TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave Et plott av sasylghetstetthee er gtt fgur Vdere har v og PX = Φ = 08849 PY > = PY = Φ = Φ = 0695 = 03085 Sde X og Y er atatt uavhegge og ormalfordelte, og X + Y er e leærkombasjo av X og Y, får v at X + Y også er ormalfordelt Dessute får v at E[X + Y = E[X + E[Y = 0 + = og sde X og Y er uavhegge, Var[X + Y = Var[X + Var[Y = + = 5 Dermed blr PX + Y = Φ = Φ045 = 06736 5 Oppgave Multplkasjossetge ser at Dermed får v at PA B = PA + PB PA B PA B = PA + PB PA B = 0 + 05 06 = 0 0 Sde PA B 0 er hedelsee A og B kke dsjukte Hedelsee A og B er uavhegge hvs og bare hvs PA B er lk PA Må derfor rege ut PA B, PA B PA B = = 0 PB 05 = = 0 = PA 5 Hedelsee A og B er dermed uavhegge Oppgave 3 eksma3-lsf-b 8 aprl 06 Sde
TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Fgur : Svart kurve er sasylghetstetthete for e ormalfordelg med forvetgsverd lk 0 og stadardavvk lk Rød kurve er sasylghetstetthete for e ormalfordelg med forvetgsverd lk og stadardavvk lk a PT > 000 = PT 000 = F 000 = exp { } 000 0 6 = e = 0368 PT > 000 T > 000 PT > 000 T > 000 = = PT > 000 { } exp 000 0 6 = e PT > 000 PT > 000 = F 000 e = e 4 e = e 4+ = e 3 = 0050 La Z være atall av de tre levetdee som er større e 000 døg Sde de tre levetdee er atatt uavhegge blr da Z bomsk fordelt med = 3 forsøk og sasylghet for suksess lk p = PT > 000 = e Dermed får ma at b For t > 0 får v at PZ = PZ = + PZ = 3 = ft = F t = exp 3 p p + = 3p p + p 3 = 0306 3 p 3 p 0 3 } { zt zt = zt } { exp zt E sksse av sasylgetstetthete ft for t [0, 3000 er gtt fgur I dee fgure er arealet som er lk sasylghete PT > 000 skravert eksma3-lsf-b 8 aprl 06 Sde
TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Fgur : Plott av ft år z = 0 og = 0 6 Arealet av det skraverte området er lk sasylghete PT > 000 c De e-étydge trasformasjoe mellom t og v er gtt som v = zt v t = z Merk at trasformasjoe er e-étydg ford det er gtt at t > 0 For v > 0 gr trasformasjosformele da at sasylghetstetthete for V blr v f V v = f T dt z dv = z v v z z z exp v z = { exp v } z Sde V kke ka være egatv blr selvfølgelg f V v = 0 for v < 0 Sasylghetstetthete tl e χ -fordelg med ν frhetsgrader er gtt som fx = ν Γν/ xν/ e x/ for x > 0 Setter v her ν = får v at tetthete blr fx = Γ x e x/ = { exp x } V ser at dette er samme sasylghetstetthet som f V v som v utledet over Dermed har v vst at V χ For e χ v-fordelg vet v geerelt at forvetgsverde er lk ν og varase er lk ν Dermed har v speselt at E[V = og Var[V = 4 Dette gr [ zt E[V = E = z E[T = E[T = z og [ zt Var[V = Var = z E [ T = 4 Var [ T = z eksma3-lsf-b 8 aprl 06 Sde 3
d Rmelghetsfuksjoe blr gtt som L = ft = [ z t { exp z t } TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Log-rmelghetsfuksjoe blr dermed l = ll = = = l + { z t l exp z t } [ l + lz + lt l z t lz + lt l Fer maksmum ved å dervere med hesy på og sette lk ull, l = z t = + z t z t = 0 = z t Sasylghetsmaksmergsestmatore for blr dermed = z T Beytter resultatee fra c tl å fe forvetgsverd og varas for, [ [ E [ = E z T = E z T = E [ z T = z E [ T = z = = z = er forvetgsrett, [ [ Var [ = Var z T = Var z T = Var [ z T = = z Var [ T = z z = = = Merk at ma utregge av varase har beyttet at T ee er uavhegge z Var [ T e V har at U = V der V = z T eksma3-lsf-b 8 aprl 06 Sde 4
TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Fra pukt c vet v at V χ Dessute, sde T ee er atatt uavhegge vl også V ee være uavhegge Sde e sum av uavhegge χ -fordelte varabler også blr χ - fordelt der atall frhetsgrader tl summe er lk summe av atall frhetsgrader får v dermed at U er χ -fordelt med = frhetsgrader Sde U χ får v at P χ α, U χ α, = α Setter v uttrykket for U får v P χ α, z T χ α, = α Løser de to ulkhete med hesy på hver for seg, χ α, z T χ α, z T, Dermed har v at P χ α, z T χ α, z T χ α, χ α, z T z T slk at et α 00%-kofdestervall for er gtt ved [ z T, z T χ α, χ α, = α For α = 005 og = 0 fer v tabell at χ α, = χ 0975,0 = 959 og χ α χ 005,0 = 3470 Isatt oppgtte observasjoer blr dermed kofdestervallet [ 3470 3 87 5, 3 87 5 = [ 363 06, 4 856 037 959 f Ved å ta utgagspukt Y har v at P y α Y y α = α, = Setter v uttrykket for Y, etter å ha foreklet dette ved å forkorte, får v dermed P y α z 0T 0 z T y α = α eksma3-lsf-b 8 aprl 06 Sde 5
y α z 0T0 z T TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Løser de to ulkhetee med hesy på T 0 hver for seg og husker på at v vet at T 0 > 0, y α z T T 0, z 0 Dermed har v at P z 0 T 0 z T y α y α z T z 0 T 0 T 0 y α y α z T z 0 z T = α, z 0 slk at et α 00%-predksjostervall for T 0 er y α z T y α, z T z 0 z 0 For å få et 90%-predksjostervall må v velge α = 0 og da blr y α = y 095 = 005 og y α = y 005 = 349 Isatt oppgtte observasjoer blr dermed predksjostervallet [ 005 3 87 5 349 3 87 5, = [9897, 6459 0 3 0 3 Oppgave 4 a Sde ma skal udersøke om de observerte data gr grulag for å påstå at forvetet løpetd avtar med økede atall armhevger må ma velge som β < 0 som H V har dermed H 0 : β = 0 mot H : β < 0 Bruker testobservator T = β S x x og v vet at dee er t-fordelt med frhetsgrader år H 0 er rktg Forkaster H 0 dersom T < k der krtsk verd k bestemmes fra kravet PForkast H 0 H 0 er rktg = α = 005, PT < k H 0 er rktg = 005 V må dermed ha k = t 005, = t 005, V skal dermed forkaste H 0 dersom T < t 005, Med våre data har v = 4, β = x xy x x = 636 39 = 094 eksma3-lsf-b 8 aprl 06 Sde 6
og s = Observert verd for testobservatore blr dermed y β 0 β 44563 x = = 0364 40 t = 094 036 39 = 3 TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Krtsk verd år = 4 fer v tabelle over t-fordelge tl å være t 005, = t 005,40 = 684 Sde t = 3 684 skal ma kke forkaste H 0 Dvs kke grulag for å påstå at forvetet løpetd avtar med økede atall armhevger b Ut fra begge plottee fgur ser v at fordelge tl ε kke syes å være symmetrsk fordelt omkrg ull slk modelle atar Mer spesfkt ser v at fordelge tl resdualee syes å ha e tygre hale mot høyre e mot vestre Atagelse om at alle resdualee har lk fordelg syes tlfredsstlt eksma3-lsf-b 8 aprl 06 Sde 7