= y y 0. ax + by + c = 0. x = x 0 + λl y = y 0 + λm

Transkript

1 Capitolul 1 Conice 1.1 Dreapta în plan Fie {O, i, j } un reper cartezian ortogonal în plan. Ecuaţia canonică a dreptei determinată de punctul M 0 (x 0, y 0 ) şi de vectorul director v = l i + m j (cu l + m > 0) este sau echivalent x x 0 l = y y 0 m mx ly mx 0 + ly 0 = 0 Notând a = m, b = l şi c = mx 0 + ly 0, obţinem ecuaţia ax + by + c = 0 cu a +b > 0, ecuaţie care se numeşte ecuaţia generală a dreptei în plan. Dacă egalăm rapoartele din ecuaţia dreptei cu λ: x x 0 l = y y 0 m = λ se obţin ecuaţiile parametrice ale dreptei: x = x 0 + λl y = y 0 + λm De asemenea ecuaţia canonică a dreptei determinată de două puncte M 1 (x 1, y 1 ) şi M (x, y ) este: x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 1

2 ecuaţie care se poate rescrie Cazuri particulare x y 1 x 1 y 1 1 x y 1 = 0 ˆ Ecuaţia axei Ox: y = 0 ˆ Ecuaţia unei drepte paralele cu Ox: y = y 0 ˆ Ecuaţia axei Oy: x = 0 ˆ Ecuaţia unei drepte paralele cu Oy: x = x 0 ˆ Ecuaţia primei bisectoare: y = x ˆ Ecuaţia celei de-a doua bisectoare: y = x ˆ Ecuaţia dreptei prin tăieturi: Fie o dreaptă care nu trece prin origine şi nu este paralelă cu axele de coordonate şi fie A(a, 0), B(0, b) punctele de intersecţie ale dreptei cu axele de coordonate, cu a b 0. Obţinem: Fie o dreaptă d de ecuaţie x a 0 a = y 0 b 0 bx + ay ab = 0 x a + y b 1 = 0. ax + by + c = 0, a + b > 0 Atunci şi λax + λby + λc = 0, λ R este o ecuaţie a dreptei d, deci o dreaptă are o infinitate de ecuaţii. Două ecuaţii reprezintă aceeaşi dreaptă dacă şi numai dacă au coeficienţii proporţionali. Dacă dreapta d nu este paralelă cu Oy (deci b 0), ecuaţia dreptei se poate rescrie: y = a b x c b Notănd m = a b, n = c b obţinem y = mx + n care se numeşte ecuaţia explicită a dreptei d. Coeficientul m se numeşte panta dreptei, iar n este ordonata intersecţiei dreptei cu axa Oy.

3 Fie A(x A, y A ) şi B(x B, y B ) două puncte distincte pe dreapta d. Dreapta nefiind paralelă cu Oy, avem că x A x B. Punând condiţia ca cele două puncte să verifice ecuaţia dreptei obţinem Scăzând cele două ecuaţii obţinem y A = mx A + n şi y B = mx B + n. y B y A = m(x B x A ) m = y B y A x B x A = tg θ unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitivă a axei Ox şi semidreapta de pe dreapta d situată deasupra axei Ox. Avem: ˆ m > 0 θ unghi ascuţit ˆ m < 0 θ unghi obtuz ˆ m = 0 dreapta este paralelă cu Ox Observaţii 1. Dreapta d care are ecuaţia explicită y = mx + n trece prin punctele de coordonate (0, n) şi (1, m + n), deci ecuaţia canonică a dreptei este x 1 = y n m, aşadar un vector director al dreptei este v = 1 i + m j. O dreaptă este unic determinată de un punct M 0 (x 0, y 0 ) şi de panta m. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreaptă avem m = y y 0 x x 0 y y 0 = m(x x 0 ) 3. Două drepte d 1 şi d neparalele cu Oy având pantele m 1 şi m sunt paralele dacă şi numai dacă m 1 = m. 4. Două drepte d 1 şi d neparalele cu Oy având pantele m 1 şi m sunt perpendiculare dacă şi numai dacă m 1 m = Conice pe ecuaţii reduse Definiţia 1.1. Se numeşte conică o curbă plană definită în reperul cartezian ortonormat {O; i, j } printr-o ecuaţie algebrică de gradul al doilea de forma a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, unde a ij R, i, j {1,, 3}, a 11 + a 1 + a > 0 (adică cel puţin unul dintre coeficienţii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordonatele euclidiene în reperul dat ale unui punct oarecare al conicei. 3

