GeoGebra 6 for Sinus 1T

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1T

Sinus 1T ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I dag er det mange lærere og elever som bruker GeoGebra 6, og i flere klasser ønsker de ikke å bruke lommeregner i timene. I dette heftet har vi derfor forklart hvordan en kan bruke CAS som lommeregner og hvordan vi bruker GeoGebra 6, der det i boka er beskrevet fremgangsmåter med GeoGebra 5. CAS er et obligatorisk verktøy i 1T. Det er derfor viktig at elevene blir fortrolige med dette verktøyet ved hyppig og systematisk bruk gjennom hele skoleåret. Disse forklaringene er både samlet her i et eget hefte, og lagt ut under de aktuelle delkapitlene på de gratis nettsidene til Sinus. 30.07.18 Sigbjørn Hals og Tore Oldervoll

Innhold Regnerekkefølge, Sinus 1T side 10... 5 Forkorting av brøker, Sinus 1T side 17... 5 Brøkregning, Sinus 1T side 13... 6 Forenkling av uttrykk, Sinus 1T side 17... 6 Forenkling av uttrykk, Sinus 1T side... 7 Faktorisering, Sinus 1T side 8... 7 Faktorisering, Sinus 1T side 8... 8 Forenkling av rasjonale uttrykk, Sinus 1T side 31... 8 Pytagorassetningen, Sinus 1T side 53... 9 Digitale hjelpemidler i geometri, Sinus 1T side 59... 9 Likninger, Sinus 1T side 74... 10 Likninger, Sinus 1T side 74... 10 Omforming av formler, Sinus 1T side 80... 11 Digital graftegning, Sinus 1T side 86... 1 Digital graftegning, Sinus 1T side 88... 13 Konstantledd og stigningstall, Sinus 1T side 90... 14 Digital løsning av likninger, Sinus 1T side 96... 15 Digital løsning av likninger, Sinus 1T side 97... 16 Digital løsning av likninger, Sinus 1T side 99... 16 Lineære likninger, Sinus 1T side 100... 17 Ulikheter, Sinus 1T side 105... 18 Digital graftegning av andregradsfunksjoner, Sinus 1T side 119... 19 Funksjonsverdier, Sinus 1T side 119... 0 Nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt, Sinus 1T side119... 0 Avgrensing av grafer, Sinus 1T side 10... 1 Glidere, Sinus 1T side 11... Likninger, Sinus 1T side 16... 4 Antall løsninger av en andregradslikning, Sinus 1T side 139... 5 Ikke-lineære likningssett, Sinus 1T side 144... 6 Faktorisering, Sinus 1T side 147... 6 Andregradsulikheter, Sinus 1T side 155... 7 Tall på standardform, Sinus 1T side 169... 7 Kvadratrot, Sinus 1T side 171... 8 n-te røtter, Sinus 1T side 174... 8 Eksponentiallikninger, Sinus 1T side 189... 9 Logaritmelikninger, Sinus 1T side 195... 9 Sinus og cosinus til vinkler, Sinus 1T side 0... 9 Å finne vinkler, Sinus 1T side 0... 30 Å finne vinkler, Sinus 1T side 17... 30

Lineær regresjon, Sinus 1T side 33... 31 Nullpunkt og ekstremalpunkt for polynomfunksjoner, Sinus 1T side 39... 34 Nullpunkt og ekstremalpunkt for andre funksjoner, Sinus 1T side 44... 34 Ekstremalpunkt og verdimengde, Sinus 1T side 50... 35 Rasjonale funksjoner og asymptoter, Sinus 1T side 56... 36 Momentan vekstfart, Sinus 1T side 68... 38 Derivasjon, Sinus 1T side 81... 39 Simulering av terningkast, Sinus 1T side 305... 40 4

Regnerekkefølge, Sinus 1T side 10 Vi kan bruke CAS i GeoGebra 6 til all tallregning. Bruk CAS til å regne ut 3 (3 1) 4. Vi skriver inn hele uttrykket i CAS og trykker Enter. Vi bruker * som gangetegn og skriver ^3 for å få Vi kan også trykke Alt og 3 samtidig for å få 3. 3. Svaret blir 4 som vist ovenfor. Forkorting av brøker, Sinus 1T side 17 CAS forkorter automatisk brøker. Forkort brøken 18 30. Når vi skal forkorte 18, skriver vi inn 18/30 i CAS-feltet og trykker Enter. 30 18/30 blir automatisk forkortet til 3 5. Svaret blir 3 5.

