Algebra S Algebra Ihold Kompetasemål Algebra, S.... Tallfølger... 3 Formler som beskriver tallfølger... 5 Aritmetiske tallfølger... 9 Geometriske tallfølger... 0. Tallrekker... Aritmetiske rekker... 3 Geometriske rekker... 6 Praktiske problemer kyttet til rekker... 8.3 Uedelige geometriske rekker... 8 Kovergete og divergete geometriske rekker... 30 Praktiske problemer kyttet til uedelige geometriske rekker... 3.4 Faktoriserig... 33 Faktoriserig av tall og ekle bokstavuttrykk... 33 Faktoriserig av uttrykk som ieholder flere ledd... 34 Faktoriserig av adregradspolyomer med ullpuktmetode... 36 Faktoriserig av tredjegradspolyomer... 37 Polyomdivisjo... 38.5 Likiger... 40 Tredjegradslikiger... 40 Rasjoale likiger... 43 Likigssett med to ukjete... 46 Likigssett med tre ukjete... 49
Algebra S Kompetasemål Algebra, S Når du har arbeidet deg gjeom dette kapittelet, er målet at du skal kue fie møstre i tallfølger og bruke dem til å summere edelige aritmetiske og geometriske rekker og adre rekker, med og ute digitale hjelpemidler avgjøre om e uedelig geometrisk rekke er koverget, og berege summe av rekke løse praktiske problemer i forbidelse med sparig, lå og avbetaligskjøp ved å bruke rekker faktorisere polyomer ved hjelp av ullpukter og polyomdivisjo, og bruke det til å løse likiger med polyomer og rasjoale fuksjoer modellere praktiske problemer ved hjelp av lieære likigssystemer med flere ukjete, og løse dem med og ute digitale hjelpemidler
Algebra S. Tallfølger Tall plassert etter hveradre i e bestemt rekkefølge, kaller vi e tallfølge. Ditt første møte med tallfølger var kaskje da du lærte å telle. Tallee,, 3 og 4 er et eksempel på e tallfølge eller bare e følge. Legg merke til at rekkefølge av tallee er vesetlig. Tallee i e tallfølge kalles ledd, og leddee følger som oftest et bestemt møster. Vi ka ha tallfølger med et edelig atall ledd, edelige tallfølger, som for eksempel tallfølge, 3, 5, 7,, 3 eller tallfølge,4,6,8,...,00 Tall plassert etter hveradre i e bestemt rekkefølge, kaller vi e tallfølge. Vi ka ha tallfølger med uedelig mage ledd, uedelige tallfølger, som for eksempel tallfølge, 4, 9, 6, 5, 36, De tre prikkee etter det siste leddet viser at tallfølge fortsetter etter samme møster. Ka du fie møsteret i hver av de tre tallfølgee ovefor? 3
Algebra S Tallfølge Møster, 3, 5, 7,, 3,4,6,8,...,00 Tallfølge består av alle primtall midre e eller lik 3. Tallfølge består av alle positive partall midre e eller lik 00., 4, 9, 6, 5, 36, Tallfølge består av alle kvadrattall. Nedefor ser du flere tallfølger. Forsøk å fie møstree, og fyll i de este leddee i hver tallfølge Tallfølge Møster,, 3,, 4, 9, 6,, 4, 8, 3, 9, 7, 3 4,,,, 3 4 5 5, 0, 5, 0,, 3, 5, 7,, 3,, 3, 6, 0,,,, 3, 5, 8, 4
Algebra S Formler som beskriver tallfølger Det er valig å gi de ekelte leddee i e tallfølge av. Det første leddet kaller vi a, det adre leddet a osv. Ledd ummer i tallfølge får betegelse a hvor er et aturlig tall. For tallfølge, 4, 6, 8 er a a 4 a 6 a 3 4 8 Vi skal å lage e formel for det - te leddet, a. Vi viser to måter dette ka gjøres på. Rekursiv formel Vi ser at hvert ledd i tallfølge er lik leddet fora pluss tallet. For eksempel er a4 a3. Det betyr at vi for dee følge ka skrive at a. a Dee type formel kalles rekursiv. Når vi kjeer ett ledd i tallfølge, gir formele det este leddet. Det betyr at år vi kjeer det første leddet i tallfølge, ka vi fie reste av leddee ved hjelp av de rekursive formele. Det ka være tidkrevede å fie verdie til et ledd lagt ute i e tallfølge for håd ved å bruke e rekursiv formel. Rekursive formler eger seg derimot godt i et regeark. Vi ka få fram tallfølge ovefor ved å skrive tallet i rute A, og deretter skrive formele som vist i rute A. Når vi kopierer formele edover, får vi tallfølge. Eksplisitt formel Vi ser også at hvert ledd i følge ovefor er lik multiplisert med leddummeret. For eksempel er a4 4. Det betyr at vi for dee følge ka skrive at a. Dee type formel kalles eksplisitt. Ved å bruke e eksplisitt formel ka vi fie verdie til et ledd i e tallfølge direkte år vi kjeer leddummeret. Eksempel Tallfølge, 4, 9, 6, består av kvadrattallee. Ka du se at kvadrattallee fremkommer ved de eksplisitte formele a? 5
Algebra S Det er to typer tallfølger vi skal jobbe mye med, det er aritmetiske og geometriske tallfølger. I e aritmetisk tallfølge er hvert ledd i følge lik leddet fora addert med e kostat. I e geometrisk tallfølge er hvert ledd i følge lik leddet fora multiplisert med e kostat. I tabelle vises oe formler for oe kjete tallfølger. Legg merke til at ige eå har fuet e formel for primtallee. Sjekk om formlee stemmer! Sjekk om tallfølgee er aritmetiske eller geometriske! Tallfølge Rekursiv formel Eksplisitt formel Type tallfølge,, 3, a a a a Aritmetisk, 4, 9, 6, a a a a Aet, 4, 8, a a a a Geometrisk 3, 9, 7, a 3 a a 3 a 3 Geometrisk 3 4,,,, 3 4 5 a a a Aet 5, 0, 5, 0, a 5 a a 5 a 5 Aritmetisk, 3, 5, 7,, 3, Primtallee, 3, 6, 0, a a a a Trekattallee a a a a a,,, 3, 5, 8, Fiboaccitallee I tabelle fier du også tre spesielle tallfølger, fiboaccitallee, trekattallee og primtallee. Du ka fie masse stoff om disse tallfølgee på Iterett. 6
