DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Variasjonsredden: 6 C ( 6 C) = 6 C+ 6 C= 12 C Gjennomsnittet: 2 C+ 0 C + ( 4 C) + ( 6) C+ 2 C+ 6 C 0 C = = 0 C 6 6 Medianen: 0 C+ 2 C 2 C = = 1C 2 2 Oppgave 2 7 500 000 000 2 30 = 7,5 10 9 2 3 10 1 = 45 10 10 = 4,5 10 11 Menneskene vil trenge rundt 4,5 10 11 liter drikkevann per måned. Oppgave 3 a Vi får (150 120) 30 100 100 100 = = = 25 %. Altså 25 % høyere i utikk A. 120 120 4 Vi får (120 150) 30 100 100 100 = = = 20 %. Altså 20 % lavere i utikk B. 150 150 5 Oppgave 4 Vi løser oppgaven som en likning der x er prisen uten merverdiavgift. x + 0,25 x = 750 1,25x = 750 x = 750 1,25 x = 600 Merverdiavgiften lir da 750 600 = 150 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 16
Oppgave 5 a frekvens Vi ruker formelen høyde = siden vi har ulike klasseredder. klasseredde Vi setter høyden opp i en taell: Alder Frekvens Klasseredde Høyde 0 10 40 10 4 10 20 20 10 2 20 30 60 10 6 30 50 20 20 1 50 60 20 10 2 60 80 40 20 2 Vi lager histogram: Aschehoug www.lokus.no Side 2 av 16
c Vi ruker midtverdien i hver aldersgruppe og multipliserer denne midtverdien med frekvensen. Vi finner da et godt mål på den samlede alderen til alle som or i lokka. Vi deler den samlede alderen på de 200 eoerne og finner gjennomsnittet. 5 40 +15 20 + 25 60 + 40 20 + 55 20 + 70 40 200 200 + 300 +1500 + 800 +1100 + 2800 = 200 = 6700 200 = 33,5 Gjennomsnittsalderen er 33,5 år. Det or 200 personer i lokka. Det vil si at medianen vil ligge i den aldersgruppa der den kumulative frekvensen passerer 100. I den yngste gruppen er det 40 personer. I den nest yngste gruppa er det 20 personer. I den tredje yngste gruppa er det 60 personer. Til sammen utgjør disse tre gruppene 120 personer, og vi ser at medianen ligger i gruppe tre, mellom 20 og 30 år. Påstanden er dermed feil. Hun er eldre enn medianen. Oppgave 6 a Vi merker av de to punktene (2,170) og (4, 220) i et koordinatsystem og trekker en rett linje gjennom punktene. Ved avlesning ser vi at grafen skjærer y-aksen i 120. Det vil si at hun har en fast grunnlønn på 120 kr. Når x øker med 1, øker y med med 25. Det vil si at hun i tillegg tjener 25 kr for hvert produkt hun selger. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 16
c Ved avlesning ser vi at det skjer ved 10 salg. Oppgave 7 a Eksponentiell vekst vil si at størrelse øker med en fast prosentsats per enhet. Graf B illustrerer eksponentiell vekst. Den øker med en fast prosentvis økning, og vi får det som kalles rentesrente. Altså at den øker med en stadig større sum. Graf A avtar etter en stund, mens graf C øker lineært, altså med en fast sum per enhet. Oppgave 8 Vi skriver tallene på standardform og rangerer dem fra minst til størst. 6 7 0,46 10 = 4,6 10 7 6 46 10 = 4,6 10 1 46 4,6 10 = = 4,6 10 6 1000 000 10 6 4 600 000 = 4,6 10 8 4,6 10 11 9 0,046 10 = 4,6 10 5 Oppgave 9 Antall land Frekvens Relativ frekvens Kumulativ frekvens [ 1, 6 5 0,25 5 [ 6,11 10 0,5 15 [ 11,16 2 0,1 17 [ 16, 21 2 0,1 19 [ 21, 26 1 0,05 20 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 16
DEL 2 Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 a Løst med GeoGera: Vi skriver inn dataene i et regneark i GeoGera. Vi skriver inn «sum[b1:b5]» i celle B6 for å summere frekvensene: I neste kolonne regner vi ut frekvensen delt på det totale antallet og ganger med 360, for å gjøre andelene om til grader i et sektordiagram. Vi skriver for eksempel inn «= B3 / B6 (360)» i celle C3 og tilsvarende for de andre alternativene. Summerer til slutt gradene for å kontrollere at vi får 360. På samme måte regner vi prosentandelen til hver kategori i den tredje kolonnen. Vi skriver for eksempel inn «= B3 / B6 (100)» i celle D3. Nå ganger vi med 100 i stedet for 360 for å få prosent. Det gir oss dette regnearket: Vi lager en sirkel ved å definere et punkt, for eksempel A:=(6,6). Vi ruker verktøyet «Sirkel definert ved sentrum og radius», klikker på punktet A og velger radius lik 5. Vi har nå en sirkel vi kan ruke til sirkeldiagrammet. Vi merker først av to punkter på sirkeluen. Vi ruker verktøyet «Vinkel» og finner vinkelen mellom de to punktene på sirkeluen. Vi velger null desimaler under innstillinger og flytter på det ene punktet til vi får 72 grader. Vi ruker verktøyet «Linje mellom to ojekt» og tegner strekene mellom punktene på sirkeluen og sentrum. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 16