Brøkregning, Sinus 1T side 13 Vi kan gjøre all tallregning med brøker i CAS. Vi skriver inn regnestykket og trykker på Enter. Bruk CAS til å regne ut 7 3. 1 8 Vi skriver inn 7 3 i CAS på denne måten. 1 8 Vi må trykke høyrepil etter at vi har skrevet inn 1 for å få plusstegnet bak brøken 7 1. CAS gjør automatisk om / til en brøkstrek. Svaret blir 3. GeoGebra oppgir alltid brøker ferdig forkortet. 4 Forenkling av uttrykk, Sinus 1T side 17 Regn ut x 1 x 1 x 1 x 1 i CAS. Skriv inn uttrykket i CAS-feltet, og klikk på. Svaret blir. x 6

Forenkling av uttrykk, Sinus 1T side Bruk CAS til å gjøre uttrykket x 3 x 1 3 6 enklere. Skriv inn uttrykket i CAS-feltet på denne måten: (x 3) / 3 ( x 1) / 6 Trykk på høyrepil på tastaturet for å komme ut av parentesene. GeoGebra fjerner automatisk parentesene og gjør / om til en brøk, slik det er vist nedenfor. Du kan også velge å starte med å skrive /. Denne blir automatisk omgjort til en brøkstrek. Du trenger da ikke parenteser, men kan skrive inn uttrykkene for teller og nevner over og under brøkstreken. Klikk på. Faktorisering, Sinus 1T side 8 Faktoriser uttrykket 3 3x 48 x i CAS. Skriv inn uttrykket i CAS. Skriv x^3 for å få x 3, eller trykk Alt og 3 samtidig for å få eksponenten 3. Trykk på høyrepil på tastaturet for å komme ned på linja igjen etter eksponenten. Klikk på.

Faktorisering, Sinus 1T side 8 Faktoriser uttrykket ab ab a i CAS. Skriv inn uttrykket i CAS. Skriv b^3 for å få b, eller trykk Alt og samtidig for å få eksponenten. Bruk gangetegnet * mellom a og b. Trykk på høyrepil på tastaturet for å komme ned på linja igjen etter eksponenten. Klikk på. Forenkling av rasjonale uttrykk, Sinus 1T side 31 Forenkle uttrykket x 4 x 1 x 1 6x i CAS. Skriv inn uttrykket i CAS. Skriv parentes rundt tellerne, og trykk høyrepil for å komme bak parentesen. GeoGebra lager automatisk en brøk når vi skriver /. Trykk Enter eller klikk på. 8

Pytagorassetningen, Sinus 1T side 53 Vi kan løse likningen i eksempelet på side 53 med CAS. En stige som er 3,00 m lang, står inntil en vegg. Stigen står på et horisontalt underlag. Den står 1,0 m fra veggen ved bakken. Hvor høyt opp på veggen når stigen? Vi kaller den ukjente høyden for x. Da får vi x 1,0 3,00. Vi skriver inn likningen i CAS-feltet og klikker på. OBS! Bruk punktum som desimaltegn. Enheten er meter. Vi må ha positive verdier for lengdene. Svaret blir da at stigen når,75 m opp på veggen. Digitale hjelpemidler i geometri, Sinus 1T side 59 I GeoGebra 6 kan vi gå fram på nøyaktig samme måte som det er beskrevet i læreboka for GeoGebra 5. Det er bare tre ting vi må huske på: 1. I GeoGebra 6 er der ikke en nedtrekksmeny øverst i grafikkfeltet. Vi har derimot et ikon oppe i høyre hjørne som vi kan klikke på. Da får vi fram en meny der i kan vise eller skjule aksene og rutenettet.. I GeoGebra 6 er der ikke små klikkbare trekanter nede i høyre hjørne på verktøyikonene. For å se flere verktøy, klikker vi bare på det verktøyikonet som er øverst i hver gruppe. 3. I GeoGebra 6 trenger vi ikke inntastingsfeltet. Vi skriver kommandoene direkte inn i algebrafeltet.

Likninger, Sinus 1T side 74 1 x 1 x 3 3 6 Løs likningen x 4 1 x 1 i CAS. Skriv inn likningen i CAS-feltet slik den står, og trykk på. Pass på å trykke høyrepil etter brøkene og for å komme bak parentesene. Likningen har løsningen x 1. Likninger, Sinus 1T side 74 Løs likningen x 1 1 4 x 1 x 3x 6x i CAS. Skriv inn likningen i CAS-feltet slik den står, og trykk på. Hust parentes rundt tellerne. Likningen har ingen løsning. Legg merke til hvordan GeoGebra skriver svaret på slike likninger. 10

Omforming av formler, Sinus 1T side 80 Vi kan også bruke CAS til å omforme formler. Finn et uttrykk for x, ut fra formelen B 10 000 800x. Skriv Løs( B 10000 800 x, x) og trykk Enter. Om vi ønsker å få uttrykket for x på én brøkstrek, kan vi gå fram slik: Klikk i den neste linja i CAS. Klikk på svaret i linje 1. Klikk på dette ikonet for å få faktorisert svaret:.

