Faktr - e eksamesavis utgitt av ECONect Pesumsammedrag: SØK3005 Ifrmasjs- g markedsteri Frfatter: Drag Berghlt E-pst: berghlt@stud.tu. Skrevet: Våre 2009 Atall sider: 45
Om ECONect: ECONect er e frivillig studetrgaisasj fr studetee på samfusøkmi- g fiasøkmistudiet ved NTNU. Vi arbeider fr økt faglig kmpetase blat våre studeter samt tettere ktakt med ærigslivet. Det gjør vi ved å arragere fagdager, gjestefrelesiger, bedriftspresetasjer m.m. I dag går det ca. 200 studeter på bachelrivå (1.-3. klasse) g ca. 70 studeter på masterivå (4.-5. klasse). Studetee på masterivå er frdelt på de t lijee samfusøkmi (ca. 50 stk) g fiasiell økmi (ca. 20 stk). Mer m ECONect g aktuelle arragemeter på www.ecect-tu.. ECONect består av følgede perser ved utgivelsestidspukt: Bjør Berghlt (Leder) Sphie S. Strømma (Bedriftsasvarlig) Maike Weidle (Fagdagsasvarlig) Jakim Bjørkhaug (Økmi- g IT-asvarlig) Elise Casperse Tiril Tftedahl Luis Dieffethaler Adreas H. Jug Mari Beedikte Elligse Herma Westrum Thrse bjr@ecect-tu. sphie@ecect-tu. maike@ecect-tu. jakim@ecect-tu. elise@ecect-tu. tiril@ecect-tu. luis@ecect-tu. adreas@ecect-tu. mari@ecect-tu. herma@ecect-tu. Pst- g besøksadresse: Orgaisasjsummer: Hjemmeside: ECONect, NTNU Dragvll NO 994 625 314 www.ecect-tu. Istitutt fr samfusøkmi Bygg 7, Nivå 5 7491 Trdheim Merk: Alle pesumsammedrag g tekster sm utgis av Faktr er skrevet av g fr studeter. ECONect står ikke asvarlig fr selve fagihldet. Spørsmål m tekste ka rettes til tekstfrfattere. 1 Orgaisasj: ECONect NTNU Hjemmeside: www.ecect-tu.
1. Statiske spill med kmplett ifrmasj 1.1. Gruleggede teri: Spill på rmalfrm g Nash-likevekte - Spill: E beslutigssituasj med flere aktører sm bevisst påvirker hveradre gjem sie hadliger. - Strategi: Et sett av istruksjer sm sier hvilke hadlig e spiller skal velge i hver tekelige situasj. - Payff: Nytte sm følger med hvert ekelt sett med hadliger. - Nash-likevekt: Tilstad der ige spillere agrer sie strategivalg år mtpartes valg av strategi blir kjet. Delspillperfekt Nash-likevekt: Tilstad sm gir Nash-likevekt både fr hele spillet g i hvert tri av spillet. - Spillets trekkrekkefølge: Statiske spill: Spill med é hadlig per spiller, spillere hadler simultat. Dyamisk spill: Spill med mer e é peride, spillere hadler simultat eller sekvesielt. - Payff-matrise: B Hadlig B 1 Hadlig B 2 A Hadlig A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 Hadlig A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 - Sekvesielt spill på rmalfrm: B S1 S2 S3 S4 A Hadlig A 1 A 1, B 1 A 1 A 1, B 1 A 1 A 1, B 2 A 1 A 1, B 2 A 1 Hadlig A 2 A 2, B 1 A 2 A 2, B 2 A 2 A 2, B 1 A 2 A 2, B 2 A 2 - Sekvesielt spill på ekstesiv frm: 2 Drag Berghlt
Spiller A Spiller B Pay-ff Hadlig A1 A2 B1(A1) B2(A1) B1(A2) B2(A2) A1, B1(A1) A1, B2(A1) A2, B1(A2) A2, B2(A2) - Spill på rmalfrm: Spesifiserer: Spillere i spillet. Strategiee tilgjegelig fr hver spiller: 3 Drag Berghlt S i = s 1,, s s i S i Pay-ff tilkyttet hver ekelt strategikmbiasj fr hver ekelt spiller: u i s 1,, s Hver spiller trekker simultat, kmbiasje av spilleres strategier bestemmer hver ekelts pay-ff. Spillet: G = S 1,, S ; u 1,, u - Iterert elimierig: Beregig av samme prsess flere gager med take på å fie best mulige resultat. - Stregt dmierede strategi: Strategi sm gir spillere høyere payff e ehver ae strategi, uasett hva mtparte velger. Ata at s i g s i begge igår i S i. Da er strategi s i stregt dmierede strategi ver s i hvis u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s > u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s. - Stregt dmiert strategi: Strategi sm gir spillere lavere payff e ehver ae strategi, uasett hva mtparte velger. Ata at s i g s i begge igår i S i. Da er strategi s i stregt dmiert av strategi s i hvis u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s < u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s. - Nash-likevekt: s i er e Nash-likevekt hvis dette er spiller i s beste resps på strategiee til de 1 adre spillere: u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s u i s 1,, s i 1 s i løser prblemet max si S i u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s der s i S i, s i, s i+1,, s
1.2. Avedelse - Curt-mdell med dupl: Prisfuksj fr markedet: P Q = A bq = A b q i + q j Prfittfuksj: π i = P Q c i q i F i = A b q i + q j c i q i F i Reaksjsfuksj ved prfittmaksimerig: q i = A c i 2b 1 2 q j R i q j Fier prfittmaksimerede kvatum ved å sette R j Q i i i R i Q j g løse ut fr Q i. Dette gir: q i = A 2c i+c j 3b Likevektspris: P = A+c i+c j 3 Prfitt: Hvis c i = c j = c π i = A c 2 F i 9b Hvis c i c j π i = A 2c i+c j A 2c j +c i 9b F i q j R i q j R j q i - Curt-mdell med bedrifter: Atar c 1 = c 2 = = c c. Dette gir q 1 = q 2 = = q q C Ttalt kvatum i markedet: Q = q C = 1 q C + q i der q i = q C Prisfuksj fr markedet: P Q = A bq = A b 1 q C + q i Prfitt fr bedrift i: Prfittfuksj: π i = A b 1 q C + q i c q i F i q i 4 Drag Berghlt
