Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng

Transkript

1 Trần Thành Minh Phan Lưu iên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H Ọ 10 h ư ơng. Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng Save Yur Time and Mney Sharpen Yur Self-Study Skill Suit Yur Pace

2 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 1.Tích vô hướng của hai vectơ.tóm tắt giá kha : 1. Góc giữa hai vectơ : a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạ bởi hai tia có chung gốc.số đ a ( tính bằng độ ) của một góc hình học thỏa : 0 a 180 Nếu 0 a 90 và a không phải là góc đặc biệt (0 ;0 ; 5 ;60 ;90 ) càc giá trị lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi y Nếu 90 < a 180, ta dùng góc bù để tính giá a trị lượng giác của a : sin a = sin(180 a) b cs a = cs(180 a) tan a = tan(180 a) ct a = ct(180 a) O b) Góc giữa hai vectơ : h vectơ a ; b ( 0 ) ; Vẽ các vectơ O = a ; O = b Góc O được gọi là góc giữa vectơ a ; b Ký hiệu : ( ab, ). Tích vô hướng của hai vectơ : a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ ab, ký hiệu là ab. là một số xác định bởi : ab. = a bcs( a, b ) x b) Tính chất : ab. = ba. a.( b+ c) = ab. + ac ( ka) b = k( ab. ) = a.( kb) D Ta cũng có các kết qủa sau : F E a = a ; ab. = 0 a b hú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức : ( a+ b) = a + ab. + b ( a+ b)( a b) = a b c) ông thức hình chiếu : h hai vectơ bất kỳ, ; D. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của, D xuống đường thẳng. Ta có công thức : D. = EF. d) ông thức về tọa độ : h các vectơ : a = ( a, a ) ; b= ( b, b ). Ta có các công thức : 1 1

3 hương. Tích vô hướng và ứng dụng a = a1 + a ab. = ab 1 1+ ab a b ab 1 1+ ab= 0 ab 1 1+ ab cs( ab, ) = a a b b Áp dụng : ài tán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : MM. = k(1) (, cố định ; k là hằng số ) Gọi I là trung điểm của, ta có : (1) ( MI + I)( MI + I) = k MI I = k IM = k + I k+ I > 0: Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I, k+ I = 0: Tập hợp các điểm M là : { I } k+ I < 0 : Tập hợp các điểm M là tập rỗng k + I ) ài tán : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn. h đường tròn tâm I, bán kính R và một điểm M. Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường tròn taị và. iểu thức MM. được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (I). Ta có : M Ρ /( I) = M. M = M. M ' = ( MI + I).( MI + I ') = MI I ( d I ' = I) T = MI R M hú ý : D biểu thức trên, ta cũng có : Ρ /( I) = MT M ( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ). Giải tán : Dạng tán 1 : Sử dụng máy tính fx-500ms để tính giá trị lượng giác của một góc Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau a)sin 65 '6"; b) tan(6 5'16"); c) ct( 1') Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ Deg Rad Gra 1 Ấn phím 1 để chọn đơn vị đ góc là độ a) Ấn liên tíêp các phím : sin = 0,9115 b) Ấn liên tiếp các phím :tan = 1,915 c) Ấn liên tiếp các phím : 1 tan 1 = 1,108 Vậy sin 65 '6" = 0,9115; tan(6 5'16") = 1,915;ct( 1') = 1,108 I ' Ví dụ : Tính x biết : a) sinx = 0,50 b) tanx = c) ctx =,619

4 hương. Tích vô hướng và ứng dụng a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin = màn hình hiện lên 0 9'58" Vậy : x = 0 9'58" b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan = màn hình hiện lên 6 6'5" Vậy : x = 6 6'5" c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( ) = màn hình hiện lên 0 5'5" Vậy : x = 0 5'5" Dạng tán : Tính giá trị lượng giác của góc giữa vectơ Ví dụ 1 : h hình vuông D ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau : ( ; ). ( ; D) Ta có : : = D (, ) = (, D) = D = 5 D đó : sin(, ) = sin 5 = cs(, ) = cs 5 = tan(, ) = tan 5 = 1 = ct(, ) Tương tự, vẽ E = D ; α = (, D) = (, E) = 15 và ta có : sinα = sin15 = sin 5 = ;csα = cs15 = cs 5 = ; tanα = tan15 = tan 5 = 1; ctα = 1 D (vì 15 ; 5 bù nhau ) E Ví dụ : h hình chữ nhật D có = cm ; D =cm. Tính các góc : a = (, D) ; b= (, ) Ta có : a = góc D Suy ra : D tan a = = = 1, a = 5 7 ' D b= (, ) = (, E) ; ( E = ) Suy ra b = góce.mà góce và góc D bù nhau Nên b = ' = 16 5' D Dạng tán : Tinh tích vô hướng Ví dụ 1 : h tam giác đều cạnh bằng a. M, N là hai điểm thuộc cạnh sa ch M = MN = N Tính những tích vô hướng sau :. ;. ; MN. Ta có 1 9a. =. cs 60 = a. a. = M N E E

