuelle markedet og (c) månedlig avkastning på en risikofri plassering. 2 Alle disse tre dataseriene må dekke samme periode. Siden dataseriene er tilgjengelig som priser med daglig observasjonsintervall, følger nedlastning og prosessering for hver serie følgende prosedyre: A. Last ned 5 år med daglige historiske priser. B. Plukk ut 60 månedlige observasjoner fra de daglige prisene. C. Regn ut prosentvis avkastning fra måned til måned. A. Nedlastning av historiske priser Alle våre data er lastet ned fra www.oslobors.no (se skjermbildet i figur A1). 2 Den siste ingrediensen er kun nødvendig for SIM, ikke for CAPM. 12

Figur A1: Hjemmesiden til Oslo Børs (www.oslobors.no) Øverst i venstre hjørne finner du menyen Kurser og Marked. I denne mappen skal vi hente data. Først skal vi laste ned historiske data for Norsk Hydro. I nedtrekksmenyen under Kurser og marked velger vi aksjer. Denne siden er ganske stor. Vi scroller oss ned til vi finner Norsk Hydro (se figur A2). Figur A2: Oversikt over aksjer listet på Oslo Børs Vi klikker på tickerkoden NHY, og vi får da opp et vindu med en kort beskrivelse av industriselskapet Norsk Hydro (se figur A3) 13

Figur A3: Informasjon tilgjengelig for selskapet Norsk Hydro I menyen til venstre velger du graf og historikk. Dette genererer en såkalt interaktiv graf. I grafens høyre side krysser du av for fem år for å få ut mest mulig historikk. Grafen som produseres er vist i figur A4. Figur A4: Historisk kursutvikling til Norsk Hydro. I høyre side av grafen trykker du nå på knappen last ned. Du får da opp følgende boks: 14

Figur A5: Nedlastning av Norsk Hydros kurshistorie. Velg lagre. Før du laster fila ned på din egen datamaskin kan du eventuelt skifte navn på fila (Oslo Bors foreslår alltid navnet data.xls). Du har nå skaffet deg datasett med historisk kursinformasjon for Norsk Hydro. Vi har gjennomført denne prosedyren for de 25 mest likvide aksjene på Oslo Børs (jfr. tickerkodene i tabell 1 i teksten). I tillegg trenger vi data for markedsindeksen og rentedata. Fremgangsmåten er identisk med nedlastning av aksjedata, men vi finner dataene i litt andre underkataloger. OSEAX-indeksen: Under Kurser og Marked velger vi aksjeindekser. Scroll ned til du finner Oslo Børs All-share Index med ticker-symbol OSEAX. Herfra kan du gjenta prosedyren som er beskrevet for Norsk Hydro over. ST1X-indeksen: Under Kurser og Marked velger vi obligasjonsindekser og Statsobligasjonsind. 0.25. I den interaktive grafen velger du effektiv rente (fremfor pris), og full historikk. Eneste forskjellen ved nedlastning av indeksdata, sammenlignet med aksjedata, er at aksje- og obligasjonsindeksene ikke kan lagres direkte som EXCEL-filer. 3 Vi må derfor klippe og lime litt for å få på plass disse seriene i EXCEL. Nedenfor viser vi hvordan dette kan gjøres for OSEAX (ST1X følger identisk fremgangsmåte). Plottet til OSEAX med alternativet full historikk er 3 Vi gjetter på at Oslo Børs kommer til å fikse dette på et senere tidspunkt. 15

gitt i figur A6 under. Figur A6: Tidsserieplott av OSEAX Velg nå Vis som tabell. Merk hele tabellen ved å holde nede venstre museknapp mens du scroller deg til bunnen av tabellen (se figur A7). Når hele tabellen er merket, klikker du høyre museknapp og velger kopier fra menyen som dukker opp. Figur A7: OSEAX på tabellformat 16

Nå ligger hele tabellen lagret på utklippstavlen. Du kan nå åpne et tomt ark i EXCEL. Plasser markøren i celle A1 og trykk på høyre museknapp og velg lim inn. B. Fra daglige til månedlige observasjoner Vi har nå hentet prisdata for norske aksjeselskap, OSEAX og ST1X. Hver av disse filene består av 5 år med daglige priser. Da det endelige målet er å regne ut månedlig avkastning, må vi først plukke ut månedlige observasjoner fra våre daglige data. Igjen demonstrerer vi fremgangsmåten med Norsk Hydro. Først åpner vi prisinformasjonen for Norsk Hydro (se figur A8). Figur A8: Fem års historikk for Norsk Hydro daglige observasjoner Dager og handledager I Figur A8 ser vi innholdet i EXCEL-fila. Den inneholder daglig informasjon om Norsk Hydroaksjen fra 21/09/2001 til 20/09/2006. Bruker vi EXCEL-funksjonen ANTALL(B3:B1256), er svaret 1254. I femårsperioden har vi altså 1254 handledager. Siden EXCEL behandler alle datoer som tall kan vi gi kommandoen =A1256-A3, som viser differansen mellom slutt- og startdatoen. Vi må sørge for at celleformatet er Tall, da returneres verdien 1825. Det er altså 1825 dager i tidsrommet 21/09/2001 til 20/09/2006, men børsen holder kun åpent 1254 av disse dagene. De resterende 571 er weekender og helligdager. I perioden har det vært 250,8 handledager i snitt pr. år (1254/5=250,8). I mange markeder er det vanlig å regne med 252 handledager pr. år, men Norge har litt flere helligdager enn de fleste andre land. 17

