Rette linjer og lineære funksjoner

Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål 1 4.1 Lineære funksjoner 4. Matematiske modeller i dagliglivet 10 4.3 Lineære modeller 14 4.4 Digital graftegning 18 4.5 Lineær regresjon 4 4.6 Tall og figurer 7 4.6 Symboler, formler og eksempler 34 Læreplanmål for P Gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data Analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller Bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger

4.1 Lineære funksjoner Oppgave 4.10 Tegn grafene og finn stigningstallet og konstantleddet både ut fra uttrykket og ut fra grafen. a) f(x) = 3x 1 b) f(x) = 4x + 5 c) f(x) =,5x + 1,5 d) f(x) = 1,5x + 4,5 Vi har brukt GeoGebra til å tegne grafene, et verktøy vi må lære oss å bruke for å kunne løse enkelte oppgaver på eksamen. I kapittel 4.4 skal det brukes mye GeoGebra så det er bare å sette i gang. Grunnen til at ikke alle grafene har f som første bokstav i GeoGebra er at vi må ha forskjellige navn på grafene når de ligger i samme GeoGebra-fil. Her har vi da valgt f(x), g(x), h(x) og i(x), noe som er en vanlig måte å løse dette på. For å finne stigningstallet er det i GeoGebra ett verktøy som gjør dette enkelt for oss : Velg verktøyet, klikk på linjen (grafen) du ønsker stigningen for og GeoGebra lager en trekant med verdier som vist over i de fire figurene. Geir Granberg AUG019

For å finne stigningen manuelt utfra tegningen tegner vi en rettvinklet trekant på funksjonen og regner ut forholdet mellom den vertikale kateten og den horisontale kateten på trekanten. Stigningen (vekstfarten) = Den vertikal lengden av katetet Den horisontale lengden av katetet Vi begynner å tegne der funksjonen treffer y aksen, tegner så en rett horisontal strek mot høyre f.eks. en modul (her har denne modulen bredde 1). Avhengig av om du nå må tegne en vertikal strek opp eller ned for å treffe grafen (funksjonslinja) vet du om stigningstallet er positivt eller negativt. Oppover er positivt og nedover er negativt. For å finne stigningstallet utfra uttrykket leser vi av tallverdien foran x i funksjonsuttrykket. f(x) = 3x 1 f(x) = 4x + 5 f(x) =, 5x + 1,5 f(x) = 1, 5x + 4,5 Stigning er på + 3 Stigning er på 4 Stigning er på +, 5 Stigning er på 1, 5 For å finne stigningen (vekstfarten) til en funksjon ved regning må vi derivere. Dette er ikke pensum for dette kurset, men er egentlig ikke så krevende. Vi deriverer ledd som inneholder en ukjent, her er den ukjente x. Konstantledd blir borte. betyr her derivert, men vi ser også skriveformen d dx i matematikk-litteraturen. Eksempel : f(x) = 3x 1 f (x) 3x 1 = 3 eller d dx (3x 1) = 3 Stigningen er 3. Det står egentlig 3x 1 og da blir den deriverte 1 3 = 3 og x-en blir borte. Generell formel for derivasjonen av 3x 1 : [x r ] = rx r 1 [3x 1 ] = 1 3x 1 1 = 3x 0 = 3 1 = 3 Et eksempel til : f(x) = 3x + 4 f (x) = 3x = 6x Her hadde vi to x-er og beholder én. Konstantleddet forteller oss hvor grafen krysser y aksen (der x = 0). For å finne konstantleddet leser vi av leddet uten x i den oppgitte funksjonen. f(x) = 3x 1 f(x) = 4x + 5 f(x) =,5x + 1, 5 f(x) = 1,5x + 4, 5 Konstantleddet er 1 Konstantleddet er + 5 Konstantleddet er + 1, 5 Konstantleddet er + 4, 5 3 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.11 Prisen i kroner for en drosjetur på x kilometer er gitt ved funksjonen P(x) = 30x + 40 Tegn en graf som viser prisen for turer mellom 0 km og 0 km. Velger her å bruke GeoGebra til å tegne grafen. I funksjonsfeltet til GeoGebra velger vi : Skriv så inn verdiene : og trykker enter. Vi får da denne grafen. Har her laget teksten P(x) = 30x + 40 manuelt med verktøyet i GeoGebra for selv å kunne velge størrelse og plassering av teksten. 4 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.1 Tante Maggi har 50 000 kr i et skrin på kjøkkenet. Hun tar ut 000 kr per måned. Etter x måneder er beløpet i kroner B(x) = 00x + 50 000 Tegn en graf som viser beløpet i skrinet frem til skrinet er tomt. Velger å bruke GeoGebra til å tegne grafen. I funksjonsfeltet til GeoGebra velger vi : Skriver så inn verdiene : og trykker enter. I grafen over er 0 et naturlig startpunkt da dette er tidspunktet når det fremdeles ligger 50 000 kr i skrinet på kjøkkenet. Finner ut at vi må multiplisere 000 med 5 for å få 50 000, dermed blir intervallet (begrensningen til funksjonen) 0 til 5. 5 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.13 Finn likningene for linjene ved å lese av konstantleddet og stigningstallet. a) b) y y 5 4 3 5 4 (0, 4) 3 1 - - 5-4 - 3 - - 1 1-1 1 3 4 5 x - 5-4 - 3 - - 1 1-1 1 3 4 5 x - (0, -3) - 3-4 1 - - 3-4 - 5-5 Konstantleddet finner vi der x=0 og funksjonslinjen (grafen) krysser y-aksen. Her leser vi av punktet (0, 3). Det betyr konstantleddet er 3. Stigningstallet finner vi ved å tegne en rettvinklet trekant på funksjonen og regner ut forholdet mellom den vertikale kateten og den horisontale kateten på trekanten. Se figuren. Her er dette forholdet : 1 = Stigningstallet er. Vi kan nå finne ligningen for den rette linja :. y = ax + b., der stigningstallet (a) =, og konstantleddet (b) = 3 Ligningen for den rette linja : y = x 3 Eller skrevet på en annen måte : f(x) = x 3 Konstantleddet finner vi der x=0 og funksjonslinjen (grafen) krysser y-aksen. Her leser vi av punktet (0, 4). Det betyr konstantleddet er 4. Stigningstallet finner vi ved å tegne en rettvinklet trekant på funksjonen og regner ut forholdet mellom den vertikale kateten og den horisontale kateten på trekanten. Se figuren. Her er dette forholdet : 1 = Stigningstallet er. Vi kan nå finne ligningen for den rette linja :. y = ax + b., der stigningstallet (a) =, og konstantleddet (b) = 4 Ligningen for den rette linja : y = x + 4 Eller skrevet på en annen måte : f(x) = x + 4 6 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.14 Ei linje går gjennom punktene (, 1) og (4, 5) a) Tegn linja. b) Finn konstantleddet og stigningstallet for linja. c) Finn likningen for linja. Bruker GeoGebra. Lager først punktene (, 1) og (4, 5) ved å: I Algebrafeltet vises: Bruker funksjonen:. Klikker først på punktet A så på punktet B. Vi får da denne linjen i GeoGebra. 7 Geir Granberg AUG019