4 Conicele se mai numesc şi curbe de gradul al doilea. Exemple de conice: cercul, elipsa, hiperbola, parabola Cercul Definiţia 1.. Fie un punct fixat C(a, b) şi r > 0 un număr real fixat. Se numeşte cerc de centru C şi rază r este locul geometric al punctelor M(x, y) care satisfac egalitatea CM = r. (1.1) Avem CM = (x a) i + (y b) j, deci (1.1) se rescrie (x a) + (y b) = r sau echivalent (x a) + (y b) = r (1.) care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a cercului de centru C(a, b) şi rază r. Efectuând calculele în ecuaţia (1.) obţinem: x + y ax by + a + b r = 0. Notând m = a, n = b şi p = a + b r, ecuaţia se rescrie x + y + mx + ny + p = 0, care se numeşte ecuaţia generală a cercului. Ecuaţia (1.) este de asemenea echivalentă cu ecuaţiile x = a + r cos t y = b + r sin t, t [0, π) numite ecuaţiile parametrice ale cercului. 1.. Elipsa Definiţia 1.3. Fie F, F două puncte în plan şi a > 0. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea se numeşte elipsă. MF + MF = a 4

5 ˆ Punctele F, F se numesc focarele elipsei ˆ Dreapta F F se numeşte axă focală. ˆ Distanţa dintre focare se numeşte distanţă focală: F F = c < a ˆ distanţele MF şi MF se numesc raze focale Pentru a găsi ecuaţia elipsei alegem ca axă a absciselor axa focală F F, iar ca axă a ordonatelor mediatoarea segmentului F F. Originea reperului este mijlocul segmentului F F, deci focarele au coordonatele F (c, 0) şi F ( c, 0). Din definiţia elipsei, punctul M(x, y) aparţine elipsei dacă şi numai dacă (x c) + y + (x + c) + y = a (x + c) + y = a (x c) + y x + cx + c + y = 4a 4a (x c) + y + x cx + c + y a (x c) + y = a cx a (x cx + c + y ) = a 4 a cx + c x (a c )x + a y = a (a c ) Notând b = a c, ecuaţia anterioară devine b x + a y = a b x a + y b = 1, ecuaţie care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a elipsei. Observaţii ˆ Dacă M(x, y) este un punct pe elipsă, atunci şi simetricul lui faţă de Ox, punctul de coordonate (x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci Ox este axă de simetrie a elipsei. ˆ Simetricul lui M faţă de Oy, punctul de coordonate ( x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci Oy este axă de simetrie a elipsei. ˆ Simetricul lui M faţă de O, punctul de coordonate ( x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei. ˆ Intersecţiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a, 0), A ( a, 0), B(0, b), B (0, b) se numesc vârfurile elipsei. ˆ OA = a şi OB = b se numesc semiaxa mare şi respectiv semiaxa mică a elipsei. 5

6 ˆ Raportul e = c < 1 se numeşte excentricitatea elipsei. Avem: a e = c a = a b a = 1 ( b a ) b a = 1 e deci excentricitatea caracterizează forma elipsei. ˆ Ecuaţia carteziană a elipsei este echivalentă cu ecuaţiile x = a cos t y = b sin t, t [0, π) numite ecuaţiile parametrice ale elipsei. ˆ Ecuaţia tangentei la elipsă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe elipsă se obţine prin dedublare: 1..3 Hiperbola xx 0 a + yy 0 b 1 = 0. Definiţia 1.4. Fie F, F două puncte în plan şi a > 0. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea se numeşte hiperbolă. MF MF = a ˆ Punctele F, F se numesc focarele hiperbolei ˆ Dreapta F F se numeşte axă focală. ˆ Distanţa dintre focare se numeşte distanţă focală: F F = c > a ˆ distanţele MF şi MF se numesc raze focale Pentru a găsi ecuaţia carteziană implicită a hiperbolei alegem ca axă a absciselor axa focală F F, iar ca axă a ordonatelor mediatoarea segmentului F F. Originea reperului este mijlocul segmentului F F, deci focarele au 6