π i q i = A b 1 q C 2bq i c = A c q C b 1 + 2b = 0 gitt q i = q C Gir ptimalt kvatum i Curt-kkurrase: q c = A c b +1 Prfitt: π i = A b 1 A c b +1 + A c b +1 c A c b +1 F i = A c +1 2 Fi - Bertrad-mdell med dupl - hmgee prdukter: Etterspørselsfuksje fr markedet: Q p i,j = A b mi p i, p j Etterspørselsfuksje fr bedrift i: q i = A bp i gitt p i < p j A bp i 2 gitt p i = p j 0 gitt p i > p j Prfittfuksje fr bedrift i: π i = p i c i q i F i gitt p i < p j p i c i q i 2 F i gitt p i = p j F i gitt p i > p j Ser av uttrykket at c i = c j g F i,j = 0 gir ullprfitt fr begge bedriftee. Ser av uttrykket at Nash-likevekt gir prfitt fr bedrifte med lavest gresekstader, der prise settes lik: c i < p i c j = p j P i,j A b c j c i q i q i p i,j - Bertrad-mdell med dupl - differesierte prdukter: Ttalt kvatum i markedet: Q = q i + q j Etterspørselsfuksje fr bedrift i: q i = A bp i + kp j der 0 < k < b Prfittfuksj: π i = p i c i q i F i = p i c i A bp i + kp j F i Reaksjsfuksj ved prfittmaksimerig: p i = A+bc i 2b + k 2b p j R i p j 5 Drag Berghlt
Fier prfittmaksimerede pris ved å sette i fr p j g løse ut fr p i. Dette gir: p i = A 2b k + b 2bc i+kc j 2b+k 2b k Hvis c i = c j = c: p i = p j = A+bc 2b k P j R i p j R j p i P i - Fial-Offer Arbitrati: System: Arbeidsgiver- g arbeidstakerside fremstiller løskravee w f g w u, state velger det kravet sm ligger ærmest x. States valg: x < w f +w u 2 x > w f +w u 2 w f w u Ata at x er ukjet fr arbeidslivsrgaisasjee, me at dee verdie er rmalfrdelt med sitt m g varias σ 2. I så fall er tetthetsfuksje gitt ved: f x = 1 2πσ 2 exp 1 2 x m 2 w f +w u 2 = m w f = m πσ2 2 w u = m + πσ2 2 Dest større spredig i states fretrukkede x, dest større avstad vil det være i kravee til arbeidslivsrgaisasjee. - Rasjell atferd fr idividet ka gi et kllektivt irrasjelt utfall: Fellesskapets tragedie: Bøder g geiter Bødee hlder geiter; bde i hlder g i atall geiter. Ttalt atall geiter på jrdet: G = i=1 g i 6 Drag Berghlt
Kstad per geit: c Verdie per geit: v g 1 +... +g i 1 + g i + g i+1 +... g = v g i + g i = v G Fr G < G max : v G 0; v G 0. v G v G G Prfittfuksj fr bde i: π i = g i v g i + g i cg i = g i v G cg i Når bødee tilpasser seg i Nash-likevekt: Nash-likevekt fr bde i: g i Førsterdesbetigelse: π i = v g g i + g i + g i v g i + g i c = i v G + g i v G c = v G + G v G c = 0 Ttalt atall geiter: G c v G = v G Samfusptimal tilpasig: Maksimerig av Π = Gv G cg Førsterdesbetigelse: Π G = v G + Gv G c = 0 Ttalt atall geiter: G = c v G v G Ser her at G > G, altså at fr mage geiter beiter i Nash-likevekt. Prisers dilemma : T perser arresteres g blir stilt verfr følgede valg: Agi kamerat (velge 1): Du får e mild straff hvis ha ikke agir deg. Du får e mderat straff hvis ha gså agir deg. Ikke agi kamerat (velge 2): Du går fri hvis ha ikke agir deg. Du får e streg straff hvis ha agir deg. 7 Drag Berghlt
B B 1 B 2 A A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 Spiller A: A 2 B 2 > A 1 B 2 > A 1 B 1 > A 2 B 1 Spiller B: B 2 A 2 > B 1 A 2 > B 1 A 1 > B 2 A 1 Payff-matrise viser e Nash-likevekt der begge persee agir hveradre, på trss av at dette er dette ikke er de kllektivt beste løsige. Hvrda frhidre fages dilemma: Gjetatte spill. Legge i mekaismer sm edrer payff: Møt kkurrase-klausul: Peget er å gjøre det midre løsmt fr rivale å seke prise. Prisgarati-klausul: Peget er å gjøre det mer kstbart fr e selv å seke prise. Må iebære e frm fr møt kkurrase-klausul. Redusere kudembilitete: Peget er å gjøre det mer kstbart fr kudee å bytte prduset. 1.3. Bladede strategier: - Strategityper: Re strategi: Regel sm sier hvrda spillere velger. Bladet strategi: Regel sm sier hvilke sasylighet det er fr at spillere skal velge e re strategi. B B 1 B 2 A A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 8 Drag Berghlt
- Sasylighet fr hadlig: A 1 : p A 2 : 1 p B 1 : q B 2 : 1 q - Frvetet pay-ff fr A: E π A = pqa 1 B 1 + p 1 q A 1 B 2 + 1 p qa 2 B 1 + 1 p 1 q A 2 B 2 - Effektiv radmiserig fr B sm gjør at A er idifferet mellm ege valg: E π A p = qa 1 B 1 + 1 q A 1 B 2 qa 2 B 1 1 q A 2 B 2 = 0 q = 1 q = 1 A 2 B 2 A 1 B 2 A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 +A 2 B 2 A 2 B 2 A 1 B 2 A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 +A 2 B 2 - Spillsituasjer der bladede strategier gir Nash-likevekt: Geerelt m Nash-likevekt med bladede strategier g t spillere: p, q er e Nash-likevekt hvis hver spillers bladede strategi er beste resps på de adre spilleres bladede strategi, det vil si hvis u A p, q u A p, q g u B p, q u B p, q. Eksempel 1: Matchig Peies Spiller A øsker å trekke ulikt fra spiller B. Spiller B øsker å trekke likt sm spiller A. Ige likevekt i ree strategier, me likevekt med bladet strategi. B B 1 B 2 A A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 Spiller A: A 1 B 2 = A 2 B 1 > A 1 B 1 = A 2 B 2 Spiller B: B 1 A 1 = B 2 A 2 > B 1 A 2 = B 2 A 1 Eksempel der ma ppår Nash-likevekt: Payff: 9 Drag Berghlt
