GHID DE PREGATIRE ONLINE BACALAUREAT 2011, MATEMATICĂ M1

Transkript

1 Coordoator: Adrei Octavia Dobre Silvia Brabeceau, Nicolae Breazu, Delia Valetia Bulgăr, Georgiaa Caache, Viorica Ciocăaru, Ioa Lug, Viorica Lugaa, Bladia Maiţiu, Ştefa Flori Marcu, Coreliu Măescu-Avram, Ovidiu-Marius Mâdrica, Adria Muscalu, Gabriel Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor, Csaba Oláh, Eache Paul,, Ileaa Rîcu, Adria Sta, Costati Telteu, Iuliaa Traşcă GHID DE PREGATIRE ONLINE BACALAUREAT, MATEMATICĂ M Profil: Real, Militar Specializare: Matematică Iformatică Subiectele di această lucrare sut realizate după modelul elaborat de MECI Ploieşti,

2 ISBN Toate drepturile prezetei ediţii aparţi site -ului Nicio parte a acestei ediţii u poate fi reprodusă fară acordul scris al (prof Adrei Octavia Dobre) Culegerea este oferita gratuit doar pe site-ul şi u poate fi publicată pe u alt site fara acordul scris al (prof Adrei Octavia Dobre) Site: office@mateiforo sau dobreadrei@yahoocom Nume autori Adrei Octavia Dobre (coordoator) Silvia Brabeceau Nicolae Breazu Delia Valetia Bulgăr Georgiaa Caache Viorica Ciocăaru Ioa Lug Viorica Lugaa Bladia Maiţiu Ştefa Flori Marcu Coreliu Măescu-Avram Ovidiu-Marius Mâdrica Adria Muscalu Gabriel Necula Nicolae Nicolaescu Gabriela Nistor Csaba Oláh Eache Paul Ileaa Ricu Adria Sta Costati Telteu Iuliaa Traşcă Şcoala de proveieţă Grupul Şcolar de Trasporturi Ploieşti Colegiul Tehic '' Gheorghe Lazăr " Plopei Colegiul Spiru Haret, Ploieşti Liceul Teoretic "Traia Vuia" Făget, jud Timiş Grupul Şcolar Toma Socolescu Ploieşti Grupul Şcolar Idustrial Eergetic, Craiova Colegiul Na ioal Aray Jaos Salota Colegiul Na ioal Aleadru Dimitrie Ghica, Aleadria, jud Teleorma Colegiul Tehic"Aleadru Domşa"Alba Iulia Grup Şcolar de Trasporturi Auto -Calaraşi Grupul Şcolar de Trasporturi Ploieşti Grupul Şcolar C Catacuzio, Băicoi Colegiul Agricol Nicolae Corăţeau Tulcea Colegiul Tehic '' Gheorghe Lazăr " Plopei Colegiul Tehic "Alee Mari" Slatia Olt Grupul Şcolar Admiistrativ şi de Servicii Victor Slăvescu Ploiesti Grup Şcolar "Liviu Rebreau, Băla, JudHarghita Colegiul Naţioal Aastasescu, Rosiori de Vede, jud Teleorma Grup Şcolar Agricol "Roşiorii de Vede" Teleorma Grup Şcolar Costi Neiţescu Buzău Colegiul Naţioal de Arte Regia Maria, Costaţa Şcoala cu cls I-VIII Gh Popescu Mărgiei-Slobozia Fiecare autor răspude de corectitudiea şi origialitatea variatelor propuse

3 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Silvia Brabeceau Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Calculaţi 64 log 64 Se cosideră fucţia f :, f Să se calculeze f f f Să se rezolve î ecuaţia 6 4 Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea A 8,9,, 4 acesta să fie divizibil cu 4 5 Se cosideră vectorii u i 5 j şi v 4i j Determiaţi coordoatele vectorului w u v 6 Îtr-u triughi ABC se cuosc AB, BC 8, AC 6 Să se calculeze cos B SUBIECTUL al II-lea ( de pucte), A A Fie matricea A a) Să se calculeze b) Notăm matricea A A B c) Să se calculeze suma Ak Să se determie B, k Pe mulţimea umerelor reale se defieşte legea de compoziţie y 4y y,, y a) Să se arate că y y,, y b) Să se verifice dacă este o lege de compoziţie asociativă pe c) Să se demostreze că,,, ori

4 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se cosideră fucţia f : D, f, a, b a b a) Să se determie a şi b, umere reale, astfel îcât dreapta y să fie 4 asimptotă la graficul fucţiei b) Petru a şi b găsiţi la a) să se stabilească domeiul maim de defiiţie al fucţiei şi apoi să se studieze mootoia fucţiei c) Să se calculeze lim f Se cosideră fucţia f :,, f a) Să se calculeze f d b) Să se determie c) Să se arate că f f a a astfel îcât f d 4 5 d l 4 a EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Silvia Brabeceau Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Să se afle partea reală a umărului comple z i 5 4 Să se determie m, astfel îcât suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei m m să fie 5 Ştiid că doi termei ai uei progresii geometrice sut a şi a4 9, să se calculeze S 8 4 Să se rezolve ecuaţia log 4

5 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică), 4 5 Să se arate că triughiul cu vârfurile A, B, şi C, isoscel 6 Să se determie m astfel îcât puctele A,, B4,, C m,m coliiare SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Se cosideră determiatul D 4 4, 4 a) Să se calculeze valoarea determiatului petru D 7 b) Să se demostreze că c) Să se rezolve î ecuaţia D Se cosideră poliomul f ax 4 bx cx a X X este triughi să fie, cu a, b, c a) Ştiid că poliomul f se divide cu X, să se calculeze suma S a b c b) Petru a, b 5, c să se descompuă î produs de factori ireductibili peste poliomul f c) Petru a, b 5, c să se calculeze rădăciile poliomului f SUBIECTUL al III-lea ( de pucte), ude,,, 4 sut 4 f g, Se cosideră fucţiile f, g :,, f arctg, g a) Să se arate că f :,, f arctg î b) Să se găsească puctele de etrem local ale fucţiei g :,, g c) Să se scrie ecuaţia tagetei la graficul fucţiei puctul de tageţă A, 6 Se cosideră fucţia şi f :,, f, I f d a) Să se calculeze I b) Să se calculeze volumul corpului obţiut pri rotaţia subgraficului fucţiei f jurul aei O petru c) Să se determie o relaţie de recureţă petru I d î