Digital graftegning, Sinus 1T side 86 Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å tegne rette linjer og andre grafer. Her viser vi hvordan vi kan bruke GeoGebra 6 til slik tegning. Tegn linja y 1,5 x Vi åpnet programmet og klikker inne i grafikkfeltet. Hvis vi ikke får fram koordinatsystemet eller rutenettet, klikker vi på dette symbolet oppe i høyre hjørne av programvinduet. Da får vi fram denne menyen, der vi mellom annet kan vise eller skjule aksene og rutenettet: Nå skriver vi inn likningen for linja i algebrafeltet. Bruk desimalpunktum. I GeoGebra 6 fungerer algebrafeltet også som et inntastingsfelt. Når vi trykker Enter får vi dette bildet i algebrafeltet. Da får vi fram linja nedenfor. Du får kanskje et helt annet utsnitt og andre tall langs aksene enn det vi har fått. For å endre på koordinatsystemet trykker vi på symbolet. Hvis vi nå plasserer musepekeren inne i koordinatsystemet og holder inne venstre musetast, kan vi flytte koordinatsystemet. Hvis vi vil endre på en av aksene, plasserer vi musepekeren på en av aksene og holder inne venstre musetast. Da kan vi dra i aksen og få den slik vi vil. Vi kan også bruke dette verktøyet for å flytte på grafikkfeltet: Shift-tasten og venstre musetast for å endre på aksene.. Da må vi holde nede 1

Digital graftegning, Sinus 1T side 88 Noen ganger kan det være vanskelig å finne ut hvilke verdier vi skal ha langs aksene. Ofte står det i oppgaven hvilke x-verdier vi skal bruke. Men vi må selv finne ut hvilke verdier vi trenger langs y-aksen. Da kan i gå fram som i dette eksemplet. Tanken på en bil inneholder 60 liter bensin. Bilen bruker 0,55 liter bensin per mil. Etter x mil er bensinmengden y i liter gitt ved y = 60 0,55x Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken helt til vi har kjørt 100 mil. Vi bruker GeoGebra og skriver først inn likningen slik i algebrafeltet: Bruk punktum og ikke komma som desimaltegn. For å kunne se grafen, må vi forandre på verdiene langs aksene. Høyreklikk inne i koordinatsystemet, velg Grafikkfelt, xakse og fyll ut skjermbildet slik det er vist nedenfor. Gjenta det samme for yakse. Legg merke til at vi har merket av for Avstand, og satt denne til 10 langs begge aksene. Vi har også tatt med enheten mil langs x-aksen og liter langs y-aksen. Dette er veldig viktig i slike tekstoppgaver. I oppgaver uten enheter er det nok å bare ha navnet på aksene. Det mest vanlige er å bruke x og y. Vi bruker nå dette verktøyet figuren nedenfor. og drar i aksene til vi får en graf som ligner på grafen på

Konstantledd og stigningstall, Sinus 1T side 90 Vi kan finne stigningstallet og konstantleddet til ei rett linje gjennom to punkter ut fra opplysningene i algebrafeltet i GeoGebra. Finn stigningstallet og konstantleddet til linja som går gjennom punktene ( 1, ) og (3,10). Skriv inn ( 1, ) i algebrafeltet og trykk Enter. Punktet får automatisk navnet A. Skriv deretter inn (3,10) og trykk Enter. Dette punktet får navnet B. Dra i aksene slik at begge punktene er synlige. Skriv Linje(A, B) i algebrafeltet og trykk Enter. Du kan også velge dette verktøyet: og klikke etter tur på punktene A og B. Likningen er ikke slik vi pleier å skrive den. Hvis vi vil ha likningen på formen y ax b, høyreklikker vi på likningen og velger Likning y = ax + b. Det gir dette resultatet: Likningen er y x 4 Dermed er stigningstallet og konstantleddet 4. Dersom vi ønsker at linjer alltid skal vises på formen y ax b, klikker vi på dette symbolet oppe i høyre hjørne:. Deretter klikker vi på firkanten som er innringer i figuren nedenfor, velger Algebra og formen y ax b for likninger. Etterpå må vi velge Innstillinger og Lagre innstillinger. 14

Digital løsning av likninger, Sinus 1T side 96 Det er 515 km fra Trondheim til Oslo. Fredrik kjører fra Trondheim med farten 70 km/h. Vi kaller antall timer han har kjørt for x og antall kilometer han har igjen til Oslo for y. Etter x timer er avstanden y han har igjen til Oslo, målt i km, gitt ved y 515 70x Finn grafisk hvor langt Fredrik har igjen til Oslo når han har kjørt i 3 timer. Vi tilpasser først aksene slik at x går fra 0 til 10 og y fra 0 til 600, slik vi lærte i kapittel 3.4. Deretter skriver vi y 515 70x i algebrafeltet og får fram linja l. Så skriver vi x 3 i algebrafeltet og får fram ei vertikal linje gjennom x 3. Deretter bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekt:. Dette verktøyet finner vi ved å klikke på dette ikonet:. Vi klikker deretter nær skjæringspunktet mellom de to linjene, slik at begge linjene blir markert. Vi har tatt med enhetene timer og km langs aksene. Vi får da dette resultatet: Vi kan bruke dette verktøyet og dra tekstene x = 3 og y 515 70xinn i grafikkfeltet. For å få resultatet i figuren ovenfor, må vi høyreklikke på hver av tekstene, velge Innstillinger og så fjerne en av «true»-oppføringene under Basis og Definisjon. Her har vi i tillegg høyreklikket på skjæringspunktet, valgt Innstillinger og deretter Verdi. Vi ser av grafen at Fredrik har 305 km igjen til Oslo, når han har kjørt i 3 timer.