Høy, lav og siste omsatt Vi ser at Oslo Børs oppgir en rekke tall hver dag som alle til en viss grad gjenspeiler verdien av en Norsk Hydro-aksje. Siste er verdien av aksjen på dagens siste handel. (Tilsvarer closing price eller close på engelsk). Siden vi er interessert i verdien på en Norsk Hydro-aksje ved handledagens slutt, så er dette verdien vi skal benytte i våre videre analyser. Kjøper viser den høyeste prisen en kjøper er villig til å betale for en aksje ved handledagens slutt. Selger viser den laveste prisen en selger er villig til å selge aksjen for ved handledagens slutt. Høy/lav viser den høyeste/laveste prisen aksjen er handlet for i løpet av dagen. I de siste 3 kolonnene finner vi omsetningstall. Denne informasjonen skal vi ikke benytte oss av her. Fra daglig til månedlige observasjoner Vi ønsker altså månedlige observasjoner av siste omsatte pris i våre analyser. Dette betyr at vi må selv lage et datasett med månedlige observasjoner, med utgangspunkt i datasettet med daglige observasjoner. Først merker vi hele arket, og limer inn dette i et nytt regneark som vi kaller Norsk Hydro mellomregning 1. Det første vi gjør, er å kvitte oss med informasjonen vi ikke trenger, vi sletter alle kolonnene bortsett fra A (dato) og B (siste). Måten vi plukker ut månedlige observasjoner på, skjer i 2 trinn: Først identifiserer vi de månedlige observasjonene i datasettet. Dette skjer i arket Norsk Hydro mellomregning 1. Deretter kopierer vi datasettet over i et nytt regneark Norsk Hydro mellomregning 2 og bruker sorter funksjonen i EXCEL for å samle alle de observasjonene vi er interessert i. Så sletter vi alle de andre observasjonene, og vi har vårt månedlige datasett. Identifisering av månedlige observasjoner: Plasser markøren i celle C3 og skriv inn følgende funksjon =MÅNED(A3). EXCEL returnerer 9, dvs. datoen i celle A3 tilhører den niende måneden i året (september). Kopier kommandoen til alle cellene i kolonne C. Putt så markøren i celle D4 og skriv inn kommandoen =HVIS(C4=C3;"";1). En hvissetning har følgende syntaks HVIS(logisk_test;sann;usann). En hvis-setning er en spesiell type funksjon som returnerer ulike verdier avhengig av om en logisk test er sann eller usann. Her er testen altså C4=C3. C kolonnen vår inneholder nå heltall mellom 1 og 12 som angir hvilken måned av året observasjonene befinner seg i. Hvis C4=C3, betyr det at observasjonene i rad 3 og rad 4 befinner seg i samme måned. Hvis testen er sann, forblir D4 tom (du må bruke to anførselstegn ( ) for å fortelle EXCEL at det ikke skal returneres noe som helst i cellen). Hvis testen er usann, returneres tallet 1. Ved å kopiere denne hvis-setningen nedover hele kolonne D, vil første observasjon i hver måned bli markert med et ett-tall i kolonne D (se figur A9). 4 4 En litt mer avansert hvis-setning gjør at vi kan gjennomføre hele operasjonen uten å gå veien om kolonnen med månedsobservasjoner. Følgende setning gjør dette direkte, i tillegg nummereres hver av de månedlige observasjonene; =HVIS(MÅNED(A4)=MÅNED(A5);"";ANTALL($C$3:C4)+1). Vi understreker at dette kun er en av mange muligheter for å gå fra daglige til månedlige observasjoner. Dette er en måte som er ganske enkel å gjennomføre, men samtidig litt arbeidskrevende. Dersom du er interessert i observasjoner for eksempel hver tredje onsdag i hver måned, må du tenke ut litt mer avanserte manipulasjoner av EXCELs dato-funksjoner. 18