7 coordonatele F (c, 0) şi F ( c, 0). Prin definiţie, punctul M(x, y) aparţine hiperbolei dacă şi numai dacă (x + c) + y (x c) + y = ±a (x + c) + y = (x c) + y ± a x + cx + c + y = x cx + c + y ± 4a (x c) + y + 4a Observaţii ±a (x c) + y = cx a a (x cx + c + y ) = a 4 a cx + c x (c a )x a y = a (c a ) b x a y = a b x a y b = 1. ˆ Axele Ox şi Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei; ˆ Intersecţiile hiperbolei cu axa Ox, punctele A(a, 0), A ( a, 0), se numesc vârfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeşte axa transversă a hiperbolei; ˆ Dreptele de ecuaţii y = ± b x sunt asimptotele hiperbolei şi se obţin ca a asimptote oblice ale funcţiilor f 1 (x) = b a x a şi f (x) = b a x a ; ˆ Dacă a = b, hiperbola are ecuaţia x y = a şi se numeşte hiperbolă echilateră, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x şi y = x; ˆ O ecuaţie de forma xy = ±a reprezintă tot o hiperbolă echilateră, având ca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoarele axelor. ˆ Raportul e = c a < 1 se numeşte excentricitatea hiperbolei. Avem: e = c a = a + b a = 1 + ( b a ) b a = e 1 deci excentricitatea caracterizează forma hiperbolei. 7

8 ˆ Ecuaţia carteziană a elipsei este echivalentă cu ecuaţiile x = a ch t y = b sh t, t R numite ecuaţiile parametrice ale hiperbolei. ˆ Ecuaţia tangentei la hiperbolă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe hiperbolă se obţine prin dedublare: 1..4 Parabola xx 0 a yy 0 b 1 = 0. Definiţia 1.5. Fie o dreaptă fixă d în plan şi un punct fix F d. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea că distanţa la punctul F este egală cu distanţa la dreapta d se numeşte parabolă. ˆ Punctul F se numeşte focar; ˆ Dreapta d se numeşte dreaptă directoare; ˆ Distanţa de la focar la dreapta directoare se numeşte parametrul parabolei şi se notează cu p. Pentru a găsi ecuaţia parabolei alegem ca axă a absciselor perpendiculara dusă prin F la d, care intersectează dreapta d în punctul A şi are sensul pozitiv de la directoare către focar, iar axa ordonatelor este mediatoarea segmentului AF. Focarul F are coordonatele ( p, 0), iar prin definiţie un punct oarecare M(x, y) se află pe parabolă dacă şi numai dacă MF = MB unde B este proiecţia lui M pe dreapta d şi are coordonatele ( p, y). Obţinem: (x p ) + y = x + p x px + p 4 + y = x + px + p 4 de unde se obţine ecuaţia carteziană implicită a parabolei: y = px Axa Ox se numeşte axa parabolei (sau axa transversă a parabolei) şi este axă de simetrie pentru parabolă, iar punctul O(0, 0) se numeşte vârful parabolei. Observaţii 8

9 ˆ Ecuaţia carteziană a parabolei este echivalentă cu ecuaţiile x = t p y = t, t R numite ecuaţiile parametrice ale parabolei; ˆ Ecuaţia tangentei la parabolă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe parabolă se obţine prin dedublare: yy 0 = p(x + x 0 ); ˆ Ecuaţia y = px, p > 0 reprezintă tot o parabolă cu axa transversă Ox, vârful în origine, dar situată în semiplanul din stânga axei Oy; ˆ Ecuaţiile x = py şi x = py, cu p > 0 reprezintă parabole având axa transversă Oy şi vârful în origine. 1.3 Schimbări de repere carteziene Rotaţia Fie {O; i, j } un reper cartezian ortonormat obţinut prin rotirea reperului {O; i, j } cu un unghi θ [0, π). Notăm cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare M din plan în reperul iniţial şi cu (x, y ) coordonatele aceluiaşi punct în reperul rotit. Avem: OM = x i + y j = x i + y j Înmulţind scalar această egalitate cu i, respectiv j, obţinem: x i i + y j i = x i i + y j i x i j + y j j = x i j + y j j Avem i i = j j = 1 şi i j = j i = 0, deci x = x i i + y j i y = x i j + y j j (1.3) Avem i i = cos θ, j i = cos (θ + π ) = sin θ i j = cos ( π θ) = sin θ, j j = cos θ 9