Digital løsning av likninger, Sinus 1T side 97 Her jobber vi videre med eksempelet på forrige side. Det er 515 km fra Trondheim til Oslo. Fredrik kjører fra Trondheim med farten 70 km/h. Vi kaller antall timer han har kjørt for x og antall kilometer han har igjen til Oslo for y. Etter x timer er avstanden y han har igjen til Oslo, målt i km, gitt ved y 515 70x Når Fredrik passerer Hamar, ha han 130 km igjen til Oslo. Finn grafisk hvor lang tid Fredrik bruker på å kjøre fra Trondheim til Hamar. Vi bruker den samme grafen som i forrige eksempel og skriver y = 130 i algebrafeltet. Så bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekt, og får vist koordinatene til det nye skjæringspunktet på samme måte som i forrige eksempel. Vi ser av grafen at Fredrik bruker 5,5 timer på å kjøre fra Trondheim til Hamar. Digital løsning av likninger, Sinus 1T side 99 Vi jobber også her videre med eksemplene med Fredrik som kjørte fra Trondheim til Oslo. Det er 395 km fra Oppdal til Oslo. Vanja kjører skuter til Oslo. Hun kjører fra Oppdal med farten 40 km/h. Vi kaller antall timer Vanja har kjørt for x, og antall kilometer hun har igjen til Oslo for y. Etter x timer er avstanden y hun har igjen til Oslo, målt i km, gitt ved y 395 40x Finn grafisk når Fredrik tar igjen Vanja. Vi sletter linjene for x = 3 og y = 130 i algebrafeltet. Så skriver vi inn y 395 40x og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt. Da får vi resultatet som er vist på neste side. 16

Vi ser av grafen at Fredrik når igjen Vanja etter 4 timer. De er da 35 km fra Trondheim. Lineære likninger, Sinus 1T side 100 Løs dette likningssettet grafisk og med CAS 5x y 4 x y 5 Grafisk løsning: Skriv 5x y 4 i algebrafeltet og trykk Enter. I neste linje skriver du x y 5. Da får vi tegnet de to linjene i grafikkfeltet. Tilpass aksene og velg verktøyet Skjæring mellom to objekt. Klikk på skjæringspunktet for de to linjene. Likningssettet har løsning x = og y = 3.

Løsning med CAS: Skriv de to likningene inn i CAS i hver sin linje. Merk dem ved å klikke i det blå feltet til venstre for den første likningen, hold nede venstre musetast og dra nedover slik at begge linjene blir merket. Klikk på. Likningssettet har løsning x = og y = 3. Ulikheter, Sinus 1T side 105 Løs denne ulikheten med CAS x (4 x) 5x Skriv inn ulikheten i CAS og klikk på. Du får fram tegnet ved å skrive >= eller ved å bruke matematikkeditoren, som vi får fram ved å klikke på dette symbolet nede i venstre hjørne. 18

Digital graftegning av andregradsfunksjoner, Sinus 1T side 119 Tegn digitalt grafen til f, der f x x x ( ) 4 3 Når vi skal skrive x i GeoGebra, kan vi skrive x^. Men vi kan også trykke Alt og samtidig for å få fram eksponenten. Vi skriver funksjonsuttrykket x 4x 3 inn i algebrafeltet og trykker Enter. Vi trenger ikke skrive f() x foran utrykket. Vi tilpasser koordinatsystemet, og får denne grafen:

Funksjonsverdier, Sinus 1T side 119 Finn funksjonsverdien f (4) digitalt når f x x x ( ) 4 3 Det er lett å regne ut funksjonsverdien f (4) uten hjelpemiddel: f (4) 4 4 4 3 f (4) 16 16 3 f (4) 3 Når vi skal regne dette ut digitalt må vi passe på at funksjonen f er definert. Det kan vi gjøre ved å skrive funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet, slik vi gjorde i det forrige eksempelet. Det går også å definere funksjonen i CAS. Da må vi bruke :=, slik det er vist nedenfor: Når vi finner funksjonsverdien i CAS, ser vi lett hva som er regnet ut. Nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt, Sinus 1T side119 Finn eventuelle nullpunkter og topp- eller bunnpunktet til f når f x x x ( ) 4 3 Nullpunktene er de x-verdiene der grafen skjærer x-aksen. Dersom grafen ikke skjærer x-aksen, har ikke funksjonen noen nullpunkter. Vi skriver Nullpunkt(f) i CAS. Andregradsleddet til f er positivt. Det betyr at grafen har den hule siden opp, og f har derfor et bunnpunkt. For å finne dette bunnpunktet skriver vi Ekstremalpunkt(f) i CAS. Nullpunktene er x = 1 og x = 3. Bunnpunktet har koordinatene (, 1).. 0