b) Finn konstantleddet og stigningstallet for linja. I Algebrafeltet vises funksjonen x + y = 3 slik som vi ser her: men denne skriveformen er vi ikke vant til, så vi høyreklikker på funksjonen og velger Likning y = a x + b. Vi får da y = x 3 som vi ser her: Vi leser av stigningstallet og konstantleddet som er 3. Finne stigningstallet (a) ved regning: Vi har to punkter (, 1 ) og ( 4, 5 ). Da er ( x 1, y 1 ) = (,1 ) og ( x, y ) = ( 4, 5 ). Bruker formelen: a = y y 1 x x 1 = 5 1 4 = 4 = Stigningstallet = Vi kan også finne stigningstallet i GeoGebra som har ett verktøy som gjør dette for oss : Velg verktøyet, klikk på funksjonslinjen (grafen) du ønsker stigningen for og GeoGebra lager en trekant med verdier for stigningen. Finne konstantleddet (der linja krysser y-aksen) manuelt: Vi setter x = 0 i ligningen y = x 3 y = 0 3 = 3 Konstantleddet = 3 Vi kan også finne konstantleddet ved å se på funksjonen der funksjonen krysser y-aksen. Her er det lett å se at dette er 3. c) Finn likningen for linja. I Algebrafeltet vises funksjonen x + y = 3 slik som vi ser her: men denne skriveformen er vi ikke vant til, så vi høyreklikker på funksjonen og velger Likning y = a x + b. Vi får da y = x 3 som vi ser her: Ligningen for linja er: y = x 3 En annen metode for å finne ligningen til den rette linja :. y = ax + b., der stigningstallet (a) =, og konstantleddet (b) = 3 Ligningen for den rette linja : y = x 3 Eller skrevet på en annen måte : f(x) = x 3 8 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.15 Ei linje går gjennom punktene ( 3, 3) og (3, 0). Finn likningen for linja. Lager først punktene ( 3, 3) og (3, 0) i GeoGebra ved å : Bruker funksjonen:. Klikker først på punktet A så på punktet B. I Algebrafeltet vises: Vi får denne linja i GeoGebra: Finner ligningen : høyreklikk velg... får så Ligningen for linja er : y = 0,5x + 1,5 9 Geir Granberg AUG019