5 hương. Tích vô hướng và ứng dụng Vẽ E = ; (, ) = ( E, ) = E = a. =. cs10 = a. a.( ) = M. N = ( M )( N ) = M. N. M. N + = M. N cs 0. M cs 60. N cs = a. a.1 aa. ( ) a. a( ) + a.a 1 = a Ví dụ : h tam giác, trọng tâm G ; M là m ộ t đi ểm tr ên đường thẳng (d) qua G và vuông góc với cạnh. hứng minh rằng ( M + M + M). = 0 5 Ta có : M + M + M = MG ( M + M + M). = MG. = 0 vì MG Ví dụ : h hình vuông D c ạnh bằng a ; M, N lần lượt là trung điểm của và D. Tính các tích vô hướng sau :. M ; MN Ta có :. M = ( + M ) = +. M = a + 0 = a ( M. M = 0) M N = ( + M )( D + DN) =. D +. DN + M. D + M. DN = 0 +. DN cs0 + M. D cs0 + 0 M D N a a = a a.1 = a ( D; M DN) Dạng tán : Sử dụng định lý chiếu Ví dụ 1 : h tam giác vuông tại và. = ;. = 9. Tính ba cạnh của tam giác Ta có :, có hình chiếu xuống đường thẳng lần lượt là,.d đó : =. =. = =. Tương tự : 9 =. =. = = = + = + = 9 1 Ví dụ : h tam giác. Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức:.( M ) = 0 (1) (1) M. = M. = Gọi, M lần lượt là hình chiếu của, M xuống đường ' M' M 5

6 hương. Tích vô hướng và ứng dụng thẳng, the định lý hình chiếu, ta có : M. = M ' '. D đó : M ' '. = > 0 Suy ra vectơ ' M ', cùng hướng D đó ; M ' '. = M ' '. = M ' ' = Vậy điểm M cố định ( vì cố định và khôngđổi ) D đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với tại M Ví dụ : h tam giác có ba đường ca là :,,. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của,,. hứng minh : ' M. + ' N. + ' P. = 0 Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác, ta có :,, lần lượt là hìmh chiếu của H xuống,,. M, N, P lần lư ợt là hìmh chiếu của O xuông,, D đó : ' M. = HO. (the định lý hình chiếu ) Tương tự : ' N. = HO. : ' P. = HO. D đó : ' M. + ' N. + ' P. = HO.( + + ) = HO. O = 0 Dạng tán 5 : hứng minh một hệ thức giữa các độ dài Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất = N ' ' ' M O P 6 Ví dụ 1 : h tam giác có góc = 10 ; = ; = 6 Tính cạnh Ta có = = ( ) = + = 6.6.cs = = 6 = 6 = 7 Ví dụ : h tam giác trọng tâm G ; = a ; = b ; = c a) hứng minh rằng +. = b) Tính G the ba cạnh a, b, c Ta có : = = ( ) = +. = Gọi M là trung điểm của, ta có : 1 G = M =. ( + ) 1 1 G = G = ( + ) = ( + +. ) = ( b + c + b + c a ) = (b + c a ) Vậy : G = b + c a + 6

7 hương. Tích vô hướng và ứng dụng Ví dụ : h hình vuông D tâm là O, cạnh bằng a.hứng minh rằng với mọi điểm M ta có : M + M + M + MD = MO + a Ta có : M = M = ( MO + O) = MO + O + MO. O M = M = ( MO + O) = MO + O + MO. O M = M = ( MO + O) = MO + O + MO. O MD = MD = ( MO + OD) = MO + OD + MO. OD M + M + M + MD = MO + O + MO( O+ O+ O+ OD) a = MO + ( ) + 0 = MO + a a ( O + O + O + OD = O ; O = O = O = OD = ) Dạng tán 6 : hứng minh vectơ vuông góc (hay đường thẳng vuông góc) 1 Ví dụ 1 : h a = 6; b = ;cs( a, b) = hứng minh rằng hai vectơ ( a+ b) ; ( a b ) 6 vuông góc Ta có ( a+ b).( a b) = a ab+ ba. b = 6 ab = 6 ab. = = ( a+ b) ( a b) 7 Ví dụ : h hình thang vuông D có đáy là D = a ; = a ; đường ca = a. hứng minh rằng hai đừơng ché và D thì vuông góc với nhau Ta có. D= ( + )( + D) =. +. D+. +. D D =. cs D cs 0 = a.a ( 1) + a. a.1= 8a + 8a = 0 D Vậy hai đường ché và D vuông góc với nhau Dạng tán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ Ví dụ 1 : h tam giác vớí ( 10, 5 ) ; (, ) ; ( 6, -5 ).hứng minh rằng tam giác vuông tại. Ta có : = ( 10, 5) = ( 7, ) ; = (6, 5 ) = (, 7) 7