Avgrensing av grafer, Sinus 1T side 10 Noen ganger får vi bruk for å tegne grafer til funksjoner som bare er definert i et bestemt område. Vi kaster en stein opp i lufta. Vi kaller høyden over bakken for h og tiden etter at steinen blir kastet for t. Vi måler høyden i meter og tiden i sekunder. Sammenhengen mellom høyden h og tiden t er gitt ved h( t) 5t 0t Steinen treffer bakken etter 4 sekunder. Tegn grafen til h når t er et tall mellom 0 og 4. Første metode Skriv i algebrafeltet: h( t) Funksjon( 5t 0 t, 0, 4). Vi skriver h(t) = foran Funksjon for at funksjonen skal få navnet h og variabelen navnet t. Vi skriver t (sekunder) langs førsteaksen og h (meter) langs andreaksen. Det gir denne grafen: Andre metode I stedet for å skrive h( t) Funksjon( 5t 0 t, 0, 4), kan vi skrive h( t) 5t 0 t, 0 t 4. Vi får fram tegnet ved å skrive <= eller ved å bruke matematikkeditoren. Ved den første måten får vi alltid med endepunktene, som her er 0 og 4. Dersom vi ikke ønsker å ha med endepunktene, kan vi skrive h( t) 5t 0 t, 0 t 4.

Glidere, Sinus 1T side 11 Finn ut hva tallene a, b og c har å si for grafen til andregradsfunksjonen f ( x) ax bx c Skriv a i algebrafeltet. Du får da spørsmål om du vil lage en glider. Klikk på Lag glider. Gjenta det samme for b og c. Skriv f ( x) a x b x c i algebrafeltet og trykk Enter. Legg merke til at i GeoGebra kommer i gliderne i algebrafeltet og ikke i grafikkfeltet, som i GeoGebra 5. Vi kan få vist gliderne i grafikkfeltet, ved å klikke i sirklene til venstre for dem. Skriv f ( x) a x b x c i algebrafeltet. Bruk * som gangetegn mellom a og x og mellom b og x. Tilpass aksene og dra etter tur i de tre gliderne. Når a > 0, har grafen den hule siden opp. Andregradsfunksjonen har da et bunnpunkt. Når a < 0, har grafen den hule siden ned. Andregradsfunksjonen har da et toppunkt. En grei huskeregel: Når a er positiv, er grafen «blid». Når a er negativ er grafen «sur». a, b 0 og c 0 a, b 4 og c 0 a, b 4 og c 3 Når vi flytter på glideren for c, flytter vi grafen opp eller ned uten at den forandrer form. Når vi flytter på glideren for b, flytter vi grafen mot høyre eller venstre samtidig med at vi flytter den opp eller ned.

Det er lettere å se hvordan grafene endrer seg når vi flytter på de ulike gliderne, dersom vi finner topp- eller bunnpunktet til funksjonsgrafen og setter på sporing for dette punktet. Det gjør vi ved å høyreklikke på punktet, velge Egenskaper, skjule Navn og verdi og merke av for Vis spor. Vi fjerner sporene ved å trykke Ctrl og f samtidig. b Når vi flytter på glideren for a, følger topp- eller bunnpunktet ei rett linje gitt ved y x c. Når vi flytter på glideren for b, følger topp- eller bunnpunktet ei kurve gitt ved y a x c. Når vi flytter på glideren for c, følger topp- eller bunnpunktet ei rett linje gitt ved x b a. Endring av a. Endring av b. Endring av c.

Likninger, Sinus 1T side 16 Løs denne likningen grafisk og med CAS x x x 5 6 1 Grafisk løsning: Skriv x 5x 6 i algebrafeltet og trykk Enter. Da får vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved f x x x ( ) 5 6 Skriv deretter x 1 i algebrafeltet. Da får vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved g( x) x 1 Tilpass taksene og velg verktøyet Skjæring mellom to objekt. Klikk etter tur på hver av de to grafene. Da får vi dette resultatet i grafikkfeltet: Her er det bare x-verdiene til skjæringspunktene som vi er ute etter. Likningen har løsningene x = 1 og x = 5. Løsning med CAS: Skriv x 5x 6 x 1 inn i CAS og klikk på. Likningen har løsningene x = 1 og x = 5. 4