Heads B Tails A Heads 1, 1 1, 1 Tails 1, 1 1, 1 A trekker heads med p g tails med 1 p. B trekker heads med q g tails med 1 q. Frvetet payff fr A: E π A = pq 1 + p 1 q 1 + 1 p q1 + 1 p 1 q 1 = 2p + 2q 4pq 1 Effektiv radmiserig fr B sm gjør at A er idifferet mellm ege valg: E π A p = 2 4q = 0 q = 1 2 1 q = 1 1 2 = 1 2 Hvis q = 1 2 : E π A = 2p + 2q 4pq 1 = 2p + 2 1 2 4p 1 2 1 = 0 Hvis q > 1 2 Hvis q < 1 2 A velger p = 0 A velger p = 1 Samme gjelder fr A. Kklusje blir således at hvis A velger p = 1 2 g B velger q = 1, er begge frøyde med eget valg år ma bserverer de 2 adres valg. Eksempel 2: Battle f the sexes Spiller A øsker 1, me først g fremst å være samme med spiller B. Spiller B øsker 2, me først g fremst å være samme med spiller A. Ige dmierede strategi fr e av spillere, imidlertid t Nashlikevekter med ree strategier g é Nash-likevekt med bladede strategier. 10 Drag Berghlt
B B 1 B 2 A A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 Spiller A: A 1 B 1 > A 2 B 2 > A 1 B 2 > A 2 B 1 Spiller B: B 2 A 2 > B 1 A 1 > B 2 A 1 > B 1 A 2 Eksempel der ma ppår Nash-likevekt: Payff: Ole Opera Ki Ida Opera 2, 1 0, 0 Ki 0, 0 1, 2 Ida trekker pera med p g ki med 1 p. Ole trekker Opera med q g ki med 1 q. Frvetet payff fr Ida: E π Ida = pq2 + p 1 q 0 + 1 p q0 + 1 p 1 q 1 = 3pq p q + 1 Effektiv radmiserig fr Ole sm gjør at Ida er idifferet mellm ege valg: E π Ida p = 3q 1 = 0 q = 1 3 1 q = 1 1 3 = 2 3 Hvis q = 1 3 : E π Ida = 3pq p q + 1 = 3p 1 3 p 1 3 + 1 = 2 3 Hvis q > 1 3 Hvis q < 1 3 Ida velger p = 0 Ida velger p = 1 11 Drag Berghlt
Samme gjelder fr Ida. Kklusje blir således at hvis Ida velger p = 2 g Ole velger q = 1, er begge frøyde med eget valg år ma 3 3 bserverer de adres valg. Da er gså E π Ida = E π Ole = 2 3. Geerelt: I et spill på rmalfrm med spillere der spillet er gitt sm G = S 1,, S ; u 1,, u, g g S i er et edelig atall, eksisterer mist é (muliges med bladede strategier) Nash-likevekt. 12 Drag Berghlt
2. Dyamiske spill med kmplett ifrmasj 2.1. Dyamiske spill med kmplett g perfekt ifrmasj - Kjeeteg: Alle hadliger skjer i sekves. Alle hadliger bserveres før este hadlig. Spilleres payff fra hver mulige kmbiasj av hadliger er allmet kjet. - Dyamiske spill løses ved hjelp av baklegs iduksj: Spiller A velger e hadlig a 1i A 1. Spiller B bserverer a 1i g velger e hadlig b 1i B 1 gitt a 1i. Spiller A bserverer b 1i g velger e hadlig a 2i A 2 gitt a 1i g b 1i. Osv. Tperidespill: Spiller B b 11 Payff A,B (a 11,b 11 ) a 11 b 12 Payff A,B (a 11,b 12 ) Spiller A a 12 Spiller B b 11 Payff A,B (a 12,b 11 ) b 12 Payff A,B (a 12,b 12 ) - Stackelberg-mdelle fr dupl: Markedsetterspørsel: P = A bq = A b q i + q j Baklegs iduksj - spiller j: Prfittfuksj: π j = A b q i + q j c j q j F j Reaksjsfuksj: q j = A c j 2b 1 2 q i R j q i Baklegs iduksj - spiller i: Prfittfuksj: π i = A b q i + R j q i c i q i F i = A b q i + A c j 2b 1 2 q i c i q i F i = A 2c i+c j 2 bq i q i F i Prfittmaksimerede kvatum: 13 Drag Berghlt
Spiller i: q i = A 2c i+c j 2b Spiller j: q j = A+2c i 3c j 4b Prfitt: Spiller i: π i = A b q i + q j c i q i F i = A 2c i+c 2 j F i Spiller j: π j = A b q i + q j c i q j F j = A+2c i 3c 2 j F j Likevektskvatum ved Stackelberg: Q S = A 2c i+c j 2b 8b 16b + A 3c j +2c i 4b = 3A 2c i c j 4b Likevektspris ved Stackelberg: P S = A b A 2c i+c j 2b + A 3c j +2c i 4b = A+2c i+c j 4 q j R i q j R j q i q i - Til sammeligig: Kvatumssamarbeid - mplistisk pptrede: Atar c i = c j = c M Kvatum i markedet: Q M = q i + q j = QM 2 + QM 2 Markedsetterspørsel: P M = A bq M = A b QM 2 + QM 2 Prfittfuksj ved mpl: π M = A bq M c M Q M F Mplkvatum: Q M = A c M 2b Bedrift i: q i = QM A cm = 2b 2 2 = A c M 4b Bedrift j: q j = QM A cm = 2b 2 2 = A c M Mplprfitt: π M A c M M A c M = A b c F = 2b 2b 4b A c M 2 4b F 14 Drag Berghlt
Bedrift i: π i = A c M 2 4b 2 F i = A c M 2 8b F i Bedrift j: π j = A c M 2 4b 2 F j = A c M 2 8b F j Pris: P M A c M = A b 2b = A+c M 2 q j R i q j R j q i q i - Sammeligig av Stackelberg, Curt g mpl (atar c i = c j = c M = c): Pris: P S = A+3c 4 P C = A+2c 3 P M = A+c 2 P S < P C < P M Kvatum: Q S = A 2c i+c j 2b Q C = A 2c i+c j 3b Q M = A c 2b Q S > Q C > Q M Prfitt: Stackelberg: 15 Drag Berghlt + A+2c i 3c j 4b + A 2c j +c i 3b = 3 A c 4b = 2 A c 3b Spiller i: π S i = A 2c i+c 2 j F i = A c 2 F i 8b Spiller j: π S j = A+2c i 3c 2 j F j = A c 2 F j 16b 8b 16b
Curt: Mpl: Spiller i: π i C = A 2c i+c j A 2c j +c i 9b Spiller j: π j C = A 2c i+c j A 2c j +c i 9b Spiller i: π M i = A c 2 F i Spiller i: π i C < π i S < π i M Spiller j: π j S < π j C < π j M 4b F i = A c 2 F i 9b F j = A c 2 F j 9b - Lø g sysselsettig i fagrgaisert bedrift Fagfreig med mpl på arbeidskraft, bedrift med mpl på arbeidsplasser. Fagfreiges yttefuksj: U w, L ; U w 0; U L 0 Bedriftes prfitt: π w, L = R L wl; R L 0; R LL 0 Spillet: Fagfreige setter w. Bedrifte bserverer w g fastsetter L. Payff er U w, L g π w, L. Løsig av spillet - baklegs iduksj: Bedriftes maksimerigsprblem: max π w, L = R L wl L 0 π L = R L w = 0 R L = w R w R L Sammehege mellm ptimal sysselsettig g ptimal lø fr bedrifte: L 16 Drag Berghlt
w L w π 1 L π 2 Fagfreiges maksimerigsprblem: max w 0 U w, L = U w, L w U w = 0 w, L w Sammehege mellm ptimal sysselsettig g ptimal lø fr fagfreige: w U 1 U 2 L Tilpasige: w w L w U 2 U 1 π 1 L L π 2 Kklusj: Tilpasige er ikke paret-ptimal; bedrifte kue fått økt prfitt til π 2 ute at fagfreige hadde tapt ytte fra U 2. - Sekvesielle frhadliger: 17 Drag Berghlt