10 şi înlocuind în (1.3) găsim sau echivalent ( x y x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ ) = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) ( x y ). Matricea C = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) este o matrice ortogonală (C 1 = C T ), deci rotaţia în plan de unghi θ este o transformare ortogonală Translaţia Fie reperul {O; i, j }, un punct A(x 0, y 0 ) şi considerăm reperul cartezian ortonormat {A; i, j }. Notăm cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare M din plan în reperul iniţial şi cu (x, y ) coordonatele aceluiaşi punct în reperul nou. Avem: OM = OA + AM x i + y j = x 0 i + y0 j + x i + y j de unde obţinem x = x 0 + x. y = y 0 + y Prin compunerea unei translaţii cu o rotaţie se obţine rototranslaţia de ecuaţii x = x 0 + X cos θ Y sin θ, y = y 0 + X sin θ + Y cos θ unde (X, Y ) sunt coordonatele punctului M în {A; i, j }. 1.4 Reducerea conicelor la forma canonică Fie o conică de ecuaţie a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0. Prin schimbarea reperului, se schimbă şi coordonatele punctelor de pe conică, deci se schimbă şi ecuaţia pe care o verifică acestea. Vom căuta reperul în care ecuaţia conicei are o formă particulară (de elipsă, hiperbolă sau parabolă), numită formă canonică. 10

11 1.4.1 Invarianţii unei conice Definiţia 1.6. Fie o conică de ecuaţie a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, (1.4) f(x,y) cu a ij R, i, j {1,, 3}, a 11 + a 1 + a > 0. Numerele reale I = a 11 + a, δ = a 11 a 1 a 1 a, = se numesc invarianţii conicei. a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 Teorema 1.1. Invarianţii I, δ, nu se schimbă la translaţii sau rotaţii. Demonstraţie: x = x 0 + x Înlocuind ecuaţiile translaţiei y = y 0 + y în (1.4) obţinem a 11 x + a 1 x y + a y + a 13x + a 3y + a 33 = 0, (1.5) a 13 = a 11x 0 + a 1 y 0 + a 13 unde a 3 = a 1x 0 + a y 0 + a 3, deci coeficienţii termenilor de grad nu se a 33 = f(x 0, y 0 ) modifică, aşadar I şi δ rămân neschimbaţi. Efectuând operaţii pe coloane în avem: = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 C 3 x 0 C 1 = C 3 y 0 C Efectuând operaţii pe linii în avem : a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 Fie acum o rotaţie de unghi θ. Avem: L 3 x 0 L 1 = L 3 y 0 L a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 =. x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ ( x y ) = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) ( x y ) X = CX, 11

12 unde C = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ), X = ( x y ), X = ( x y ). Introducem de asemenea notaţiile A = ( a 11 a 1 a 1 a ), B = ( a 13 a 3 ). Ecuaţia conicei se rescrie matriceal X T AX + BX + a 33 = 0. Înlocuind ecuaţiile rotaţiei X = CX în ecuaţia matriceală anterioară obţinem X T (C T AC)X + B(CX ) + a 33 = 0 Matricea C fiind ortogonală, A şi C T AC au acelaşi polinom caracteristic, iar coeficienţii acestuia fiind chiar I şi δ, deducem că aceştia nu se schimbă la efectuarea unei rotaţii. Introducem notaţiile Ā = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33, C = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ , Ā = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 Considerăm forma pătratică având matricea Ā în baza canonică din R3. Atunci Ā este matricea aceleiaşi forme pătratice în baza dată de matricea C, deci avem = det Ā = det( C T Ā C) = det C T det Ā det C = det Ā = Forma canonică a conicelor cu centru Fie conica de ecuaţie a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, (1.6) f(x,y) cu a ij R, i, j {1,, 3}, a 11 + a 1 + a > 0. Căutăm o translaţie de ecuaţii x = x 0 + x astfel încât în noile coordonate ecuaţia conicei y = y 0 + y a 11 x + a 1 x y + a y + a 13x + a 3y + a 33 = 0, (1.7) a 13 să nu conţină termeni de grad 1, adică = a 11x 0 + a 1 y 0 + a 13 = 0 a 3 = a. 1x 0 + a y 0 + a 3 = 0 Caz 1. Dacă δ 0, sistemul anterior are soluţie unică, iar în reperul translatat cu centrul în O (x 0, y 0 ) ecuaţia conicei este a 11 x + a 1 x y + a y + f(x 0, y 0 ) = 0, (1.8) 1

