TORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS GeoGebra 6 for Sinus R2
Sinus R2 ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I dag er det mange lærere og elever som bruker GeoGebra 6. I dette heftet har vi forklart hvordan vi bruker GeoGebra 6, der det i boka er beskrevet fremgangs-måter med GeoGebra 5. CAS er et obligatorisk verktøy i R2. Det er derfor viktig at elevene blir fortrolige med dette verktøyet ved hyppig og systematisk bruk gjennom hele skoleåret. Disse forklaringene er både samlet her i et eget hefte, og lagt ut under de aktuelle delkapitlene på de gratis nettsidene til Sinus. 30.07.18 Tore Oldervoll og Sigbjørn Hals 2
Innhold 1 Integralregning... 4 1.2 Ubestemt integral... 4 1.5 Bestemt integral som grense for sum... 5 1.7 Mer om integrasjon og areal... 6 2 Trigonometriske likninger... 8 2.2 Sinus og cosinus... 8 2.3 Sinuslikninger... 10 2.4 Cosinuslikninger... 13 2.5 Tangens og tangenslikninger... 14 2.7 Eksakte løsninger... 15 2.8 Flere typer trigonometriske likninger... 15 2.9 Enhetsformelen... 16 3 Trigonometriske funksjoner... 16 3.4 Cosinusfunksjonen... 16 3.8 Funksjonen f(x) = a sin(kx) + b cos(kx)... 17 3.9 Likningen a sin(kx) + bcos(kx) = c... 17
1 Integralregning 1.2 Ubestemt integral Finn de ubestemte integralene i CAS. a) 2 6x dx b) 3 (2 1 ) dx x 3 2 ( x 3x 5 x) dx c) x 2 4
1.5 Bestemt integral som grense for sum La funksjonen f være gitt ved f x x x 2 ( ) 4 3 a) Tegn grafen til f i GeoGebra. b) Finn arealet av det flatestykket F som er avgrenset av x-aksen og grafen uten bruk av CAS. c) Finn det eksakte arealet av F ved hjelp av CAS. a) I GeoGebra skriver vi inn funksjonsuttrykket og får denne grafen: b) Flatestykket ligger under x-aksen mellom x 1 og x 3. Nå skriver vi Integral(f, 1, 3). Det gir svaret 1,33 som vist på grafen ovenfor. Ettersom flatestykket er under x-aksen, er arealet 3 2 A ( x 4x 3) dx 1,33 1 c) Ettersom vi har skrevet inn funksjonsuttrykket, kan vi skrive A:= Integral(f, 1, 3) i CAS og få fram arealet slik:
1.7 Mer om integrasjon og areal, SIDE 37 En funksjon f er gitt ved 3 2 f ( x) x 6x 8x a) Finn 4 f ( x) dx. 0 b) Finn arealet av det området som er avgrenset av x-aksen og grafen til f. a) b) Vi tegner grafen for å se om området ligger under eller over x-aksen. Se graf til høyre. Vi ser at området ligger delvis over og delvis under x-aksen, og vi må da regne ut arealet av hver del for seg. Vi trenger nullpunktene til funksjonen. Arealet av det flatestykket som ligger over x-aksen, er Arealet av det flatestykket som ligger under x-aksen, er Samlet areal blir 6
, SIDE 41 Funksjonene f og g er gitt ved f x x x 2 ( ) 4 1 g x x x 2 ( ) 6 7 Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafene til f og g. Først tegner vi grafene til f og g. Grafen til f ligger over grafen til g i det aktuelle området. Vi må finne skjæringspunktene mellom grafene.