Algebra S Trekattallee Stemmer formlee for trekattallee med atall prikker i figuree? Fiboaccitallee Hvorda er dee figure bygget opp? Hvorda ka de utvides slik at vi får med de este fiboaccitallee? Leoardo Fiboacci (ca. 70 50) reges som de fremste europeiske matematikere i middelaldere. Ha er kaskje først og fremst kjet for å ha itrodusert det idiske tallsystemet som arabere hadde videreutviklet (og som vi bruker i dag), for Europa. Ha gav e iførig i de ye regetekikkee og argumeterte for at dette tallsystemet var bedre e romertallee. Fiboaccitallee kommer fra et problem Fiboacci brukte som eksempel i e av sie bøker. Problemet hadler om hvor fort kaier ka formere seg uder ideelle forhold. Se http://matematikk.org/artikkel/vis.html?tid=63. 7
Algebra S Fra eksplisitt formel til rekursiv formel Når vi kjeer de eksplisitte formele, ka vi fie de rekursive ved å rege ut a a. Eksempel Vi ser først på tallfølge som består av alle kvadrattallee. Tallfølge Rekursiv formel Eksplisitt formel, 4, 9, 6, a a a a Vi fier de rekursive formele ved å rege ut a a a a a a a a a a a a Så ser vi på trekattallee. Tallfølge Rekursiv formel Eksplisitt formel, 3, 6, 0, a a a Vi fier de rekursive formele ved å rege ut a a a a a a a a a a a a a 8
Algebra S Aritmetiske tallfølger E tallfølge der differase mellom et ledd og leddet fora er kostat, kalles e aritmetisk tallfølge. Tallfølge, 4, 6, 8,... er e aritmetisk følge med differase d. Differase mellom to ledd som følger etter hveradre i e aritmetisk tallfølge, er gitt ved d a a E rekursiv formel for e aritmetisk tallfølge blir derfor a a d Vi systematiserer og fier følgede møster: a 3 a a d 4 3 d a a d a d a 3d a a d a a a d a d d a d I e aritmetisk tallfølge er ledd ummer gitt ved formele a a d 9
Algebra S Geometriske tallfølger E tallfølge der forholdet mellom et ledd og leddet fora er kostat, kalles e geometrisk tallfølge. Tallfølge,, 4, 8,... er e geometrisk tallfølge med kvotiet 4 8 k 4 I e geometrisk tallfølge ka vi alltid fie este ledd i tallfølge ved å multiplisere med kvotiete, k. De rekursive formele for e geometrisk tallfølge blir derfor a a k Vi systematiserer og fier følgede møster: a 3 4 3 a a k a a a k a a k a k k a k a a k a k k a k 3 I e geometrisk tallfølge er ledd ummer gitt ved formele a a k 0
Algebra S. Tallrekker Når vi adderer leddee i e tallfølge, får vi e tallrekke. Vi bruker valigvis bare ordet rekke. Vi skiller mellom uedelige rekker og edelige rekker. E uedelig rekke består av uedelig mage ledd, slik som 34 E edelig rekke består av et edelig atall ledd, slik som 4 80 eller 4 8... 00. Vi bruker de samme symbolee for leddee i e rekke, som for leddee i e tallfølge. Det første leddet beteges a, det adre leddet a osv. Summe av de første leddee i e rekke beteges med symbolet S. S a a a a 3 Vi ka fie summe av tallrekker med og ute digitale hjelpemidler. For å fie summe av e edelig rekke ute digitale hjelpemidler, ka vi sette tallee uder hveradre og summere på valig måte. (Hvis rekke har mage ledd, ka dette fort bli e stor jobb. ) Når de eksplisitte formele for ledd ummer i e rekke er kjet, ka vi fie summe ved CAS i GeoGebra ved kommadoe «Sum[<Uttrykk>,<Variabel>,<Start>,<Slutt>]». Summe av de 0 første trekattallee er Ute kjet formel ka vi bruke kommadoe «Sum[<Liste>]». For eksempel er Regeark eger seg også til å fie summer av rekker. Legg merke til de matematiske skrivemåte for sum. Da brukes de greske bokstave stor sigma,. For eksempel skriver vi summe av de seks første kvadrattallee på følgede måte S 6 6 3 4 5 6 9
Algebra S Eksempel Tek deg at du får tilbud om å ta e sommerjobb. Arbeidsgivere er litt rar, og sier at du får kroe første dag du jobber. Så dobler ha dagløe di for hver dag du er på jobb. Det vil si at du får kroer adre dag du jobber, 4 kroer de tredje dage osv. Samlet lø etter dager er summe av rekke S 4 8 a S 0 3 Vi ser at eksplisitt formel for ledd ummer er. a Vi vil fie samlet lø de første uka, dvs. de 5 første arbeidsdagee. 3 4 5 S 5 4 8 6 3 Fire uker e lø på over e millio kroer! Løe de første uka blir på 3 kroer! Kaskje e litt uderbetalt jobb? Vi øsker å fie samlet lø for fire uker, altså 0 arbeidsdager. CAS i GeoGebra gir E samlet lø på 048 575 kroer! Kaskje oe å satse på likevel.