Spillet: Spiller A g B frhadler ver 1 kre sm eddiskteres med δ = 1 per rude. Rude 1: A freslår at de t skal få hehldsvis s 1 g 1 s 1 av kre. B aksepterer eller avslår. Spillet eder hvis B aksepterer. Rude 2: B freslår at de t skal få hehldsvis s 2 g 1 s 2 av kre. A aksepterer eller avslår. Spillet eder hvis A aksepterer. Rude 3: A mttar s g B mttar 1 s av kre. Ekstere bestemmer s. Løsig ved hjelp av baklegsiduksj: Rude 3: A mttar s g B mttar 1 s av kre. Rude 2: A vil ku akseptere s 2 hvis s 2 δs. Hvis B freslår s 2 = δs vil A akseptere, g B får 1 s 2 = 1 δs. B vil derfr tilby s 2 = δs i peride 2 frdi 1 δs > δ 1 s. Rude 1: B vil ku akseptere s 1 hvis 1 s 1 δ 1 s 2, altså hvis s 1 1 δ 1 s 2. Hvis A freslår s 1 = 1 δ 1 s 2 vil B akseptere, g A får 1 δ 1 s 2. A vil derfr tilby s 1 = 1 δ 1 s 2 i peride 1 frdi 1 δ 1 s 2 > δs 2. Payff fr A g B blir følgelig s 1, 1 s 1 ; spillet eder i peride 1. 1+r 2.2. Dyamiske spill med kmplett, me imperfekt ifrmasj - Kjeeteg: Spill ver flere perider, me med simultae trekk i hver peride. Spiller A g B trekker simultat a 1 A 1 g b 1 B 1. Spiller C g D bserverer a 1 g b 1, g trekker c 1 C 1 g d 1 D 1. Payff fr spiller i: u i a 1, b 1, c 1, d 1 = u i a 1, b 1, c 1 a 1, b 1, d 1 a 1, b 1 Sub-spillperfekt Nash-likevekt: a 1, b 1, c 1 a 1, b 1, d 1 a 1, b 1 - Eksempel 1: Bakkrise T ivestrer plasserer iskudd i bake. Ntasj: Iskudd fra hver ivestr: D Bruttutbytte etter edt ivesterig fr hver ivestr: R Utbetalt frdrig fr hver ivestr ved kkurs: r Atar: 18 Drag Berghlt D 2 < r < D < R 2r D < r
Ivestree ka frdre iskuddee etter peride 1, 2 eller 3. Peride 1: Frdre Ikke frdre Frdre r, r D, 2r D Ikke frdre 2r D, D Neste peride Peride 2: Frdre Ikke frdre Frdre R, R 2R D, D Ikke frdre D, 2R D R, R Baklegs iduksj: I peride 2 vil frdre være stregt frdelaktig side 2R D > R; begge frdrer i dee peride. Dette gir følgede matrise fr peride 1: Frdre Ikke frdre Frdre r, r D, 2r D Ikke frdre 2r D, D R, R T Nash-likevekter: r, r R, R Hvilke likevekt sm velges avheger av ivestrees frvetiger til hveradre. Spillet frteller ikke m det blir bakkrise, me det åper fr bakkrise. 19 Drag Berghlt
2.3. Gjetatte spill - T-tris gjetatte spill: Fages dilemma: Ata følgede payff-matrise fr spiller 1 g 2 sm repeteres é gag: L 2 R 2 L 1 1, 1 5, 0 R 1 0, 5 4, 4 Ser her at Nash-likevekt gir ikke-samarbeid (L 1, L 2 ) i rude 2. Payff (1,1) ka derfr settes i i matrise til rude 1: L 2 R 2 L 1 2, 2 6, 1 R 1 1, 6 5, 5 Ser her at gså rude 1 gir ikke-samarbeid. Geerelt: I spill med et edelig atall repetisjer der siste rude har é uik løsig, har gså hvert delspill e uik løsig. Geerelt: I spill med et edelig atall repetisjer med mer e é Nashlikevekt, ka hvert ekelt delspill ha e uik løsig sm ikke er Nash-likevekt. Utvider fages dilemma-eksemplet med é kle g é rad. L 2 M 2 R 2 L 1 1, 1 5, 0 0, 0 M 1 0, 5 4, 4 0, 0 R 1 0, 0 0, 0 3, 3 Ata at spillere frveter (R 1, R 2 ) i adre rude hvis (M 1, M 2 ) er utfallet i første rude, g (L 1, L 2 ) ellers. Dette gir følgede matrise fr første rude: 20 Drag Berghlt
L 2 M 2 R 2 L 1 2, 2 6, 1 1, 1 M 1 1, 6 7, 7 1, 1 R 1 1, 1 1, 1 4, 4 Her har vi tre subspill-perfekte likevekter fr hele spillet; L 1, L 2, L 1, L 2, M 1, M 2, R 1, R 2 g R 1, R 2, L 1, L 2 - Spill med uedelig atall ruder: Geerelt: Selv m hvert ekelt delspill bare har é Nash-likevekt, ka ma ppå et subspill-perfekt utfall der ige delspill eder i Nash-likevekte. Gjepptar fages dilemma, me å med uedelig atall ruder: L 2 R 2 L 1 1, 1 5, 0 R 1 0, 5 4, 4 Ifører e diskterigsrate δ = 1 1+r < 1 Gitt pegemegde i dag er midre verdt e tilsvarede pegemegde i fremtide. Sasylighete fr at spillet vil frtsette i este rude er alltid midre e 1. Ata at spillere følger e grim-trigger-strategi: Spiller i velger samarbeid R i i første delspill, g deretter samarbeid så lege mtspillere velger det samme. I det øyeblikket e av spillere velger ikke-samarbeid L i, vil de adre velge ikke-samarbeid i all fremtid. Payff: Ikke-samarbeid: V NC = 5 + 1δ + 1δ 2 +... = 5 + δ Samarbeid: V C = 4 + 4δ + 4δ 2 +... = 4 + 4 δ Samarbeid er løsmt hvis: 1 δ 1 δ 21 Drag Berghlt
4 + 4 δ 1 δ 5 + δ 1 δ 4 δ 1 δ 1 + δ 1 δ 4δ 1 δ + δ δ 1 4 Flk-teremet: Så lege diskterigsrate er tilstrekkelig høy vil alltid samarbeid gi likevekt i et uedelig spill. - Delspillperfekt Nash-likevekt: Nash-likevekt i hvert ekelt delspill. - Friedmas terem: La G være et edelig, statisk spill med kmplett ifrmasj g atall spillere. Hvis δ er tilstrekkelig ærme 1 gir grim-trigger-strategie Nash-likevekt, g dee likevekte er delspillperfekt. Bevis: Grim-trigger-strategi fr spiller i: Spiller samarbeid a xi i rude 1. I hver påfølgede rude t spilles a xi så lege utfallet av alle fregåede ruder er a xi ; ellers spilles ikke-samarbeid a di. Atar at alle adre spillere har e grim-trigger-strategi. Payff: La π xi være payff i rude t fr spiller i år alle spillere velger samarbeid. La π di være payff i rude t fr spiller i år dee velger ikkesamarbeid, mes de adre velger samarbeid. La π ei være payff i hver ekelt rude t fr spiller i år e har brutt samarbeidet i mist é av alle de t 1 peridee. Diskterigsfaktre: Nåverdie V i av all kmmede payff fr spiller i i peride t år utfallet i alle fregåede ruder er a x1,, a x : Samarbeid: V i = π x i 1 δ Payff i rude t er x i, deretter står spillere verfr tilsvarede situasj este rude: V i = π xi + δv i Ikke-samarbeid: V i = π di + π ei δ 1 δ V i = π x i 1 δ 22 Drag Berghlt