4. Matematiske modeller i dagliglivet Oppgave 4.0 a) Bruk modellen til Bjørnar og regn ut prisen i norske kroner for en topp som koster 6700 islandske kroner, et par sko som koster 15 000 islandske kroner og ei jakke som koster 48 000 islandske kroner. Topp 6700 ISK Sko 15 000 ISK Jakke 48 000 ISK Bjørnars modell 670Ø = 335 NOK 15 00Ø = 750 NOK 48 00Ø = 400 NOK b) Finn de nøyaktige prisene i oppgave a) når kursen er 0,050. Topp 6700 ISK Sko 15 000 ISK Jakke 48 000 ISK Nøyaktige priser 6700 0,050 = 348, 40 NOK 15 000 0,050 = 780 NOK 48 000 0,050 = 49 NOK c) Forklar med ord hvordan du kan regne om fra norske kroner til islandske kroner. Ta utgangspunkt i Bjørnar sin modell. Finn prisen i norske kroner, legg til en null som siste siffer og multipliser det nye tallet med to. d) En genser koster 960 kr i Norge. Bruk modellen i oppgave c) til å finne ut omtrent hvor mange islandske kroner det svarer til. Prisen i norske kroner er 960. Legger til en 0 som siste siffer og får 9600. Multipliserer den nye prisen med to og får 19 00. Oppgave 4.1 En dag er kursen på svenske kroner 95,05. Da er 100 svenske kroner det samme som 95,05 norske kroner. a) Lag modell som du kan bruke til å regne om fra svenske til norske kroner uten å bruke lommeregner. Setter norsk krone (NOK) og svensk krone (SEK) likt, men for hver hundrelapp trekker jeg fra 5 kroner. b) Hvordan blir modellen når du skal regne om fra norske kroner til svenske? 400 SEK til NOK : 400 SEK = 400 NOK (5 4) = 400 0 = 380 NOK 10 Geir Granberg AUG019

c) Velg et beløp i norske kroner og regn om til svenske kroner med modellen din. 600 NOK til SEK : 600 NOK = 600 SEK + (5 6) = 600 + 30 = 630 SEK Vis dette beløpet til en medelev og be henne eller ham bruke modellen sin fra oppgave a) og regne tilbake til norske kroner. 630 SEK til NOK : 630 SEK = 630 NOK (5 6) = 630 30 = 600 NOK Hvor godt stemmer svaret fra denne eleven med det beløpet du valgte? Svarene er like og stemmer bra for denne type omtrentlig regning. Oppgave 4. a) Du skal måle to avstander. Kroppshøyden din og navlehøyden din. Navlehøyden er avstanden fra navlen din og ned til golvet. Målene skal være i centimeter. Kroppshøyden kaller vi x, og navlehøyden kaller vi y. Regn ut forholdet y x. Kroppshøyden x er hos Geir 164,5 og navlehøyden y er 10,. Forholdet blir da: y x = 10, 164,5 = 0,61 b) Vi sier at et punkt P deler et linjestykke i det gylne snitt hvis forholdet mellom lengden y av den lengste delen og lengden x av hele linjestykket er lik 0,618, altså hvis y x = 0,618 y P Bruk resultatet fra oppgave a) og se om navlen din deler kroppen i det gylne snittet. Regnet ut at det gylne snitt for Geir sin kropp til å være 0,61. Finner så ut hvor mange prosent avvik dette er ved å bruke regning med forhold. 0,618 = 0,61 100 % x % x x = 100,485 Geir avviker 100,485 % 100 % = +0,485 % fra det gylne snitt. Oppgave 4.3 La x være temperaturen målt i celsiusgrader. Da er temperaturen y målt i fahrenheitgrader gitt ved y = 1,8x + 3 a) Hva er temperaturen i fahrenheitgrader når den er 5? Bruker formelen y = 1,8x + 3 og setter inn verdien for celsiusgrader istedenfor x. y = 1,8x + 3 = (1,8 5) + 3 = 77 11 Geir Granberg AUG019

b) Hva er temperaturen i celsiusgrader når gradestokken viser 7? Bruker formelen y = 1,8x + 3 og setter inn verdien for fahrenheitgrader istedenfor y. y = 1,8x + 3 7 = 1,8x + 3 7 3 = 1,8x 40 = 1,8x 40 = x x =, 1,8 c) Bruk modellen i oppgave c) i eksempelet foran til å løse oppgave a). Først ganger vi 5 med og får 50. Deretter trekker vi fra en tidel, som er 5. Det gir 45. Til slutt legger vi til 3 og får 77. 5 svarer til 77. Oppsummerer hva vi gjør over med tall : 5, 1 10, +3 d) Bruk modellen i oppgave d) i eksempelet foran til å løse oppgave b). Først trekker vi 3 fra 7 og får 40. Det deler vi med og får 0. Så legger vi til en tidel som er. Da får vi. 7 svarer til. Oppsummerer hva vi gjør over med tall : 3,, + 1 10 Oppgave 4.4 Vi ser nå på en matematisk modell for stopplengden til en bil. Stopplengden avhenger blant annet av underlaget og av farten til bilen. I denne oppgaven er x tidelen av farten målt i kilometer per time. Hvis farten for eksempel er 80 km/h, er x=8. Forhold Tørr asfalt Våt asfalt Vinterføre Stopplengde s = 0,5x + 3x s = x + 3x s = x + 3x Finn stopplengden på tørr asfalt, på våt asfalt og på vinterføre når farten er a) 40km/h b) 60 km/h c) 80km/h Lager en tabell da oppgaven er gitt som en tabell. Forhold Stopplengde Hastighet x Beregnet stopplengde Tørr asfalt s = 0,5x + 3x 40 km/h 4 s = 0,5x + 3x = 0,5 4 + 3 4 = 0 meter Våt asfalt s = x + 3x 40 km/h 4 s = x + 3x = 4 + 3 4 = 8 meter Vinterføre s = x + 3x 40 km/h 4 s = x + 3x = 4 + 3 4 = 44 meter Tørr asfalt s = 0,5x + 3x 60 km/h 6 s = 0,5x + 3x = 0,5 6 + 3 6 = 36 meter Våt asfalt s = x + 3x 60 km/h 6 s = x + 3x = 6 + 3 6 = 54 meter Vinterføre s = x + 3x 60 km/h 6 s = x + 3x = 6 + 3 6 = 90 meter 1 Geir Granberg AUG019