Algebra S Aritmetiske rekker Når vi adderer leddee i e aritmetisk tallfølge, får vi e aritmetisk rekke. Et eksempel på e slik rekke er 58... Vi ser at differase d mellom et ledd og det foregåede leddet er 3. I kapittel. fat vi at ledd ummer i e aritmetisk tallfølge var gitt ved Dee formele gjelder på samme måte for ledd ummer i e aritmetisk rekke. Summe av e aritmetisk rekke a a d. Vi øsker å fie e formel for summe av de første leddee i e aritmetisk rekke. Vi fier først e formel for summe av de 5 første leddee. Vi skriver summe av de 5 første leddee på to måter. Først leddee i stigede rekkefølge, så leddee i sykede rekkefølge. S a a 5 3 4 5 S a a 5 5 4 Vi summerer vestresidee og høyresidee og får a a a a a a 3 S S a a a a a a a a a a 5 5 5 4 3 3 4 5 I paretesee på høyreside vil de «blå leddee» øke med d for hver paretes fra vestre mot høyre, mes de «røde leddee» vil avta med d. Det betyr at summe i hver av paretesee er like Høyreside blir da lik 5 a a a a a a a a a a a a 5 4 3 3 4 5 5, og side vestreside ka skrives som S5 S 5 a a 5 5 Ved å dividere med på begge sider av likhetsteget, får vi 5 aa5 S5, får vi at Resoemetet ovefor gjelder om vi bytter ut atall ledd i rekke med et hvilket som helst aet aturlig tall e 5. Summe av de første leddee i e aritmetisk rekke er gitt ved formele a a S 3
Algebra S Eksempel I 008 solgte e forhadler 3000 sykler. Vi atar at salget vil øke med 300 sykler per år i oe år framover. ) Hvor mage sykler vil forhadlere til samme selge fram til og med år 03? ) Når vil det årlige salget være på 3 900 sykler? 3) Hvor mage år vil det gå før forhadlere til samme har solgt 3 400 sykler? Løsig ) Fra og med 008 til og med 03 vil si e periode på seks år. De årlige salgstallee daer e aritmetisk rekke der a 3000 og d 300. Hvor mage sykler? Vi fier først a 6 dvs. salget i 03 Samlet salg blir S 6 a6 a 6 300 3000 5300 4500 a a 3000 4500 6 6 6 7500 3 500 Forhadlere vil selge 500 sykler fram til og med år 03. ) Et uttrykk for salget om år er a a 300 3000 300 300 300 700 Vi ka fie år det årlige salget er 3 900 sykler, ved å sette a 3900 og løse likige: 300 700 3900 300 00 4 Husk at vi teller fra og med år 008, slik at 4 blir i år 0. 4
Algebra S 3) Vi vil å fie år summe av salget blir 3 400 sykler. Vi fier først et uttrykk for S Vi setter så S 3400 S a a 3000 300 700 300 5700 50 850 Her ka vi bare bruke de positive løsige. Summe av salget vil å 3 400 sykler ved utgage av 05. 5
Algebra S Geometriske rekker Når vi adderer leddee i e geometrisk tallfølge, får vi e geometrisk tallrekke. I e geometrisk rekke er forholdet mellom et ledd og det foregåede leddet kostat. Vi kaller dette forholdstallet for rekkes kvotiet, k. Et eksempel på e geometrisk rekke er 0 40 80 60... Hvert ledd i dee rekke er lik leddet fora multiplisert med. Vi har altså e geometrisk rekke med a 0 og k. I avsitt. kom vi fram til at ledd ummer i e geometrisk tallfølge er gitt ved a a k Dee formele gjelder også for ledd ummer i e geometrisk rekke. Det betyr at år vi kjeer a og k i e geometrisk rekke, ka vi fie alle leddee i rekke. Eksempel Vi skal bestemme kvotiete og det første leddet i e geometrisk rekke, der a 5 43 og a 8 6 56. Det er 85 3 plasser fra a5 til a 8. Det gir at a a k k 8 5 3 8 k 3 5 3 a 656 7 a 43 7 3 Vi ka da fie a 5 a5 43 43 a5 a k a 4 4 3 k 3 8 De geometriske rekke blir da 3 + 9 + 7 + 8 + 43 + 79 + 87 + 656 + 6
Algebra S Summe av e geometrisk rekke Vi øsker å fie e formel for summe av de første leddee i e geometrisk rekke. Vi fier først summe av de 5 første leddee. Vi har at S a a a a a 5 3 4 5 3 4 5 S a a k a k a k a k Vi multipliserer begge sidee i likige med k Vi fier så differase mellom ks5 og S5 5 5 3 4 5 k k S a a k a k a k a k 3 4 5 5 k a k k S a k a k a a k 3 4 5 3 4 k S S a k a k a k a k a k a a k a k a k a k 3 4 5 3 4 5 5 a k a k a k ak k a a k a k a k a k k S S a Her opptrer de fleste leddee i par. Ledd markert med samme farge har samme verdi, me motsatt forteg, og faller bort. Dette gir 5 5 5 k S S a k a 5 5 k S k a k 5 S5 a k k Vi ka ikke ha e brøk med ull i ever. Derfor gjelder formele bare år k. Dersom k, blir alle leddee i rekke like. Summe av rekke blir da S5 5 a. Resoemetet ovefor gjelder om vi bytter ut atall ledd i rekke med et hvilket som helst aet aturlig tall e 5. Summe av de første leddee i e geometrisk rekke er gitt ved formele k S a år k k Når k blir S a. 7
Algebra S Praktiske problemer kyttet til rekker Prosetvise edriger Eksempel Hvis du setter 000 kroer i bake i dag og får 6 % rete på pegee, vil beløpet om ett år ha vokst til 6 000kr 000kr 060 kr 00 Vi ka også rege slik: 6 6 000kr 000kr 000kr 000kr 0,06 000kr,06 00 00 6 Tallet,06 kaller vi for vekstfaktore. Vi ka altså ekelt fie hvor mye beløpet har vokst 00 til etter ett år ved å multiplisere med vekstfaktore. For å fie hvor mye vi har i bake etter to år, må vi multiplisere beløpet vi hadde etter ett år med vekstfaktore, og slik fortsetter vi. 3 Etter tre år i bake har beløpet vokst til 000kr,06 9kr. Vekstfaktor p Når e størrelse øker med p %, blir vekstfaktore. 00 p Når e størrelse reduseres med p %, blir vekstfaktore. 00 Vi multipliserer med vekstfaktor for å fie y verdi. 8
