> with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords has been redefined OBLIG - MAT 2 Høsten 2 Oppgave a) > A:=<< 4 >, <2 2 >, < 2 2>, <2 4 4 >>; A := 4 ù 2 2 2 2 2 4 4 Poenget er selvsagt at A er invertibel, f.eks. siden det(a) = -6 : > Determinant(A); -6 Gitt C := AB kan da vi alltid gjenfinne B ved å beregne A (-) C siden A (-) C =A (-) AB = B. Hvis A ikke er invertibel vil det kunne hende at C = AB = AB' for B' forskjellig fra B slik at B ikke vil kunne rekonstrueres fra C. (At dette alltid vil kunne hende når A er en ikke-invertibel heltallsmatrise, for passende valg av B og B' som tilfredstiller kravene i oppgaven, krever en viss argumentasjon; man kan da begrunne at passende B og B' som tilfredstiller kravene i oppgaven kan alltid velges slik at B' = B + N for en 4 x 4 - heltallsmatrise N som ikke er -matrisen og som har kolonnevektorer som alle ligger i Nul(A); får da at AB' = AB + AN = AB + = AB = C, og B' er forskjellig fra B. Det kreves ikke noe utredning av dette i besvarelsene).
Opp. b) > C:=Matrix([[,,, 6], [, 26, 49, 2], [29,, 9, 2], [4, 4, 2, 6]]); C := 6ù 26 49 2 29 9 2 4 4 2 6 > S:= MatrixInverse(A); Finner da tilbake B ved > B:=S.C; S := B := -4-6 - 6 6-6 -4-6 4ù 22 4 - - ù 2 4 6 2 så kundens kontonummer er 246 og dets kode er 2. Opp.c) (ikke obligatorisk) B=A (-) C kan regnes direkte uten å beregne A (-) eksplisitt ved å utføre rad-red. algoritmen på matrisen [ A C ], som vil produsere matrisen [ I B ] :
> rref(convert(<a C>,matrix)); ù 2 4 6 2 Oppgave 2a) La X m = x m, ù x m, 2 x m,, m=,2,.... Det er klart at x, = q, x, 2 = p og x, =, så X = qù p = q q r ù p - p s - q r r p s s ù = P X. La nå m. For å bestemme x m +, j = sannsynlighten for at systemet er i tilstand T j - etter m+ tidsenheter, ser vi på hvordan systemet kan havne i denne tilstanden etter m+ tidsenheter. Ser f.eks. på j=: - etter m tidsenheter var systemet i T med sannsynlighet x m, og det vil forbli i T med sannsynligheten q; denne muligheten for å havne i T etter m+ tidsenheter inntreffer altså med sannsynlighten q x m,. - etter m tidsenheter var systemet i T med sannsynlighet x m, 2 og det går derfra over til T med sannsynligheten qr ; denne muligheten for havne i T etter m+ tidsenheter inntreffer altså med sannsynlighten qr x m, 2. - etter m tidsenheter var systemet i T 2 med sannsynlighet x m,. Det kan ikke gå derfra over til T ; denne muligheten for havne i T etter m+ tidsenheter inntreffer alstå ikke. Dette betyr at x m +, = q x m, + qr x m, 2.
Tilsvarende : x m +, 2 = p x m, +( - ps - qr )x m, 2 + r x m, og x m +, = p s x m, 2 + s x m,. Disse tre likningene kan skrives som X m + = q q r ù p - p s - q r r p s s x m, ù x m, 2 x m, = P X m, som ønsket. Opp. 2b) > p:='p': q:='q': r:='r': s:='s': > P:=<<q q*r >, <p -p*s-q*r r>, < p*s s>>; P := q q r ù p - p s - q r r p s s > q:=-p; s:=-r; q := - p s := - r > p:=/: r:=/6: > P;
4 4 4 ù 6 6 > X[]:=<.,.,.>: for i from to 6 do X[i]:=P.X[i-] end: 'X[]'=X[],'X[2]'=X[2],'X[]'=X[],'X[6]'=X[6]; X =.4462ù.4294926.2292, X 2 =.4296ù.626.29226, X =.442ù.699.2292, X 6 =.49969ù.244269.222 Matrisen P er regulær siden alle koeffisientene i P 2 er positive : > P^2; 4 64 4 9 4 69 2 9 6 ù 2 9 2 2 2 For å bestemme P's likevektsvektor finner vi først Nul (P-I). Maple angir en basis for det slik : > N:=NullSpace(P-IdentityMatrix()); N := ì í î 2ù ü ý þ > V:=%[];
V := 2ù Summen av komponentene til V er 6/. Så likevektsvektoren Q til P er gitt ved: > Q:=(/6)*V; Q := 2ù 6 24 6 6 Sjekker at Q er en likevektsvektor for P ved å sjekke at PQ = Q : > P.Q; 2ù 6 24 6 6 Sannsynligheten for at ingen linjer er opptatt (m.a.o. at systemet er i tilstand T_) utover dagen er altså Q's første komponent, dvs 2/6. På desimalform : > evalf(2/6);.4944 Oppg. 2c) løses nokså tilsvarende som b): > p:='p': q:='q': r:='r': s:='s':