Samarbeid er ku løsmt hvis: π xi 1 δ π d i + π ei δ 1 δ π xi π di 1 δ + π ei δ = π di δ π di π ei δ π di π ei π di π xi δ π d i π xi π di π ei Grim-trigger-strategi er Nash-likevekt fr alle spillere hvis: δ max i π di π xi π di π ei - Eksempel: Samarbeid mellm ligplister: Geerelt krav til samarbeid i dupl (jamfør Friedma): π x i 1 δ π d i + π ei Her: Ved samarbeid i kartell gis halvparte av mplprfitte: π xi = 1 2 A c 2 = 4b A c 2 8b Ved brudd på samarbeidet gis e egags økig i prfitte: max π di = A b QM q i 2 + q i c q i = A b q i = 3 A c 8b π di = A b A c 4b + 3 A c 8b c 3 A c 8b A c 4b = 3 A c 8 + q i c q i 3 A c 8b = 9 A c 2 64b Etter brudd på samarbeidet er all fremtidig prfitt Curt-prfitt: π ei = A c 2 9b Samarbeid krever altså: A c 2 8b 1 δ 9 A c 2 64b + 1 9 + δ 1 δ 8 64 1 δ 9 1 9 1 δ 8 64 64 8 + δ 9 9 1 δ + 64δ 9 A c 2 δ 9b 1 δ δ 1 δ 9 64 9 δ 9 64 8 23 Drag Berghlt
δ 9 64 8 9 64 9 δ 9 17 Avsluttede: De sm øsker samarbeid mest er de sm har legst tidshrist. Frhld sm taler fr vellykket prissamarbeid (str δ): Tålmdige bedrifter Krt peridelegde Hard kkurrase hvis samarbeidet brytes Begreset atall prduseter Høye etablerigskstader 24 Drag Berghlt
3. Ifrmasjsteri e grumdell 3.1. Iledig: - Prsesse: Prisipale lager e ktrakt. Agete aksepterer ktrakte hvis dette gir mist like str frvetet avkastig sm alterativavkastige. Agete gjør e isats på vege av prisipale, g prisipale betaler lø fr isatse. - Målkflikter mellm prisipal g aget: Prisipal Aget Lø + Isats + - Bechmark: Symmetrisk ifrmasj: Prisipale g agete har de samme ifrmasje, me dee ifrmasje er ikke ødvedigvis perfekt. Agetes isats g resultatet er bserverbart. Det er dermed mulig å ikludere disse variablee i ktrakte eksplisitt. P lager ktrakt A aksepterer eller avviser A gjør e isats N bestemmer utfallet Utfall g payff Løsig av spillet: Delspillperfekt likevekt: Hver spiller velger ptimal strategi til ehver tid gitt allerede kjete utfall, g hver spiller frveter samtidig at alle adre spillere gså ppfører seg på samme måte. 25 Drag Berghlt
Baklegs iduksj: Gitt at agete aksepterer ktrakte vil ha velge de isatse sm maksimerer de frvetede ytte. Basert på frvetiger til isatse gitt av ktrakte avgjør agete å ete akseptere eller ikke akseptere ktrakte. Agete vil ku akseptere hvis dette gir større frvetet avkastig e alterativavkastige. Gitt agetes frvetede adferd fr hver mulige ktrakt, vil prisipale tilby de ktrakte sm maksimerer prisipalytte. 3.2. Grumdelle - E bilateral ktrakt: Prisipale P desiger e ktrakt g krever et pegeverdimessig resultat x. Agete A bidrar med isats e g får betalt løe w. Resultatet avheger både av isatse g aturlige tilfeldigheter. Sasylighete fr å få et bestemt resultat x i X gitt isatse e: Prb x = x i e = p i e, i 1,2,, der - Risikaversj: i p i e = 1 Teker ss t mulige utfall x i 1 g x i + 1 med lik sasylighet fr begge utfallee, det vil si p = 1 p = 1. 2 Risikavers aktør: Nytte av frvetet resultat er større e frvetet ytte: u 1 2 x i 1 + 1 2 x i + 1 > 1 u x 2 i 1 + 1 u x 2 i + 1 u x i > 1 u x 2 i 1 + 1 u x 2 i + 1 2u x i > u x i 1 + u x i + 1 u x i + u x i > u x i 1 + u x i + 1 u x i u x i 1 > u x i + 1 u x i Frståelse: Et gitt tapsbeløp betyr mer e tilsvarede beløp i gevist, det er altså avtagede greseytte av geviste: 26 Drag Berghlt
Nytte u x i + 1 u x i u x i 1 u x Beløp Risikøytral aktør: Nytte av frvetet resultat er lik frvetet ytte: u 1 2 x i 1 + 1 2 x i + 1 = 1 u x 2 i 1 + 1 u x 2 i + 1 u x i = 1 u x 2 i 1 + 1 u x 2 i + 1 2u x i = u x i 1 + u x i + 1 u x i + u x i = u x i 1 + u x i + 1 u x i u x i 1 = u x i + 1 u x i Frståelse: Et gitt tapsbeløp betyr like mye sm tilsvarede beløp i gevist, det er altså kstat greseytte av geviste: Nytte u x i + 1 u x u x i u x i 1 Beløp - Nytte til aktøree: Prisipale: B x w Risikavers: B > 0; B < 0 Risikøytral: B > 0; B = 0 Agete: U w, e = u w v e Risikavers: U > 0; U < 0 Risikøytral: U > 0; U = 0 27 Drag Berghlt
Margialbetydige av lø g isats: Lø: u w > 0; u w 0 Isats: v e > 0; v e 0 - Prisipales ptimerigsprblem: max w xi,e i=1 p i e B x i w x i uder bibetigelse i=1 p i e u w x i v e L w x i, e, λ = i=1 p i e B x i w x i + λ i=1 p i e u w x i v e L w x i w x i, e, λ = p i e B x i w x i + λ p i e u w x i = 0 λ = B x i w x i u w x i - Kuh-Tucker: = kstat La f g g i være kkave fuksjer av w. Da er w løsige på max w f uder betigelse g i 0 hvis, g bare hvis, det fies e vektr λ slik at følgede Kuh-Tucker-krav ppfylles: a. L w, λ L w, λ fr alle x D b. λ i 0 fr alle i = 1,, m c. g i w = 0 fr alle i = 1,, m, λ d. g i w 0 fr alle i = 1,, m U U 3.3. Optimale betaligsmekaismer - Geerelt der ifrmasje er symmetrisk: Frutsetter at brudd på ktrakte aldri er løsmt. Paret-effektivitet: λ = B x i w x i u w x i = B x j w x j u w x j B x i w x i B x j w x j = u w x i u w x j i=1 p i e u w x i v e U Edgewrth byttebks år det er t mulige resultater x 1 g x 2 der x 1 < x 2. Tilsvarede løiger er w 1 g w 2 : 28 Drag Berghlt