Tørr asfalt s = 0,5x + 3x 80 km/h 8 s = 0,5x + 3x = 0,5 8 + 3 8 = 56 meter Våt asfalt s = x + 3x 80 km/h 8 s = x + 3x = 8 + 3 8 = 88 meter Vinterføre s = x + 3x 80 km/h 8 s = x + 3x = 8 + 3 8 = 5 meter For en visuell forståelse av funksjonene brukt i oppgavene viser vi disse ved hjelp av GeoGebra. 13 Geir Granberg AUG019

4.3 Lineære modeller Oppgave 4.30 Figuren er hentet fra Adresseavisen og viser hvor mange millioner minutter vi i Norge snakket i fasttelefon, i mobiltelefon og i bredbåndstelefon i hvert av årene fra 001 til 01. Antall millioner taleminutter 0000 18000 16000 14000 Fasttelefon 1000 10000 8000 6000 4000 000 Mobiltelefon Bredbåndstelefoni 001 00 003 004 005 006 007 008 009 010 011 01 a) Hvor mange minutter snakket hver nordmann i fasttelefon i 01? Antall millioner taleminutter 0000 18000 16000 14000 Fasttelefon 1000 10000 8000 6000 4000 Mobiltelefon 000 Bredbåndstelefoni 001 00 003 004 005 006 007 008 009 010 011 01 Bruker rød stiplet linje i oppgave a). Leser av grafen og finner at det var 350 millioner taleminutter i 01 som skal fordeles på 5 millioner nordmenn: 3 50 000 000 minutter 5 000 000 = 650 minutter per nordmann Hvor mange minutter snakket vi i mobiltelefon det året? Regn med at vi er 5 millioner mennesker. Leser av grafen og finner at det var 1 850 millioner taleminutter i 01 som skal fordeles på 5 millioner nordmenn: 1 850 000 000 minutter 5 000 000 = 570 minutter per nordmann 14 Geir Granberg AUG019

b) Bruk tallene fra 001 og 01 til å lage en lineær modell for hvor mange millioner minutter vi snakket i fasttelefon i perioden 001-01. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: Årstall 001 01 x (år) 0 11 y (taleminutter) 17 350 350 Bruker funksjonen:, og klikker på A og så på B for å lage linjen. c) Når kommer vi til å slutte å snakke i fasttelefon ut fra modellen i oppgave b? I 001 + 13,5355 år = 195 dager inn i 014 d) Bruk tallene for 001 og 01 til å lage en lineær modell for hvor mange millioner minutter vi snakket i mobiltelefon i perioden 001-01. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: Årstall 001 01 x (år) 0 11 y (taleminutter) 3550 1 850 Bruker funksjonen:, og klikker på D og så på E for å lage linjen. e) Når snakket vi like mye i fasttelefon som i mobiltelefon ut fra modellen fra oppgavene b og d? Lager punktet F ved hjelp av: Vi snakket like mye i fasttelefon som mobiltelefon 6,487 år etter 001. 178 dager inn i 007. 15 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.31 Tabellen viser folketallet i verden i milliarder fra 1970 og frem til 010. Her er x antall år etter 1970. Årstall 1970 1980 1990 000 010 x (år) 0 10 0 30 40 Folketall (milliarder) 3,7 4,4 5,3 6,1 6,8 a) Bruk folketallet i 1970 og folketallet i 010 til å lage en lineær modell for folketallet i milliarder x år etter 1970. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (år) 0 40 y (folketall) 3,7 6,8 Bruker funksjonen: Eller bruk funksjonen:, og klikker på A og så på B for å lage linjen. for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. b) Hvordan passer modellen med de andre folketallene i tabellen? Skriver inn : og får tre nye punkter D, E og F. Som vi ser passer disse godt inn i modellen. c) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 050 være 9,4 milliarder. Hvordan passer modellen i oppgave a med denne prognosen? Skriver inn: fordi år 050 er 80 år etter 1970. Lager ett punkt med. Punktet har her navnet C og viser oss at i følge modellen skal det være 9,9 mrd mennesker i 050. Modellen viser et for høyt folketall ifølge prognosen. Oppgave 4.3 for et nyfødt barn i Botswana. Her er x antall år etter 1950. Tabellen viser ventet levealder 16 Geir Granberg AUG019