13 Dacă punctul de coordonate (x, y ) verifică (1.8), atunci şi punctul de coordonate ( x, y ) verifică (1.8), deci O este centru de simetrie pentru conică, iar coordonatele lui sunt: a 13 a 1 a 3 a x 0 =, y 0 = δ Termenul liber f(x 0, y 0 ) din (1.8) se rescrie astfel: a 11 a 13 a 1 a 3 δ (1.9) f(x 0, y 0 ) = a 11 x 0 + a 1 x 0 y 0 + a y0 + a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 = (a 11 x 0 + a 1 y 0 + a 13 )x 0 + (a 1 x 0 + a y 0 + a 3 )y 0 + +a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 = a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 a 11 a 1 a 13 Avem = a 1 a a 3 = a 13 x 0 δ + a 3 y 0 δ + a 33 δ = δf(x 0, y 0 ) a 13 a 3 a 33 Ecuaţia (1.8) devine a 11 x + a 1 x y + a y + δ = 0, (1.10) Dacă a 1 = 0, atunci (1.10) este formă canonică. Dacă a 1 0, considerăm forma pătratică Φ R R, Φ(x, y ) = a 11 x + a 1 x y + a y, având matricea A = ( a 11 a 1 ) în baza canonică. Există o bază ortonormată formată din vectori proprii ai lui A în care Φ are forma canonică a 1 a λ 1 X + λ Y, unde λ 1 şi λ sunt valorile proprii ale lui A, adică rădăcinile ecuaţiei caracteristice: a 11 λ a 1 a 1 a λ = 0 λ Iλ + δ = 0. În noile coordonate ecuaţia conicei (1.10) devine λ 1 X + λ Y + δ = 0, (1.11) deci are formă canonică. Putem presupune că baza { v 1, v } în care avem forma canonică se obţine din baza { i, j } printr-o rotaţie de unghi θ 13

14 v (0, π), aşadar 1 = cos θ i + sin θ j v = sin θ i + cos θ j corespunzători matricei A obţinem:. Cum v 1 şi v sunt vectori proprii ( a 11 a 1 ) ( cos θ a 1 a sin θ ) = λ 1 ( cos θ sin θ ) λ 1 cos θ = a 11 cos θ + a 1 sin θ ( a 11 a 1 ) ( sin θ a 1 a cos θ ) = λ ( sin θ cos θ ) λ sin θ = a 11 sin θ + a 1 cos θ Înmulţind prima relaţie cu sin θ, pe a doua cu cos θ şi sumându-le obţinem (λ 1 λ ) sin θ cos θ = a 1 Cum a 1 0 şi θ (0, π ), deducem că λ 1 λ şi λ 1 λ are acelaşi semn cu a 1. Din cele două formule anterioare se poate obţine unghiul θ: λ 1 cos θ = a 11 cos θ + a 1 sin θ tg θ = λ 1 a 11 a 1 λ sin θ = a 11 sin θ + a 1 cos θ tg θ = a 11 λ Legătura între coordonatele iniţiale x, y şi coordonatele X, Y în care avem forma canonică sunt: a 1 x = x 0 + X cos θ Y sin θ y = y 0 + X sin θ + Y cos θ. Coeficienţii formei canonice λ 1 X + λ Y + δ = 0 fiind rădăcinile ecuaţiei caracteristice λ Iλ + δ = 0, distingem următoarele cazuri: 1. δ > 0, I > 0, < 0 λ 1 > 0, λ > 0, δ < 0 elipsă. δ > 0, I > 0, = 0 λ 1 > 0, λ > 0, δ = 0 un punct 3. δ > 0, I > 0, > 0 λ 1 > 0, λ > 0, δ > 0 4. δ > 0, I < 0, < 0 λ 1 < 0, λ < 0, δ < 0 5. δ > 0, I < 0, = 0 λ 1 < 0, λ < 0, δ = 0 un punct 6. δ > 0, I < 0, > 0 λ 1 < 0, λ < 0, δ > 0 elipsă 7. δ < 0, 0 hiperbolă 14