6 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Silvia Brabeceau Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Calculaţi C C 7 f :, f m m 7 Să se determie m astfel Fie fucţia îcât puctul Am 4, m să fie situat pe graficul fucţiei Să se determie soluţiile reale ale ecuaţiei Să se rezolve ecuaţia u m 5 i m j şi 5 Să se determie m astfel îcât vectorii v m i m j să aibă acelaşi modul 6 Î reperul cartezia Oy se cosideră puctele A,, B 5,4 şi C, Să se scrie ecuaţia perpedicularei di B pe AC SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) 5 y z S : y z,, y, z y z a) Să se afle determiatul şi ragul matricei asociată sistemului b) Să se rezolve sistemul y, z a sistemului petru care y z 9 Fie dat sistemul c) Să se găsească o soluţie, Pe mulţimea umerelor reale se defiesc legile de compoziţie şi astfel y y şi y y 4 4y 6,, y a) Se dau mulţimile A H şi B H calculeze A \ B y z z y z y z b) Să se demostreze că,,, Să se c) Fie a şi b Să se determie petru care media aritmetică a umerelor a şi b este egativă 4

7 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) 4 f f Se cosideră fucţia : \, a) Să se calculeze lim f f b) Să se determie itervalele de coveitate şi cocavitate ale fucţiei f c) Să se calculeze asimptotele la graficul fucţiei f Se cosideră fucţiile f :,, f şi g :,, g f a) Să se determie o primitivă G a fucţiei g petru care G g t dt b) Să se calculeze lim c) Să se calculeze aria cuprisă ître graficul fucţiei f, aa O şi dreptele de ecuaţii şi EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 4 Prof Silvia Brabeceau Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Calculaţi i i i i Să se determie valorile reale ale lui petru care log şi Determiaţi mulţimea A / 4 Să se determie termeul ce coţie pe di dezvoltarea, log 4 4 y y y 5 Fie r i 5 j, r 4 i j, r i 7 j vectorii de poziţie ai vârfurilor A B C triughiului ABC Să se determie vectorul de poziţie al cetrului de greutate a triughiului ABC 5

8 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) A,4, B 7,4, C,, D, sut vârfurile uui trapez isoscel 6 Puctele Să se calculeze aria trapezului ABCD SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) y z Se cosideră sistemul S : y az,, y, z, a y z Notăm cu A matricea sistemului a) Să se determie ragul matricei A î fucţie de a b) Să se rezolve sistemul petru a y, z a sistemului cu proprietatea y z c) Să se găsească o soluţie, Pe mulţimea umerelor reale se defieşte legea de compoziţie y y 5 5y,, y a) Să se arate că y 55 y 5,, y b) Să se demostreze că mulţimea,5 este parte stabilă a lui î raport cu legea de compoziţie c) Se dă epresia E E, SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) 8 7 6, Să se demostreze că Se cosideră fucţia f :,, f l l a) Să se calculeze derivatele de ordiul îtâi şi doi ale fucţiei f b) Fie fucţia g :,, g l Se otează cu g ordiul şi cu, derivata de rădăcia derivatei de ordiul Să se calculeze, c) Să se calculeze lim Se cosideră itegralele I d, 9 a) Să se calculeze I I b) Să se demostreze că petru este adevărată relaţia 9I I c) Să se arate că, I 6

9 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 5 Prof Nicolae Breazu Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Fie ( b ) o progresie geometrică Ştiid că b b7, să se calculeze b5 b5 Rezolvaţi ecuaţia 6 9 Dacă f : ;, f, demostraţi că f f, ; 4 O carte ilustrată are pagii Ditre acestea, 8 pagii au tet, iar au desee Câte pagii au şi tet şi dese? 5 Să se scrie ecuaţia îălţimii dusă di B î triughiul ABC, dacă A(;-); B(;9) şi C(;-) π ctg 6 Demostraţi că si, k ctg SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Se dă matricea A 4 a) Calculaţi deta şi eplicaţi de ce matricea A este iversabilă; A A I, ; b) Demostraţi că c) Calculaţi A A Î grupul S 6; se cosideră permutările σ şi π a) Determiaţi paritatea sau imparitatea permutărilor σ şi ε ; S ;, stabiliţi care ditre ordiele acestor două permutări este mai b) Î grupul 6 mare; c) Rezolvaţi ecuaţia σ π 7

10 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se cosideră fucţia f : \ ; ;, f a) Să se determie A, B, C astfel îcât f A B C ; a, a f f f este coverget şi să se b) Demostraţi că şirul găsească lim a ; c) Să se arate că graficul fucţiei este simetric faţă de u puct al plaului şi să se determie coordoatele acestui puct Se dă fucţia f : ;, f a) Să se eplice de ce f u admite primitive dar este fucţie itegrabilă pe ; ; d ; b) Să se calculeze F : ;, F f t dt 4 c) Arătaţi că fucţia itervalul ; 4 EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 6 Prof Nicolae Breazu Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) este fucţie strict crescătoare pe Să se calculeze partea îtreagă a umărului real a; 4, petru lg lg Rezolvaţi ecuaţia ; Arătaţi că fucţia f : ;, f l este fucţie pară;, ude a este 8

11 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) k k k k 4 Să se demostreze că C C C C ; 5 Î patrulaterul cove ABCD, M este mijlocul laturii AB, N mijlocul laturii CD iar P, Q, R mijloace ale segmetelor AD, MN, respectiv BC Arătaţi că P, Q, R sut pucte coliiare π 6 Rezolvaţi ecuaţia si cos cos ; SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) petru Se cosideră matricele A p şi B p q a) Să se afle p astfel îcât deta să fie miim; b) Să se afle p şi q astfel îcât raga= ragb; c) Determiaţi p astfel îcât matricea A să fie iversabilă şi calculaţi A 5 Fie polioamele f 4 a b c, cu a, b,c şi a) Determiaţi a,b,c astfel îcât f să se dividă cu poliomul g; f ; b) Petru a=4, b= -6, c=4, să se rezolve ecuaţia 5 5 c) Calculaţi S i i i i determiate la puctul b) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) ştiid că 4 5 Fie fucţia f : ;, f l a) Demostraţi că f este strict crescătoare pe itervalul ; ; g,,,, sut rădăciile b) Stabiliţi itervalele de coveitate, de cocavitate şi puctele de ifleiue ale fucţiei f; c) Arătaţi că f este bijectivă şi calculaţi derivata fucţiei f î y 4 Fie fucţia a) Să se calculeze f f :[; ], ( ) cos π şi şirul π kπ a, a cos f si d ; b) Să se determie volumul corpului obţiut pri rotirea graficului fucţiei f î jurul aei O; c) Demostraţi că şirul a este coverget şi găsiţi lim a k 9