År 1950 1960 1970 1980 1990 x (år) 0 10 0 30 40 Levealder (år) 48 5 56 6 63 a) Bruk tallene for 1950 og 1990 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (år) 0 40 y (levealder) 48 63 b) Hvor godt passer modellen for året 1970? Bruker funksjonen: for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. Eller bruk funksjonen: der du først klikker på A og så på B. For å lage punktet C for 1970 (1950 +0) og levealder = 56: Modellen passer meget godt for levealderen til nyfødte barn i Botswana for året 1970. c) Hvilken ventet levealder gir modellen for året 010? Skriver inn: og lager punktet D med som viser en forventet levealder på 70.5 i 010. Som er 70,5 år. d) I 010 var ventet levealder i Botswana 53 år. Hvordan forklarer du at modellen passer så dårlig for 010? Når ventet levealder i Botswana i 010 er lavere enn ventet levealder i 1970 betyr det at populasjonen mennesker har blitt utsatt for ytre påvirkninger som er av en spesiell art, her kan tenkes epidemier, krig og sultkatastrofer... 17 Geir Granberg AUG019

4.4 Digital graftegning Oppgave 4.40 Tegn linjene digitalt. a) y = 3x 1 b) y = x + 7 c) y = 3,7x,4 d) y = 3 x + 1 3 Velger å bruke GeoGebra. Men først, husk: Og så: og aktiver: I inntastingsfeltet: Bytter navn på linjene slik at de heter a, b, c, og d ved å høyreklikke på navnet og. Farge og Stil på linjene endres ved å høyreklikk på linjen, velg Hvordan kopier Grafikkfelt med beste kvalitet fra GeoGebra til et tekstdokument (f.eks. Word): 18 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.41 Sigrid er fra Oslo, men hun studerer i Trondheim. Avstanden er 560 km. Hun skal hjem på ferie og kjører fra Trondheim med jevn fart. Etter x timer er avstanden fra Oslo i kilometer gitt ved f(x) = 560 70x a) Hvor lang tid bruker hun på kjøreturen til Oslo? Vi skal finne ut når leddet 560 70x er 0. 0 = 560 70x 560 70 Sigrid bruker 8 timer på kjøreturen. b) Tegn digitalt en graf som viser avstanden helt til hun kommer hjem. c) Finn digitalt hvor langt hun er fra Oslo etter 4 timer. d) Finn digitalt hvor lang tid det går før hun har 140 km igjen. = x x = 8 I inntastingsfeltet: I punktet C leser vi av verdiene 4, 80 som betyr at Sigrid har igjen 80 km å kjøre etter 4 timer. Det betyr at hun har kjørt 560 80 = 80 km. I punktet D leser vi av verdiene 6, 140 som betyr at Sigrid har igjen 140 km å kjøre etter 6 timer. Det betyr at hun har kjørt i 6 timer når hun har 140 km igjen. 19 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.4 Tante Maggi har 10 000 kroner i et skrin på kjøkkenet. Hun sparer fra nå av 1500 kroner per måned og legger pengene i skrinet. Etter x måneder er beløpet y i kroner gitt ved f(x) = 1500x + 10000 a) Tegn digitalt grafen til f for 0 x 4. Viser her to måter å skrive inn funksjonen f(x) = 1500x + 10000 i GeoGebra. Oppgaven sier «de neste 4 månedene» som betyr fra nå som er 0 og til 4 som er sluttpunktet. For å få til dette i GeoGebra skriver vi inn verdiene på en litt annen måte. Funksjonen skrevet slik at den ikke har noen start og slutt, men fortsetter i det uendelige: Funksjonen skrevet slik at den starter på 0 og avsluttes ved 4: For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x- og yakse: 0 Geir Granberg AUG019

b) Hvor mye penger har tante Maggi etter 6 måneder? Vi kan lese av grafen, men velger her å regne ut ved hjelp av funksjonen f(x). f(x) = 1500 x + 10 000 x = 6 som vi setter inn i formelen f(6) = 1500 6 + 10 000 = 19 000 kr c) Hvor lang tid tar det før Maggi har 37 000 kr i skrinet? Vi kan lese av grafen, men velger her å regne ut ved hjelp av funksjonen f(x). f(x) = 1500 x + 10 000 f(x) = 37 000 som vi setter inn i formelen : 37 000 = 1500 x + 10 000 37 000 = 1500 x + 10 000 37 000 10 000 = 1500 x x = 7 000 1500 = 18 måneder Oppgave 4.43 Tegn linja digitalt når a) f(x) = x + 10 og x er mellom 10 og 10. Funksjonen skrevet slik at den starter på 10 og avsluttes ved 10 : For bare å vise både x-akse og y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Fjern avkrysning for Bare i positiv retning: 1 Geir Granberg AUG019

b) y = 0,05x + 10 og x er mellom 0 og 0. Funksjonen skrevet slik at den starter på 0 og avsluttes ved 0 : For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x- og yakse: Geir Granberg AUG019

c) y = 0,0x + 1000 og x er mellom 0 og 100 000. For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x- og yakse: 3 Geir Granberg AUG019