Algebra S Sparig Eksempel Tek deg at du setter i 8 000 kroer på e koto i begyelse av hvert år. Det første beløpet setter du i i 0. Du får e fast årlig rete på 3 %. ) Hvor mye er det på kotoe i slutte av 04? ) I hvilket år vil beløpet på kotoe passere 60 000 kroer? Norges bak. 50 millioer kroer i tuselapper på hver pall! Løsig Vi skal å se hvorda vi ka fie svar på disse problemstilligee ved å bruke e geometrisk rekke. ) Du setter i fire beløp i bake i dee periode. Det første beløpet du setter i, vil stå i bake i 4 år, det adre beløpet i 3 år, det tredje i år og det siste i år. For å få oversikt er det helt ødvedig å tege et skjema, gjere for håd på et kladdeark. Skjemat viser hva de ekelte iskuddee har vokst til ved slutte av 04. Du må altså se på de ekelte iskudd hver for seg, gjere som iskudd i 4 forskjellige baker. Legg merke til hvor avgjørede det er om beløpee settes i/tas ut i begyelse eller i slutte av et år. 0 0 03 04 05 Samlet beløp i bake ved slutte av 04 er summe av de beløpee som hvert ekelt iskudd har vokst til. Du ser av skjemaet at disse beløpee daer e geometrisk rekke med kvotiet 9
Algebra S k,03 og første ledd a 8000,03. Atall ledd i rekke er fire, fordi du har satt i fire beløp. Vi fier summe ved formele 4 k S4 a k I slutte av 04 vil det stå 34 473 kroer på kotoe. Legg merke til at vi å ikke bruker sumkommadoe i GeoGebra, for å bruker vi jo sumformele for e geometrisk rekke. ) Du velger å fortsette sparige, og øsker å vite hvor lag tid det tar før det står mist 60 000 kroer på kotoe. Forutsetigee er som ovefor, me å vet vi ikke hvor mage gager du må sette i peger. Vi lar derfor atall ledd i rekke være ukjet. Side vi kjeer summe av rekke, får vi e likig som ka løses med med CAS i GeoGebra Du må altså sette i sju beløp. Kotobeløpet vil da passere 60 000 kroer i 07. 0
Algebra S Eksempel Mads øsker å spare til bolig. Ha oppretter e BSU-koto (boligsparig for ugdom) i si lokale bak, og setter i 0 000 kroer på dee kotoe. jauar hvert år i 0 år. Vi reger med e årlig rete på 5 %. Vi øsker å fie ut hvor mye det er på BSUkotoe rett etter at Mads har satt i det 0. beløpet. Et drømmehus? Vi tar da for oss de ekelte iskuddee, og ser hva hvert beløp har vokst til rett etter at Mads har satt i peger for 0. gag. Når det siste beløpet settes i, har det første beløpet Mads satte i, stått på kotoe i 9 år. Det este i 8 år osv. 9 8 Det første beløpet har altså vokst til0 000,05, det este til 0 000,05 osv. Det siste beløpet Mads satte i har eå ikke forretet seg. Vi ka illustrere dette med et skjema Nå. år. år 3. år 0. år 9. år Samlet iskudd i bake ved begyelse av det 0. året, blir lik summe av de beløpee som hvert iskudd har vokst til. Du ser av skjemaet at disse beløpee daer e geometrisk rekke med kvotiet k,05 og a 0 000. Atall ledd i rekke er 0, fordi Mads har satt i 0 beløp. Ved å bruke sumformele for e geometrisk rekke, ka vi rege ut hvor mye som står på kotoe rett etter at det 0. beløpet er satt i:
Algebra S Det vil stå 5 558 kroer rett etter at Mads har satt i det 0. beløpet. Det er svært viktig å lese dee type oppgaver øye. Husk at står for atall ledd i rekke. Merk også at dersom e spurte etter beløpet i slutte av det 0. året, ville det første leddet vært a 0000,05, mes fortsatt ville vært 0. Avbetalig Tek deg at du skal kjøpe e bruktbil som koster 00 000 kroer. Du får tilbud om å kjøpe bile på avbetalig over fem år. Du skal betale fem like store årlige beløp. Det første beløpet betaler du om ett år. Selgere bereger seg 5 % rete per år. Hvor store er de årlige beløpee du må betale? Hva koster det å kjøpe e bruktbil til 00 000 kroer på avbetalig? Verdie av e kroe avtar år for år. E kroeis kostet é kroe i 970. I 05 er veiledede pris kroer 5. Det er da rimelig at vi må betale et større kroebeløp år vi utsetter betalige for e vare. I vårt tilfelle bereger selgere seg et 5 % større kroebeløp for hvert år betalige utsettes. Vi skal vise to måter du ka løse dette problemet på. Poeget er at samlet ibetalig må tilsvare kr 00 000 på det tidspukt bile ble kjøpt. Side kroeverdie edrer seg fra år til år, må alle beløpee føres fram, eller tilbake, til samme tidspukt for å kue sammelikes. Vi velger først å føre alle beløpee fram til tidspuktet for siste ibetalig av avbetaligsbeløpet. Vi lager et skjema for å få e oversikt
Algebra S Nå. år. år 3. år 4. år 5. år x x x x x Verdie av samlet ibetalig etter 5 år, blir summe av de geometriske rekke x x,05 x,05 x,05 x,05 3 4 Her er a x, og vi får S 5 x 5,05,05 Bile kostet 00 000 kroer da avtale ble igått. Etter 5 år tilsvarer dette e pris på 5 00 000kr,05 Vi ka da sette opp og løse likige Hvert år må du betale 3 097 kroer. OBS! Vær oppmerksom på at avbetaligskjøp ofte ka være veldig dyre, da selgere ofte reger med e svært høy rete! 3
Algebra S Nåverdier I eksemplet ovefor reget vi verdie av alle beløpee om til samme år for å sammelike verdie av samlet ibetalig med prise på bile. Vi kue like gjere reget om ibetaligee til det året avbetaligsavtale ble igått. Dette kalles for åverdiee til ibetaligee. Da må vi huske på å dividere med vekstfaktore for hvert år beløpet føres bakover. Nå. år. år 3. år 4. år 5. år x x x x x Summe av åverdiee til ibetaligee må være lik prise på bile x x x x x 00 000 3 4 5,05,05,05,05,05 x Vestreside i likige daer e geometrisk rekke med a og k,05,05 Vi ka da løse følgede likig Vi ser at vi får samme resultat som ovefor. 4