8 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 8 Suy ra :. = ( 7).() + ( ).( 7) = 0. Vậy tam giác vuông tại Ví dụ : h tam giác có (, 1 ) ; ( -1, -1 ) ; ( 6, 0 ) a) Tính góc của tam giác. *b) Tính tọa độ gia điểm của đường tròn đường kính và đường tròn đường kính O Ta có : = (, ) ; = (, 1). + ( ).( 1) 10 1 cs = cs(, ) = = = Vậy góc bằng 15 *b) Gọi M là gia điểm của đường tròn đường kính và đường tròn đường kính O, ta có : M ( x, y ) ; M= ( x,1 y); M = ( 1 x, 1 y); M = (6 x, y); MO = ( x, y) và M M M. M = 0 ( x)( 1 x) + (1 y)( 1 y) = 0 M MO M. MO = 0 (6 x)( x) + ( y)( y) = 0 x + y x = 0(1) x = 0[(1) ()] x + y 6x= 0 () x + y 6x= 0 x = 1 x = 1 1+ y 6= 0 y =± 5 Vậ y có hai gia điểm M : M1(1, 5) ; M(1, 5) Ví dụ : h tam giác có ( 5, ) ; (, - 1 ) ; ( -1, 5 ) a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác b) Tính tọa độ chân đường ca vẽ từ a) Gọi H( x, y ) là tọa độ trực tâm, ta có : H = ( x 5, y ); = (,6); H = ( x, y + 1); = ( 6,) H H. = 0 ( x 5)( ) + ( y )(6) = 0 H H. = 0 ( x )( 6) + ( y + 1)() = 0 x y = 1 x= x y = 7 y = Vậy tọa độ trực tâm H là : H(, ) b) Gọi ( x, y ) là tọa độ chân đường ca vẽ từ, ta có : ' x y = 1(1) ( tương tự câu a ) ' = ( x, y + 1) ; ' cùng phương = (,6). Suy ra : 6( x ) + ( y + 1 ) = 0 ().Giải (1) và () ta có : x = y = 1 Vậy tọa độ chân đường ca vẽ từ là : ( 1, 1 ) Dạng tán 8 : Tìm tập hợp điểm a)( M+ M).( M M) = 0(1) Ví dụ 1 :h tam giác. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : b) M + MM. = 0 () 8

9 hương. Tích vô hướng và ứng dụng a) Ta có : M+ M = MI ; M M = ( I là trung điểm của ) ( 1 ) MI. = 0 MI : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông góc với () M + M. M = 0 M.( M + M) = 0 b) M. MI = 0 M MI Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính I ( I là trung điểm của ) 9 *Ví dụ : h hình vuông D cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : a amm ). = bmm ). + MMD. = a c)( M+ M+ M).( M+ M) = a Gọi O là tâm hình vuông ( cũng là trung điểm ). Ta có : a a M. M = ( MO + O).( MO + O) = a MO O = ( d O = O) a a a a a OM = O = = OM = a Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng T ươ ng tự, ta có : M. M + M. MD = a MO O + MO O = a a MO = a OM = a ( d O = O = ) Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng a Ta có M + M+ M = MG ; M+ M = MO ( G là trọng tâm tam giác ). D đó : a ( M + M + M).( M + M) = a MG. MO = 6 a a 1 a 1 a 6a MJ JO = JM = + ( GO) = + (. ) = a 6 JM = 1 ( J là trung điểm của OG ; JO = 1 ; 1 1 a GO GO = O =. ) a 6 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 Dạng tán 9 : Tính phương tích. Tính đạn tiếp tuyến. Ví dụ 1 : h điểm ( -, 1 ) ; (, 7 ) ; M( 0, ) ; N(-, - 5 ) Tính phương tích của điểm M, N đối với đường tròn đường kính 9