12 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 7 Prof Nicolae Breazu Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Să se ordoeze crescător umerele e,,,log, ude e este baza logaritmului atural; 6 Rezolvaţi î mulţimea ecuaţia 7 8 ;, petru ; f :, f ;, petru ; Să se determie iversa fucţiei 4 Calculaţi 9 C C ; b c 5 Arătaţi că î orice triughi ABC are loc relaţia b cos C ccos B ; a arcsi si? Justificaţi 6 Câte soluţii are ecuaţia SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) y z Se dă sistemul y mz y z a) Calculaţi determiatul sistemului; b) Determiaţi m astfel îcât sistemul să admită soluţie uică; c) Arătaţi că petru m=9 epresia y z E 5y z este costată a b b G X a, b b a b a, b, det X a, b b a a M î raport cu îmulţirea matricelor; Se dă mulţimea a) Arătaţi că G este parte stabilă a lui b) Eplicaţi de ce I c) Arătaţi că G; G dar O G ; este grup

13 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se cosideră fucţia f :, f a) Să se studieze derivabilitatea fucţiei f î ; b) Determiaţi puctele de etrem şi itervalele de mootoie ale fucţiei f; f m, ude m c) Să se rezolve ecuaţia Fie fucţia f :, f a) Calculaţi şi a 4 5 f d ; b) Să se determie valorile lui a, astfel îcât aria subgraficului fucţiei f pe itervalul a ;a să fie maimă; s a c) Să se calculeze lim, ude s(a) reprezită aria suprafeţei cuprise ître graficul a l a fucţiei şi aa O, pe itervalul [a ;a] EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 8 Prof Nicolae Breazu Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Să se arate că umărul este îtreg; Rezolvaţi ecuaţia Să se arate că fucţia î mulţimea umerelor îtregi; f :, f u este ici ijectivă, ici surjectivă; 4 Îtr-o ură sut bile albe şi bile egre Se etrag simulta 5 bile Care este probabilitatea de a etrage bile albe şi bile egre? π 5 Să se calculeze si ; 6 Două îălţimi ale uui triughi sut egale cu 6 şi cu Arătaţi că a treia îălţime este mai mică decât 5

14 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Se cosideră şirul de determiaţi: defiit astfel: ; ; ;;, ude \ a) Calculaţi şi ; b) Demostraţi că dacă \ că, fiat, şirul coloae este o progresie geometrică Găsiţi raţia acestei progresii; c) Dacă p, umăr prim, iar astfel îcât - şi p sut prime ître ele, arătaţi î şirul,,,, eistă cel puţi u terme divizibil cu p Poliomul f a a a a X are pritre rădăcii şi umerele k π kπ complee zk cos isi, k,,,, 4 Poliomul g X are 5 5 rădăciile wk zk, k,,,,4 a) Calculaţi a a a ; b) Determiaţi poliomul g; c) Care este gradul miim pe care îl poate avea f, astfel îcât f şi g să aibă divizori comui de grad cel puţi? SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se dau şirul a e e e, şi fucţia f :,f l e a) Să se arate că şirul a este mooto; b) Să se aplice teorema lui Lagrage fucţiei f pe u iterval de forma k,k k ; c) Să se arate că şirul a este coverget şi să se arate că lim a ;l Fie f : ;, f t l t şi F : ;, F f t dt a) Arătaţi că F petru orice ; b) Să se demostreze că derivata fucţiei F este strict crescătoare pe ; ; c) Calculaţi lim l t dt si, ude

15 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 9 Prof Delia Valetia Bulgăr Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Să se ordoeze crescător umerele:!,, log 4 Să se arate că 4 9, a, b a b a b Să se rezolve î ecuaţia: lg( 6 5) lg( ) lg 4 Câte submulţimi ale mulţimii A={,,,4,5,6,7,8} au suma elemetelor egală cu 8? 5 Se cosideră puctele A(m+,), B(m,+), C(+,m) Să se determie m şi ştiid că cetrul de greutate al triughiului ABC este origiea sistemului de coordoate XOY 6Ştiid că (, ) şisi, să se calculeze ctg SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) 5a a Fie matricea X ( a) M ( ), a a 4a a) Să se arate că X ( a) X ( b) X ( ab a b), a, b b) Să se determie valoarea a petru care X(a) u este iversabilă c) Să se calculeze ( X ( a)), Se cosideră poliomul f ( X X ) ( X ) [ X ] a) Să se calculeze f() şi f(-) b) Să se determie restul împărţirii poliomului f la poliomul g X X c) Să se arate că poliomul SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) h X X divide poliomul f Se cosideră fucţia f :, f ( ) a) Să se arate că fucţia f este strict crescătoare pe b) Să se determie asimptotele graficului fucţiei f c) Să se arate că fucţia f este mărgiită

16 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) Se cosideră fucţiile f :, f ( ), şi e I f ( ) d a) Să se calculeze I b) Să se verifice relaţiile f ( ) f ( ), şi I I, 4 c) Să se calculeze lim S, ude S I I I I, EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Delia Valetia Bulgăr Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Să se calculeze modulul umărului comple z ( i 6 ) Se cosideră progresia aritmetică ( a) cu a Ştiid că suma primilor termei ai progresiei este 4, să se afle raţia progresie aritmetice Să se determie, 4 astfel îcât C 4 Să se rezolve î itervalul (, ) ecuaţia si 5 Triughiul ABC are vârfurile A(,), B(4,) şi cetrul de greutate G(,-) Să se determie coordoatele puctului C 6 Să se arate că tg5 tg5 tg55 tg75 SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie î M ( ) matricele: A şi B Se cosideră matricea M A B, \{} a) Să se calculeze A şi B b) Să se arate că M M M,, y \{} y y c) Să se calculeze ( M ), 4