Algebra S Serielå Hvis du tar opp et serielå, betaler du like store avdrag gjeom hele låeperiode. Etter hvert som lået blir edbetalt, vil reteutgiftee bli midre. Termibeløpee, som er summe av avdrag og reter, vil dermed bli lavere og lavere. Serielå Reter Avdrag Til høyre ser du e ekel regearkmodell for et serielå på 00 000 kroer som skal edbetales over 6 år. Vi har reget med e låerete på 5 % per år. Låebeløp, edbetaligstid og retesats ka edres. For ekelthets skyld reger vi med bare é termi i året, selv om det er valig med flere termier per år. Regearkmodelle viser hvor stort restlået er, og hvor mye du må betale i reter og avdrag hvert år. Fra modelle ka du også fie ut hvor store de samlede retekostadee blir, og hva du til samme må betale for lået. Utfordriger!. Lag regearkmodelle for serielå som vist til høyre.. Vis at restlåee daer e aritmetisk rekke! 3. Vis at retee daer e aritmetisk rekke! Vis at summe av dee rekke er det samme som fremkommer som sum betalte reter i regearket. 5
Algebra S Auitetslå Hvis du tar opp et auitetslå, betaler du like store termibeløp gjeom hele låeperiode. Etter hvert som lået blir betalt ed, vil reteutgiftee bli midre. Når termibeløpet skal være like stort gjeom hele låeperiode, vil avdragsdele øke år retedele går ed. Drøft i klasse hva som er evetuelle fordeler og ulemper ved serielå kotra auitetslå. Når bakee skal berege termibeløpet for et auitetslå, bruker de teorie om geometriske rekker. I begyelse av et år tar vi opp et auitetslå på kr 00 000. Lået skal betales tilbake med 6 like store termibeløp, x, i slutte av hvert år i 6 år framover. For å sammelike verdie av termibeløpee omreger vi alle termibeløpee til verdie de ville hatt da lået ble tatt opp. Disse verdiee kaller vi åverdiee til termibeløpee. Det er lurt å lage e oversikt som vist edefor. Nå.år.år 6.år x x x x x Nåverdiee til termibeløpee daer e geometrisk rekke med a, k og 6.,05,05 6
Algebra S k Summe av dee rekke fier vi med formele S a. k Summe må være lik låets verdi. Termibeløpee blir altså på 9 7 kroer. Det er også mulig å føre alle termibeløpee og også låebeløpet fram til tidspuktet for siste ibetalig. Vi får da likige Vi får samme termibeløp! 7
Algebra S.3 Uedelige geometriske rekker De geometriske rekkee vi har sett på til å, har stort sett bestått av et edelig atall ledd. Vi skal å studere geometriske rekker med uedelig mage ledd. La oss først se på e rekke hvor a og kvotiete a a k k. Ledd ummer er gitt ved formele a De første leddee i dee rekke blir 4 Summe av de 0 første leddee i rekke er S 0 0 3,99609375 Summe av de 30 første leddee i rekke er S 30 30 3,9999999967470 Hvis vi reger ut summe av de 00 første leddee får vi S 00 00 4 Det skal ikke så mage ledd til før summe blir tilærmet lik tallet 4. Det er begreset hvor mage siffer vi ka ta med i svaret, derfor får vi svaret avrudet til 4 år vi får mage ok ledd. Me uasett hvor mage ledd vi tar med, vil aldri summe overstige tallet 4. Prøv selv! 8
Algebra S Forklarige på dette ka vi fie ved å bruke formele for summe av e edelige geometrisk rekke: k S a 4 4 4 k Når blir veldig stor, vil leddet bli midre og midre, og summe vil derfor ærme seg 4. Me summe vil alltid være litt midre e 4. I matematikke bruker vi symbolet for uedelig. Vi bruker pil for å peke på hva et utrykk går mot. Da ka vi skrive S 4 4 år Side vi ka få summe så ærme 4 vi bare vil, så sier vi at rekke har sum lik 4, og ved å bruke «lim»(limit) for greseverdi skriver vi at summe S er S lim 4 4 9
Algebra S Kovergete og divergete geometriske rekker Når e uedelig rekke ærmer seg e bestemt sum år, sier vi at rekke kovergerer. Når e uedelig rekke ikke ærmer seg e bestemt sum år, sier vi at rekke divergerer. Vi ser ærmere på sumformele for geometriske rekker: k S a år k k Hva skjer med summe år blir veldig stor? Når, er det bare leddet av rekke blir da k som vil edre seg. Hvis k,, vil k 0 år. Summe k 0 a a S lim a a k k k k Rekke går altså mot e bestemt sum, og er derfor koverget. E uedelig geometrisk rekke hvor k,, er koverget og har sum S a k Vi ka også vise at rekke vil divergere for alle adre verdier av k (vi forutsetter her at a 0 ) Når k, eller k,, vil k år. Greseverdie for summe vil da ikke eksistere, og rekke divergerer. Når k, blir summe S a Summe eller år. Rekke divergerer. Når k, blir summe S a a k a k... a a a... Summe vil bli a eller 0. Da eksisterer det ikke oe bestemt greseverdi for summe, og rekke divergerer. 30
Algebra S Praktiske problemer kyttet til uedelige geometriske rekker Uedelige geometriske rekker er yttige i mage sammeheger. Vi skal se på et par eksempler. Medisi Eksempel E perso tar medisi hver dag. Medisie ha tar, er ikke skadelig så lege det ikke er mer e 00 mg medisi i kroppe. Kroppe skiller ut 0 % av medisie hvert døg. Vi teker oss at persoe har tatt e megde, a, av medisie hver dag i uedelig lag tid. Av medisimegde a ha tok i går, er bare a 0,8 igje i kroppe i dag side 0 % skilles ut per døg. Av medisimegde a ha tok for to dager side, er bare a 0,8 igje i kroppe. Samlet megde medisi i kroppe er summe av det ha tok i dag, det ha tok i går osv. Side 0,8 k, får vi e uedelig koverget geometrisk rekke: Lykkepiller? aa0,8a0,8 a 0,8 3 Vi bruker sumformele for uedelige kovergete geometriske rekker. Vi vet at summe ikke må overstige 00 mg, og vi ka da bestemme de høyeste daglige dose som er forsvarlig å gi pasiete: a S k a 00 0,8 a 0 De høyeste akseptable dose per dag er 0 mg. 3