Vi velger et nytt punkt på sirkeluen, og gjør på tilsvarende måte, men vi ruker ett av punktene vi allerede har. Vi flytter dette punktet til neste vinkel lir 176 grader. Vi fortsetter til vi har tegnet inn alle vinklene. Vi setter nå riktig navn og riktig prosenttall i hvert av kakestykkene ved hjelp av verktøyet «Tekst». Til slutt høyreklikker vi på alle punkt, navn og vinkler vi ikke trenger å ha med, og huker av for ikke å vise navn eller ikke vise ojekt. Dette gir oss dette sirkeldiagrammet: Løst med Excel: Vi taster dataene inn i regnearket. Vi markerer dataene. Vi går til verktøylinja Charts og velger sektordiagram. Vi får da opp diagrammet. Vi doeltklikker på diagrammet og velger menyen Laels. Her velger vi «Show lael and percent». Vi får da opp dette sektordiagrammet: Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 16
Oppgave 2 a Vi løser oppgaven i GeoGera. Vi taster datamaterialet inn i regnearket, marker alle tallene og ruker verktøyet «Analyse av en variael». Vi trykker analyser og velger knappen «Vis statistikk». Vi får opp følgende ilde: Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 16
Gjennomsnittet lir 28,7 minutter, som tilsvarer 0,7 60 = 42 28 minutter og 42 sekunder. Her har vi hele datamaterialet og ruker vanlig standardavvik. Standardavviket er 3,5 minutter. I Excel ville vi løst oppgaven ved å skrive inn tallmaterialet i et regneark på samme måte, og så rukt kommandoene Gjennomsnitt og STDAV.P på datamaterialet. Siden gjennomsnittet er likt, og standardavviket er langt mindre, vil det si at Grete varierer mye mindre i antall minutter hun ruker på turen. Hennes tall vil altså ligge nærmere opp mot 28,7 minutter med mindre spredning rundt dette gjennomsnittet. Oppgave 3 a Vi tegner grafen i GeoGera. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 16
Vi ruker kommandoen Ekstremalpunkt[<Polynom>] og setter Polynom som B. Vi får da toppunktet på grafen. c Sola sto 52,2 grader over horisonten på sitt høyeste. Vi tegner linja y=20 i samme koordinatsystem. Vi ruker verktøyet «Skjæring mellom to ojekt» for å finne koordinatene til skjæringspunktene. Sola sto altså 20 grader over horisonten 7,6 timer etter midnatt (7 timer og 36 minutter) og 19,7 (19 timer og 42 minutter) etter midnatt. d Vi ruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart a = y 2 y 1 x 2 x 1. Det vil si at sola steg rundt 6,5 grader i gjennomsnitt per time fra kl. 05.00 til kl. 12.00. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 16
Oppgave 4 a Vi fyller ut taellen: Figur Antall hvite Antall lå Antall rektangler rektangler rektangler totalt 1 1 8 9 2 4 12 16 3 9 16 25 4 16 20 36 n n 2 4n + 4 n 2 + 4n + 4 Vi kjenner igjen kvadrattallene for å finne formelen for de hvite rektanglene. Vi ser at de lå rektanglene øker med 4 fra et ledd til det neste. I tillegg må vi legge til 4 ganger tallets nummer i rekka. For å finne det totale antallet rektangler adderer vi de hvite og lå rektanglene. Vi løser oppgaven i CAS. Vi kan ikke ha negativt antall figurer, og dermed trenger vi den sjuende figuren i tallfølgen. Vi kvadrer tallet 7 for å finne antallet hvite rektangler i figur 7 og ender dermed opp på 49 stykker. c Vi løser oppgaven på samme måte som foregående oppgave i CAS. Vi trenger 140 lå rektangler, og det skjer i figur 34. Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 16