Antall løsninger av en andregradslikning, Sinus 1T side 139 Vi vet at andregradslikninger kan ha to løsninger, én løsning eller ingen løsninger. Nå skal vi se hvordan vi kan finne ut hvor mange løsninger en andregradslikning har for ulike verdier av konstantleddet c. Vi har gitt andregradslikningen x x c 4 0 der c er et ukjent tall. Finn tallet på løsninger når c varierer. Grafisk løsning: Skriv c i algebrafeltet. Klikk på Lag glider. Skriv x 4x c i algebrafeltet og trykk Enter. GeoGebra gir automatisk c startverdien 1. Da får vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved f x x x ( ) 4 1 Når vi flytter på glideren for c, ser vi at likningen x 4x c 0 har to løsninger når c < 4 én løsning når c = 4 ingen løsning når c > 4 Løsning med CAS: Når vi skal bruke c i løsningen med CAS, er det viktig at ikke c er knyttet til et bestemt tall med en glider. Slett derfor c fra algebravinduet og skriv x 4x c 0 i CAS. Klikk så på. Når c = 4, blir radikanden (det som står under rottegnet) lik 0. Da blir løsningen x =. Når c < 0, er radikanden positiv. Vo får da to løsninger. Når c > 0, er radikanden negativ. Vi får da ingen reelle løsninger.

Ikke-lineære likningssett, Sinus 1T side 144 Løs dette likningssettet med CAS 3x y 3 3x y 9 Skriv de to likningene inn i CAS i hver sin linje. Merk dem ved å klikke i det blå feltet til venstre for den første likningen, hold nede venstre musetast og dra nedover slik at begge linjene blir merket. Klikk på. Likningen blir x 0 og y 3 eller x 3 og y 6. Faktorisering, Sinus 1T side 147 Faktoriser uttrykket x 7x 1 i CAS. Skriv inn uttrykket i CAS. Skriv x^ for å få x, eller trykk Alt og samtidig for å få eksponenten. Trykk på høyrepil på tastaturet for å komme ned på linja igjen etter eksponenten. Klikk på. 6

Andregradsulikheter, Sinus 1T side 155 Løs ulikheten x 7x 1 0 i CAS. Skriv inn ulikheten i CAS, og klikk på matematikkeditoren.. Du får fram tegnet ved å skrive <= eller ved å bruke Tall på standardform, Sinus 1T side 169 Bruk CAS til å skrive tallene 30 000 og 0,0000000167 på standardform med tre gjeldende siffer. Skriv Standardform(30000, 3) og Standardform(0.0000000167, 3) i hver sin linje i CAS og trykk Enter. Bruk punktum som desimaltegn.

Kvadratrot, Sinus 1T side 171 Finn en avrundingsverdi for 5. I CAS trykker vi på Alt og r samtidig for å få fram rottegnet. Så skriver vi inn 5 og klikker på. Dersom vi ønsker flere desimaler, kan vi klikke på dette ikonet oppe i høyre hjørne: Vi velger så Innstilinger og Avrunding og for eksempel 5 desimaler. Da får vi fram svaret med fem desimaler slik: n-te røtter, Sinus 1T side 174 Finn en avrundingsverdi for 5 1. For å finne en avrundingsverdi for 5 1 skriver vi nrot(1, 5) og klikker på. 8

Eksponentiallikninger, Sinus 1T side 189 Løs eksponentiallikningen 3 5 x 36 med CAS. Skriv likningen inn i CAS på denne måten: 3*5^(x) = 36. Klikk på. Når vi velger å vise svaret med to desimaler fra Innstillinger, få vi dette svaret: Logaritmelikninger, Sinus 1T side 195 Løs logaritmelikningen lg(x 1) 3lg med CAS. Skriv likningen inn i CAS og klikk på. Pass på å ha parentes rundt x + 1 og rundt. Sinus og cosinus til vinkler, Sinus 1T side 0 Finn sin 39 og cos 39. Velg Innstillinger, Avrunding og 5 desimaler. Skriv sin(39 ) og cos(39 ) i hver sin linje i CAS og klikk på. Du får fram gradetegnet ved å holde nede ALT og o samtidig eller fra menyvalget f(x) i matematikkeditoren.

Å finne vinkler, Sinus 1T side 0 a) Finn v når sin v = 0,85. b) Finn v når cos v = 0,5. a) Velg desimaler fra Innstillinger og Avrunding. Skriv arcsind(0.85) og klikk på. Det er viktig å ha med d-en til slutt i arcsind. Da får du svaret i grader. Skriver vi arcsin, får vi svaret i radianer. Det er ikke pensum i 1T. b) Skriv arccosd(0.5) og klikk på. Å finne vinkler, Sinus 1T side 17 Løs likningen når vinkelen v er mellom 0 og 180. sinv 0,6 Grafisk løsning: Skriv inn f ( v) sin( v ) i algebrafeltet. Skriv deretter y = 0.6. Husk punktum som desimaltegn. Still inn aksene og bruk verktøyet Skjæring mellom to objekt. Likningen sinv 0,6 har løsningene v = 36,9 og v = 143,1 når v ligger mellom 0 og 180. 30