x 2 w 2 0 P x 1 w 1 x 1 w 1 0 A w 2 x 2 - Hvis prisipale er risikøytral g agete er risikavers utledes ktrakte sm følger: B > 0; B = 0 B = kstat u w > 0; u w 0 w x i = w x j = w Frståelse: Av λ = B x i w x i u w x i = kstat ser vi at kstat krever kstat u w x i fr alle i. Dette betyr at u w x 1 = u w x 2, altså at w x 1 = w x 2 = w. Her er betalige til agete ku avhegig av agetes reservasjsytte g agetes isats: u w v e = U u w = U + v e w = u 1 U + v e (teremet m e ivers fuksj: y = f x x = f 1 y ) Det ptimale fr e risikøytral prisipal er altså å ta all risik. Edgewrth byttebks i tresultattilfellet: x 2 w 2 0 P x 1 w 1 x 1 w 1 0 A w 2 29 Drag Berghlt x 2
Nytteivået sm det er ptimalt fr prisipale å kreve: Gitt ptimal lø w = u 1 U + v e g symmetrisk ifrmasj ka vi utlede prisipales maksimerigsprblem: max π e = e π e e i=1 p i e x i w = i=1 p i e x i u 1 U + v e = i=1 p i e x i u 1 U + v e v e = 0 i=1 p i e x i = u 1 U + v e v e e i=1 p i e i=1 p i e x i = x i = w e v e u w e frdi de deriverte av e ivers er lik de iverse av de deriverte: Geerelt: x = f 1 y x = 1 y y x Her: w = u 1 U + v e w e = Grafisk fremstillig: i=1 p i e x i w = kstat 1 u w e v e = v e u w e u w v e = U w - Hvis prisipale er risikavers g agete er risikøytral: u w > 0; u w = 0 u = kstat B > 0; B 0 x i w x i = x j w x j = k Frståelse: Av λ = B x i w x i u w x i = kstat ser vi at kstat u krever kstat B x i w x i fr alle i. Dette betyr at B x 1 w x 1 = B x 2 w x 2, altså at x 1 w x 1 = x 2 w x 2 = k. Geerelt: w x i = x i k. 30 Drag Berghlt
Det ptimale fr e risikavers prisipal er altså e frachise-ktrakt der det kreves et visst beløp k fra agete, g lar dee ta all øvrig avkastig. De risikøytrale agete vil ku delta hvis: i=1 p i e w x i v e i=1 i=1 i=1 p i e x i k p i e x i k U v e U U + v e p i e x i k = U v e k = i=1 p i e x i U v e Frståelse: Prisipale velger k sm er differase mellm frvetet prfitt g miimumskravet fra agete fr å akseptere ktrakte. Nytteivået sm det er ptimalt fr prisipale å kreve: Gitt ptimal lø w x i = x i k g symmetrisk ifrmasj ka vi utlede prisipales maksimerigsprblem: max e k max e i=1 p i e i=1 p i e x i v e = 0 i=1 p i e x i = v e x i v e Frvetet margial økig i avkastige er lik margialkstade ved isatse. x 2 w 2 0 P x 1 w 1 x 1 w 1 0 A w 2 - Hvis både prisipale g agete er risikaverse: B < 0 g u < 0 x 2 L w x i = B x i w x i + λ u w x i = 0 Differesierer med hesy på x i : B 1 dw x i dx i 31 Drag Berghlt + λ u dw x i dx i = 0 der λ = B x i w x i u w x i
B 1 dw x i dx i B B 1 dw x i dx i + B u u dw x i dx i = 0 + u u dw x i dx i = 0 u u + B B dw x i dx i = B B dw x i dx i = B B u rp u +B r P +r A B Dest større risikaversj hs prisipale i frhld til agete, dest mer burde løe styres av resultatet: x 2 w 2 0 P x 1 w 1 x 1 w 1 0 A w 2 x 2 32 Drag Berghlt
4. Mral Hazard 4.1. Iledig: - Mral Hazard (mralsk risik): Type 1: Agetes hadliger er ikke fullt ut verifiserbare. Eksempel: Lathet uder fast lø. P lager ktrakt A aksepterer eller avviser A gjør e ikkeverifiserbar isats N bestemmer utfallet Utfall g payff Type 2: Agete mttar privat ifrmasj etter at ktrakte er sigert. P lager ktrakt A aksepterer eller avviser N bestemmer situasje sm bare bserveres av A A gjør e isats Utfall g payff - Utgagspukt i mral hasard: Side prisipale ikke ka bservere agetes isats ka ikke isatse ikluderes i ktrakte eksplisitt. Hvis prisipale tilbyr e ktrakt med fast lø vil alltid agete velge det laveste isatsivået: u w v e mi u w v e Dette vet prisipale, sm derfr alltid vil tilby de laveste løe sm tilfredsstiller deltagerbetigelse fr det laveste isatsivået år løe er fast: w mi = u 1 U + v e mi - Prblemet i mral hasard ppstår i siste fase av spillet: Når ktrakte først er sigert, g side isats ikke bserveres av prisipale, vil agete velge det isatsivået sm maksimerer ege ytte. Derfr må agete legge i et isetiv fr agete til å velge øsket isatsivå. Isetivbetigelse fr alle isatsivåer sm ikke prefereres av prisipale: p i e u w x i v e p i e u w x i v e i=1 i=1 i=1 p i e u w x i i=1 p i e u w x i v e v e 33 Drag Berghlt
4.2. Mdelle: - Maksimerigsprblemet til prisipale: Løs prblemet: max w xi i=1 p i x i w x i uder følgede betigelser 1. Deltagerbetigelse: i=1 p i u w x i v e U 2. Isetivbetigelser: i=1 p i u w x i v e i=1 p i u w x i Løsig: L w x i, λ, μ L = p i x i w x i i=1 m + μ j p i u w x i j i=1 + λ p i u w x i i=1 v e i=1 v e U p i e j u w x i v e + v e j w x i = p i + λp i u w x i + μ p i p i u w x i = 0 (1) L λ = L μ j = i=1 p i u w x i v e U = 0 (2) i=1 p i u w x i v e i=1 p i e j u w x i + v e j = 0 (3) Frståelse av likigee: Av (1): p i u w x i = λp i + μ p i p i p i i=1 = i=1 λp i + μ p i p i = λ λ > 0 p i u w x i u w x i = λp i + μ 1 p i p i μ 0 Jamfør Kuh-Tucker b.; μ 0: μ > 0 Av (1), (2) g (3): + 1 + m atall likiger fr å bestemme alle w i, λ g alle μ j. I t-resultattilfellet: (2) g (3) ka brukes til å fie w i e. - Sammeligig av mral hazard g symmetrisk ifrmasj: I mral hazard må e risikøytral prisipal belaste de risikaverse agete med e risik, g slik sett miste e prfitt, fr å gi agete isetiv m å yte ptimal isats. - Mral hazard type 2: Agete mttar privat ifrmasj etter at ktrakte er sigert. 34 Drag Berghlt