Oppgave 5 a Vi løser oppgaven med regneark. Vi setter årstallene i kolonne A. Vi starter med 2015 i celle A1 og fortsetter helt til 2025 i celle A11. Vi setter vekstfaktor 1-0,08=0,92 øverst i kolonne C, i celle C1. Vi kopierer denne vekstfaktoren i alle radene nedover i kolonnen. I kolonne B setter vi 20 000 øverst i celle B1. I raden under i celle B2 skriver vi formelen «=A1*C1». Vi tar så tak i det lille krysset nederst i høyre hjørne i celle B2 og trekker ned til celle B11. Regnearket regner da ut alle verdiene vi trenger. Vi løser oppgaven i CAS i GeoGera. Utslippet vil reduseres med 56,6 % i løpet av perioden. Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 16
c Vi får likningen 30 000 x 5 = 15 000. Vi løser oppgaven i CAS. Vekstfaktoren lir 0,87. 1 0,87 = 0,13 Bedriften må redusere utslippet med 13 % per år. Oppgave 6 a Lengden av esken lir 20 cm minus 2 ganger lengden av siden i kvadratet som klippes ort, 20 2x. Bredden av esken lir 14 cm minus 2 ganger lengden av siden i kvadratet som klippes ort, 14 2x. Høyden lir lik lengden x av siden i kvadratet som klippes ort. Volumet lir lengden ganger redden ganger høyden. Dette gir oss følgende taell: Lengden av Lengden av hver side i esken i cm kvadratene som klippes ort 4 cm 20 2 4 = 20 8 = 12 3 cm 20 2 3 = 20 6 = 14 2,5 cm 20 2 2,5 = 20 5 = 15 Bredden av esken i cm 14 2 4 = 14 8 = 6 14 2 3 = 14 6 = 8 14 2 2,5 = 14 5 = 9 x cm 20 2x 14 2x x Høyden av esken i cm Volumet av esken i 4 12 6 4 = 288 3 14 8 3 = 336 2,5 15 9 2,5 = 337,5 3 cm V( x) = (20 2 x) (14 2 x) x 2 = (280 40x 28x+ 4 x ) x 2 = (4x 68x+ 280) x = x x + x 3 2 4 68 280 Aschehoug www.lokus.no Side 12 av 16
Vi ser at det meste vi kan klippe ort, er et rektangel med sider på inntil 7 cm. Da vil redden på rektanglet li 14 14 = 0. Dermed har vi definisjonsmengden x 0, 7. Vi tegner grafen til V. Vi ruker kommandoen Ekstremalpunkt[<Polynom>], setter Polynom lik V og leser av verdien til toppunktet. Svaret tilsier at vi ør klippe vekk et kvadrat med sider på 2,7 cm. Da lir volumet 3 tilnærmet lik 339 cm. Oppgave 7 a Siden lufttrykket avtar med en fast prosentsats, vet vi at vi har en funksjon med eksponentiell minking på formen f (x) = a x, der a er utgangsverdien og er vekstfaktor. Vi ser at utgangsverdien er 1000 hpa, og at vekstfaktoren er 1 0,12 = 0,88. Vi får uttrykket f (x) = 1000 0,88 x. Aschehoug www.lokus.no Side 13 av 16
Vi starter med et lufttrykk på 1000 hpa. Dette skal deles på 2 for hver 5,5 km. Vi regner ut trykket for 5,5 km, 11 km og 16,5 km over havoverflaten. 1000 : 2 = 500 hpa ved 5,5 km over havoverflaten. 500 : 2 = 250 hpa ved 11 km over havoverflaten. 250 : 2 = 125 hpa ved 16,5 km overhavoverflaten. Vi ruker regresjon i GeoGera. Vi plotter punktene i regnearket, velger verktøyet «Regresjonsanalyse», trykker «Analyser» og ruker «Regresjonsmodell» «Eksponentiell». Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 16
Vi tegner grafen til g(x) = 1000 0,8816 x i samme koordinatsystem som grafen til f. c Sitat 3 gir oss en lineær funksjon på formen h(x) = ax +. Her er startverdien 1000 hpa. Stigningstallet a sier hvor raskt trykket avtar. På 8 meter minker trykket med 1. Det vil si at vi får stigningstallet 1000 = 125, noe som tilsvarer at trykket minker konstant med 125 hpa 8 per kilometer. h(x) = 125x +1000 Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 16
Denne modellen gjelder are for steder som er lokalisert inntil noen hundre meter over havet. Dermed er det rimlig å anta at den lir mer og mer unøyaktig jo høyere opp vi kommer. Dette kan forklare avviket fra de ta to andre funksjonene for store x-verdier. d Sitat 4 gir oss at lufttrykket på Mount Everest er 1000 3 = 333,33hPa. Vi ruker inntastingsfeltet i GeoGera til å regne ut a = f (8,848), = g(8,848) og c = h(8,848). Vi ser at funksjon f og funksjon g gir gode tilnærminger, mens funksjon h ikke fungerer. Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 16