2 Trigonometriske likninger 2.2 Sinus og cosinus Bruk CAS til å finne a) sin127 og cos127 b) sin( 120 ) og cos( 120 ) Løsning a) Husk at vinkelen må stå i en parentes, og at vi må sette gradtegn (Alt o) bak vinkelen! Trykk på for å få tilnærmingsverdier. b) Her skriver vi inn uttrykkene og trykker på, for her fins det eksakte verdier. Det kommer vi tilbake til i kapittel 2.7 i læreboka. 8
Bruk CAS til å finne a) 2 2 sin og cos 3 3 b) sin 4,3 og cos 4,3 a) Når det ikke står gradtegn bak vinkelen, regner GeoGebra i radianer. Vi får disse tilnærmingsverdiene: Her kan vi også finne eksakte verdier ved å trykke på. b)
2.3 Sinuslikninger Vi har gitt likningen sin v 0,5 der v er målt i grader. a) Finn den generelle løsningen. b) Finn løsningene i første omløp. a) Når vi vil ha svaret i grader, må vi sette et gradtegn (Alt o) bak variabelen. Når vi så trykker på, får vi dette svaret: b) Når vi skal ha løsningene i første omløp, kan vi gjøre det slik: Vi måtte trykke på for å få fram svaret. Legg merke til at vi måtte sette parentesene { og } rundt likningen med betingelser. Her kan vi også få fram svarene på en annen måte. Vi skriver inn likningen og trykker på. Da får vi det ene svaret: Hvis vi nå klikker på likningen og deretter trykker på, får vi fram begge løsningene. Med denne metoden får vi ikke alltid løsninger i det området vi ønsker. Den første metoden er derfor den beste. 10
Løs likningen 5sin v 4 0, v 0, 360 Vi prøver først å finne eksakte løsninger. Da skriver vi inn likningen og trykker på resultatet:. Det gir dette Dette var ikke mye hjelp i! For å få fram svarene klikker vi først i raden nedenfor likningen og deretter på svaret. Da får vi overført svaret til raden nedenfor. Når vi så trykker på, får vi dette resultatet:
Vi kan også løse sinuslikninger der vinkelen er i radianer. Vi har gitt likningen sin v 0, 6 der v er målt i radianer. a) Finn løsningene i første omløp. b) Finn den generelle løsningen. a) Vi skriver først inn likningen med betingelsene og trykker på. Deretter trykker vi i raden nedenfor likningen og deretter på svaret. Da får vi overført svaret til raden nedenfor. Når vi så trykker på, får vi svaret: b) Her går vi fram som ovenfor, men nå skriver sin( v) 0,6 uten betingelser. 12
2.4 Cosinuslikninger Vi har gitt likningen cos v 0,7 der vinkelen v er målt i grader. a) Finn de vinklene v i første omløp som er løsninger av likningen. b) Finn den generelle løsningen. a) Først skriver vi og trykker på på. Deretter trykker vi i raden nedenfor likningen og deretter på svaret. Da får vi overført svaret til raden nedenfor. Når vi så trykker på, får vi svaret: b) Her går vi fram på tilsvarende måte:
2.5 Tangens og tangenslikninger 7 Finn tan 30 og tan. 6 Løs likningen 3tan v 5 4, v 0, 360 Løs likningen 2tan x 4 0, x 0, 2 14
2.7 Eksakte løsninger Finn de eksakte løsningene av likningen 2sin x 1 0, x 0, 2 Løs likningen 2cos 2 0, [0, 16] 8 x x 2.8 Flere typer trigonometriske likninger Løs likningen 2 10sin x 13sin x 3 0, x 0, 2
2.9 Enhetsformelen Løs likningen 2 2 3sin x 4sin x cos x 5cos x 2, x 0, 2 3 Trigonometriske funksjoner 3.4 Cosinusfunksjonen Normaltemperaturen T(x) et sted i Norge x dager etter nyttår er gitt ved 2 x 5 T ( x) 7 10 cos, x 1, 365 365 73 d) Finn ved hjelp av CAS når temperaturen er 10 C. d) 16
3.8 Funksjonen f(x) = a sin(kx) + b cos(kx) Funksjonen f er gitt ved f ( x) 2 2 sin x 2 2 cos x, x [0, 2] a) Skriv f(x) som et sinusuttrykk. a) 3.9 Likningen a sin(kx) + bcos(kx) = c Løs likningen sin x 3 cos x 1, x [0, 2 ]