10 hương. Tích vô hướng và ứng dụng Ta có : tọa độ tâm I của đường tròn ( cũng là trung điểm của ) : I (, ) I( 1, ) Ta cũng có : I = ( 1,1 ) = (, ) R = I = 9+ 9= 18 M IM = (0 1, ) = ( 1, ) Ρ /( I) = IM R = (1 + ) 18 = 1 N IN = ( 1, 5 ) = (, 9) Ρ /( I) = IN R = ( ) 18 = Ví dụ : h điểm ( -, - 1 ) ; ( - 1, ) ; (, ) ; M( 5,- ). hứng minh rằng điểm M ở ngài đường tròn ngọai tiếp tam giác và tính đạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ( T là tiếp điểm ) Gọi I ( x, y ) là tâm đường tròn (),ta có : I = ( x +, y + 1); I = ( x + 1, y ); I = ( x, y ) I = I ( x + ) + ( y + 1) = ( x + 1) + ( y ) I = I ( x + ) + ( y + 1) = ( x ) + ( y ) ` x+ 5y = 6 x= 1 x+ y = 5 y = 1 Suy ra : I( 1, 1 ) ; MI = (5 1) + ( 1) = = 5 ; R = I = 9 + = 1 M D đó : Ρ /( ) = MI R = 5 1 = 1 MI > R Vậy điểm M ở ngài đường tròn () M Ta cũng có : MT =Ρ /( ) = 1 MT = 1 =.. ài tập rèn luyện :.1 h tam giác đều cạnh bằng a. Tinh các tích vô huớng sau : G. ; M. ; ( ) ( G là trọng tâm tam giác và M là trung điểm của )..h tam giác vuông tại : = ; =. T ín h cá c g óc (, ) ; (, ) và các tích vô hướng sau :. ;...h tam giác vuông tại ; =, =. Trên tia lấy điểm D sa ch D = Tính các tích vô hướng sau :. D; I. ( I là trung điểm của D ).. h tam giác đều, c ạ nh bằ ng a, G là trọng tâm tam giác ; M là một điểm bất kỳ. hứng minh rằng T = ( MG. + MG. + MG. ) có giá trị không đổi. Tính giá trị này..5. h hình vuông D, cạnh bằng a. Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô hướng s au : D. ; ( + D).( D ) ; ( O+ O+ O). ( O là tâm hình vuông ) *.6. h tam giác đều, cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : a ( + ). M =. 7.h tam giác có trọng tâm là G.hứng minh rằng : 10

11 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 1 G. G + G. G + G. G = ( G + G + G ).8. h hình vuông D cạnh bằng a ; I là trung điểm của D. Tính các tích vô hướng sau : DI. ; IG. ( G là trọng tâm tam giác D ).9.h hình chữ nhật D có = ; D = và điểm M thỏa M = k.định k để đường thẳng và DM vuông góc. 10. h tam giác vuông tại. Trên tia đối của tia,lấy điểm D sa ch D = ; trên tia đối của tia, lấy điểm E sach E =. hứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác DE thì vuông góc với. 11. h : a = 6; b =.Định x để hai vectơ sau vuông góc với nhau ( a+ xb) ; ( a xb). 1. h tam giác vuông tại ; D thuộc tia và D = hứng minh rằng 1 ( G = + 16 ) (G là trọng tâm tam giác D ) 9 *.1. h tứ giác D a) hứng minh rằng ; + D D = D b)suy ra rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác D có đường ché vuông góc là + D = + D. 1. h tam giác. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : a)( + ). M = 0 * b) M.( M+ M+ M) = 0 *.15. h tam giác đều, cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : ( M+ M). M = a. 16. h hai điểm ( 1, ) ; ( 6, ). Tìm tọa độ điểm nằm trên trục Ox biết rằng tam giác vuông tại h điểm ( - 1, 0 ) ; ( 0, ) ; (, ) ; D( 5, - ). hứng minh rằng tứ giác D là một hình thang vuông. Tính diện tích của hình thang này. D. Hướng dẫn giải hay đáp số a a.1. G =. G.cs0 = a.. = a 1 a. M =. M.cs 60 = a.. =. 1.( ) =. = a a. a.cs 60 = a a. = 0.. (, ) vá góc bù nhau ;cs = ( : 5) = 0,6 Suy ra = 5 7 '8" (, ) = 7 '8" = 16 5'1"

12 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 1 cs= = = 0,8 5 (, ) = = 90 = 6 5'1". =..( ) =.5.( ) = =.. =.5. = D =. D.csD = 5..( ) = 1 5. I = ( I ) =. I (. = 0) 1 1 =. ( + D) = = 8..Ta có : M = G GM ; M = G GM ; M = G GM T = GG. + GG. + GG. GM( G+ G+ G) = G. G.cs10 + G. G.cs10 + G. G.cs10 0 I D a 1 a a a = ( ).( ) = ( d G = G = G =. =.5.. D =. = a ( + D)( D ) =. D = D. D = a a a ( O + O + O). = O. = O. O = O = ( ) = *.6. Ta có : Vẽ I = ; + = + I = I ( I cố định và tam giác I là nửa tam giác đều) ( + ). M = I. M = I. M ' a a 1 The giả thiết : I. M ' = M ' = = I Vậy tậphợp các điểm M là đường trung trực của đạn I M M' I. 7.T a có : G + G + G = 0 G + G + G + G. G + G. G + G. G = 0 1 G. G + G. G + G. G = ( G + G + G )

