Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs i aalyse II Vår 09 9 Vi har rekke Dette er e geometrisk rekke som beskrevet på side 50 i læreboka, med x (side ) Spesielt er < <, som betyr at 0 kovergerer og at summe er / 0 Me dette var faktisk ikke summe vi skulle fie vår sum starter med, og dee summe starter med 0 Heldigvis er det lett å fie summe som starter med, side som betyr at 0 0, Merk: E ae måte å ta hesy til at summe i formele for geometrisk rekke begyer med 0, er å bruke at Altså ka vi fie fie vår rekke 0 0 ved formele for geometrisk rekke, og så gage med for å 95 Vi har rekke de som e geometrisk rekke Side ( 5) 8 For å fie summe av dee rekke, prøver vi å skrive ( 5) 8 5 8 5, ser vi at vi har e geometrisk rekke med x 5 Da er åpebart < x <, og vi får summe ( 5) 5 8 5 69 0 0 Vår sum begyer med, ikke 0 Derfor fier vi ( 5) 8 0 ( 5) 8 ( 5)0 8 0 ( 5) 8 69 5 5 446 Vi kue også gjort som i merkade til 9 for å få summe til å starte ved 0 februar 09 Side av 5
90 Vi har rekke 0 Vi legger merke til at Vi ser at vi ka bruke formele for geometrisk rekke til å fie at () 0 0 0, og på samme vis at 0 9 0 I begge disse utregigee har vi brukt del (a) av teorem 7 på side 5 til å dra kostater utefor summe Ved hjelp av () fier vi da at 0 0 0 5 6 0 Her har vi brukt del (b) av teorem 7 på side 5 til å dele summe i to summer ved overgage til adre lije 9 Vi har rekke ( ) 4 5 Som boka abefaler, ka vi kikke på delbrøksoppspaltig, som betyr at vi øsker å skrive () på forme A B Side ser vi at A og B A gir at B A A B, ( ) ( ) Hvis vi å kikker på delsummee s N, fier vi februar 09 Side av 5
N s N ( ) N 4 5 N N N N N N 4 6 N N Overgage til siste lije er å observere at vi har e teleskoperede rekke, fordi vi har kaselleriger på forme k k k k, så det eeste som står igje med er oe rester fra de to første og to siste paretesee som ikke kaselleres Derfor er ( ) lim s N lim N N N N 4 94 Vi skal fie ( )( ) Som boka abefaler, gjør vi som i forrige oppgave og bruker delbrøksoppspaltig Vi søker A, B og C slik at ( )( ) A Ved å sette på felles brøkstrek fier vi at B C A B C A A A B B C C ( )( ) For at dette uttrykket skal bli likt ()(), sammeliger vi koeffisietee fora, og i telleree Da får vi tre ligiger: : : 0 A B C 0 A B C : A Husk at limn sn per defiisjo () februar 09 Side av 5
Siste ligig gir raskt at A, og deretter ka ma løse de to første ligigee og fier at A B C Altså er ( )( ) Dermed er delsummee s N N ( )( ) N 4 N N N N N 4 5 N N N 4 5 6 N N N For å komme til siste lije, ka ma observere at ma får kaselleriger på følgede form: k k k k k, så det eeste som står igje er oe ledd fra første og siste paretes som ikke kaselleres Vi ser å at ( )( ) lim s N lim N N N N 4 90 Vi skal fie summe til rekke 4 () For å fie dee summe, begyer vi med å forekle evere Summe av de første heltallee er gitt ved ( ) ( ) ( ) februar 09 Side 4 av 5
Dette er teorem på side 94 i læreboka Ved å bruke dee formele i alle evere i (), ser vi at 4 () 4 ( ) 4 5 Her har vi hetet () fra eksempel i lærebokas kapittel 9 februar 09 Side 5 av 5