> P:=<<q q*r >, <p -p*s-q*r q*r >, < p*s -p*s-q*r r>, < p*s s>>; P := > q:=-p: s:=-r: p:=/: r:=/6: q q r ù p - p s - q r q r p s - p s - q r r p s s > P; 4 4 4 ù 4 6 6 4 4 > P^2; 4 64 4 9 4 24 2 2 24 49 24 2 4 6 9 6 ù 2 9 2 2 2 > P^;
99 6 24 92 9 42 49 24 4649 42 6 6 22 49 64 9 2 222 22 29 264 44 24 2 42 692 22 92 2 ù som viser at P er regulær. > N:=NullSpace(P-IdentityMatrix(4)); N := 96 6 2 ù ì í î ü ý þ > V:=N[]; V := 96 6 2 ù > d:=v[]+v[2]+v[]+v[4]: Q:=(/d)*V;
Q := 96ù 9 6 9 2 9 9 Sannsynligheten for at ingen linjer er opptatt utover dagen er Q's første komponent. dvs. 96/9. På desimalform blir denne lik : > evalf(q[]);.626 Oppgave c) (ikke obligatorisk) Ser på n=4 (orket noen høyere n enn det?!): > p:='p': q:='q': r:='r': s:='s': > P:=Matrix(,,[[q, q*r,,,], [p, -p*s-q*r,q*r,,], [, p*s,-p*s-q*r,q*r,], [,,p*s,-p*s-q*r,r], [,,,p*s, s]]): > q:=-p: s:=-r: p:=/: r:=/6: > P; 4 4 4 4 4 4 ù 4 4 4 6 6
> N:=NullSpace(P-IdentityMatrix()): V:=N[]: d:=v[]+v[2]+v[]+v[4]+v[]: Q:=(/d)*V; Q := 2ù 46 6 46 4 46 6 46 46 > evalf(2/46);.44622 Vi ser at at sannsynligheten for at ingen linjer er opptatt utover dagen fortsetter å falle. Oppgave a) > A:=<<2 >, <- - >, < 4-2>>; A er ikke invertibel, f.eks. siden det(a) =. A := 2 ù - - 4-2 > Determinant(A); Dette ser vi også fra den reduserte trappeformen til A, som er > rref(convert(a,matrix));
6ù - Fra denne kan vi lese at den tredje kolonnen i A, a, er 6 ganger.kol. i A, a, minus ganger 2. kol. i A, a 2.Altså har vi at 6 a - a 2 - a = Oppgave b) Den reduserte trappeformen til A har pivoter i. og 2. kolonne. En basis B for Col A består derfor av de to første kolonnene til A. (Col A er derfor et plan). Når det gjelder nullrommet til A har vi at > NullSpace(A); ì í î -6ù ü ý þ og dette angir en basis for Nul A. Vi kan utvide B til en basis B for R ved å legge til en vektor som ikke ligger i Col A. Det enkleste er legge til en normal vektor for planet M = Col A : ved å beregne kryssproduktet av A's to første kolonner finner vi at en slik vektor er (kolonne)-vektoren (, -, -). Oppgavene 4 a) og b) er "rett frem", og løsning blir ikke gitt her. Oppgave 4c) Skisserer først for moro skyld kurven parametrisert ved f : > f:=t -> [t^2-t, -t^, t^-t^2 ]; f := t t 2 - t, - t, t - t 2 [ ] > spacecurve(f(t),t=.., color=green);
-.2 -.4 -.6 -. -. -.2 -.4..6.4.2 -. -. -. -.2 -.2 Beregner så g (og bruker da matrisen A fra oppg. ) : > g:=t -> A.Vector(f(t)): 'g(t)'=g(t); g( t) = t 2-2 t + ù - t 2 + t - + 6 t 9 t 2 - t + 4-6 t Fra b) vet vi at g = T A (f) er med i F([,], Col A). Nå er Col A lik planet M som går gjennom origo og som er utspent av de to første kolonnevektorene til A (jf. a). Dette betyr at g(t) ligger i M for alle t. For å finne koordinatvektoren til g(t) m.h.p. B uten å beregne koord.skiftematrisen fra stand. basisen til B untnytter vi den lin. avh. relasjonen vi fant i a) : vi får da at
g(t) = A (f(t)) = (t^2 - t) a + (- t^) a 2 + (t^ - t^2) a = (t^2 - t) a + (- t^) a 2 + (t^ - t^2) (6 a - a 2 ) (t^2 - t + 6 = t^ - 6 t^2) a + (- t^ - t^ - t^2) a 2 = (6 t^ - t^2 - t) a + ( - t^ - t^2) a 2 og vi kan lese av at koordinatvektoren til g(t) m.h.p. B er Oppgave 4c)(ikke obligatorisk) 6 t - t 2 - t ù - t - t 2 Planet M = Col A har kartesisk likning x - y - z = (finnes lett fra b)). En skisse av kurven parametrisert ved g og en passende del av planet M ser slik ut : > G:=spacecurve(convert(g(t),array), t =.., color=blue): > G2:=plotd(x-y, x=.., y=(-).., color=yellow): > display({g,g2});
4 2 - -2..4-2.6 x -. y -. -..2 >