15 8. δ < 0, = 0 două drepte concurente Dacă 0 conica se numeşte nedegenerată, iar dacă = 0 conica se numeşte degenerată. Caz. Dacă δ = 0 şi rang( a 11 a 1 a 13 a 11 x 0 + a 1 y 0 + a 13 = 0 ) = 1, sistemul a 1 a a 3 a 1 x 0 + a y 0 + a 3 = 0 are o infinitate de soluţii, deci conica are o infinitate de centre. Dacă (x 0, y 0 ) este o soluţie a sistemului anterior, atunci în reperul translatat cu centrul în O (x 0, y 0 ) ecuaţia conicei este a 11 x + a 1 x y + a y + f(x 0, y 0 ) = 0, (1.1) unde f(x 0, y 0 ) = a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33. Distingem cazurile: 1. Dacă a 1 = 0, cum a 11 a = a 1 a 11 = 0 sau a = 0, deci conica degenerează în două drepte paralele sau confundate sau mulţimea vidă.. Dacă a 1 0, cum a 11 a = a 1 a 11 şi a au acelaşi semn. Înmulţind eventual ecuaţia (1.1) cu 1, putem presupune că a 11 > 0 şi a > 0, iar (1.1) devine ( a 11 x ± a y ) ± f(x 0, y 0 ) = 0 deci conica degenerează în două drepte paralele sau confundate sau mulţimea vidă Forma canonică a conicelor fără centru Fie din nou conica de ecuaţie a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, (1.13) f(x,y) cu a ij R, i, j {1,, 3}, a 11 + a 1 + a > 0. Caz 3. Dacă δ = 0 şi rang( a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 ) =, sistemul a 11 x 0 + a 1 y 0 + a 13 = 0 a 1 x 0 + a y 0 + a 3 = 0 este incompatibil, deci nu există o translaţie în urma căreia să dispară termenii de grad 1 din ecuaţie, altfel spus conica nu are centru de simetrie. Dacă a 1 0, considerăm forma pătratică Φ R R, Φ(x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y, 15

16 având matricea A = ( a 11 a 1 ) în baza canonică. Există o bază ortonormată formată din vectori proprii ai lui A în care Φ are forma canonică a 1 a λ 1 x + λ y, unde λ 1 şi λ sunt valorile proprii ale lui A, adică rădăcinile ecuaţiei caracteristice: a 11 λ a 1 a 1 a λ = 0 λ Iλ + δ = 0 Cum δ = 0 λ 1 λ = 0. Presupunem λ 1 = 0, λ = I 0 (dacă ambele valori proprii ar fi nule, ar rezulta a 11 = a 1 = a = 0). În noile coordonate x, y ecuaţia conicei devine Iy + a 13x + a 3y + a 33 = 0 (1.14) Putem presupune că baza { v 1, v } în care avem forma canonică se obţine din baza { i, j } printr-o rotaţie de unghi θ (0, π ), aşadar v 1 = cos θ i + sin θ j v = sin θ i + cos θ j x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ Cum v 1 este vector propriu corespunzător valorii proprii 0 obţinem: ( a 11 a 1 ) ( cos θ a 1 a sin θ ) = ( 0 0 ) a 11 cos θ + a 1 sin θ = 0 tg θ = a 11 a 1 a 13 Prin calcul se obţine de asemenea = a 13 cos θ + a 3 sin θ a 3 = a 13 sin θ + a 3 cos θ Dacă a 13 = 0 a 13 = tg θ = a 11 rang ( a 11 a 1 a 13 ) = 1, deci a a 3 a 1 a 1 a a în Iy + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0. Grupând corespunzător termenii în ecuaţia anterioară obţinem I (y + a 3 I ) + a 13 (x + c ) = 0 a 3 unde c = a 33 a 3 I. Efectuând translaţia X = x + c a 3 Y = y + a 3 I ecuaţia conicei devine IY + a 13X = 0 16

17 Cum este invariant la rotaţii şi translaţii, avem = deci găsim forma canonică 0 0 a 13 0 I 0 a Y = ±px, unde p = = a 13I a 13 = I I 3. Semnul ± în ecuaţia anterioară se alege în funcţie de poziţia parabolei faţă de axele de coordonate ale reperului iniţial, intersectând parabola cu aceste axe. Ecuaţia axei de simetrie a parabolei este a 11 (a 11 x + a 1 y + a 13 ) + a 1 (a 1 x + a y + a 3 ) = 0 iar coordonatele vârfului parabolei se obţin intersectând parabola cu axa de simetrie, deci rezolvând sistemul format din ecuaţia anterioară şi ecuaţia iniţială a conicei. Dacă a 1 = 0, din δ = 0 a 11 = 0 sau a = 0. Pentru a 11 = 0, ecuaţia conicei devine a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0 a 13 = 0 conică degenerată. a 13 0 parabolă (făcând o translaţie ca mai sus). Exemplu: Fie conica de ecuaţie x 4xy + 4y 6x + y + 1 = 0. ˆ coeficienţii a 11 = 1, a = 4, a 1 =, a 13 = 3, a 3 = 1, a 33 = 1; ˆ invarianţii I = 5, δ = 4 = 0, = deci conica este o parabolă nedegenerată ˆ p = I = 1 forma canonică Y = ± X = 5 ˆ axa de simetrie: a 11 (a 11 x + a 1 y + a 13 ) + a 1 (a 1 x + a y + a 3 ) = 0 x y 1 = 0 x ˆ vârful 4xy + 4y 6x + y + 1 = 0 x y 1 = 0 V ( 1 5, 5 ) 17