Løsning med CAS: Skriv inn likningen. Husk å ta med gradetegnet og å ha parentes rundt v. Klikk først på. Klikk så bak likningen igjen og deretter på. Ved å gå fram slik for en likning med sin(v ), får du løsningene som ligger mellom 0 og 180. Lineær regresjon, Sinus 1T side 33 I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall 1900 190 1940 1960 1980 000 010 x (år) 0 0 40 60 80 100 110 y (millioner),,6,96 3,57 4,08 4,48 4,86 a) Finn ved regresjon den rette linja som passer best til dataene i tabellen, og tegn linja sammen med punktene i et koordinatsystem. b) Finn folketallet i 1980 ifølge modellen fra oppgave a. c) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner? a) Vi åpner GeoGebra og merker av for Regneark på Vis-menyen. Vi legger inn verdien for x og folketallet i millioner som vist her: Nå markerer vi punktene i tabellen ved hjelp av musa og høyreklikker. Vi velger der Lag og Liste med punkt. Nå finner vi punktene i algebrafeltet med navnene A, B osv. Punktene finner vi også i en liste med navnet L 1:

Vi ser ikke punktene i koordinatsystemet. Plasser et punkt i origo. Høyreklikk så på grafikkfeltet og velg Vis alle objekter. Da får vi fram alle punktene. Nå kan vi slette punktet i origo. Det er bare et helpepunkt for at aksene skal vise når vi velger Vis alle objekter. Vi ønsker ikke å vise navn og verdi for punktene i grafikkfeltet. Vi ordner derfor objektene i algebravinduet etter objekttype, klikker på overskriften Punkt, høyreklikker på ett av punktene og tar bort merkingen foran Vis navn. Ei rett linje er grafen til en førstegradsfunksjon. Vi sier at det er en polynomfunksjon av grad 1, og skriver funksjonsuttrykket på formen f ( x) a x b. Du kan lære om polynomfunksjoner av høyere grad på side 36. Vi skriver nå RegPoly(L_1, 1) i algebrafeltet, og trykker Enter. Vi får fram L 1 ved å skrive L_1. Da får vi tegnet den linja som passer best med punktene. Den linja som passer best best med opplysningene i tabeller er gitt ved funksjonsuttrykket nedenfor. Vi finner funksjonsuttrykket i algebrafeltet: 3

b) Med denne modellen var folketallet i 1980 f (80) 0,04 80,14 4,06 Dette kan vi også finne i CAS. Vi skriver da f(80) og klikker på:. Folketallet i 1980 var 4,06 millioner i 1980. Det stemmer godt med den riktige verdien, som er 4,08 millioner. c) For å finne når folketallet passerer 5,5 millioner, skriver vi f(x) = 5.5 i CAS og klikker på. Vi ser at folketallet er 5,5 millioner etter vel 140 år. Folketallet passerer 5,5 millioner i løpet av 040. Vi kan også løse oppgave c grafisk ved å skrive y = 5.5 i algebrafeltet. Da får vi fram ei horisontal linje. Vi bruker så Skjæring mellom to objekt og finner skjæringspunktet som vist nedenfor: Vi får det samme svaret som i CAS.

Nullpunkt og ekstremalpunkt for polynomfunksjoner, Sinus 1T side 39 Finn nullpunktene og ekstremalpunktene til funksjonen f gitt ved 3 f ( x) x 3x Vi velger her å definere funksjonen f i CAS slik det er vist nedenfor. Deretter skriver vi Nullpunkt(f) og Ekstremalpunkt(f). OBS! Når vi definerer noe i CAS, må vi bruke :=. Funksjonen f har nullpunktene x 3, x 0 og x 3. Ekstremalpunktene er ( 1,) og (1, ). Nullpunkt og ekstremalpunkt for andre funksjoner, Sinus 1T side 44 Kommandoene Nullpunkt og Ekstremalpunkt gir oss alle nullpunktene og alle ekstremalpunktene for polynomfunksjoner. Det vil i mange tilfeller også gjelde for andre typer funksjoner. Av og til blir de eksakte verdiene så kompliserte at det er bedre å bruke avrundingsverdier. Det er tilfellet for ekstremalpunktene i eksempelet på neste side. Vi klikker da på dette ikonet:. 34

