AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Emekode: FO 019A Dato: 12.12.200 Faglig veileder: Ulf Uttersrud Eksamestid: 9-14 Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl. forside): Atall oppgaver: 14 Atall vedlegg: 0 Tillatte hjelpemidler: Alle skriftlige både trykte og hådskreve, samt alle typer lommekalkulatorer, er tillatt Kadidate må selv kotrollere at oppgavesettet er fullstedig. Ved evetuelle uklarheter i oppgavetekste skal du redegjøre for de forutsetiger du legger til gru for løsige. Utarbeidet av (faglærer): Ulf Uttersrud Kotrollert av (e av disse): Ae lærer Sesor: Studieleder/ Fagkoordiator Roy Istad Studieleders/ Fagkoordiators uderskrift: Avdelig for igeiørutdaig Cort Adelersgate 0 024 Oslo tlf: 22 4 2 00 faks: 22 4 2 0 iu@hio.o
De 14 oppgavee teller likt. Det er ikke slik at de lette oppgavee kommer først og de vaskelige til slutt. Bruk derfor ikke for mye tid på e oppgave du ikke får til. Prøv istede på e y oppgave. Alle svar skal begrues! For eksempel ved å ta med mellomregiger eller ved å gi ae form for argumetasjo. Oppgave 1 Gitt de fire logiske utsagee s = ( p r) q, u1 = p q r, u 2 = p q r og u = p q r. Er utsaget s logisk ekvivalet med utsaget u u? Oppgave 2 1 2 u La A, B og C være vilkårlige delmegder i e uiversalmegde U. På tegige uder er U delt opp i åtte disjukte delmegder ummerert fra 1 til 8: For eksempel er delmegde r. 2 (et grått område) gitt ved A B C og delmegde r. 7 (også et grått område) gitt ved A B C. De åtte delmegdee er gitt ved a) A B C, b) A B C, c) A B C, d) A B C, e) A B C, f) A B C, g) A B C, h) A B C i) Sett opp hvilke bokstav som hører til hvilket ummer for alle de åtte delmegdee. For eksempel hører e) til 2 og d) til 7. ii) Lag et Ve-diagram der du skraverer megde D = ( A B C) ( A B C ) ( A B C) Skriv så megde D på e så ekel form som mulig. Oppgave 1 1 1 1 1 Gitt tallmatrisee A =, B = og. Ku to av matriseproduktee 0 2 0 C = 1 2 0 1 AB, AC, BA, BC, CA og C B er defiert. Reg ut de to som er defiert. 2
Oppgave 4 I dee oppgave skal vi bruke to-komplemet, fortegsbit og 8 biter som fast lagrigsformat for heltall. Det betyr at et tall er egativt hvis og bare hvis første (fra vestre) siffer/bit er 1. La heltallee a og b være gitt ved a = 00110010 og b = 01010000. i) Sett opp hva både a og b blir på heksadesimal form, på oktal form og på desimal form. ii) Fi c = a + b ved biær addisjo. Resultatet c blir et egativt tall. Hva blir tallet på desimal form? iii) Fi et heltall x fra tallmegde { 128, 127,...., 12, 126, 127} slik at 10 x (mod 26). Oppgave La A = { a, d } og B = {1,2,,4}. Defier fuksjoe g : A B ved g( a) = 2, g( b) =, g( c) = 4 og g( d ) = 1. Defier fuksjoe f : B A ved f (1) = c, f (2) = a, f ( ) = d og f (4) = a. Lag tegiger av f og g. Er g e til e? Er g på? Er f e til e? Er f på? La fuksjoe h : A A være defiert som sammesetige av f og g, dvs. h = f o g. Hva blir h( a ), h (b), h(c) og h( d )? Teg h. Er h e til e? Er h på? Oppgave 6 E foreig skal bruke et heltall med fem siffer som medlemsummer. Det første av de fem sifree skal hetes fra {1, 2,, 4, } og hvert av de fire este sifree skal hetes fra {0, 1, 2,, 4, }. Samme siffer ka brukes flere gager. Heltallee 2012 og 4040 er to eksempler på mulige medlemsummer, mes 0124 og 462 er to ulovlige medlemsummer. i) Hvor mage mulige medlemsummer av dee type fies det? Foreige opplever ofte at medlemsummer feilskrives. E valig feil er at ett av sifree er galt, mes de adre er korrekte. E ae valig feil er at to siffer bytter plass. Dette ka ma sjekke ved å iføre et kotrollsiffer. Dvs. medlemsummeret får et ekstra siffer (et sjette siffer). La a1, a2, a, a4 og a være de fem sifree i et medlemsummer. Et kotrollsiffer x hetes fra {0, 1, 2,, 4,, 6} og bestemmes slik at flg. ligig oppfylles: *) a 2a + a + 4a + a x ( mod 7 ). 1 + 2 4 ii) La x være kotrollsifferet som hører til tallet 2012. Dvs. at medlemsummeret å blir 2012x. Fi x og sjekk at hvis vi bytter om tredje og fjerde siffer i dette ummeret, dvs. lager ummeret 2012x, vil dette ikke oppfylle ligige *).