Prblem: Ige kjeer sasylighete fr et gitt resultat før ktrakte er sigert, ku agete kjeer dee sasylighete etter at ktrakte er sigert. Hvis sasylighete viser seg å gjøre frvetet ytte fr agete lavere e reservasjsytte har agete isetiv til å bryte ktrakte. Ex ate deltagelsesbetigelse: Iebærer at agete ikke ka bryte ktrakte år de først er sigert. Ex pst deltagelsesbetigelse: Iebærer at agete aldri får frvetet ytte lavere e reservasjsytte. Hvis det viser seg at sasylighete fr å lykkes er høy, vil agetes frvetede ytte være større e reservasjsytte. Hvis det viser seg at sasylighete fr å lykkes er lav, vil agetes frvetede ytte være lik reservasjsytte. 35 Drag Berghlt
5. Adverse Selecti 5.1. Iledig: - Adverse Selecti (baklegs seleksj): Agete hlder på privat ifrmasj før ktrakte sigeres. Eksempel: Kvalitete på kmmuale tjeester tilbudt fra private aktører. N bestemmer type A P lager ktrakt A aksepterer eller avviser A gjør e isats N bestemmer utfallet Utfall g payff - Prisipale ka løse prblemet ved å etablere spesifikke ktrakter fr hver agettype, der de ekelte ktrakt er slik at hver agettype vil velge de ktrakte sm er met fr ham. Iebærer at agete med verst isats vil ppå ytte lik reservasjsytte, mes de adre agetee får e psitiv avkastig. - Atar t agettyper: A G g A B. U G w, e = u w v e U B w, e = u w kv e der k > 1 5.2. Ved fravær av adverse selecti: - Hvis symmetrisk ifrmasj: Hvis A G asettes må prisipale løse følgede prblem: max e,w u P e w uder deltagerbetigelse u w v e U. Løsig: L e, w, λ = u P e w + λ u w v e U L w L = 1 + λu w = 0 (1) e = u P e λv e = 0 (2) L λ Av (1): λ = 1 u w = u w v e U = 0 (3) 36 Drag Berghlt
Av (2): λ = u P e v e Av (1) g (2): u P e = v e u w Av (3): u w v e = U w = u 1 U + v e Hvis A B asettes må prisipale løse følgede prblem: max e,w u P e w uder deltagerbetigelse u w kv e U. Løsig: L e, w, λ = u P e w + λ u w kv e U L w L = 1 + λu w = 0 (1) e = u P e λkv e = 0 (2) L λ Av (1): λ = 1 u w Av (2): λ = u P e kv e = u w kv e U = 0 (3) Av (1) g (2): u P e = kv e u w Av (3): u w kv e = U w = u 1 U + kv e Grafisk fremstillig: e w G, e G w B, e B u p e w = kstat u p e w = kstat u w v e = U u w kv e = U w - Ved adverse selecti er ikke ktrakte beskrevet ver ptimal fr prisipale. Da vil emlig A B velge ktrakte met fr ham, mes A G vil velge ktrakte met fr A B frdi U G w B, e B = u w B v w B > u w B kv w B = U. - Prisipale ka løse prblemet ved å ata at A = A G har sasylighete p g at A = A B har sasylighete 1 p. Med utgagspukt i disse sasylighetee ka 37 Drag Berghlt
prisipale etablere e selvselekterede mey av ktrakter der hver agettype velger de ktrakte sm er met fr seg. w G, e G, w B, e B 5.3. Mdelle: - Maksimerigsprblemet til prisipale: Løs prblemet: max w G,e G, w B,e B p u P e G w G + 1 p u P e B w B uder følgede betigelser 1. Deltagerbetigelse fr A G : u w G v e G U 2. Deltagerbetigelse fr A B : u w B kv e B U 3. Isetivbetigelse fr A G : u w G v e G u w B v e B 4. Isetivbetigelse fr A G : u w B kv e B u w G kv e G Begresig av restriksjer: Betigelse 1. ka fjeres; hvis A B er villig til å igå e gitt ktrakt må gså A G være villig til dette. Av 3., 2. g 1.: u w G v e G u w B v e B u w B kv e B U Betigelse 4. ka fjeres; større isats kreves av A G e av A B. Av 3. g 4.: u w G v e G u w B v e B u w G u w B v e G v e B u w B kv e B u w G kv e G k v e B v e B u w G u w B k v e B v e B u w G u w B v e G v e B v e G v e B side k > 1 Løsig: L w G, e G, w B, e B = p u P e G w G + 1 p u P e B w B + λ u w B kv e B U + μ u w G v e G u w B + v e B 38 Drag Berghlt
L w G = p + μu wg = 0 (1) L w B = 1 p + λu w B μu w B = 0 (2) L e G = pu P e G μv e G = 0 (3) L e B = 1 p u P e B λkv e B + μv e B = 0 (4) Frståelse av likigee: Av (1): μ = p u w G Av (2): λ μ = 1 p u w B Av (3): μ = pu P e G v e G Av (4): λk μ = 1 p u P e B v e B Av (3) g (4) fier vi e G g e B. Når disse er fuet ka vi fie w G g w B ved å sette i i betigelsee 2. g 3. fr e G g e B. Merk at disse betigelsee hlder ved likhet. 5.4. Når prisipaler kkurrerer m ageter: - Spillet: Atar at prisipaler kkurrerer m ageter. Atar t typer ageter A G g A B g t mulige utfall av arbeidet; suksess x S g fiask x F. Begge agetee yter samme isats, me de gde agete har større sjase fr suksess. Derav er sasylighete fr at e aget skal klare å ppå x S hehldsvis p G g p B, der p G > p B. Utfallee er bserverbare, g prisipale beløer dem med hehldsvis w S g w F. Payff: Frvetet avkastig fr e risikøytral prisipal: E π = p x S w S + 1 p x F w F Frvetet ytte fr e risikavers aget: E gd aget: E U G = p G u w S + 1 p G u w F E dårlig aget: E U B = p B u w S + 1 p B u w F Ktrakte vil bestå av w G G S, w F, w B B S, w F. 39 Drag Berghlt