4.5 Lineære regresjon Oppgave 4.50 Tabellen viser folketallet i verden i millioner i perioden 1970-010. Her er x antallet år etter 1970. Årstall 1970 1980 1990 000 010 x (år) 0 10 0 30 40 Folketall (millioner) 3708 4447 574 6073 685 a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for folketallet y i millioner x år etter 1970. I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager en vertikal linje for året 050: og så punktet F med. b) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 050 være 9404 millioner. Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen? Modellen viser at folketallet i 050 (1970+80) vil være 10019.. Dette er 615 millioner mer. Modellen passer ikke så godt. Oppgave 4.51 4 Geir Granberg AUG019

Tabellen viser den gjennomsnittlige høyden h for norske guttebarn etter alderen x. x (år) 4 6 8 10 1 14 y (cm) 104 118 131 14 153 167 a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for gjennomsnittshøyden y i centimeter når guttene er x år. I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager også en vertikal linje for alder = 18 år til oppgave c): og så punktet H med. b) Hvor høye er guttene i gjennomsnitt ved fødselen ifølge denne modellen? Er det en rimelig verdi? Skjæringspunktet G, viser at modellen gir en høyde ved fødselen som er 80.419 cm. Verdien er helt urimelig da 48 54 cm ved fødselen er det normale. c) Hvilken høyde gir modellen for gutter på 18 år? Vurder gyldighetsområdet ved å finne ut hvilken aldergruppe denne modellen kan passe for. Punkt H gir oss i denne modellen en høyde på 191.476 cm. Dette er en for høy verdi. Gyldighetsområdet ser ut til å være noe mindre enn 4 år og noe mer enn 14 år. Oppgave 4.5 5 Geir Granberg AUG019

a) Bruk tabellen i oppgave 4.3 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana x år etter 1950. Tabellen hentet fra oppgave 4.3: År 1950 1960 1970 1980 1990 x (år) 0 10 0 30 40 Levealder (år) 48 5 56 6 63 I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager en vertikal hjelpelinje for året 010: og så punktet H med. b) Hvor godt passer modellen for året 1970? For 1970, punkt C (x=0), passer modellen meget godt. c) I 010 var forventet levealder i Botswana 53 år. Hvordan passer modellen for dette året? Modellen viser en levealder på 7. år, dette passer meget dårlig med modellen. 6 Geir Granberg AUG019

4.6 Tall og figurer Oppgave 4.60 a) Velg to naturlige tall som følger etter hverandre. Finn summen av tallene og differansen av kvadratet av tallene. Hva ser du? Velger tallene 3 og 4. Summen av tallene: 3 + 4 = 7 Kvadratet av tallet 3 3 = 9 Kvadratet av tallet 4 4 = 16 Differansen av kvadratet av tallene : 16 9 = 7 Ser at summen av tallene og differansen av kvadratet til tallene er det samme. b) Prøv det samme med andre naturlige tall som følger etter hverandre. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Velger tallene 4 og 5. Velger tallene 5 og 6. Summen av tallene: 4 + 5 = 9 Kvadratet av tallet 4 4 = 16 Kvadratet av tallet 5 5 = 5 Differansen av kvadratet av tallene : 5 16 = 9 Summen av tallene: 5 + 6 = 11 Kvadratet av tallet 5 5 = 5 Kvadratet av tallet 6 6 = 36 Differansen av kvadratet av tallene : 36 5 = 11 Summen av tallene og differansen av kvadratet til tallene er det samme. c) Prøv å forklare regelen ved å tegne opp kvadrattallene som figurtall. K 3 = 9 K 4 = 16 K 5 = 5 K 6 = 36 7 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.61 a) Velg to naturlige tall slik at det ene er større enn det andre. Finn summen av tallene og differansen mellom kvadratet av tallene. Prøv med flere slike tall og se etter et system. Velger tallene 3 og 5. Velger tallene 4 og 6. Velger tallene 5 og 7. Summen av tallene: 3 + 5 = 8 Kvadratet av tallet 3 3 = 9 Kvadratet av tallet 5 5 = 5 Differansen av kvadratet av tallene : 5 9 = 16 Summen av tallene: 4 + 6 = 10 Kvadratet av tallet 4 4 = 16 Kvadratet av tallet 6 6 = 36 Differansen av kvadratet av tallene : 36 16 = 0 Summen av tallene: 5 + 7 = 1 Kvadratet av tallet 5 5 = 5 Kvadratet av tallet 7 7 = 49 Differansen av kvadratet av tallene : 49 5 = 4 Summen av tallene er halvparten av differansen av kvadratet til tallene. b) Velg to naturlige tall slik at det ene er 3 større enn det andre. Finn summen av tallene og differansen mellom kvadratet av tallene. Prøv med flere slike tall og se om du kan finne et system. Velger tallene 3 og 6. Velger tallene 4 og 7. Velger tallene 5 og 8. Summen av tallene: 3 + 6 = 9 Kvadratet av tallet 3 : 3 = 9 Kvadratet av tallet 6 : 6 = 36 Differansen av kvadratet av tallene : 36 9 = 7 Summen av tallene: 4 + 7 = 11 Kvadratet av tallet 4 4 = 16 Kvadratet av tallet 7 7 = 49 Differansen av kvadratet av tallene : 49 16 = 33 Summen av tallene: 5 + 8 = 13 Kvadratet av tallet 5 5 = 5 Kvadratet av tallet 8 8 = 64 Differansen av kvadratet av tallene : 64 5 = 39 Summen av tallene er en tredel av differansen av kvadratet til tallene. c) Se på det du fant ut i oppgave a) og b). Hvilken regel ser ut til å gjelde? Differansen av kvadratet til tallene øker i takt med summen av tallene. De er da proporsjonale størrelser og det kan utformes formler og regler for denne sammenhengen. 8 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.6 a) Finn summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste positive oddetallene. Hvilken regel ser ut til å gjelde? De to minste oddetallene: 1 + 3 = 4 De tre minste oddetallene: 1 + 3 + 5 = 9 De fire minste oddetallene: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 De fem minste oddetallene: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 Summen av oddetallene er lik kvadratet av antall oddetall. (Forutsatt at vi starter på 1) Antallet oddetall (n) b) Prøv ut regelen din ved å summere flere oddetall. De seks minste oddetallene: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 De syv minste oddetallene: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 De åtte minste oddetallene: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 De ni minste oddetallene: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 Roten ( ) til svaret blir alltid antall oddetall. F.eks. 16 = 4 oddetall, 1 3 5 7. c) Finn summen av de 50 minste oddetallene. n = 50 = 500 Oppgave 4.63 Nå skal vi se på noen figurtall som vi kan kalle rektangeltall. Her er de minste rektangeltallene. R 1 = R = 6 R 3 = 1 a) Finn rektangeltallene R 4 og R 5. R 4 = 0 R 5 = 30 9 Geir Granberg AUG019