Oppgave 7 La påstade P være defiert ved: 0 ( mod ). i) Vis at påstade P er sa for = 1, 2 og. ii) Sett opp de seks første radee i Pascals trekat og bruk det til å fie koeffisieter a, c og d slik at 4 2 ( + 1) = + a + b + c + d + 1 for alle. iii) Vis ved hjelp av iduksjo at påstade P er sa for alle 1. Avgjør om påstade 0 ( mod 10 ) er sa for alle 1. Oppgave 8 Gitt differesligige a a + 8a, a = 0, a 6. Fi og a. Fi e formel for a Oppgave 9 og fi a ved å sette i i dee formele. = 2 1 2 0 1 = a2 Et passord til et datasystem skal ieholde øyaktig 8 teg. Lovlige teg er de 26 bokstavee A Z og sifree 0 9. Passordet skal starte og slutte med e bokstav. Hvor mage forskjellige passord av dee type fies det? Både her og i de este spørsmålee, holder det å sette opp et regeuttrykk som svar. De eksakte tallsvaree ka bli svært store og du treger ikke å rege dem ut. Hvor mage passord av dee type vil ieholde like mage bokstaver som siffer? Hvor mage passord av dee type vil ieholde flere bokstaver e siffer? Oppgave 10 I e gruppe på 100 IT-studeter var det 48 som kue web-programmerig ved hjelp av PHP, 47 som kue det ved hjelp av JSP og 42 kue det ved hjelp ASP.NET. Det var stykker som kue alle de tre tekologiee, det var 1 som kue både PHP og JSP, 18 som kue både JSP og ASP.NET og 10 som kue både PHP og ASP.NET. Hvor mage av de 100 ITstudetee kue ige av de tre tekologiee? Hvor mage kue både PHP og ASP.NET, me ikke JSP? Hvor mage kue bare ASP.NET? Oppgave 11 1 0 0 Gitt de logiske matrisee A = og B =. 1 0 1 1 Fi A B, A B og A! B. Obs: A! B betyr det logiske matriseproduktet. 4
Oppgave 12 1 0 0 0 0 1 0 Gitt matrise M = og megde A = { a, d }. La R være de relasjoe på 0 0 0 1 1 0 0 0 A som har M som tilhørede matrise. i) Sett opp relasjoe R som e samlig par, dvs. som e delmegde av A A og teg des graf G. ii) Fi matrise M! M. iii) Sett opp, ved f.eks. å studere grafe G, alle par ( x, y) der x A og y A som er slik at det går e vei med legde 4 fra x til y. Bruk det til å sette opp matrise M! M! M! M, dvs. ute å rege ut matriseproduktet. Oppgave 1 La A = { a, d } og la R være relasjoe på A gitt ved R = {( a, b),( c),( d),( d, a) }. i) Teg grafe til R. ii) La S være de refleksive tillukige til R. Teg grafe til S. iii) La T være de symmetriske tillukige til S. Teg grafe til T. iv) La U være de trasitive tillukige til T. Teg grafe til U. Oppgave 14 La x, y og z være boolske variabler. i) Skriv det boolske uttrykket ( x + z ) y som e sum av miimumsledd. ii) Skriv de boolske fuksjoe mulig. f ( x, y, z) = x y z + x y z + x y z på e så ekel form som