17 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) Fie a, b, c şi H { z z az bz c } a) Dacă a=b=c+= să se determie mulţimea H b) Dacă a=b=c+= să se arate că (H, ) este grup c) Petru a=b=c+= să se arate că ( H, ) (, ), ude (, ) este grupul aditiv al claselor de resturi modulo SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se cosideră fucţiile g ( ) ( ),, f g f, :[, ), ( ) a) Să se verifice că f '( ) g( ), b) Să se arate că g( ), c) Să se arate că ( ),,, Se cosideră şirurile ( I) şi ( J) defiite astfel: I l d şi e J (l ) d a) Să se calculeze I b) Să se stabilească o relaţie ître I şi I J lim c) Să se calculeze e J EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Delia Valetia Bulgăr Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Se cosideră a log7 5 log7 9 log7 45 Să se arate că a Să se determie m \{} petru care fucţia f :, f ( ) ( m ) m m admite u maim egal cu - Să se determie termeul di mijloc al dezvoltării ( ),, 4 Care este umărul de diagoale ale uui poligo cove cu laturi? e şi 5

18 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) 5 Fie A,B două pucte disticte, iar puctul M mijlocul segmetului [AB] Să se arate că petru orice puct O eistă egalitatea OA OB OM 6 Să se calculeze lugimea razei cercului îscris îtr-u triughi care are lugimile laturilor de 5, 7 şi 8 SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) y z Se cosideră sistemul 5 y z şi matricea O Se otează cu A y 5z matricea sistemului a) Să se calculeze determiatul şi ragul matricei A b) Să se rezolve sistemul c) Să se găsească o matrice B M ( ), B O astfel îcât A B O Se cosideră mulţimea de umere reale M { a b a, b, a b } a) Să se arate că M este parte stabilă î raport cu îmulţirea umerelor reale b) Să se arate că dacă z M atuci z şi M z c) Să se găsească u elemet z M SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) astfel îcât z Se cosideră fucţia f :, f ( ) a) Să se rezolve iecuaţia f()< b) Să se determie puctele de etrem local ale fucţiei f c) Să se calculeze Se cosideră I lim ( f ( )) si d, a) Să se arate că I I, 5 ( ) b) Să se arate că I 46 ( ) I c) Să se calculeze lim I şi I 46 ( ) 5 ( ) 6

19 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Delia Valetia Bulgăr Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Să se calculeze partea îtreagă a umărului Fie f :, f ( ) 4 f ( ), Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia Care este probabilitatea ca alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, produsul cifrelor sale să fie impar? 5 Să se determie a petru care vectorii u ( a ) i a j şi v 4i 5 j sut perpediculari 6 Să se calculeze perimetrul triughiului ABC, ştiid că AB=, AC=4 şi m( BAC) 6 SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie, S5,, a) Să se demostreze că * b) Să se determie mulţimea H { } c) Să se arate că mulţimea Se cosideră corpul ( 5,, ) şi poliomul H ( S, ) * { } este u subgrup al grupului 5 ˆ [ ], cu a 5 f X ax 5 X a) Petru a ˆ să se determie rădăciile poliomului f b) Să se determie a 5 petru care poliomul f admite două rădăcii diferite î 5 c) Notâd cu,, 5 rădăciile poliomului f, să se calculeze S SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se cosideră fucţia f : D, f ( ), a, b a b a) Petru a=b=, să se scrie ecuaţia tagetei la graficul fucţiei f î puctul de abscisă = 7

20 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) valoare lim b) Să se determie a astfel îcât a b ( f ( ) ) c) Petru a=, să se determie b astfel îcât fucţia f să admită u etrem de e Se cosideră şirul ( I) defiit pri l I d şi suma S I I I, a) Să se calculeze I b) Să se arate că ( I) este o progresie aritmetică, precizâd raţia c) Să se calculeze lim 4S e EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Caache Georgiaa Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Să se determie umărul atural di egalitatea =45 Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale ecuaţia : 7 4 Aflaţi valoarea miimă a fucţiei f : -> f()= Să se determie umărul fucţiilor f:{a,b,c,d} {,,,4} cu proprietatea că f(a)=f(b) 5 Se cosideră triughiul ABC cu vârfurile A(, -), B(,) şi C(-4, -) Să se calculeze cos A tg 4ctg 6Calculaţi E=, dacă cos =, (, ) ctg tg 8

21 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Se cosideră matricea A a) Calculaţi A -A t b) Calculaţi iversa matricei A c) Determiaţi A Se cosideră,,,, y y 4 4y iel comutativ,ude y y 4 si y a) Calculaţi (e e )+( e e ),ude e este elemetal eutru al primei legi,iar e este elemetul eutru al celei de a doua legi,, si (, +, ) să eiste u b) Să se determie a,b astfel îcât ielele izomorfism de forma f : ->, f()=a+b c) Să se rezolve î ecuaţia + 4 SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) deori 4 Fie fucţia f : (-4,4)-> f()= l 4 a) Găsiţi asimptotele fucţiei f b) Să se determie puctele de etrem ale graficului fucţiei f c) Calculaţi lim f ( ) Se cosideră fucţia f : -> f()= f ( ) a) Calculaţi d b) Calculaţi d 6 c) Calculaţi 6 4 d 9

22 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 4 Prof Caache Georgiaa Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Ordoaţi descrescător umerele 5,, 4 6 Se dă ecuaţia -(m+)+m - m=, m Calculaţi epresia E(m)= + - -, ude si sut rădaciile ecuaţiei Să se determie iversa fucţiei f : (, )-> (, ) f()= 4 Câte umere de cifre se pot forma cu elemete ale mulţimii {,,,4,6}? 5 Aflaţi m astfel îcât distaţa ditre puctele A(m+,5) şi B(, m-) să fie de 5 6 Calculaţi lugimea razei cercului circumscris triughiului ABC ştiid că m( B )= şi 4 AC=8 SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) a b Fie mulţimea G= { M ( a, b) a a a, b } a) Calulaţi M(,) M(,) b) Să se arate că I G c) Calculaţi iversa matricei M(a,b) Se cosideră a 4 şi poliomul f= + ++a 4 [] a) Calculaţi f( )+ f( )+ f( )+ f( ),petru a= b) Petru a=, să se determie rădăciile di 4 ale poliomului f c) Aflaţi a 4 petru care poliomul este ireductibil î 4 [] SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Fie fuctia f : -> f()= 4 -+arctg a) Studiaţi mootoía fucţiei f pe b) Verificaţi dacă f este fucţie bijetivă f ( ) c) Calculaţi lim