13 hương. Tích vô hướng và ứng dụng DI. = D. ( D+ ) = D +.( + D) a = D = ( a ) + a =. 1 1 I. G = ( + D) ( + D + ) 1 a = (0 + a + a + a ) = 6.9. DM. DM = 0 ( + D)( M D) = 0 ( + D)( k D) = 0 9 k D = 0 k.16 9= 0 k = Gọi I là trung tuyến của tam giác DE, ta có : 1 I = ( D + E ) 1 1 I. = ( D + E).( ) = (0 + D. E. 0) 1 = (.. ) = 0 I. 11. x = ±.1.Ta có : 1 1 G = ( + + D) = ( + + ) 1 ( 16 G = G = ) ( 16 ) = a) + D D = + D D = ( + )( ) + ( D + D)( D D) = ( D + D) = ( D D) =. D b) D. D = 0 + D D = 0 + D = + D.1. a) Tập hợp các điểm M là đường thẳng d qua và vuông góc với trung tuyến I của tam giác M( M + M + M) = 0 M.( M + M + M + M) = 0 b) M.(MJ + MI) = 0 M. MK = 0 M MK ( J, I, K lần lươt là trung điểm của,, IJ).Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn dường kính K 1

14 hương. Tích vô hướng và ứng dụng a.15.( M + M). M = a MI. M = a MJ J =. a a 8a + a 11a a 11 JM = + ( ) = = JM = ( I, J lần lượt là trung điểm của, I ). Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn ( J, a 11 ) 16, ó hai điểm : (, 0 ) ; ( 7, 0 ) 17. Hình thang D vuông tại và D. Diện tích của hình thang này bằng Hệ thức lượng trng tam giác. Tóm tắt giá kha 1.Định lý csin : Trng một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh đó nhân với csin của góc xen giữa chúng. a = b + c bccs b = c + a cacs c = a + b abcs c b Suy ra : a b + c a c + a b a + b c cs = ;cs = ;cs = bc ca ab.định lý sin : Trng một tam giác, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngại tiếp tam giác a b c = = = R sin sin sin.ông thức tính độ dài đường trung tuyến. m m m a b c ( b + c ) a = ( c + a ) b = ( a + b ) c = m b m a mc ( = c ; = a ; = b ; m ; m ; m là các trung tuyến vẽ từ,, ) a b c. ông thức tính diện tích : Diện tích S của tam giác được tính bởi các công thức sau : 1

15 hương. Tích vô hướng và ứng dụng S = absin = bcsin = casin abc S = R S = pr c h a b S = p( p a)( p b)( p c) a 1 ( với p = (a+b+c) ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp ; r là bán kính đường tròn nội tiếp ) 5. Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. Giải tán Ví dụ 1 : h tam giác có = 0cm ; = 1cm ; = 7cm Tinh góc nhỏ nhất của tam giác. Ta biết rằng : đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất.ta lại có : < < nên < <. Vậy là góc nhỏ nhất. The công thức ta có : c + a b cs = = = = 0,959 ca = 18 55' Vậy góc nhỏ nhất của tam giác là góc và = 18 55' Ví dụ : h tam giác vuông tại và = ; =. Trên cạnh lấy điểm D sa ch D =. Tính các cạnh D, D ; các góc, D, của tam giác D ; bán kính đường tròn ngọai tiếp và diện tích của tam giác này Giải Ta có = + = = 5; D = = 10 cs = = ; sin = = 5 5 D = + D. D cs = = 7 5 D = 7 D Ta cũng có 15

16 hương. Tích vô hướng và ứng dụng cs = =0,6 = 5 7' 5. D sin = sin D = = 5 = 0, 808 sin D sin D 7 D = 16 18' + = 110 5' Suy ra : D = 180 (5 7' 16 18') án kính đường tròn ngọai tiếp tam giác D ch bởi công thức : D R = = = = 5, sin 8 5 Ta lại có tam giác và D có diện tích bằng nhau (vì có chung đường ca vẽ từ và cạnh đáy,d bằng nhau ) D đó : 1 S D = S =... =.= 1 Ví dụ : h tam giác có = 5cm ; = 7cm ; cs= Tính diện tích, bán kính 5 đường tròn ngọai tiếp, nội tiếp của tam giác và đường ca vẽ từ Ta có : sin = 1 cs = = ; S =..sin = 5.7. = = 10, 5cm = +..cs = = 18 = cm 5 5 R= R= = = cm sin sin S 1 r = = = cm p S 1 7 S = H. H = = = cm Ví dụ : h hình vuông D có cạnh bằng 6cm ; E là trung điểm của D. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác E và càc góc của tam giác này Tacó D E 16