b) Prøv å finne et system i rektangeltallene slik at du kan regne ut rektangeltallet R 50. n R n n+1 R n = n (n + 1) R 50 = 50 (50 + 1) = 550 c) Finn summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste positive partallene. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Prøv ut regelen ved å summere flere partall. De to minste partallene. Summen av tallene: + 4 = 6 De tre minste partallene. Summen av tallene: + 4 + 6 = 1 De fire minste partallene. Summen av tallene: + 4 + 6 + 8 = 0 De fem minste partallene. Summen av tallene: + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 Legg merke til at: n (n + 1) = n + n Antall partall + antall partall = Summen av partallene n + n = + = + 4 = 6 n + n = 3 + 3 = 3 + 9 = 1 n + n = 4 + 4 = 4 + 16 = 0 n + n = 5 + 5 = 5 + 5 = 30 d) Bruk dette til å finne summen av de 50 minste positive partallene. Antall partall + antall partall = Summen av partallene n + n = 50 + 50 = 50 + 500 = 550 30 Geir Granberg AUG019

Oppgave 4.64 Nå skal vi se på noen tall som vi kaller trekanttall. Her er de minste trekanttallene: T 1 = 1 T = 3 T 3 = 6 T 4 = 10 a) Finn trekanttallene T 5 og T 6. T 5 = 15 T 6 = 1 b) Vi kan vise at vi har denne formelen for trekanttall (T) nummer n. T n = n (n + 1) Undersøk om denne formelen passer for trekanttallene T 5 og T 6 som du fant i oppgave a). Finn trekanttallet T 0. T 5 = 5 (5+1) = 5 6 = 15 T 6 = 6 (6+1) = 6 7 = 1 T 0 (0+1) 0 1 0 = = = 10 c) Se på summen av to trekanttall som følger etter hverandre. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Hvordan kan du bruke kulene til å vise at regelen din er riktig? T 1 = 1 T = 3 T 3 = 6 T 4 = 10 T 5 = 15 T 6 = 1 T n = n (n+1) 31 Geir Granberg AUG019

d) Finn summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste naturlige tallene. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Hvordan kan du ved hjelp av kulene se at denne regelen er riktig? Bruk denne regelen til å finne summen av de 40 minste naturlige tallene. De to minste naturlige tallene: De tre minste naturlige tallene: De fire minste naturlige tallene: De fem minste naturlige tallene: 1 + = 3 1 + + 3 = 6 1 + + 3 + 4 = 10 1 + + 3 + 4 + 5 = 15 T n = n (n + 1) T 40 = 40 (40 + 1) = 40 41 = 80 Oppgave 4.65 Vi skal lage figurtall ved å legge kuler oppå hverandre. Figuren nedenfor viser de tre første pyramidetallene 1, 5 og 14. a) Finn pyramidetall nr. 4 og nr. 5. Her ser vi kulene lagt oppå hverandre ovenfra. Pyramidetall nr. 4: Den grønne kula har vi n = 1. Ser at kulelagene er kvadratiske: 1,, 3. Det betyr at neste lag er 4. Vi har da 1 + 4 + 9 + 16 = 30. Pyramidetall nr. 5: Har fra tidligere i oppgaven de kvadratiske kulelagene : 1,, 3, 4. Det betyr at neste lag er 5. Vi har da 1 + 4 + 9 + 16 + 5 = 55. 3 Geir Granberg AUG019