23 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) Se dă fucţia f : [-,] -> a) Calculaţi 4 d f ( ) 4 b) Aflaţi volumul corpului obţiut pri rotirea graficului fucţiei f î jurul aei o c) Calculaţi lim f ( ) d EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 5 Prof Caache Georgiaa Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Arătaţi că umărul ( i ) ( i ) este umăr îtreg y 6 Să se rezolve î sistemul de ecuaţii y 8 Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale = 4 Aflaţi m astfel îcât vectorii u ( m ) i j şi v ( m 5) i j să fie coliiari 5 Aflaţi umărul termeilor raţioali ai dezvoltării 5 6 Se cosideră puctele A(5,-) şi B(,) Să se scrie ecuaţia mediatoarei segmetului AB SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie dreptele d : -y=5, d : +4y=- şi d : +y=m, ude m a) Aflaţi m astfel îcât dreptele sa fie cocurete b) Aflaţi m astfel îcât coordoatele triughiului format de cele drepte au toate coordoatele îtregi c) Să se calculeze valorile lui m petru care triughiul determiat de cele drepte petru m=- Se cosideră ecuaţia m ale acesteia a) Petru m= si = aflaţi,, b) Aflaţi m şi ştiid că = +i 5 m, şi,, soluţiile complee

24 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) c) Calculaţi + +, ude m, SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se dă fucţia f: / {,} f ( ) ( ) a) Determiaţi asimptotele graficului fucţiei f b) Stabiliţi itervalele de mootoie ale fucţiei f c) Calculaţi lim( f () f () f ( )) Se cosideră fucţiile f : (-, ) f ( ) şi F: (-, ( )( ) F()=a l(+)+b l( +)+c arctg, a, b, c a) Aflaţi a,b,c astfel îcât F o primitivă a lui f b) Calculaţi f ( ) d c) Stabiliţi mootoia fucţiei F,î cazul î care F este o primitivă a lui f EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 6 Prof Caache Georgiaa Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete )-> SUBIECTUL I ( de pucte) Arătaţi că umărul este umăr atural i i Să se determie m astfel îcât fucţia f: f()=(m -5)+7 să fie fucţie strict crescătoare Să se determie valorile lui petru care 4 4 Care este valoarea sumei ( )? C C

25 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) 5 Aflaţi coordoatele simetriului puctului A(-,) faţă de mijlocul segmetului [BC], ude B(,-5) şi C(-,-) 6 Aflaţi m astfel îcât puctele A(,-), B(,5) şi C(m,m-) să fie coliiare SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie m şi A m m a) Calculaţi determiatul matricei A b) Să se afle m astfel îcât matrice A sa fie iversabilă c) Aflaţi m astfel îcât A - = - A * Se cosideră mulţimea G ( a 5b ), G { a, b, 5 } b a a b a) Arătaţi că G este parte stabilă a lui ( ) î raport cu îmulţirea matricelor b) Aflaţi u elemet A G astfel îcât b c) Să se arate că mulţimea G coţie o ifiitate de elemete SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) 5 7 Se cosideră fucţia f : \{ }, f ( ) a) Determiaţi asimptotele fucţiei f b) Să se determie limita şirului ( a), a =f()f() f() c) Să se determie putele de ifleiue ale graficului fucţiei g:, g()=f(e ) Fie fucţiile g,g : (- ) ude g()= 4 5 şi G()= ( a b c) 4 5 şi a,b,c a) Aflaţi a,b şi c astfel îcât G să fie o primitivă a lui g b) Studiaţi coveitatea/ cocavitatea fucţiei G pertu a,b şi c aflate la puctul a c) Calculaţi G( ) g( ) d

26 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 7 Prof Viorica Ciocǎaru Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Calculaţi modulul umărului comple z = (+ i)(- i ) Rezolvaţi ecuaţia = Eprimaţi î fucţie de a = log 7, log Determiaţi b î progresia geometricǎ î care b = şi b 5 = C 4 5 Scrieţi ecuaţia mediaei dusǎ pri vârful A(, 5) al triughiului ABC ude B(-, ) şi C(5, - 4) cos cos 7 6 Calculaţi petru cos cos5 SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie matricea A = ude,, sut rǎdǎciile ecuaţiei + a + b =, a,b R Se oteazǎ cu S k = k + k + k, k N * şi D = det A a) Calculaţi S, S, S 4 î fucţie de a şi b b) Arǎtaţi cǎ S k+ + a S k+ + b S k =, k N c) Arǎtaţi cǎ rǎdǎciile,, sut reale dacǎ şi umai dacǎ D Fie G = (-, ) şi legea de compoziţie defiitǎ pe G, y = a) Arǎtaţi cǎ legea este comutativǎ şi asociativǎ b) Determiaţi elemetal eutru, e c) Determiaţi mulţimea elemetelor simetrizabile SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) y,, y G y Fie fucţia f: R R, f() = şi fucţia g: R\ {} R, g() = a) Calculaţi f () şi determiaţi asimptotele G f b) Calculaţi g () () c) Arǎtaţi cǎ (f g) () ()( + ) + (f g) (-) () + ( -) (f g) (-) () = 4

27 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) Se cosiderǎ şirul (I ) defiit pri I = d, N a) Determiaţi I şi I şi stabiliţi o legǎturǎ ître I şi I b) Calculaţi I + I -, N * c) Studiaţi mootoia şi mǎrgiirea şirul (I ) şi calculaţi lim I EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 8 Prof Viorica Ciocǎaru Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) relaţia _ Calculaţi z şi z petru z = ( + i) 4 Calculaţi probabilitatea ca u elemet di mulţimea {A, C 4, P 5, C, A 5 4 } sǎ verifice < + 5 Rezolvaţi iecuaţia log,5 (log 7 ) > 4 4 Determiaţi suma vectorilor u = i - j şi v = 4 i + 5 j şi produsul lor scalar 5 Triughiul ABC are vârfurile A(-, 6), B(-5, ), C(, - 4) Scrieţi ecuaţia îǎlţimii di A şi aria triughiului si B si C 6 Arǎtaţi cǎ dacǎ îtr-u triughi ABC are loc relaţia si A =, atuci cos B cosc triughiul este dreptughic SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie matricea A = şi B = p A + I 4, ude p R a) Verificaţi cǎ B B = I 4 b) Arǎtaţi cǎ B este iversabilǎ p R şi calculaţi iversa ei c) Arǎtaţi cǎ B = I 4 + p A, N * şi p R Pe Z se defieşte legea de compoziţie astfel: y = + ay a,, y Z 5