Algebra S Utslipp Eksempel E oljetak får e skade, og det begyer å lekke olje fra take. Det første miuttet lekker det ut 3 liter. Så avtar lekkasje med % for hvert miutt, helt til take er tom. ) Hvor mye olje vil lekke ut i løpet av de første time? ) Omtret hvor mye olje var det i take før lekkasje startet? Olje på våt asfalt. Hvor kommer alle fargee fra? Løsig ) Atall liter olje som lekker ut de første time, er summe av de 60 første leddee i e geometrisk rekke med a 3 og k 0,98 S S a 60 k k 60 0,98 3 4636 0,98 Det vil lekke ut ca. 4 636 liter olje de første time. ) Samlet oljemegde som lekker ut, er summe av de uedelige geometriske rekke med a 3 og k 0,98 a S k 3 S 6600 0,98 Det var omtret 6 600 liter olje i take før lekkasje startet. 3
Algebra S.4 Faktoriserig I matematikke treger vi ofte å omforme, forekle og trekke samme uttrykk. For å gjøre det, må vi kue faktorisere. Å faktorisere vil si å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer. Faktoriserig av tall og ekle bokstavuttrykk 504 Vi begyer med litt repetisjo, og ser på brøke 84. For å forkorte dee brøke ka vi skrive teller og ever som produkt av primtall, og så forkorte faktor mot faktor. Det vi egetlig gjør, er å dividere med samme tall i teller og ever gjetatte gager: 504 84 3 3 7 3 7 3 6 Når vi arbeider med matematiske uttrykk, erstatter vi ofte tall med bokstaver. De samme regereglee gjelder fortsatt. Bokstavuttrykket edefor ka derfor faktoriseres og forkortes på samme måte 3 a b cd a bd a a a b bc d a a b d abc abc Ofte er uttrykk sammesatt av både tall og bokstaver, me alle uttrykk som ieholder bare ett ledd, faktoriseres etter samme møster: 3 36a b 3 3 aaab b 33
Algebra S Faktoriserig av uttrykk som ieholder flere ledd Når et uttrykk består av mer e ett ledd, bør du begye med å sjekke om det er mulig å faktorisere ved hjelp av e eller flere av de tre metodee som er vist edefor.. Når alle ledd i uttrykket ieholder samme faktor, ka de felles faktore settes utefor paretes. Eksempel x x x x3 x x x6 Ved å multiplisere, ka du sjekke at du har faktorisert riktig: x x 6 x x x6 x x. Når uttrykket består av to kvadratledd med miusteg mellom, ka du bruke tredje kvadratsetig (kojugatsetige) baklegs. Eksempel x x x x 4 4x 5 x 5 x 5 x 5 x 9 x 3 x 3x 3 x 4x x x x x 3 3 3 3 3 3x 7 3 x 33 3 x 3 x 3 x 3 Tredje kvadratsetig a b a b a b Merk siste eksempel her. Noe gager ka vi sette felles faktor utefor paretes først, og så bruke tredje kvadratsetig. 34
Algebra S 3. Når uttrykket er et fullstedig kvadrat, ka du bruke første eller adre kvadratsetig baklegs. Eksempel x x 36 x 6 x 6 x 6 x x 8 x 3 x 3 x 3 I CAS i GeoGebra ka du faktorisere ved å klikke på kappe «Faktoriser» i verktøylije, eller ved å skrive kommadoe «Faktoriser». Første og adre kvadratsetig a b a ab b a b a ab b 35
Algebra S Faktoriserig av adregradspolyomer med ullpuktmetode Et polyom består av et eller flere ledd, der hvert ledd er av type kostat x, der er et ikkeegativt heltall. De høyeste ekspoete i uttrykket kalles grade. Uttrykket x4 x er et 3 tredjegradspolyom, fordi de høyeste ekspoete av x her er tre. Uttrykket 3x 3 er et polyom av første grad, fordi x er av første grad. Uttrykket x x 4 er et polyom av adre grad, fordi vi har et ledd hvor x er opphøyd i adre potes. Tallet to er de 3 høyeste ekspoete x har. Et eksempel på et tredjegradspolyom er x4 x, fordi de høyeste ekspoete av x her er tre. Det er få adregradspolyomer som lar seg faktorisere ved å bruke kvadratsetigee baklegs. Me i T lærte du e metode som ofte kalles ullpuktmetode. Nullpuktmetode x x ax bx c a x x der x og x er løsigee av de geerelle adregradslikige ax bx c 0. Når det bare fies é løsig av adregradslikige, er x x. Når adregradslikige ikke har løsiger, ka ikke uttrykket faktoriseres. Når du bruker ullpuktmetode til å faktorisere adregradsuttrykk, ka du fie ullpuktee ved å bruke abc-formele. Eksempel Vi skal faktorisere uttrykket x x 3 ved å bruke ullpuktmetode. Vi setter uttrykket lik 0, får e adregradslikig og løser dee. x x 3 0 4 3 5 x 4 5 6 3 x 4 4 5 x 4 3 3 3. Dette betyr at x x x x x x x x 3 36
Algebra S Faktoriserig av tredjegradspolyomer 3 Polyomet x 7x x 3 er et eksempel på et tredjegradspolyom. De høyeste ekspoete x har, er tre. Polyomet ieholder et tredjegradsledd, et adregradsledd, et førstegradsledd og et kostatledd. Vi har sett at vi ka faktorisere adregradspolyomer ved å bruke ullpuktmetode. Vi må da løse adregradslikiger. Tilsvarede ka tredjegradspolyomer faktoriseres ved først å løse tredjegradslikiger. Geerell løsig av tredjegradslikiger, ligger utefor kompetasemålee i S. Når vi skal faktorisere tredjegradspolyomer, bruker vi derfor e ae metode. Vi har sett at for et geerelt adregradspolyom gjelder a x x hvor x og x er ullpukter til ax bx c. x bx c a x x Tilsvarede ka det vises at for et geerelt tredjegradspolyom gjelder x 3 x bx cx d x x x x hvor x, x og x 3 er ullpuktee til ax bx cx d. 3 a a x 3 Dette betyr at hvis vi ka fie et ullpukt x for tredjegradspolyomet (for eksempel ved prøvig og feilig), så vet vi at x x må være e faktor i polyomet. Da ka vi dividere polyomet med x x. Dette kalles polyomdivisjo. Det vi da står igje med, er et adregradspolyom som vi ka faktorisere ved å bruke ullpuktmetode. 37