b) Vi kan vise at pyramidetall nr. n er gitt ved n (n + 1) (n + 1) 6 Undersøk om denne formelen stemmer med de tallene du fant i oppgave a) n = 4 n (n+1) (n+1) 4 (4+1) ( 4+1) = = 4 5 9 = 180 = 30 som stemmer 6 6 6 6 n = 5 n (n+1) (n+1) 5 (5+1) ( 5+1) = = 5 6 11 = 330 = 55 som stemmer 6 6 6 6 c) Hvilken sammenheng er det mellom pyramidetallene og kvadrattallene? Den grønne kula har vi n=1. Det vi her ser er de tre første lagene av kuler og vi kan telle at de inneholder henholdsvis 1, 4 og 9 kuler. Dette er kvadrattallene. Når vi legger sammen antallet i lag med foregående lag får vi pyramidetallene 1, 5, 14... 33 Geir Granberg AUG019

Symboler, formler og eksempler Stigning for en rett linje Eksempel: Vi har en rett linje som går gjennom punktene (1, ) og (3, 4). Finn stigningstallet (a). y y y y 4 (3, 4) 4 4 4 (y ) 3 3 3 y) 3 (1, ) (y 1 ) 1 1 1 x) 1 (x 1 ) (x ) 0 1 3 4 x 0 1 3 4 x 0 1 3 4 x 0 1 3 4 x Figur 1 Figur Figur 3 Figur 4 Figur 1 Viser punktene (1, ) og (3, 4) som er avmerket med. Trekker en rett linje gjennom punktene (1, ) og (3, 4). Har også tegnet inn en rettvinklet hjelpetrekant. Figur Leser av høyde og bredde på hjelpetrekanten og kan så beregne stigningstallet (a). Stigningstallet (a) = = 1 Figur 3 Leser av endringen på hjelpetrekanten både for x og y. Endringen i y er y og endringen i x er x. Stigningstallet (a) = y x = = 1 Figur 4 Gir navn til start- og stoppunktene i hjelpetrekanten: x 1, x, y 1 og y. De oppgitte punktene (1, ) og (3, 4) er da (x 1, y 1 ) og (x, y ). Stigningstallet a = y y 1 x x 1 = 4 3 1 = = 1.Funksjonen til den rette linjen:. y = x + 1 eller f(x) = x + 1 x, stigningstallet er 1. +1, linjen krysser y-aksen i y=1..tegne den rette linjen i GeoGebra:. I inntastingsfeltet nederst på siden:, eller..finne stigningstallet (a) i GeoGebra:. Bruker verktøyet. Får da i Algebrafeltet:, som viser at stigningstallet er 1. 34 Geir Granberg AUG019

Naturlige tall 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 13, 14, 15, 16, 17... Summen av av n antall naturlige tall når vi starter på 1 er gitt ved formelen: n (n+1)... eller du kan jo tenke som 8 år gamle Carl Friedrich Gauss da han fikk i oppgave av sin lærer J.G. Büttner å addere (legge sammen) alle tall fra og med 1 til og med 100. Carl Friedrich innså raskt at en parvis addisjon av tallene fra motsatt ende av rekken var en god metode... (1 + 100, + 99... 49 + 5, 50 + 51 ) som ble 101 + 101... 101 + 101. og det var 50 av dem så: 101 x 50 =5050 Partall, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16... (Partall kan også skrives som: n) Summen av n antall partall når vi starter på er gitt ved formelen: n (n + 1) = n + n Oddetall 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17... (Oddetall kan også skrives som: n + 1) Summen av n antall oddetall når vi starter på 1 er gitt ved formelen: n Kvadrattall (K n ) Når vi kvadrerer (opphøyer i andre, n ) et naturlig tall får vi et kvadrattall. K n = n Eksempler: K 1 = 1 = 1 K = = 4 K 3 = 3 = 9 K 4 = 4 = 16... Rektangeltall (R n ) R n = n (n + 1) = n + n Trekanttall (T n ) T n = n (n+1) = n +n 35 Geir Granberg AUG019

Figurtall Kvadrattall: K n = n K 1 = 1 K = 4 K 3 = 9 K 4 = 16 K 5 = 5 Rektangeltall: R n = n (n + 1) R 1 = R = 6 R 3 = 1 R 4 = 0 Trekanttall: T n = n (n+1) T 1 = 1 T = 3 T 3 = 6 T 4 = 10 T 5 = 15 Trekanttall: T n = n (n+1) T 1 = 1 T = 3 T 3 = 6 T 4 = 10 T 5 = 15 36 Geir Granberg AUG019