- Bechmark: Symmetrisk ifrmasj: Agetes maksimerigsprblem fr e gitt agettype T G, B : max E π = pt T x w T S,w T S w S + 1 p T T x F w F F uder betigelse m at E U T = p T u w S T + 1 p T u w F T U T Løsig: L = p T x S w S T + 1 p T x F w F T + λ p T u w S T + 1 p T u w F T U T L w S T = p T + λp T u w S T = 0 (1) L w F T = 1 p T + λ 1 p T u w F T = 0 (2) L Av (1) g (2): λ = pt u w S T + 1 p T u w F T U T = 0 (3) λ = 1 u w S T = 1 u w F T w S T = w F T Frikkurrase mellm prisipalee iebærer ull frvetet prfitt: w T S = w T F = p T x S + 1 p T x F w G S = w G F = p G x S + 1 p G x F w B S = w B F = p B x S + 1 p B x F Grafisk fremstillig: w F U B = kstat U G = kstat 45 U B π G = 0 = kstat π B = 0 w S Ser her at hvis ifrmasje er asymmetrisk, vil A B fremstille seg selv sm A G. Da blir prisipales frvetede prfitt egativ. - Prisipale må pprette et sett med ktrakter C G, C B uder følgede betigelser: Ige ktrakt ka eksistere sm fretrekkes fra C G av A G, g ikke fra C B av A B, sm gir psitiv prfitt fr prisipale, gitt at bare A G vil velge de. 40 Drag Berghlt
Ige ktrakt ka eksistere sm fretrekkes fra C B av A B, g ikke fra C G av A G, sm gir psitiv prfitt fr prisipale, gitt at bare A B vil velge de. Ige ktrakt ka eksistere sm fretrekkes fra C G av A G, g fra C B av A B, sm gir psitiv prfitt fr prisipale, gitt at begge agettypee vil velge de. - Hvis C G = C B har vi e samlede (plig) likevekt, hvis C G C G har vi e separerede (separatig) likevekt. - Bevis på at samlede likevekt ikke fies i dette spillet: Hvis e samlede likevekt fies g prisipale har ullprfitt må dee ktrakte ppfylle følgede: E π = p I x S w S + 1 p I x F w F = 0 der p I = qp G + 1 q p B er sasylighete fr x S. Grafisk fremstillig: w F π G = 0 π I = 0 45 U B = kstat U G = kstat w S Ser at e ktrakt i mrådet uder U B = kstat ver U G = kstat gir mer fr x S g midre fr x F. Ser gså at dette ktrakter i dette mrådet er fretrukket fr A G, me ikke fr A B. Side ku A G vil akseptere C I, g dette gir psitiv prfitt fr prisipale, ka ikke dette være e likevekt. - Grafisk fremstillig av e ptimal ktrakt: w F 45 C B π B = 0 C G U G = kstat U B = kstat π G = 0 w S 41 Drag Berghlt
Frståelse av at C G må ligge i skjærigspuktet mellm C B g π G = 0: C G må ligge på lije π G = 0 fr å være e likevekt. C G må ligge uder eller på C B fr at ikke A B skal øske de fremfr C B. Ehver ktrakt uder C G er ret dmiert av C G fr A G. Samlet sett må altså C G w G G S, w F ppfylle følgede: u w B = p B G u w S + 1 p B G u w S p G x S w S + 1 p G x F w F = 0 42 Drag Berghlt
6. Sigallig 6.1. Iledig: - Sigalig (sigaliserig): Asymmetrisk ifrmasj er ikke alltid øskelig fr de ifrmerte. De sm frsøker å sede sigaler gjør dette fr å gi mtparte mer ifrmasj. Sigaliserig fra agete: N bestemmer type A A seder et sigal P lager ktrakt A aksepterer eller avviser A gjør e isats N bestemmer utfallet Utfall g payff Gde ageter ka ha sede et sigal m si ege type. Hvis sigalet skal være ifrmativt fr prisipaler, må kstadee tilkyttet sigalet være fr stre fr dårlige ageter, me samtidig tilstrekkelig små fr gde ageter. Et eksempel er utdaig sm sigal. Sigaliserig fra prisipale: N bestemmer type P P lager ktrakt g bruker dee sm et sigal A aksepterer eller avviser A gjør e isats N bestemmer utfallet Utfall g payff Av g til har agete midre ifrmasj e prisipale m situasje kyttet til frhldet deres. Dette påvirker agetes vilje til å akseptere ktrakte. Spesielt vil gde prisipaler få midre avkastig år dårlige prisipaler frsøker å fremstå sm gde. Dette ka gde prisipaler løse ved å tilby ktrakter sm dårlige prisipaler aldri ville vært tjet med. 6.2. Sigaliserig fra agete: - Eksempel: Utdaig sm et sigal: 43 Drag Berghlt
Atar t typer arbeidere G g B med prduktivitet e G = 2 g e B = 1. Bedrifte sm skal asette gis følgede prfitt: π G = 2 w gitt G π B = 1 w gitt B Atar full kkurrase mellm bedrifter, slik at bedrifte ville tilbudt w = 2 til G g w = 1 til B ved symmetrisk ifrmasj. Før de etrer arbeidsmarkedet har arbeidstakere mulighet til å ta utdaig. Vi atar at dee utdaige ikke har e ivirkig på arbeideres prduktivitet, de fugerer ku sm et sigal. Agetees kstad ved å ta y eheter utdaig: c G = 1 y fr G 2 c B = y fr B Bedrifte atar at arbeidere er G hvis y y, g B hvis y < y. Dermed vil arbeidstakere velge ete y = 0 eller y = y. Krav fr at y skal være et effektivt sigal m arbeidstakeres type: Isetivbetigelse fr G: G må velge y = y : 2 1 2 y 1 0 y 2 Isetivbetigelse fr B: B må velge y = 0: 1 0 2 y y 1 Samlet gir dette følgede krav fr y : 1 y 2 Side all utdaig kster vil det altså være mest løsmt med y = 1. - Tar pp igje eksemplet fra adverse selecti med A G g A B, der resultatee ka bli ete x S eller x F : Uder symmetrisk ifrmasj får agetee: U G = u w G = u p G π S + 1 p G π F U B = u w B = u p B π S + 1 p B π F Uder asymmetrisk ifrmasj får agetee: E U G = p G G u w s + 1 p G G u w F < U G U B = U B Ifører mulighete fr å sigalisere gd gjem utdaig: 44 Drag Berghlt
Kstade ved utdaig fr de t typee ageter er hehldsvis v G g v B. Prisipale atar at det å ta utdaig iebærer at agete er A G, mes ige utdaig iebærer A B. Krav fr at utdaig skal fugere sm et effektivt sigal fr A G : v G U G U B v B U G U B 45 Drag Berghlt