Algebra S Polyomdivisjo Du har tidligere lært å dividere tall. Nå skal vi dividere polyomer. Framgagsmåte er gaske lik. Du husker sikkert også at oe divisjoer «gikk opp», vi fikk ige rest år vi dividerte. I slike tilfeller kue vi bruke resultatet av divisjoe til å faktorisere tallet vi startet med. Eksempel 3: 7 33 0 Dette betyr at3 337. På tilsvarede måte skal vi bruke polyomdivisjo år vi skal faktorisere tredjegradspolyomer. Eksempel 3 Vi ser på tredjegradspolyomet x 7x x 3. 3 Vi setter i x i polyomet, og får 7 3 73 0. 3 Dette betyr at x er et ullpukt for polyomet, og at x er e faktor i (x 7x x 3). Da vil divisjoe ( 3 7 3): x x x x «gå opp». Vi skal å se på hvorda vi utfører selve divisjoe. Selve divisjoe: x x 3 x x 3 x 7 3 : x x 5x 3 5x x 3 3x 3 3x 3 0 Vi fikk «rest lik 0». Det betyr at divisjoe «gikk opp». Forklarig: 3 3 x x x (Hva må du multiplisere x med for å få x?) 3 x x x x 3 3 x x x 3 x 3 7x x 3 x 5x x 3 5x 5x 5x x 5x og x 5x 5x 5 5x x 5x x 3x 3 5 3 3x 3 3 3x 3 0 x 38
Algebra S Vi ka da skrive 3 x 7x x 3 x 5x 3 x Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka å faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktmetode. Vi løser likige x 5x3 0 x 5x 3 0 5 5 4 3 x 5 7 x 4 x 3 x Det betyr at x 5x 3 x 3 x x 3 x x 3x Her har vi multiplisert i -tallet i de siste paretese. Fullstedig faktoriserig av tredjegradsuttrykket blir 3 x 7x x 3 x 5x 3 x x 3 x x Vi får samme resultat ved CAS i GeoGebra. 39
Algebra S.5 Likiger I T og i S arbeidet vi med likiger av første og adre grad, og med likiger som ieholdt brøkuttrykk. Vi skal å se hvorda vi løser oe tredjegradslikiger. Vi skal også arbeide mer med likiger med rasjoale uttrykk. Tredjegradslikiger E tredjegradslikig er e likig som ka ordes slik at vi får et tredjegradspolyom på vestre side av likhetsteget, og ull på høyre side. E geerell tredjegradslikig ser da slik ut: 3 ax bx cx d 0 Vi har lært å faktorisere tredjegradspolyomer år vi har et kjet ullpukt. Da er vi også i stad til å løse tredjegradslikiger med et kjet ullpukt. Side ax 3 bx cx d ax x x x x x hvor x, x og x 3 er ullpuktee til 3 3 ax bx cx d, blir løsige av likige 3 x x x ax bx cx d 0 a x x x 0 3 Vi faktoriserte tidligere uttrykket x 7x x 3, og fikk at 3 x x, x x eller x x 3 3 x 7x x 3 x 3 x x 3 Tredjegradslikige x 7x x 3 0 ka da løses slik 3 x 7x x 3 0 x 3x x 0 x 3, x eller x Vi tar med et eksempel som viser hele framgagsmåte. 40
Algebra S Eksempel Vi skal løse tredjegradslikige 3 3x x 3x. Først order vi likige slik at vi får ull på høyre side. 3 3x x 3x 3 3x x 3x 0 Så må vi ved hjelp av prøvig og feilig fie e løsig av likige. Det er ofte lurt å prøve med x først. 3 Vestre side: 3 3 33 0 Høyre side: 0 3 Full klaff med e gag! Vi har dermed vist at x er e faktor i uttrykket 3x x 3x, og vi foretar polyomdivisjoe: 3 3x 3x 3 3x x 3x : x 3x 5x 5x 3x 5x 5x x x 0 Vi har altså 3 3x x 3x x 3x 5x Vi fier så ullpuktee til 3x 5x 3x 5x 0 5 5 43 5 x 3 6 x x 3 4
Algebra S Tredjegradslikige blir 3 3x x 3x 3 3x x 3x 0 3x x x 0 3 Dee likige har løsigee x x x3 3 Vi løser også likiger ved CAS i GeoGebra. For eksakte løsiger, klikker vi på kappe For tilærmede løsiger, klikker vi på 4
Algebra S Rasjoale likiger Rasjoale likiger er likiger som ieholder rasjoale uttrykk, som for eksempel brøker med polyomer i teller og ever. E brøk er ikke defiert år evere er lik ull. Vi må derfor være spesielt oppmerksomme og forkaste evetuelle falske løsiger. Det vil si løsiger som gjør at evere i e eller flere av brøkee blir lik ull. Det er veldig lurt å starte ved å multiplisere med fellesevere på begge sider av likhetsteget. Vi får da e likig ute brøker. For å fie fellesevere, må vi faktorisere evere. Eksempel (ute falske løsiger) x 4 Vi skal løse likige x 4x4 Vi begyer med å faktorisere evere, og fie fellesevere Fellesevere blir 4x x x gir ull i evere. x x x x x x 3. kvadratsetig 4x 4 4 Fellesever 4. Vi ser da at vi må forutsette at x og x fordi x eller Vi fortsetter med å multiplisere hvert ledd på begge sider av likhetsteget med fellesevere, og forkorter så faktor mot faktor i hvert ledd. 43
Algebra S Før du går i gag, skal du gjøre det til e vae å sette opp hvilke verdier av x som gjør at e eller flere av brøkee ikke er defiert. Her må vi ha x og x. xx x x 4 4 x 4 x x 4 x, x x 4x4 4 x x 4 x x x x x 4 4 4 4 x x 4x 4 4x 4 3x 5x 0 x 4 3 x 3 Til slutt kotrollerer vi løsigee. I dette eksempelet gir ige av våre løsiger ull i ever, så begge løsigee aksepteres. Rasjoal likig Likig ute brøker Legg merke til hvor elegat vi omformer de rasjoale likige til e likig ute brøker ved å multiplisere alle ledd i likige med fellesevere! 44