28 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) a) Determiaţi a Z astfel îcât legea să fie asociativă b) Determiaţi a şi e Z astfel îcât e = e =, Z şi calculaţi a a c) Arǎtaţi cǎ (Z, ) este grup abelia SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Fie fucţia f: R R, f() = arc tg a) Calculaţi f (), f () b) Studiaţi mootoia fucţiei şi curbura ei c) Determiaţi asimptota la graficul fucţiei cǎtre + Se cosideră fucţia f: [, ] R, f() = I = f ( ) d, N a) Determiaţi I şi I b) Calculaţi I I I, N c) Determiaţi o primitivă a fucţiei f care trece pri M(, şi se defieşte şirul (I ) pri 5 6 l ) 4 EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 9 Prof Viorica Ciocǎaru Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Determiaţi N astfel îcât sǎ aibǎ loc relaţia A 4 > C 4 Ordoaţi descrescǎtor umerele log 6 6, 6,, 4 48 Calculaţi probabilitatea ca alegâd u elemet di mulţimea {,,,,, 6 4 5, }, cos Q? 6 4 Sǎ se gǎseascǎ termeii dezvoltǎrii ( + 4 )8 astfel îcât puterea lui > sǎ fie umǎr atural 5 Rezolvaţi ecuaţia z 5 = ude z C cu ajutorul formei trigoometrice a uui umǎr comple 6

29 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) 6 Aflaţi perimetrul şi aria triughiului ABC cu vârfurile A(-, -6), B(-, ), C(, 6) SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie sistemul t + t y + t z = m ude t, t, t sut rǎdǎciile complee ale ecuaţiei t + t y + t z = t + t y + t z = p t + m t + t + p = a) Aflaţi m,, p dacǎ t =, t = -, t = b) Rezolvaţi sistemul dacǎ m = = p = c) Petru m, ecuaţia t + m t + t + p = admite rǎdǎciǎ triplǎ eulǎ dacǎ şi umai dacǎ sistemul este icompatibil Fie ielele comutative (Z,, ) şi (Z,, ), ude y = + y 4, y = + y 7, y = y - 4( + y) +, y = y - 7( + y) + 56,, y Z a) Aflaţi elemetele eutre ale celor douǎ iele b) Determiaţi elemetele simetrizabile ale celor douǎ iele c) Arǎtaţi cǎ fucţia f: Z Z, f() = + stabileşte u izomorfism ître ielele (Z,, ) şi (Z,, ) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Fie fucţia f: R\ { } R, f() = 6 5 a) Determiaţi rǎdǎciile ecuaţiei f() = b) Determiaţi ecuaţiile asimptotelor la G f c) Calculaţi lim f ( ) Se cosideră fucţia f: R\ {-5, } R, f() = a) Să se calculeze f ( ) d,, N ( 5) b) Dacă se otează itegrala de la a) cu I, să se determie lim I c) Fără a calcula efectiv itegrala, să se arate că ( ) f ( ) d 7 4 7

30 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Ciocǎaru Viorica Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) i Determiaţi modulul şi cojugatul umǎrului comple i Gǎsiţi coeficietul lui 4 î dezvoltarea (- + ) 5 Determiaţi suma vectorilor v, v, v şi cosiusul ughiului format de v şi v v = i + j, N 4 Aflaţi partea îtreagǎ a umǎrului log 6 5 Calculaţi bc cos A/ + ac cos B/ + ab cos C/ 6 Determiaţi raportul S a / S g ude S a este suma primilor termei ai uei progresii aritmetice şi S g este suma primilor 8 termei ai uei progresii geometrice, ambele progresii avâd primul terme 5 şi raţia, SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie matricea M = a) Calculaţi M, M, Tr M b) Arǎtaţi cǎ M se scrie sub forma M = c) Calculaţi M, M, M (complemeţii algebrici) şi M ^ ^ ^ y, N, calculaţi, y Se cosiderǎ sistemul y z, 6 4 y z 6, y 4 z a) Calculaţi determiatul matricei sistemului î ielul Z şi î ielul Z 7 b) Determiaţi elemetele iversabile î ielul Z î raport cu îmulţirea şi calculaţi probabilitatea ca alegâd u elemet di Z, acesta sǎ fie iversabil c) Rezolvaţi sistemul î ielul Z ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ştiid cǎ 8

31 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) p Se cosiderǎ fucţiile f, g: R R, f() = p k cos k şi g() = k si k, N\ {, k k k }, ude p k R, k {,,, } a) Calculaţi g (), g (), f() şi g() b) Arǎtaţi cǎ dacǎ f(), R, atuci g() este ulǎ R g( ) c) Calculaţi g (k ), k Z şi lim Se cosiderǎ fucţiile f: (, ) R, f() =, g: R R, g() = e ( e ) şi ( l ) h: (, ) R, h() = ( l ) Determiaţi: a) primitiva F a fucţiei f cu proprietatea F(e e- ) = b) t R astfel îcât g( ) d = c) t > astfel îcât h( ) d = e t t EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Adrei Octavia Dobre Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Soluţia ecuaţiei (+)+(+4)+(+7)++(+8)=55! ( )! Să se simplifice epresia ( )( ) ( )( ) Rezolvaţi ecuaţia Dacă fucţia f :, f ( ), are iversa g :, să se calculeze g() 5 Fie puctele A(,), B(4,6), C(8,) Daca puctul A este simetricul lui A faţă de BC, aflaţi lugimea segmetului AA 6 Î triughiul ABC avem BC=4, AC= si AB = 6 Dacă M este mijlocul segmetului [BC] aflaţi m( BAM ) 9