17 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 17 = 6 cm ; E D DE 5 cm; E 5 = = + = = E 5 10 R( E ) = = = cm sin E D 6 sin ED = = = 0,89 => ED = 6 5' E 5 E = ' = 116 5' => E = 180 (116 5' + 5 ) = 18 5' Ví dụ 5 : Trng một tam giác bất kỳ, chứng minh rằng : ah ) a = Rsinsin bs ) = R sin sin sin ( là đường ca vẽ từ ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp và S là diện tích của tam giác ) h a Ta có : 1 S bc Rsin.Rsin S = aha ha = = = =Rsinsin a a Rsin a = Rsin a b c ( d = = = R b = R sin sin sin sin c = Rsin The câu a) ta cũng có : 1 1 ( sin ).( sin sin ) S = aha = R R = R sin sin sin Ví dụ 6 : h hình vuông D có cạnh bằng a. Một đường tròn có bán kính bằng đỉnh, và cắt cạnh tại E. Tính đạn E và góc E a 6, qua Ta có :E = 5 và bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác E bằng a 6 D đó, the định lý sin E a 6 a 6 a =. E =.. = sin 5 Tam giác vuông E ch : a cs E = E 0 E = a = => = E Ví dụ 7 : h tam giác có = 10.D là phân giác trng của góc (D thuộc cạnh ).hứng minh rằng tổng hai bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác D và tam giác D bằng bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác Ta có D 17

18 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 18 D = D = 60 sin D = sin D = sin = The định lý sin, ta có : D D D D R ( D) = = ; R( D ) = = sin D sin D R D + D = = = = R sin + R R = R + R ( ) ( D) ( D ) ( ) ( D) ( D ) Ví dụ 8 : h tam giác vá điểm M thuộc cạnh.iết rằng : bcsin( α + β ) M = α ; M = β.hứng minh rằng M = csinα + bsin β Ta có : 1 1 S( ) =..sin= bcsin( α + β) 1 1 S( M ) =. M.sin M = M. c.sinα 1 1 S( M ) =. M.sin M = M. b.sinβ Mà : 1 1 S( ) = S( M ) + S( M ) bcsin( α + β) = M( csinα + bs in β) bcsin( α + β) Suy ra M = c sinα + b sin β Ví dụ 9 : hứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác vuông tại là m + m = 5 m ( m, m, m là trung tuyến vẽ từ,, ) b c a a b c Ta có : ( c + a ) b ( a + b ) c ( b + c ) a mb + mc = 5ma + = 5 c + a b + a + b c = 10b + 10c 5a 9 9( ) a = b + c a = b Vậy tam giác vuông tại + c Ví dụ 10 : h tam giác có = c = 5 ; = b = ; = 87. Tính các cạnh và các góc còn lại Ta có : 18

19 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 19 a = b + c bccs87 = cs87 = 898 a = 898 = 5,8 c + a b cs = 0,805 ca =.5.5,8 = = 6 ' = 180 ( ') = 56 8'. ài tập rèn luyện.. 18.h tam giác có ba cạnh bằng 10cm ; 1cm ; 17cm. Tính diện tích,bán kính đường tròn ngọai tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác. 19. h tam giác vuông tại ; = ; =. Trên tia lấy điểm D sach D = 7 ; trên tia lấy điểm E sa ch E = 5.Tính các cạnh và các góc của tam giác DE c. 0 Tam giác có cạnh là = a ; = b ; = c và trung tuyến M = hứng minh rằng ; sin sin sin b = a c = +.1 h tam giác nhọn có = cm ; = cm và diện tích S = cm Tính cạnh và.đường ca H của tam giác này... h hình vuông D cạnh bằng a, O là tâm của hình vuông và E là trung điểm của. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp, diện tích và các góc của tam giác OE..h tam giác có = a ; = b ; = c.hứng minh rằng tan c + a b = tan b + c a.. h tam giác có : = 60 ; = 7 ; =. Tính cạnh và các góc của tam giác này.5. h tam giác có = a ; = b ; = c và các cạnh này thỏa điều kiện b + c = 5a hứng minh rằng hai trung tuyến vẽ từ và thì vuông góc với nhau. 6. h tam giác có : = cm ; = x(cm) ; = 5cm. a) Định điều kiện của x (để là một tam giác ) b) Định x để góc = 60 *. 7. a) h tam giác MPQ có trung tuyến là MR.hưng minh rằng PQ MP + MQ = MR + b) h tam giác vuông tại và có = 6. Trên đường thẳng lấy điểm D và E sa ch D = E = 1.hứng minh rằng D + E + = 7.8.h hình thang vuông D ( = = 90 )và =cm ;D = cm ; = 11cm. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác D.. D. Hướng dẫn giải hay đáp số