Algebra S Eksempel (to falske løsiger) x 3 Vi skal løse likige x x x x Nevere x x x x, og dette blir også fellesevere. Vi ser da at tallee og må utelukkes som evetuelle løsiger av likige. Vi fortsetter med å multiplisere hvert ledd på begge sider av likhetsteget med fellesevere, og forkorter faktor mot faktor i hvert ledd: x x x x x x x x x x x x x 3 x 3 0 x x 0 3 x x x x 3 x x x 4 x x Vi kotrollerer svaret, og ser at vi har allerede utelukket begge disse løsigee. Likige har dermed ige løsig. Ved CAS i GeoGebra får vi Tom klammeparetes markerer at likige ikke har løsig. 45
Algebra S Likigssett med to ukjete E familie som består av tre bar og to vokse, betaler 380 kroer for å komme i på e fotballkamp. E ae familie med fire bar og tre vokse betaler 540 kroer. Vi øsker å fie ut hva billettprise er for bar og for vokse. La x være billettprise i kroer for bar, og y billettprise i kroer for vokse. Prise de første familie betaler gir likige 3xy 380 Dette er e likig med to ukjete, og det fies mage par av tall for x og y som passer i likige. Prise de adre familie betaler gir likige 4x3y 540 Billettpris? Det fies også her mage par av tall for x og y som passer i likige. Me det fies bare ett par av tall for x og y som passer i begge likigee. To likiger med de samme to ukjete størrelsee, kalles for et likigssett. Å løse et likigssett går ut på å fie de verdiee for x og y som passer i begge likigee. E metode for å løse et likigssett ved regig, er isettigsmetode. Når vi bruker dee metode, begyer vi med å fie et uttrykk for de ee ukjete, uttrykt med de adre ukjete ved hjelp av e av likigee. Fi et eklest mulig uttrykk! I vårt eksempel ka de første likige gi 3xy380 y 380 3x 3 y 90 x 46
Algebra S Så setter vi dette uttrykket i for y i de adre likige. Husk å bruke pareteser! 4x 3y 540 3 4x 390 x 540 Isettigsmetode Vi setter i! På dee måte får vi é likig med é ukjet og ka løse dee 9 4x 570 x 540 9 4x 570 x 540 8x 9x 080 40 x 60 Til slutt setter vi dee verdie for x i i uttrykket vi fat for y y 3 3 90 90 00 x 60 Billettprise for vokse er 00 kroer, og billettprise for bar er 60 kroer. Vær oppmerksom på at du ka velge både hvilke likig og hvilke ukjet du vil starte med. Forsøk å velge slik at utregige blir eklest mulig. Det fies også adre metoder for å løse likigssett ved regig. I este eksempel skal vi bruke e metode som kalles addisjosmetode. Eksempel Mor til Kari var 3 år da Kari ble født. I dag er Kari og more til samme 64 år. Hva er aldere til Kari og more i dag? Løsig La x være aldere til Kari, og y aldere til more. Kari og more er til samme 64 år. Dette gir likige xy 64. Kari ble født for x år side. Da var mor til Kari 3 år. I dag er mor y år. Dette gir likige 3x y. Vi har da 47
Algebra S xy64 3 xy Vi order likigee, og får xy64 x y 3 Side vestresidee i begge likigee er lik høyresidee, må summe av vestresidee være lik summe av høyresidee. Vi adderer derfor vestresidee og høyresidee hver for seg, og setter dem lik hveradre: x x y y 64 3 x 3 x 6 Addisjosmetode - Vi adderer! Nå falt leddee med y bort, og likige med bare x som ukjet gav at Kari er 6 år. Vi ka å fie ut hvor gammel more er ved å bruke e av likigee: 3 xy 3 6 y y 48 More er 48 år. Vi har altså vist at i dag er mor til Kari 48 år, og Kari er 6 år. For at vi skal komme i mål med addisjosmetode, må leddee med e av de ukjete falle bort uder addisjoe. Det ka vi som oftest få til å skje ved først å multiplisere likigee i likigssettet med passede tall. Isettigsmetode er allikevel de metode som abefales. De fugerer alltid. 48
Algebra S Likigssett med tre ukjete E dag kjøpte Sara, Trym og Miriam frukt på torget. Tabelle edefor viser hva hver av de tre hadlet, og hva de måtte betale. Atall kg moreller Atall kg jordbær Atall kg pærer Pris i kroer Sara 3 370 Trym 3 3 450 Miriam 3 330 Vi skal å se at vi ka rege ut kiloprise for de ekelte fruktslagee ved å sette opp og løse et likigssett med tre likiger. Vi lar x være kiloprise på moreller, y kiloprise på jordbær og z kiloprise på pærer. Da ka vi sette opp følgede tre likiger ut fra opplysigee i tabelle. i) x 3y z 370 ii) 3x y 3z 450 iii) 3x y z 330 Det er ofte lurt å ummerere likigee! Vi løser likig iii) med hesy på z iii) z 330 3xy Så setter vi dette uttrykket for z i i hver av de to adre likigee i) x 3y 330 3x y 370 ii) 3x y 3 330 3x y 450 Vi order likigee, og får i) x 3y 330 3xy 370 x 3x 3y y 370 330 x y 40 ii) 3x y 3 330 3x y 450 3x 9x y 3y 450 990 6x y 540 6x y 540 Torghadel Nå ka vi bruke isettigsmetode for likigssett med to ukjete i) x y 40 x40 y x y 40 ii) 6 y 40 y 540 y 40 y 540 3y 780 y 60 49
Algebra S Vi ka da sette i i likig i) og iii), og fie de adre ukjete i) x y 40 60 40 80 iii) z 330 3x y 330 380 60 30 Det betyr at kiloprise på moreller er 80 kroer, kiloprise på jordbær er 60 kroer, og kiloprise på pærer er 30 kroer. Ved CAS i GeoGebra ka du merke rutee hvor du har skrevet i likigee, og trykke på kommadokappe «Løs e eller flere likiger». 50
Algebra S Tekst og eksempler Stei Aaese og Olav Kristese Bildeliste Tall Foto: Christoffer Askma/Scapix Damark Fiboacci Foto: Sciece Photo Library/Scapix Myter Foto: Eivid Griffith Bræde/VG/Scapix Sykler Foto: Jo-Are Berg-Jacobse/Afteposte/Scapix Tuselapper Foto: Jo-Michael Josefse/Scapix Drømmehus Foto: Werer Juvik/VG/Scapix Bruktbil Foto: Mage Johase/Afteposte/Scapix Lykkepiller Foto: Scapix Olje på våt asfalt Foto: Rolad Schgaguler/Scapix Adregradslikiger Foto: Corbis/NTB Scapix Buyig tickets Foto: Peter Dejog/AP/Scapix Torghadel Foto: Corelius Poppe/Scapix 5