32 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) y z a by cz d a b y c z d a) Aflaţi deta b) Daca a=b si a c aflati ragul matricei A c) Daca a=b=d si a c rezolvaţi sistemul Pe multimea G = (,) se defieste legea de compozitie asociativă y * y y ( y ) a) Aratati ca (G,*) este mooid b) Calculati * ** c) Calculati * ** deori SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Fie fucţia f :, ude a) Aflaţi f ( ) petru 6 f ( ) lim, 4 b) Studiaţi cotiuitatea fucţiei i si c) Studiaţi coveitatea şi cocavitatea fucţiei ( ) Fie I d, a) Calculaţi I b) Arătaţi că I I S C C C C ( ) C c) Calculaţi suma 5 7 *

33 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Adrei Octavia Dobre Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Fie dezvoltarea ( ) Dacă difereţa ditre coeficietul termeului al treilea al 4 dezvoltarii şi coeficietul termeului al doilea al dezvoltarii este 44 atuci aflaţi termeul di această dezvoltare care u îl coţie pe Aflaţi z astfel îcât z z z i Rezolvati ecuatia [ ] 4 Fie ecuaţia m 7 4m Să se arate că petru soluţiile ecuaţiei verifică egalitatea ( ) ( ) m 5 Fie AB si CD doua coarde perpediculare ale uui cerc cu cetrul O Dacă AB CD { P}, să se arate că: PA PB PC PD PO 6 Dacă î triughiul ABC ştim b=, c=6 şi lugimea bisectoarei di A este de 4 cm, aflaţi A cos SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) b ay c c az b cy bz a a) Arataţi că determiatul matricei asociate este u umăr divizibil cu b) Aflaţi ragul matricei asociate sistemului c) Arataţi că sistemul are solutie uică dacă şi umai dacă abc Î acest caz rezolvaţi sistemul a b Fie Ak { / a, b Z, k, fiat} kb a a) Arataţi că ( Ak,, ) este iel b) Afaţi k astfel îcât ielul Ak să aibă divizori ai lui

34 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) A A c) Demostraţi că k p dacă şi umai dacă k=p SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se cosideră fucţia f :, f ( ) a) Arataţi că f ' este strict descrescatoare pe [; ) b) Să se calculeze lim ( f '( ) f '( ) f '( )) k k c) Utilizâd teorema lui Lagrage să se arate ca petru orice [, ] avem k k k k k ( ) f '( ) f ( ) f ( ) ( ) f '( ), si k {,,, } Se cosideră şirul ( I) defiit pri I e d şi a) Să se calculeze I * b) Arataţi că I I, e! c) Arataţi că I ( e ( )), e!!! * I e d, EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata Prof Ioa Lug Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) i Determiaţi partea reală a umărului comple z f :, B, f ( ) Determiaţi mulţimea B astfel îcât Fie fucţia fucţia f să fie surjectivă log5 Calculaţi 5 log ( 7) log ( 7) 4 Rezolvaţi ecuaţia C C

35 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) 5 Fie puctele A(,), B(,5) şi C (4,9) Determiaţi puctual D astfel îcât ABCD să fie u parallelogram 6 Dacă tg, calculaţi cos SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie matricea A a) Calculaţi A b) Determiaţi umerele reale p,q astfel îcât c) Determiaţi matricea B A A A N *, A pa qa Se cosideră poliomul f X X X X X ( ) i a) Arătaţi că i este rădăciă a lui f b) Arătaţi că X X divide poliomul f c) Determiaţi restul împărţirii poliomului f la ( ) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se dă fucţia f : R R, f ( ) arctg a) Studiaţi mootoia fucţiei f b) Determiaţi puctele de ifleiue ale fucţiei f c) Determiaţi asimptotele fucţiei f Se dă fucţia t f : R R, f ( ) ( t ) e dt a) Calculaţi f() b) Determiaţi puctele de etrem ale fucţiei f f ( ) c) Calculaţi lim X

36 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 4 Prof Ioa Lug Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) i Determiaţi partea imagiară a umărului comple z i Determiaţi fucţia f : R R, f ( ) a b ştiid că f (8) şi f ( 4) Fie fucţia f : A B, f ( ) 4 Determiaţi o pereche de mulţimi (A,B) astfel îcât fucţia f să fie bijectivă 4 Fie A o mulţime avâd elemete Determiaţi umărul atural astfel îcât mulţimea A să coţiă 55 de submulţimi evide 5 Cosiderăm puctele A(, ), B( m, m ), C(, 5) Determiaţi umărul real m astfel îcât aria triughiului ABC să fie 6 Calculaţi arcsi(si) SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Fie mulţimea M A( ) M ( R) a) Calculaţi deta() b) Arătaţi că mulţimea M este stabilă î raport cu îmulţirea matricelor A c) Arătaţi că A() este iversabilă şi determiaţi matricea 45 Fie permutările de gradul 5: , a) Determiaţi semul permutării b) Determiaţi permutarea c) Rezolvaţi ecuaţia SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Fie fucţia f : D R, f ( ) 4 a) Determiaţi domeiul maim de defiiţie al fucţiei f b) Determiaţi domeiul de derivabilitate al fucţiei f 4

37 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) c) Aplicaţi teorema lui Lagrage fucţiei f pe itervalul c corespuzător,8 şi determiaţi puctul Se cosideră fucţiile f : R R, f ( ) şi f ( ) cos ( ) f, a) Calculaţi f ( )si d b) Arătaţi că fucţiile f sut mărgiite, N c) Determiaţi volumul corpului de rotaţie determiat de fucţia g :, R, g( ) f ( ) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 5 Prof Ioa Lug Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Determiaţi rădăcia pătrată a umărului z 4 i y Rezolvaţi sistemul y y 7 4y Studiaţi ijectivitatea fucţiei f : R R, f ( ) 4 Determiaţi termeul di mijloc al dezvoltării a a 5 Cosiderăm puctele A(, ) şi B (,) Determiaţi ecuaţia mediatoarei segmetului AB 6 Calculaţi tg( 75 ) 5