18 ˆ intersecţia parabolei cu axa Ox: x 4xy + 4y 6x + y + 1 = 0 y = 0 x 1, = 6 ± 3 parabola 4 3 y x Concluzii: În funcţie de semnul invarianţilor distingem cazurile: δ Forma canonică Tip X 0 a + Y > 0 b 1 = 0 elipsă X a + Y b + 1 = 0 X = 0 a + Y b = 0 punct X 0 < 0 a Y b 1 = 0 hiperbolă X = 0 a Y = 0 două drepte concurente b 0 Y px = 0 parabolă Y = 0 a = 0 două drepte paralele = 0 Y = 0 două drepte confundate Y + a = 0 18

19 1.5 Exerciţii 1. Să se scrie ecuaţiile cercurilor determinate de: (a) centrul în C(, 3) şi raza r = 7 (b) centrul în C(1, 1) şi o tangetă la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0 (c) extremităţile unui diametru sunt A(3, ) şi B( 1, 6) (d) trece prin punctele M 1 ( 1, 5), M (, ), M 3 (5, 5) (e) trece prin origine şi are centrul C(, 0). Să se determine centrul şi raza următoarelor cercuri; să se scrie ecuaţiile parametrice şi să se reprezinte grafic: (a) x + y 6x 4y + 9 = 0 (b) x + y 4x + y 4 = 0 (c) x + y x = 0 (d) x + y y = 0 (e) x + y 4x + 3 = 0 (f) x + y x y = 0 3. Să se determine intersecţia cercului cu dreapta: (a) (C) x + y y = 0, (d) x + y = 1 (b) (C) x + y x = 0, (d) x = y 4. Să se scrie ecuaţiile elipselor date prin elementele: (a) F ( 1, 0), F (1, 0) şi semiaxa mare 5 (b) axa mare 10 şi distanţa dintre focare 8 (c) axa mică 16 şi F (3, 0) (d) semiaxele 4 şi (e) distanţa dintre focare 6 şi semiaxa mare 5 (f) semiaxa mare 5 şi excentricitatea 0, 6 5. Să se determine semiaxele, focarele şi excentricitatea elipselor, şi să se scrie ecuaţiile lor parametrice: (a) x 9 + y 4 1 = 0 19

20 (b) 9x + 5y = 5 (c) 3x + 4y = 1 (d) x + y 6 = 0 (e) 5x + 169y = 5 6. Să se afle punctele de intersecţie ale elipsei cu dreapta: (a) x 4 + y 1 = 0, x + y 3 = 0 (b) 5x + 8y 77 = 0, x + y 7 = 0 7. Să se scrie ecuaţia tangentei la elipsa x +y 6 = 0 în punctul M(, 3) de pe elipsă 8. Să se scrie ecuaţiile hiperbolelor având focarele pe axa Ox şi cunoscând următoarele elemente: (a) semiaxele sunt 4 şi 3 (b) distanţa dintre vârfuri 6 iar distanţa între focare 10 (c) semiaxa transversă este 1 şi e = 5 4 (d) F (0, 10), F (0, 10) şi distanţa între vârfuri 8 9. Să se afle semiaxele, focarele, excentricitatea şi asimptotele hiperbolelor (a) 16x 5y = 400 (b) x 9 y 16 = 1 (c) x 5y 10 = Să se reprezinte hiperbolele şi asimptotele lor: (a) x y = 1 (b) x 4y 4 = 0 (c) 4y 9x 36 = 0 (d) xy = ; xy = (e) x 5 y 49 1 = Să se scrie ecuaţia tangentei la hiperbola în punctul M 0 (5, 4) x 5 y 4 = 1 0