20 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 0 1 p = ( ) = 0 cm S = p( p a)( p b)( p c) = = 10 = 6,80cm abc R = = = = 8,5cm S.10 S 10 r = = =, cm p = + = = 5 D = = 1 E = + 5= 8 DE = D + E D. E.cs 6 = = DE = 9,6 5 5 cs = = 0,6 = 5 7 ' 5 DE E E sin sin = = 0,8 ; = sin D= 5 sin sind DE 8.0,8 sin D= = 0,665 D= 1 8' 9,6 180 E = (1 8' + 5 7') = 7515'.0. Áp dụng công thức về đường trung tuyến : ( b + c ) a c ( b + c ) a M = ma = = a c = b The định lý sin, ta có : a = Rsin ; b =Rsin ; c = Rsin nên : R sin R sin = ( R sin ) sin sin = sin sin = sin + sin.1.p dụng công thức : 1 1 S =..sin =..sin ( vì góc nhọn ) sin = = 60 Ta lại có : = +..cs 60 = = 1 => = 1 S. 6 9 H = = = Ta có : 1 0

21 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 1 a a 5 = 15 ; = + = + = EO E E a E a 5 a 10 R( EO ) = = = sin EO. E a 1 OE = E ;tan E = = = = 0,5 a OE = E = 6 ' D O E OE = 180 ( ') = 18 7'..Ta có : a b + c a sin abc cs ( ) sin = ;cs = tan = = R bc R b + c a sin abc tan c + a b tan = = => = cs R( c + a b ) tan b + c a..đặt = x ( x > 0 ). Ta có : = +..cs 1 = x + x x x = x= = : sin 60 = sin = = = 0,656 sin sin 7 = 0 5' ; = 180 ( ') = 79 7'.5. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Để chứng minh M vuông góc với N ta chỉ cần chứng minh tam giác G vuông tại G. Ta có: G + G = ( M ) + ( N) ( c + a ) b ( ). a + b c = M = ( ) ( ) N 9 c + a b + a + b c 1 1 = ( a + b + c ) = (a + 5 a ) = a = G 9 9 Vậy tam giác G vuông tại G.6 a) Điều kiện để là một tam giác là : < < < x < 5+ 1 < x < x 5 cs = =...x b) Ta lại có : + 7 x x 8= 0 x= ( d1< x< ) 1

22 hương. Tích vô hướng và ứng dụng.7. a) MP + MQ = MP + MQ = ( MR+ RP) + ( MR+ RQ) = MR + RP + MRRP. + MR + RQ + MRRQ. = MR + RP + RQ + MR( RP + RQ) PQ PQ = MR + ( RP = RQ = ; RP + RQ = 0) The câu a), ta có : DE D + E = + = + ( d DE = ) D + E + = + + = ( + ) + = + = + = D = + ( D) = = 80 D = 5 D = D ;sin D = = D 5 R (D ) D 5 = = = 5 5 sin D 5 D D E. Đề. âu hỏi trắc n ghiệm cuối chương 1 1. h a = b = 1; ab. =. Góc ( ab, ) (tính ra độ ) bằng : a. 60 b. 10 c. 0 d. một đáp số khác. h a = b = 1;( a+ b) ( a b). Tích vô hướng ab. bằng : a. 1 b. 1 c. d.. h a = 1; b = ; ( a+ b) = 5. Tích vô hướng ab. bằng : a. b. c. d. một đáp số khác. h hình vuông D cạnh bằng a. Nếu M = + D thì đạn M bằng : a.a b. a c. a 5 d.một đáp só khác 5. h hình chữ nhật D có = 5 ; D = và điểm I xác định bởi

23 hương. Tích vô hướng và ứng dụng I = k. Nếu đường thẳng và I vuông góc với nh au thì k bằng: a. 0,6 b. 0,6 c, 0,6 d. một đáp số khác 6. Tam giác có = a = x + 1 ; = b = ; = c =. Nếu góc của tam giác bằng 60 thì giá trị của x là : a. b. c. d. một đáp số khác 7.h tam giác có cạnh thỏa : = Góc của tam giác gần bằng góc nà dưới đây nhất : a. 109 b.110 c. 70 d Tam giác có = 0 ; = 5. Hệ thức nà sau đây đúng a. = b. = c. = d. = 9. Trng một tam giác, nếu tổng bình phương đường trung tuyến bằng 0 thí tổng bình ph ương cạnh của tam giác sẽ bằng : a. b. 6 c. 8 d.một đáp số khác 10. h tam giác có ba cạnh là : m ; m ; 6m.Góc lớn nhất của tam giác gần bằng góc nà dưới đây nhất 0 a. 6 b. 6 0 c d h tam giác vuông tại và có = a ; = a. E là một điểm thuộc tia đối của tia. Nếu bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác E bằng a thì đạn E sẽ bằng a. a b. a c. 5a d. một đáp số khác 1.h hình vuông D cạnh bằng a. Trên tia đối của tia, lấy điểm E sa ch E = a. án kính của đường tròn ngọai tiếp tam giác E bằng a.5a b. a c.a d. một đáp số khác 1. Một tam giác có ba cạnh là, 5, 7. Đường ca nhỏ nhất của tam giác này gần bằng số nà dưới đây nhất a.,8 b. c., d., 1. Tam giác có : + = 6 ; sin + sin = 1,5. Hệ thức nà dưới đây đúng : a. = sin b. = sin c. = sin d = 6sin 15. Tam giác vuông tại và có = a ; = a. Trên tia đối của tia lấy điểm D sa ch D = a.đạn D gần bằng đạn nà dưới đây nhất : a.,a b.,5a c.,6a d.,7a 16.h tam giác có = ; = 5. Gọi R,R lần lượt là bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác M và tam giác M ( M là một điểm thuộc cạnh ) Hệ thức nà sau đây đúng a. R = 0,5R b. R = 0,6R