38 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) a b c Se cosideră determiatul c a b, a,b,c b c a a) Calculaţi determiatul b) Calculâd determiatul î două moduri, arătaţi că a b c abc ( a b c)( a b c ab ac bc) c) Rezolvaţi pe R ecuaţia Fie, \ y 8 6y G şi legea de compoziţie ştiid că y y l y a) Arătaţi că legea este asociativă şi comutativă b) Arătaţi că ( G, ) este grup abelia c) Determiaţi umărul e e e, ude e apare de ori SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) 7 9 Fie şirul a, a a) Determiaţi termeul geeral al şirului b) Să se calculeze lim a c) Să se calculeze lim si a si a a Se cosideră fucţia f : R R, f ( ) mi, a) Eplicitaţi fucţia f şi arătaţi că admite primitive b) Determiaţi primitivele fucţiei f c) Calculaţi aria suprafeţei mărgiită de graficul fucţiei f, aa O şi dreptele verticale, 6

39 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata6 Prof Ioa Lug Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Calculaţi cos icos i cos i cos i Să se determie valorile parametrului real m astfel îcât ître soluţiile, ale m 5m 7 să eiste relaţia ecuaţiei 5 Rezolvaţi pe mulţimea umerelor reale ecuaţia log 5log8 4 Cosiderăm o mulţime A cu elemete Care este probabilitatea ca alegâd o submulţime a lui A, aceasta să coţiă două elemete? 5 Cosiderăm puctele A( 4, ), B(,), C( 5,) Arătaţi că dreptele AB şi AC sut perpediculare 6 Rezolvaţi pe mulţimea, ecuaţia si SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) y mz Fie sistemul y z my z, m R a) Determiaţi parametrul m astfel îcât sistemul să admită o sigură soluţie b) Determiaţi parametrul m astfel îcât sistemul să fie icompatibil c) Determiaţi parametrul m astfel îcât sistemul să admită o sigură soluţie, y, z cu y Pe mulţimea 7, G se defieşte legea de compoziţie y y 7 7y 56 a) Arătaţi că ( G, ) este grup abelia b) Rezolvaţi pe R ecuaţia 7 ori f : G,, f ( ) a b Determiaţi umerele reale a şi b astfel îcât fucţia f să fie u izomorfism de la grupul ( G, ) la grupul R *, c) Fie fucţia 7

40 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Cosiderăm fucţia f : R R, f ( ) arctg l a) Calculaţi f b) Arătaţi că fucţia f este strict crescătoare f ( ), R c) Demostraţi că * Se cosideră fucţia f :, R, f ( ) a) Determiaţi primitivele fucţiei f b) Calculaţi lim k f k 5 c) Fie F o primitivă a fucţiei f astfel îcât F Rezolvaţi ecuaţia F f EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 7 Prof Viorica Lugaa Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Scrierea zecimală a umărului este, a aa a Să se determie a 7 Să se determie rădăciile reale ale ecuaţiei : 4 Să se arate că umărul de submulţimi ale uei mulţimi cu elemete este 4 U copac cu îălţimea de m creşte î fiecare luă cu 4% di îălţimea sa Ce îălţime va avea copacul după două lui? 5 Fie, b, c, c a b a cu a, b, c Arătaţi că: a b c A şi C Calculaţi: 6 6 Î triughiul ABC se dau BC 6, BA BC b lg c lg a lg AC BC, AC AB, 8

41 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Se cosideră matricele: A 6 4, I şi B I A 9 6 a) Să se calculeze determiatul şi ragul matricei A b) Dacă X şi Y, să se calculeze matricea S A XY c) Să se arate că matricea B este iversabilă şi iversa sa este matricea B I A Fie I,* grup abelia, ude I, R şi legea de compoziţie este defiită pri * y y y,, y I a) Să se determie elemetul eutru şi mulţimea elemetelor simetrizabile * b) Să se arate că ître grupurile R, şi,* f :,, de forma f m, ude m R, se va determia c) Fie I Să se calculeze * * ** SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Fie u şir f de ori f astfel ca petru orice a) Să se calculeze f, f, f, f 4 b) Eprimaţi termeul geeral f î fucţie de c) Să se calculeze f f f f S S I eistă u izomorfism N să avem: f f f şi să se arate că f f Fie f : R R o fucţie care admite ca primitivă fucţia F cu proprietatea F f si, R a) Calculaţi e si d b) Calculaţi derivata fucţiei F e c) Dacă f, atuci determiaţi fucţia f şi 9

42 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 8 Prof Viorica Lugaa Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) Să se determie valorile parametrului real m petru care ecuaţia m are rădăcii complee Să se rezolve ecuaţia Să se calculeze a, petru a k k, ude a este partea îtreagă a umărului real a 4 Să se calculeze suma S a a a a, a R 5 O trupă de actori are î compoeţa sa 4 bărbaţi, femei şi copii Î câte moduri se poate face distribuţia îtr-o piesă de teatru care are roluri de bărbaţi, roluri de femei şi u rol de copil? 6 Calculaţi tgt 4ctgt, ştiid că cos t 4si t 5 SUBIECTUL al II-lea ( de pucte) Î (C) se cosideră matricele I, O şi submulţimea z w G z, w C w z a) Să se verifice că I G şi O G z w b) Să se calculeze z şi w dacă w z c) Să se arate că dacă P, Q G, atuci P Q G Z, cosiderăm fucţia Petru orice se arate că: f f f ; m Z a) m m, b) Mulţimea G f Z comutativ f :,,, f Să împreuă cu operaţia de compuere a fucţiilor este grup c) Grupul G, este izomorf cu grupul aditiv al umerelor îtregi, Z 4

43 Bacalaureat Matematică M(matematică iformatică) SUBIECTUL al III-lea ( de pucte) Se cosideră fucţia f :, R, f şi şirul a f f f a a) Să se verifice egalitatea b) Să se arate că c) Să se calculeze a, lim a f f,, 5 a) Să se arate că f este fucţie bijectivă N * Fie fucţia f :,,, f arccos b) Calculaţi: c) Calculaţi: d f d EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E c) Variata 9 Prof Viorica Lugaa Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii Se acordă pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I ( de pucte) a) Să se arate că, defiit pri N b) Să se calculeze suma S 4 Câte laturi are u poligo cove cu măsurile î grade ale ughiurilor î progresie aritmetică de raţie, dacă cel mai mic ughi are 68? Să se dea u eemplu de două umere iraţioale cu proprietatea că suma şi produsul 4