Funksjonen f er gitt ved f( x) x 4 x Tegn grafen til f og finn nullpunktene og ekstremalpunktene med CAS. Vi velger her å definere funksjonen f i CAS slik det er vist nedenfor. Deretter skriver vi Nullpunkt(f) og Ekstremalpunkt(f). Vi bruker her for ekstremalpunktene. Vi får da både tegnet grafen og får oppgitt nullpunktene og avrundingsverdier for ekstremalpunktene i CAS. Ekstremalpunkt og verdimengde, Sinus 1T side 50 En funksjon f er gitt ved f ( x) 4 x a) Finn definisjonsmengden til f. b) Tegn grafen til f digitalt. c) Finn ekstremalpunktet. d) Finn verdimengden til f. a) Det som står under rottegnet kan ikke være negativt. Vi skriver derfor og klikker på. Vi får fram ved å skrive >=. 4 0 x i CAS Definisjonsmengden er, D. f

b) Vi definerer funksjonen i CAS, og får samtidig tegnet grafen i grafikkfeltet. Vi får fram rottegnet fra matematikkeditoren, eller ved å trykke Alt + r. Det går også fint å definere funksjonen i algebrafeltet. c) For å finne ekstremalpunktet, skriver vi Ekstremalpunkt(f) i CAS eller i algebrafeltet. Velger vi algebrafeltet, får vi tegnet punktet i grafikkfeltet med det samme. Funksjonen har toppunktet (0, ). d) Alle y-verdier mellom 0 og er mulige funksjonsverdier for f. V 0,. Verdimengden er f Rasjonale funksjoner og asymptoter, Sinus 1T side 56 En funksjon f er gitt ved f( x) 4x 4 x 4 a) Finn nullpunktene til f med CAS. b) Finn asymptotene med CAS. c) Tegn grafen til f med asymptoter digitalt. d) Finn ekstremalpunktene til f. a) Vi definerer funksjonen i CAS og skriver deretter Nullpunkt(f). Nullpunktene er x 1og x 1. 36

b) Skriv Asymptote(f) i CAS og trykk Enter. Horisontal asymptote: y = 4. Vertikale asymptoter: x og x. c) Når vi klikker på sirkelen til venstre for asymptotene, blir disse skrevet på listeform og tegnet sammen med grafen til funksjonen. d) Vi skriver Ekstremalpunkt(f) i CAS. f har et toppunkt i (0,1).

Momentan vekstfart, Sinus 1T side 68 Finn den momentane vekstfarten til funksjonen f er gitt ved f x x x når x =. ( ) 4 Vi definerer først funksjonen i algebrafeltet. Deretter skriver vi Tangent(, f) og trykker Enter. Tangenten til f i punktet (, f()) har fått navnet g. Til slutt skriver vi Stigning(g) og trykker Enter. Den momentane vekstfarten til f når x = er. 38

Derivasjon, Sinus 1T side 81 En sommerdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved 3 1 T x x x x 8 ( ) 50, 8, 0 a) Finn temperaturen kl. 10 og kl. 16. b) Finn T ( x ). c) Finn den momentane temperaturveksten kl. 10 og kl. 16. a) Definer funksjonen i CAS utan å avgrense funksjonen. Skriv deretter T(10) og T(16). Bruk. Temperaturen var 17,5 C kl. 10 og C kl. 16. b) Skriv T ( x) i CAS og klikk på dette ikonet for å få svaret på utvidet form. c) Skriv T (10) og T (16). Bruk. Klokka 10 var temperaturen i ferd med å stige 3 celsiusgrader per time. Klokka 16 var temperaturen i ferd med å synke 1,5 celsiusgrader per time.

Simulering av terningkast, Sinus 1T side 305 Vi kan bruke CAS i GeoGebra til å simulere terningkast. a) La GeoGebra lage et tilfeldig tall mellom 1 og 6. b) La GeoGebra lage 600 tilfeldige tall mellom 1 og 6, og telle opp hvor mange av disse som er 6. a) Åpne CAS og skriv inn TilfeldigMellom(1,6). Her fikk vi 5. Hvis vi klikker på uttrykket og trykker på Enter, får vi på nytt et tilfeldig valgt tall mellom 1 og 6. b) Fordelen med simuleringer er at det går raskere enn å gjennomføre mange virkelige hendelser. Det er for eksempel tungvint å kaste 600 terninger og så telle opp hvor mange seksere vi får. Dersom vi skriver Sum(Dersom(TilfeldigMellom(1,6) == 6, 1, 0), teller GeoGebra opp hvor mange seksere vi får på 600 kast. Legg merke til at vi har skriver to = etter hverandre. Da får vi dette tegnet i CAS:. Her er x en variabel som skal gå fra 1 til 600. Den forteller oss at forsøket blir gjentatt 600 ganger. Når vi får en sekser, får x verdien 1. Ellers får x verdien 0. Funksjonen Sum legger sammen alle de 600 verdiene x har fått. Det blir da antall seksere på 600 kast. Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster en terning er 1. Vi kan derfor forvente at 6 omtrent 1 6 av de 600 kastene blir seksere. Vi kan altså forvente å få 100 seksere. Vi fikk 101 seksere, som er omtrent som forventet. Om vi gjentar forsøket får vi gjerne andre tall. 40