24 hương. Tích vô hướng và ứng dụng c. R = 0,7R d. R = 0,8R 17.Tam giác có các cạnh thỏa = +. ; = +. Góc của tam giác bằng : a. 0 b. 5 c. 60 d. một đáp số khác 18. Tam giác có cá c cạnh thỏa : = + ; = +. 5 cs của tam giác bằng : a. 0,5 b.0,6 c. 0,7 d.0, Tam giác có = ; = 10 ; trung tuyến M =. ình phương của cạnh bằng : a. 50 b. 51 c. 5 d. một đáp số khác 0. h tam giác có bán kính đường tròn ngọai tiếp là R =.Nếu sin + sin = 1 thì ( + ) bằng : a.5 b.6 c.7 d.8. ảng trả lời 1. b 6.b 11.a 16.b.a 7. a 1.c 17.c.d 8.b 1.a 18.d.c 9.d 1. c 19. c 5.b 10.d 15.c 0.d. Hướng dẫn giải : 1 ab. = a. bcs( a, b) = 1.1cs( a, b) 1b. Ta có 1 cs( ab, ) = ( ab, ) = 10 ( a+ b) ( a b) ( a+ b)( a b) = 0 a ab. + ba. b a. 1 ab. = 0 ab. = 1 a+ b = 5 ( a+ b) = 5 a + 6 ab. + 9b = 5 d ab. + 9.= 5 ab. = b. ( ) M = M = + D = + D + D.. = 5 a ( d. D= 0) M = a 5b. 5

25 hương. Tích vô hướng và ứng dụng I I. = 0 ( + I)( ) = 0. + k = 0( d I = k = k ;. = 0) k = 0 k = = 0, b. Định lý cs ch a = b + c bccs x+ 1 = x = 1 7a. Định lý cs ch : = +..cs + +. = +. cs 1 cs = = 0, = 109 9' ( cs 70 1' = 0, và là góc bù của góc này ) 8b. Định lý sin ch = = = sin sin sin 0 sin 5 1 = 9d. The công thức tính độ dài đường trung tuyến,ta có : ( b + c ) a + ( c + a ) b + ( a + b ) c ma + mb + mc = ( a + b + c ) 0 = a + b + c = 0 10d. Đối diện với cạnh lớn nhất = 6m sẽ là góc lớn nhất,mà b + c a = = = 0, 58 cs= bc.. = ' 11a. Tam giác là nửa tam giác đều.định lý sin ch : E E = R R = = a sin 0 sin 0 E a 1c. Ta có E = 15 ; = R R = = a sin15. 1 a. Đường ca nhỏ nhất h là đường ca tương ứng với cạnh lớn nhất nghĩa là cạnh bằng 7. Ta lại có 5

26 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 6 1 p = ( ) = 8 S = p( p a)( p b)( p c) = = 6 S 8 6 h = = =, c. Định lý sin ch : + 6 = = = = = sin sin sin sin + sin 1,5 = sin 15c. Tam giác là nửa tam giác đều D = 10 ; D = D +. D.cs10 1 D = 9a + a. a. a.( ) = 1a D = a 1 =, 605a 16b. Ta có sinm = sinm (góc bù nhau ) Định lý sin ch R R= ; R' = = = = 0,6 sin M sin M R ' 5 R= 0,6 R' 17c. Giả thiết ch = = 60 = 60 18d. Tam giác vuông tại (d = + ) Hệ thức hai ch : 9 cs = cs = sin = 1 cs = 1 = =0, c. ông thức tính độ dài trung tuyến ch ( + ) M = (16 + ) = = ( ) = 5 0d. Định lý sin ch : + R = = = = sin sin sin sin + sin + 8 = 1 6