21 1. Să se scrie ecuaţiile tangentelor duse din M 0 (, 1) la hiperbola şi să se afle punctele de contact. x 4y 1 = Să se scrie ecuaţia unei parabole cu vârful în originea reperului ştiind că: (a) focarul este F (1, 0) (b) focarul este F (0, ) (c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0, 5, situată în semiplanul stâng (d) axa de simetrie este Oy, p = 3 şi situată în semiplanul inferior 14. Să se determine focarul, axa de simetrie, şi să se reprezinte grafic parabolele: (a) y = x (b) y = 4x (c) x = 5y (d) x = y 15. Să se scrie ecuaţia tangentei şi ecuaţia normalei la parabola y = 3x în punctul de abscisă x = Să se recunoască şi să se reprezinte grafic curbele: (a) 4x 5y = 0 (g) y + x = 0 (b) x + y 9 = 0 (c) y x = 0 (d) x + y x = 0 (e) x + y 4 = 0 x = cos t (f), t [0, π] y = sin t (h) 16x 9y = 0 (i) x + y 1 = 0 x = 1 + cos t (j), t [0, π] y = sin t (k) y + 4x = 0 x = 3 cos t (l), t [0, π] y = sin t 1

22 17. Să se reprezinte domeniile din plan mărginite de curbele: y a) = x x = y y = x b) y = 1 y = x c) y = x x = 18. Să se reprezinte domeniile din plan determinate de: x + y y a) y x x 0 x + y 4 b) x + y 4 1 x 0 x c) + y 4 x + y x x + y x y d) x y y Să se aducă la forma canonică şi să se reprezinte grafic conicele: (a) 5x + 8xy + 5y 18x 18y + 9 = 0 R: X 1 + Y 9 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (b) 5x + 6xy + 5y 16x 16y 16 = 0 R: X 4 + Y 16 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (c) x xy + y 5x + y = 0 R: X 18 + Y 6 1 = 0, C(3, 1), α = π 4. (d) 3x xy + 3y 4x 4y 36 = 0 R: X 0 + Y 10 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (e) 5x 8xy + 5y 1x + 6y = 0 R: X 9 + Y 1 1 = 0, C(, 1), α = π 4. (f) x xy + y 5x + y = 0 R: X 18 + Y 6 1 = 0, C(3, 1), α = π 4. (g) 3x + 10xy + 3y x 14y 13 = 0 R: X 1 Y 4 1 = 0, C(, 1), α = π 4. (h) x 8xy + 7y + 6x 6y + 9 = 0 R: X 9 Y 1 1 = 0, C(1, 1), α = arctg 1. (i) 3xy + 6x y 8 = 0 R: X 4 Y 4 1 = 0, C( 1 3, ), α = π 4. (j) 6xy + 8y 1x 6y + 11 = 0 R: X 1 Y 9 (k) 5x + 1xy x 1y 19 = 0 1 = 0, C( 1, ), α = arctg 3. R: X 4 Y 9 1 = 0, C(1, 1), α = arctg 3.

23 (l) 5x 6xy + 5y + x 14y + 1 = 0 R: X 4 + Y + 1 = 0 (m) 5x xy + 5y + 1x 1y + 1 = 0 R: X + 3Y = 0, C( 1, 1) (n) x + 3xy + y x 1 = 0 R: y = x + 1, y = x 1. (o) 3x 7xy + y 4x + 3y + 1 = 0 R: x y 1 = 0, 3x y 1 = 0 (p) x xy + y 10x 6y + 5 = 0 R: = 64, Y = 4 X, x y 1 = 0, V (, 1). (q) x + 4xy + 4y + x y 1 = 0 R: = 5 4, Y = 1 5 X, x + y = 0, V ( 5, 1 5 ). (r) x 4xy + 4y 4x y + 10 = 0 R: = 5, Y = 5 X, x y = 0, V (, 1). (s) x 4xy + 4y 6x 38y + 5 = 0 R: = 05, Y = 18 5 X, x y + 5 = 0, V ( 1, ). (t) 4x 4xy + y 8x 8y + 4 = 0 R: = 144, Y = X, 10x 5y 4 = 0, V ( 5 50, 3 ). 5 (u) x + 4xy + 4y + x + y = 0 R: x + y = 1, x + y =. (v) x 4xy + 4y + 10x 0y + 5 = 0 R: x y + 5 = 0. (w) x 4xy + 4y + 3x 6y + = 0 R: x y + 1 = 0, x y + = 0. 3