Figur A9: Identifisering av månedlige observasjoner Konstruksjon av et månedlig datasett: Vi kopier nå hele datasettet (kolonne A-D) over i et nytt ark som vi kaller Norsk Hydro mellomregning 2. Vi ønsker nå kun å kopiere verdier, ikke de ulike dato-funksjonene vi har benyttet til å lage datasettet. Grunnen til dette er at vi nå skal sortere datasettet vårt, og det er ofte uhensiktsmessig å sortere et regneark hvor celleverdiene kan endre seg i takt med sorteringsnøkkelen. For å unngå problemer, kopierer vi kun inn verdier. Velg Rediger -> Lim inn utvalg -> Lim inn verdier i det nye arket. Vi trenger ikke lenger kolonne C, så den sletter vi. Så ønsker vi å samle de dataene vi trenger. Dette gjøres med EXCELs sorteringsrutine. Først merker vi hele regnearket. Vi velger så menyen Data > Sorter. Vi velger å sortere dataene etter kolonne C. Siden kolonnen består av tomme celler og ett-tall, vil alle ett-tallene bli rangert før de tomme cellene. Som sorteringsnøkkel nummer to velger vi kolonne A også i stigende rekkefølge. I kolonne A finner vi datoene for de enkelte observasjonene (se figur A10). 19

Figur A10: Sortering av data EXCEL finner nå det første ett-tallet med den laveste datoen blir plassert først i regnearket, så neste ett-tall med den neste laveste dato etc. Resultatet ser vi i figur A11. Sorteringsfunksjonen har sørget for at alle de observasjonene vi er interessert i, befinner seg i de 62 øverste radene. Alle de øvrige radene slettes. Vi har vårt månedlige datasett! Figur A11: Månedlig datasett - pris C Månedlig avkastning for aksjer, aksjeindekser og risikofri plassering Tallene i figur A11 viser månedlig pris på Norsk Hydro-aksjen, men vi trenger månedlig avkastning. Vi kopierer datasettet inn i arket Norsk Hydro mnd. Vi sletter kolonne C. Den trengs ikke lengre. Videre lager vi kolonneoverskriften Avkastning for kolonne C. Deretter plasserer vi markøren i celle C4. Vi legger inn formelen =(B4-B3)/B3. Dette gir oss månedsavkastning på 7,83% fra 01/10 2001 til 1/11/2001. Vi kopierer formelen for hele kolonne C. Dermed har vi 59 månedlige observasjoner for avkastningen til Norsk Hydro i femårsperioden. 20

Figur A12: Månedlig datasett - avkastning Vi har gjennomført samme prosedyre for totalindeksen (OSEAX) og de 25 mest likvide aksjene som inngår i denne. Resultatet finner du i fila NORSKE_OBX.xls. Helt til slutt skal vi vise hvordan vi går frem for å lage et månedlig datasett med risikofri rente, da dette fraviker noe fra fremgangsmåten med aksjer eller aksjeindekser. Vi benytter den effektive renten for statspapirer med 3 måneder til forfall fra obligasjonsindeksen ST1X som en proxy for den risikofrie renten i CAPM. Vi trenger prisen på et statsgarantert papir med forfall om 3 måneder. Fra denne prisen kan vi så regne ut den effektive 3 månedersrenten. I virkeligheten finnes det ikke til enhver tid en statsobligasjon med akkurat 3 måneder til forfall. For indeksen ST1X er det korte rentepapirer som inngår, og disse har i gjennomsnitt forfall om 3 måneder. Indeksen kan vises i to ulike formater, både som (normalisert) pris og som effektiv rente. Vi velger effektiv rente som ønsket format. Dermed har vi daglige observasjoner på 3 måneders risikofri rente (se figur A13). 21

Figur A13: Tidsserieplot av effektiv rente på 3 mnd statsobligasjoner (ST1X) Vi må så plotte tidsserien som tabell, merke og lagre denne, og plukke ut månedlige observasjoner på samme måte som beskrevet over. Siden dataene allerede er uttrykt som en rente, trenger vi ikke å gjennomføre den siste overgangen til månedlig avkastning. Likevel kan vi ikke bruke månedsobservasjonene direkte. Grunnen til dette er at observasjonene er på formen: effektiv rente p.a. Siden aksjeavkastningene er i prosent pr. måned, må også vårt risikofrie plasseringsalternativ være effektiv rente pr. mnd. Sammenhengen mellom årlig og månedlig rente er som følger: La p være effektiv etterskuddsrente pr. år og q være effektiv perioderente når det er m perioder pr. år. Da kan sammenhengen mellom disse størrelsene skrives som Løser vi uttrykket for q, får vi ( q) m p= 1+ 1 ( p) 1 m q = 1+ 1 Vi regner altså om fra årlig effektiv rente (p) til månedlig effektiv rente (q) ved å sette m=12 i uttrykket over. Den første observasjonen vi har for risikofri plassering er 6,83% for datoen 01/10/2001. La oss anta at 6,83 er plassert i cellen B2. Da vil følgende EXCEL-funksjon gjøre tallet om til månedlig plassering: =(1+ B2/100)^(1/12)-1. Her har vi delt 6,83 med 100 for å få tallet over på desimalform, ellers følger funksjonen direkte av formelen over. Resultatet er 0,005521 eller 0,55%. 6,83% årlig rente tilsvarer 0,55% månedlig rente. Du finner igjen rentedata i fila NORSKE_OBX.xls. Årlig effektiv rente er plassert i MND_OBS kolonne B, mens de månedlige observasjonene er plassert kolonne B i arket CAPM. 22